精品解析：山东省滕州市第一中学2026-2027学年高二上学期10月复盘检测数学试题

高二年级10月复盘材料 数学 2026.10 注意： 1．第I卷为单项选择题，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效． 2．第II卷在答题纸上作答．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色签字笔将自己的班级、姓名、考号填写清楚． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. 0° B. 45° C. 90° D. 135° 【答案】C 【解析】 【详解】直线等价于,该直线的斜率不存在，所以倾斜角为90°. 2. 已知，，是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（    ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量的基底的定义，逐项判断作答. 【详解】假定向量，，共面，则存在不全为0的实数， 使得，显然不成立， 所以向量不共面，能构成空间的一个基底，故A正确； 由于，则，，共面，故B错误； 由于，则，，共面，故C错误； 由于，则，，共面，故D错误； 故选：A. 3. 已知四棱锥底面是平行四边形，且，若，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合空间向量的线性运算计算即可求解． 【详解】因为是平行四边形，且， 则 ．显然A正确. 故选：A． 4. 已知、，若斜率存在的直线l经过点，且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用直线的斜率公式计算，；再结合图形，利用直线与线段有交点的条件建立不等式，即可得出结果. 【详解】由直线的斜率公式可得： ；. 结合图形，要使直线l经过点，且与线段AB有交点，l的斜率需满足或. 故选：C. 5. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】向量在向量上的投影向量为. 6. 直四棱柱中，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，根据已知及直四棱柱的结构特征求出相关向量的数量积及模，结合向量数量积的运算律、夹角公式求异面直线夹角的余弦值. 【详解】如图，设， 直四棱柱中， 所以， ， ， ， 所以， 故异面直线与所成角的余弦值为. 故选：A 7. 数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心（三边中垂线的交点）、重心（三边中线的交点）、垂心（三边高的交点）依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知的顶点为，，，则该三角形的欧拉线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由重心坐标公式可得：重心，根据垂直平分线的性质设出外心，根据，求出外心，再求出斜率，利用点斜式即可求出欧拉线方程. 【详解】由重心坐标公式可得：重心，即. 设外心，因为，所以，解得，即：. ，故欧拉线方程为：，即：， 故选：A. 8. 如图，在正四面体中，E为的中点，，，当时，四点共面，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由四点共面可得，，运用空间向量的线性运算得到，代入，根据系数对应相等列方程组即可得到答案. 【详解】因为四点共面，所以存在唯一的，使得. 因为，所以， 因为E为的中点，， 所以，， 所以， ， ， 代入，得， 所以，解得. 故选：B． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的有（ ） A. 直线的倾斜角为 B. 直线必过定点 C. 方程与方程表示同一条直线 D. 经过点，且在轴上截距相等的直线方程为 【答案】AB 【解析】 【分析】A：先求斜率，然后根据求解出倾斜角；B：根据直线过定点列出关于的方程组，求解出结果即可知定点坐标；C：根据分式方程的特点作出判断即可；D：考虑直线的横纵截距是否为，由此分类讨论. 【详解】对于A：直线的斜率，所以倾斜角的正切值，所以，故正确； 对于B：因为直线，令，所以，所以直线过定点，故正确； 对于C：方程中，方程中，故错误； 对于D：当直线的横纵截距均为时，设直线方程，代入，解得， 当直线的横纵截距均不为时，设直线方程，代入，解得， 故所求直线方程为或，故错误； 故选：AB. 10. 已知，若过定点的动直线：和过定点的动直线：交于点（与，不重合），则下列说法正确的是（ ） A. B. 为定值 C. 的最大值为 D. 的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】首先求出点A，B的坐标，可判断选项A的正误；判断两条直线的位置关系可判断选项B的正误；根据基本不等式链可判断选项C，D的正误. 【详解】由，得． 因为，所以，得． 由，得． 因为，所以，得． 所以，A正确． 由直线：和直线：，知． 所以．所以．所以，为定值，B正确． ，当且仅当时，等号成立，C错误． 因为，所以，即的最大值为，当且仅当时，等号成立，D正确． 故选：ABD． 11. 布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达・芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图1，把三片这样的达・芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体.若图3中每个正方体的棱长为1，则（ ） A. B. 直线与平面所成角的正弦值为 C. 点到直线的距离是 D. 异面直线与所成角的余弦值为 【答案】BC 【解析】 【分析】A选项，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，得到；B选项，求出平面的法向量，利用线面角的夹角公式求出答案；C选项，利用空间向量点到直线距离公式进行求解；D选项，利用异面直线夹角公式进行求解. 【详解】A选项，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， ， ， 则，A错误； B选项，平面的法向量为， ，设直线与平面所成角的大小为， 则，B正确； C选项，， 点到直线的距离为，C正确； D选项，， 设异面直线与所成角大小为， 则，D错误.      故选：BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知空间向量，，设，，与垂直，，，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据与垂直，求得，再由条件可求出. 【详解】因为，所以. 所以，解得. 所以. 13. 如图，两条异面直线a，b所成角为，在直线上a，b分别取点，E和点A，F，使且．已知，，．则线段的长为____________． 【答案】4或2 【解析】 【分析】根据向量的线性运算可得，两边平方，利用向量的数量积运算，结合题意已知可得结果. 【详解】由题意知，，所以， 展开得， 异面直线a，b所成角为，代入， 所以或， 故答案为：4或2 14. 如图，在三棱锥中，，平面ABC，于点E，M是AC的中点，，则的最小值为______． 【答案】##-0.125 【解析】 【分析】根据给定条件，证明平面PAB，将用表示出，再结合空间向量数量积的运算律求解作答. 【详解】连接，如图， 因平面ABC，平面ABC，则，而，，平面PAB， 则平面PAB，又平面PAB，即有， 因M是AC的中点，则，又， ，当且仅当取“=”， 所以的最小值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，，． （1）向量满足，，求； （2）当时，若向量与垂直，求实数和的值． 【答案】（1） 或 （2） ， 【解析】 【分析】（1）利用向量共线及向量模的坐标表示列式求解. （2）利用模的坐标表示求出，再利用向量垂直的坐标表示分类求解. 【小问1详解】 由，，设， 又，则，解得， 所以或. 【小问2详解】 由，，得，解得， 依题意，，由向量与垂直， 得， 当时，，则，无解； 当时，，则，解得， 所以. 16. 已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为． （1）求顶点的坐标； （2）求直线的方程． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）由边上的高所在直线的斜率可求直线的斜率，已知点，由点斜式方程可得直线方程，又点也在边的中线上，联立方程组求解交点的坐标即可； （2）设点，则中点在已知中线上，又点在已知边的高线上，则联立方程组可得，再由两点式可得直线的方程. 【小问1详解】 因为边上的高所在直线方程为， 设线的斜率为，则，解得， 又因为直线过点， 则直线的方程为,， 又边上的中线所在直线方程为，且该直线过点， 所以联立， 解得的坐标为． 【小问2详解】 设，因为边上的中线所在直线方程为， 所以的中点在直线上， 且边上的高所在直线过顶点， 所以，解得，即的坐标为． 由（1）知，由两点式方程得， 化简得. 即直线的方程为． 17. 如图所示，平面图形中，其中矩形的边长分别为，，等腰梯形的边长分别为，.现将该平面图形沿着折叠，使梯形与矩形垂直，再连接，，得到如图所示的空间图形，对此空间图形解答如下问题： （1）证明：； （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 【答案】（1）证明：∵四边形是矩形，∴. ∵平面平面，平面平面，∴平面. ∵平面，∴. （2） 【解析】 【分析】（1）因为，根据面面垂直的性质，可证明平面，即可证明结论； （2）解法一：作，，垂足分别为，过分别作，，交分别于，连接，则由题可知，在平面的射影为，即可求出，从而求出，即可得解； 解法二：建立空间直角坐标系，求平面的法向量及平面的法向量，利用法向量夹角即可求出. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解法一：如图所示，作，，垂足分别为，过分别作，，交分别于，连接. ∵为直角三角形，且，，∴. 在等腰梯形中，易求， 而， 由题可知，在平面的射影为， ∴. 可知平面与平面所成二面角为，而. 解法二：建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，. ，，， 设平面的法向量为， 则，即，不妨取，则. 设平面的法向量为. 则，即，不妨取，则 所以. 二面角的角的余弦值为. 18. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，，为中点. （1）证明：直线平面； （2）若直线平面，异面直线与所成的角为，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）如图所示，连接BD，交AC于O， 因为ABCD为平行四边形，所以O是BD的中点， 在中，E、O分别为PB、BD的中点，故， 又平面，平面，所以平面ACE. （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理，证明线线平行，进而说明线面平行； （2）根据几何体的性质，建立空间直角坐标系，根据线线夹角求出几何体的高，进而求出直线的方向向量和平面的法向量，求出线面夹角的正弦值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图所示，过做于，再以A为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， 设， 由，可取，，，，，， 直线AE、PD的方向向量可分别取，， 由两直线所成角为45°，得， 平方整理得，所以，. 可知，， 设平面的法向量为， 可得，即， 令，解得，即平面的一个法向量为 设直线PD与平面PAC所成角为，则. 19. 在平面直角坐标系中，任何一条直线都可以用（其中，，，）表示，给定一个点和一个方向，我们可以确定一条直线，例如：已知点在直线上，是直线的一个方向向量，则直线上任意一点满足，化简得直线的方程为．而在空间直角坐标系中，任何一个平面的方程都可以表示成（其中，，，，且），类似地，在空间中，给定一个点和一个平面的法向量也可以确定一个平面． （1）若点，，，求平面的方程； （2）若记集合所围成的几何体为，求的内切球的表面积， （3）已知某平行六面体，平面的方程为，平面经过点，，，平面的方程为，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）通过平面方程的新概念求平面的方程； （2）由题设得几何体为正八面体，其内切球球心为原点，半径为原点到其中一面的距离，利用等体积转换可得半径，即可计算表面积. （3）通过平面方程求的方向向量，再根据平面求平面的法向量，再求平面与平面的夹角的余弦值． 【小问1详解】 ， 设是平面的一个法向量， 则令，得，所以． 设点是平面内任意一点，， 由，得， 所以平面的方程为． 【小问2详解】 方程经过点， 则集合所围成的几何体为如下图的正八面体. 则的内切球球心为，半径为点到平面的距离. 由得. 由得. 则，解得. 所以的内切球的表面积为. 【小问3详解】 记平面的方程为， 在平面上任取一条直线，直线上任取两点， 则有 因为， 所以． 所以，即垂直于平面上任意一条直线， 所以是平面的一个法向量． 因为平面的方程为，所以平面的一个法向量为； 因为平面的方程为，所以平面的一个法向量为. 由已知得， 设为平面的一个法向量，则. 令，得，所以． 设直线的一个方向向量为，则 令，得，所以． 因为平面， 所以平面的一个法向量与直线的方向向量垂直， 所以，解得，所以． 所以平面与平面夹角的余弦值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级10月复盘材料 数学 2026.10 注意： 1．第I卷为单项选择题，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效． 2．第II卷在答题纸上作答．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色签字笔将自己的班级、姓名、考号填写清楚． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. 0° B. 45° C. 90° D. 135° 2. 已知，，是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（    ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 已知四棱锥底面是平行四边形，且，若，，则（　　） A. B. C. D. 4. 已知、，若斜率存在的直线l经过点，且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 直四棱柱中，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心（三边中垂线的交点）、重心（三边中线的交点）、垂心（三边高的交点）依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知的顶点为，，，则该三角形的欧拉线方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在正四面体中，E为的中点，，，当时，四点共面，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的有（ ） A. 直线的倾斜角为 B. 直线必过定点 C. 方程与方程表示同一条直线 D. 经过点，且在轴上截距相等的直线方程为 10. 已知，若过定点的动直线：和过定点的动直线：交于点（与，不重合），则下列说法正确的是（ ） A. B. 为定值 C. 的最大值为 D. 的最大值为 11. 布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达・芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图1，把三片这样的达・芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体.若图3中每个正方体的棱长为1，则（ ） A. B. 直线与平面所成角的正弦值为 C. 点到直线的距离是 D. 异面直线与所成角的余弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知空间向量，，设，，与垂直，，，则_________． 13. 如图，两条异面直线a，b所成角为，在直线上a，b分别取点，E和点A，F，使且．已知，，．则线段的长为____________． 14. 如图，在三棱锥中，，平面ABC，于点E，M是AC的中点，，则的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，，． （1）向量满足，，求； （2）当时，若向量与垂直，求实数和的值． 16. 已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为． （1）求顶点的坐标； （2）求直线的方程． 17. 如图所示，平面图形中，其中矩形的边长分别为，，等腰梯形的边长分别为，.现将该平面图形沿着折叠，使梯形与矩形垂直，再连接，，得到如图所示的空间图形，对此空间图形解答如下问题： （1）证明：； （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 18. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，，为中点. （1）证明：直线平面； （2）若直线平面，异面直线与所成的角为，求直线与平面所成角的正弦值. 19. 在平面直角坐标系中，任何一条直线都可以用（其中，，，）表示，给定一个点和一个方向，我们可以确定一条直线，例如：已知点在直线上，是直线的一个方向向量，则直线上任意一点满足，化简得直线的方程为．而在空间直角坐标系中，任何一个平面的方程都可以表示成（其中，，，，且），类似地，在空间中，给定一个点和一个平面的法向量也可以确定一个平面． （1）若点，，，求平面的方程； （2）若记集合所围成的几何体为，求的内切球的表面积， （3）已知某平行六面体，平面的方程为，平面经过点，，，平面的方程为，求平面与平面夹角的余弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $