专题03 三角形的内角与外角重难点题型 专项训练（3个知识点+8大题型+自我检测） 2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 以“知识点-题型-应用”为逻辑链，系统整合三角形内角与外角的证明、计算及综合应用，通过分层训练培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识点|3个核心知识点+即时训练|内角和定理证明（平行线转化）、外角性质推导（等量代换）|从内角和（基础）→直角三角形性质（特殊化）→外角性质（延伸），形成概念链| |基础题型|8类题型（含证明、折叠等）|折叠问题（轴对称转化）、角平分线（角的等量关系）|单一知识点应用，覆盖基础考法与易错点| |提高题型|3类综合题型（旋转、动态探究）|旋转角度（动态几何推理）、跨学科应用（模型意识）|多知识点综合，衔接中考中档题与压轴题|

专题03 三角形的内角与外角重难点题型专训（3个知识点+8大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、三角形内角和定理的证明 1 题型二、与平行线有关的三角形内角和问题 2 题型三、与角平分线有关的三角形内角和问题 3 题型四、三角形折叠中的角度问题 4 题型五、三角形内角和定理的应用 5 题型六、直角三角形的两个锐角互余 6 题型七、锐角互余的三角形是直角三角形 7 题型八、三角形的外角的定义及性质 8 第二部分·练提高题型 题型一、三角形中旋转角度问题 1 题型二、三角形内角和定理的角度计算问题 2 题型三、三角形内角和的综合应用 3 第三部分・自我检测 知识点01 三角形的内角和 1.三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°. 如图，在中，． 注意：三角形内角和定理适用于所有三角形，三角形最多有三个锐角，最多有一个钝角，最多有一个直角. 2.三角形的内角和定理证明：主要运用平行线的性质，将三个内角“转移”集中到一个顶点处,合并成一个角,再说明这个角是平角即可. 【即时训练】 1．（25-26七年级下·河北保定·期中）下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能判断三角形的类型的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·上海宝山·阶段检测）如图，已知中，，那么_________． 知识点02 直角三角形的性质及判定 1.性质：直角三角形的两个锐角互余. 表示：直角三角形可以用符号“Rt△”表示,直角三角形ABC可以写成Rt△ABC. 2.判定：有两个角互余的三角形是直角三角形. 【即时训练】 1．（25-26八年级上·云南昭通·阶段检测）在中，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·山西长治·期末）如图，在中，是斜边上的高，，则为________． 知识点03 三角形的外角 1.定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角,叫做三角形的外角.如图，∠ACD是△ABC的一个外角. 2.性质： ①三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； 求证：∠ACD=∠A+∠B； 证明：∵∠A+∠B+∠ACB=180°；∴∠A+∠B=180°－∠ACB=∠ACD. ②三角形的一个外角大于任意一个和它不相邻的内角； 如图：∵∠ACD=∠A+∠B；∴∠ACD>∠A；∠ACD>∠B. ③三角形的外角和等于360°． 求证：∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°； 证明：∵∠BAE=∠2+∠3；∠CBF=∠1+∠3；∠ACD=∠1+∠2； ∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=2（∠1+∠2+∠3）=2×180°=360°. 【即时训练】 1．（25-26八年级下·广东河源·阶段检测）如图，是的一个外角，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·安徽安庆·期末）如图，，，则的度数为 ．（用含，的式子表示） 【基础题型一 三角形内角和定理的证明】 【例1】（2026·山西吕梁·二模）在探究证明“三角形的内角和是180°”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是180°”的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·全国·课堂例题）如图，折叠一张三角形纸片，把三角形三个角拼在一起，就能验证一个几何定理．请写出这个定理的名称：__________．    1．（25-26八年级上·河北邢台·期末）下列证明“三角形的内角和等于180°”所作的辅助线不正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·河北沧州·阶段检测）如图，，，为三角形的内角，求：_______． 3．（25-26七年级下·河南郑州·期末）【探究学习】小学阶段，我们可以通过“拼”角、“折”角，观察得到三角形内角和为，现在我们学习了平行线的性质，就可以证明此结论的正确性了． (1)如图1，过的顶点作的平行线，请你证明三角形的内角和为． 证明：∵， ∴，______（依据是：______） ∵（平角的定义） ∴（等量代换） 即三角形的内角和为． 【解题反思】平行线具有“等角转化”的功能． 【迁移应用】 (2)我国一直提倡“绿色环保、低碳生活”，健康骑行越来越受到老百姓的喜欢．自行车的示意图如图，其中，请你求，，这三个角的关系； 【学以致用】 (3)如图是超市购物车，图是其侧面示意图，已知，，测量得知，，则______． 【基础题型二 与平行线有关的三角形内角和问题】 【例1】（2026·内蒙古通辽·二模）如图，某同学将一块含角的直角三角板叠放在直尺上，则（     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·山东济南·期中）如图，四边形中，点是上一点，过点作，若，则___________°． 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，，，连接，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·福建福州·期中）如图，一个含的直角三角板的直角顶点在这两条平行线之间，另两个顶点均在这两条平行线的外部，设，，则x与y的数量关系为___．    3．（25-26七年级下·四川资阳·期末）一副三角板按图1所示方式摆放，其中，，.固定三角板，将三角板绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角 (1)如图2，当时，的度数为__________； (2)当的一边与平行时，求的度数； (3)如图3，连结，当时，试判断的大小是否改变?并说明理由 【基础题型三 与角平分线有关的三角形内角和问题】 【例1】（25-26七年级下·河北唐山·期末）如图，中，、分别是、的平分线，，则等于（     ）． A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，为的角平分线，交于点E，若，，则的度数为________． 1．（25-26七年级下·河南洛阳·期末）如图，在中，，，．则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·山西晋中·期末）如图，在中，，平分，若，，则________． 3．（25-26八年级上·广西柳州·阶段检测）数学兴趣小组围绕“三角形的内角和是”，进行了一系列探究，过程如下： (1)【论证】如图1，延长至D，过点A作，就可以说明成立，即：三角形的内角和为，请完成上述说理过程； (2)【应用】如图2，在中，的平分线与的角平分线交于点P，过点A作，M在射线上，且，的延长线与的延长线交于点D． ①______； ②设，请用的代数式表示； (3)【拓展】如图3，中，，，过点A作，直线与相交于A点右侧的点P，．绕点A以每秒的速度顺时针方向旋转，同时绕点P以每秒的速度顺时针方向旋转，与重合时再绕着点P以原速度逆时针方向旋转，当旋转一周时，运动全部停止，设运动时间为t秒，在旋转过程中，是否存在某一时刻，使得？若存在，求t的值：若不存在，请说明理由． 【基础题型四 三角形折叠中的角度问题】 【例1】（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图，将沿着折叠，使点与点重合，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·河南周口·期末）如图，将长方形纸片依次折叠两次：第一次以为折痕，使点A落在上的点E处；第二次以为折痕，使点N与点E重合，点B落在点处．若，则的度数为______． 1．（25-26七年级下·河南南阳·阶段检测）将一个直角三角形纸片，沿线段折叠，使点落在处，若，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·陕西宝鸡·期末）如图，长方形纸片中，为边上一点，将纸片沿，折叠，点落在点的位置，点落在点的位置（点在点右侧）．若，则__________． 3．（25-26七年级下·吉林长春·期中）以下是华师版数学七下的部分内容． 如图，在中，．，平分，平分，求的度数． 解：平分（已知）， ， 同理可得___________． （___________）， （等式的性质）___________． (1)对于上述问题，请你在解答过程的空白处填上适当的内容（填数学理由或数学式）． (2)【拓展延伸】如图1，在中，的平分线交于点，将沿折叠，使得点与点重合，若，求的度数； (3)如图2，在中，角平分线交于点，，交边于点，点在的延长线上，作的平分线交的延长线于点．若，则_______． 【基础题型五 三角形内角和定理的应用】 【例1】（26-27八年级上·广西南宁·期中）一个三角形三个内角度数的比是，这个三角形是（     ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断 【例2】（2026·四川宜宾·模拟预测）如图所示，有一块含有角的直角三角板的一个顶点放在直尺的一条边上．如果，那么的度数是_________． 1．（25-26七年级下·河南南阳·阶段检测）如图，点，分别在的边，上，将沿折叠，使点恰好落在边上处，已知，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，妍妍在走廊上看到一个“安全出口”标志，她从中抽象出这样一个数学图形，其中，，若，，，则的度数为_________． 3．（2026七年级下·甘肃酒泉·模拟预测）已知，点M在直线上，点N、Q在直线上，点P在直线之间，，平分． (1)如图1，求的度数（用含α的式子表示）； (2)如图2，过点Q作交的延长线于点E，过E作平分交于点F．请你判断与的位置关系，并说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，若平分，请你判断与的数量关系，并说明理由． 【基础题型六 直角三角形的两个锐角互余】 【例1】（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期中）直角三角形的一个锐角的度数为，则另一个锐角的度数为（    ） A． B． C． D． 【例2】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，是斜边上的高线，，则______ °． 1．（2026·宁夏吴忠·模拟预测）将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中的度数是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测）将一副直角三角尺按如图1方式叠放，点D，B，A在同一直线上（，，，），若将含的三角尺绕顶点A顺时针旋转一周，使两块三角尺至少有一组边互相平行，直接写出符合条件的的度数为________．    3．（25-26七年级下·陕西汉中·期末）如图，直线，连接、交于点，点、分别在线段、上，连接并延长至点，． (1)与平行吗？为什么？ (2)若，，求的度数． 【基础题型七 锐角互余的三角形是直角三角形】 【例1】（2025八年级上·全国·专题练习）下列条件不能判定是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（2025八年级上·全国·专题练习）在中，若，则___________；若，则___________，此时是___________三角形． 1．（25-26八年级上·河南新乡·阶段检测）具备下列条件的中，不是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，在中，，、分别在、上，连接，若，则是________三角形． 3．（25-26八年级上·吉林白城·期末）如图，，垂足为，是线段上一点，交于，．求证：是直角三角形． 【基础题型八 三角形的外角的定义及性质】 【例1】（25-26七年级下·山西临汾·期末）如图，在中，，，则的外角的度数为（     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·北京·期末）如图，点D是延长线上一点，若，，则________． 1．（25-26七年级下·江苏南通·期末）如图，已知，，平分，且，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·宁夏银川·期中）如图在中点DE分别在边AB和AC上点是BC延长线上的一点若，则_______°． 3．（25-26七年级下·河南南阳·阶段检测）综合与实践 (1)如图1，在中，与的平分线交于点，若，则_____． (2)如图2，的内角的平分线与的外角的平分线交于点．其中，求的度数用表示． (3)如图3，平分外角，平分外角．试确定与的数量关系，并说明理由． 【提高题型一 三角形中旋转角度问题】 【例1】（25-26七年级下·浙江杭州·期中）一副三角板按如图所示放置，将含角的三角板固定，含角的三角板绕点旋转，保持为锐角，旋转过程中有下列结论：①；②若，则．③若，则；④若，则．其中正确的有（   ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 【例2】（25-26七年级下·湖南衡阳·阶段检测）一副三角板按如图所示放置，将含角的三角板固定，含角的三角板绕A点旋转，保持为锐角，旋转过程中有下列结论：①；②若，则．③若，则；④若，则．其中正确的有___________．（填序号） 1．（25-26七年级下·山西临汾·期末）将一副分别含角和角的直角三角板按如图所示方式摆放，，点在边上，保持点位置不动，将绕点旋转，始终保持边与边相交，则和的数量关系是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·河南郑州·阶段检测）两块不同的三角板按如图所示位置摆放，其中点C与点E重合，保持三角板不动，将三角板绕着点B按逆时针以每秒的速度旋转后停止．在此旋转过程中，当旋转时间____秒时，三角板的边与三角板的边恰好平行． 3．（25-26八年级上·江苏镇江·期末）综合性学习：长方形内的旋转与翻折 【阅读】 长方形的四个角都是直角，它们都是，且旋转或翻折之后对应的角不变（如图1）．例如，翻折到之后，，． 【理解】 （1）如图1，四边形是长方形，、的数量关系是　　　． （2）如图2，四边形是长方形，四边形是由四边形翻折而来，若是，则的度数是　　　°． 【运用】 （3）如图3，长方形、分别由长方形旋转而来，若，，则的度数是　　　°． （4）如图4，长方形，将翻折至，当时，则的度数是　　　°． （5）如图5，长方形，在中，一个锐角是．将旋转（），得到，点和点的对应点分别是和，若，旋转角是　　　°． 【提高题型二 三角形内角和定理的角度计算问题】 【例1】（2026·江苏扬州·模拟预测）如图，在中，，，平分交于点，，交于点，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【例2】（2026·湖南长沙·一模）如图，，的顶点F，G分别落在直线，上，交于点H，平分，若，，则________． 1．（25-26七年级下·辽宁葫芦岛·期末）如图，将一个含角的直角三角板的直角顶点C放在直尺的两边，之间，则下列结论中：①；②：；③；④若，则．其中正确结论的个数是（    ）．      A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，，于点，延长、交于点，连接，若平分，，，则的度数为___． 3．（25-26七年级下·福建泉州·期中）如图1，与的斜边在同一直线上，，，平分，将绕点按逆时针方向旋转，记为，在旋转过程中， (1)如图1， _______， _______； (2)如图2，当为多少度时，与平行； (3)如图3，当顶点在内部时（不包含边界），边、分别交，的延长线于点、，使得，求的度数范围． 【提高题型三 三角形内角和的综合应用】 【例1】（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）如图是一辆变速自行车的实物图，图是抽象出来的部分示意图，已知直线与相交于点，，，，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·天津河东·期末）如图1光线照射到镜面会产生反射现象，当光线从入射到平面镜上时沿反射出去，其中经过入射点且垂直于反射面的直线称为法线，根据光线反射规律可以得到． （I）若，则________度； （II）如图2，，为两面有一定夹角的平面镜，当光线平行于镜面入射时，在点、、处经过三次平面镜反射后沿射出，若，________度． 1．（25-26七年级下·福建宁德·期中）将一块直角三角板按如图所示的位置摆放，，，，点在上，点在上，则下列结论错误的是（   ）． A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·江苏泰州·阶段检测）如图，线段和线段交于点，连、，，，、分别交，于、；则、、之间数量关系是____________ 3．（25-26七年级下·福建福州·期末）如图，，且，是的角平分线，是的高． (1)求的度数． (2)求的度数． 1．（25-26六年级上·广西防城港·期中）李想同学想知道三角形内角和的度数，下面拼法中正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·安徽淮南·期中）如图，中，，的两条角平分线交于点，的度数是（） A． B． C．° D． 3．（25-26七年级下·河南周口·期末）一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力G方向的夹角的度数为（     ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·四川眉山·期末）如图，在中，，于点，是角平分线，延长交的外角的平分线于点，为上一点，且，则下列结论： ①；②；③；④，其中正确的是（     ） A．②③ B．①②③ C．①④ D．①②③④ 5．（25-26七年级下·山东泰安·期末）在三角形纸片中，，点为边上靠近点处一定点，点为边上一动点，沿折叠三角形纸片，点落在点处． ①如图1，当点落在边上时，； ②如图2，当点落在内部时，； ③如图3，当点落在上方时，； ④当时，或，以上结论正确的个数是（  ）    A．1 B．2 C．3 D．4 6．（25-26八年级上·辽宁朝阳·期末）如图，已知，，，则的度数为__________． 7．（25-26八年级上·上海·阶段检测）如图，中于D，于E，则与的关系是________ 8．（2026·河北保定·三模）如图，写出图中比大的角：________．（写出一个即可） 9．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期中）在中，，点，分别是，边两个动点．将沿折叠得到，点的对应点为点，的平分线交直线于点．若边与的一条边平行，，则的度数为______． 10．（25-26七年级下·河南周口·期中）在中，若存在一个内角是另外一个内角度数的（为大于1的正整数）倍，则称为“倍角三角形”．例如，在中，，，，可知，所以为“倍角三角形”．如图，直线直线于点，点，分别在射线，上，点在的延长线上．已知，的平分线分别与的平分线所在的直线交于点，．若为“倍角三角形”，则的度数为_____________． 11．（25-26七年级下·全国·课后作业）你在小学学习时是如何探索三角形内角和的？本节你探索三角形内角和的方法与在小学学习的方法有什么不同？ 12．（25-26七年级下·江苏淮安·阶段检测）如图中，，点D在边上，，若，求的度数． 13．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，将沿，，翻折，三个顶点均落在点O处，若，求的度数．    14．（25-26八年级上·江苏南京·期中）已知． (1)如图①，当时，请判断与之间的位置关系，并说明理由； (2)如图②，若，求的度数． 15．（25-26七年级下·吉林长春·期中）结合图形，解答下列各题： 【问题】 (1)如图，在中，平分，平分．若，则_____； 【探究】 (2)如图，在中，平分，平分．试猜想和有怎样的关系，并说明理由； 【应用】 (3)如图，在中，，三等分，，三等分，若，则_____． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 三角形的内角与外角重难点题型专训（3个知识点+8大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、三角形内角和定理的证明 1 题型二、与平行线有关的三角形内角和问题 2 题型三、与角平分线有关的三角形内角和问题 3 题型四、三角形折叠中的角度问题 4 题型五、三角形内角和定理的应用 5 题型六、直角三角形的两个锐角互余 6 题型七、锐角互余的三角形是直角三角形 7 题型八、三角形的外角的定义及性质 8 第二部分·练提高题型 题型一、三角形中旋转角度问题 1 题型二、三角形内角和定理的角度计算问题 2 题型三、三角形内角和的综合应用 3 第三部分・自我检测 知识点01 三角形的内角和 1.三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°. 如图，在中，． 注意：三角形内角和定理适用于所有三角形，三角形最多有三个锐角，最多有一个钝角，最多有一个直角. 2.三角形的内角和定理证明：主要运用平行线的性质，将三个内角“转移”集中到一个顶点处,合并成一个角,再说明这个角是平角即可. 【即时训练】 1．（25-26七年级下·河北保定·期中）下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能判断三角形的类型的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】三角形按角分类的定义（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形），结合图形中露出的角的特征进行判断即可． 【详解】解：A、图中漏出的两个角均为锐角，且两角的度数之和大于90度，则该三角形是锐角三角形，故此选项不符合题意； B、漏出的那个角是钝角，则该三角形是钝角三角形，故此选项不符合题意； C、漏出的那个角是直角，则该三角形是直角三角形，故此选项不符合题意； D、漏出的那个角是锐角，无法确定其他两个角的度数，则无法判断该三角形的类型，故此选项符合题意． 2．（25-26七年级下·上海宝山·阶段检测）如图，已知中，，那么_________． 【答案】270 【分析】根据三角形内角和定理求出 的度数，再根据邻补角的定义即可求解． 【详解】∵在 中，， ， 由图可知， 与 互为邻补角， 与 互为邻补角， ，， ． 知识点02 直角三角形的性质及判定 1.性质：直角三角形的两个锐角互余. 表示：直角三角形可以用符号“Rt△”表示,直角三角形ABC可以写成Rt△ABC. 2.判定：有两个角互余的三角形是直角三角形. 【即时训练】 1．（25-26八年级上·云南昭通·阶段检测）在中，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】已知直角和的度数，用减去的度数即可求出的度数． 【详解】∵在中，， ∴． 2．（25-26七年级下·山西长治·期末）如图，在中，是斜边上的高，，则为________． 【答案】35 【分析】根据直角三角形两锐角互余，结合同角的余角相等可得． 【详解】解：∵在中，是斜边上的高， ∴， ∴， ∴． 知识点03 三角形的外角 1.定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角,叫做三角形的外角.如图，∠ACD是△ABC的一个外角. 2.性质： ①三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； 求证：∠ACD=∠A+∠B； 证明：∵∠A+∠B+∠ACB=180°；∴∠A+∠B=180°－∠ACB=∠ACD. ②三角形的一个外角大于任意一个和它不相邻的内角； 如图：∵∠ACD=∠A+∠B；∴∠ACD>∠A；∠ACD>∠B. ③三角形的外角和等于360°． 求证：∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°； 证明：∵∠BAE=∠2+∠3；∠CBF=∠1+∠3；∠ACD=∠1+∠2； ∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=2（∠1+∠2+∠3）=2×180°=360°. 【即时训练】 1．（25-26八年级下·广东河源·阶段检测）如图，是的一个外角，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：∵是的一个外角，，， ∴． 2．（25-26八年级上·安徽安庆·期末）如图，，，则的度数为 ．（用含，的式子表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的外角的性质，根据三角形的外角的性质可得，则可推出，据此可得答案． 【详解】解：如图所示， 由三角形的外角的性质可得， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 【基础题型一 三角形内角和定理的证明】 【例1】（2026·山西吕梁·二模）在探究证明“三角形的内角和是180°”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是180°”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据“直角三角形两锐角互余”是由三角形内角和定理推导的判断即可． 【详解】解：∵“直角三角形两锐角互余” 是由三角形内角和定理推导的 即，作后，利用直角三角形两锐角互余得到三角形内角和是180°的证明方法不正确， 故选：C． 【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，要证明三角形的内角和等于180°即三角形三个内角的和是平角，就要作辅助线，使得三角形的三个内角的和转化成组成平角的三个角之和． 【例2】（25-26八年级上·全国·课堂例题）如图，折叠一张三角形纸片，把三角形三个角拼在一起，就能验证一个几何定理．请写出这个定理的名称：__________．    【答案】三角形内角和定理 【分析】根据折叠前后的两个角相等，把三角形的三个角转化为一个平角，可以得到三角形内角和定理． 【详解】解：根据折叠的性质，，      ∵， ∴， ∴定理为：三角形内角和定理． 故答案为：三角形内角和定理． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理的证明，熟练掌握翻折变换的性质是解题的关键． 1．（25-26八年级上·河北邢台·期末）下列证明“三角形的内角和等于180°”所作的辅助线不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是平行线的判定和性质，三角形内角和，根据平行线性质对各选项进行逐一分析即可．熟知平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：A、作，则可得， ，故该选项不符合题意； B、作，则可得， ，故该选项不符合题意； C、如图，过点作， ， 则可得，，， ， 故该选项不符合题意， D、添加图中辅助线不能说明“三角形的内角和等于180°”，故该选项符合题意， 故选：D． 2．（25-26七年级下·河北沧州·阶段检测）如图，，，为三角形的内角，求：_______． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理的证明，过点作，可得，，结合，即可求解． 【详解】解：如图，过点作， ， ，， ， ， 故答案为：． 3．（25-26七年级下·河南郑州·期末）【探究学习】小学阶段，我们可以通过“拼”角、“折”角，观察得到三角形内角和为，现在我们学习了平行线的性质，就可以证明此结论的正确性了． (1)如图1，过的顶点作的平行线，请你证明三角形的内角和为． 证明：∵， ∴，______（依据是：______） ∵（平角的定义） ∴（等量代换） 即三角形的内角和为． 【解题反思】平行线具有“等角转化”的功能． 【迁移应用】 (2)我国一直提倡“绿色环保、低碳生活”，健康骑行越来越受到老百姓的喜欢．自行车的示意图如图，其中，请你求，，这三个角的关系； 【学以致用】 (3)如图是超市购物车，图是其侧面示意图，已知，，测量得知，，则______． 【答案】(1)；两直线平行，内错角相等；； (2) (3) 【分析】（1）根据平行线的性质，补全证明过程即可； （2）由平行线的判定和性质，可得，，等量代换即可得，，这三个角的关系； （3）作，，由平行线的性质可得，，据此计算即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：， 过点作， ∵， ∴（平行于同一直线的两条直线平行）， ∴，（两直线平行，内错角相等）， ∴（等量代换） 即； （3）解：如图，作，则， ∵， ∴， ∵， ∴， 作，则， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 【基础题型二 与平行线有关的三角形内角和问题】 【例1】（2026·内蒙古通辽·二模）如图，某同学将一块含角的直角三角板叠放在直尺上，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得，从而可得，再结合对顶角相等即可得出结果． 【详解】解：如图，标记，及点． 由题意得， ． ，， ． 【例2】（25-26七年级下·山东济南·期中）如图，四边形中，点是上一点，过点作，若，则___________°． 【答案】57 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握两直线平行同位角相等． 首先根据平行线的性质得到，，然后根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：57． 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，，，连接，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】延长交于点，根据，利用三角形和为，求得，再根据，可得出，再根据求得． 【详解】解：如图，延长交于点，   ，， ， ， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质，作出辅助线是解决本题的关键． 2．（25-26七年级下·福建福州·期中）如图，一个含的直角三角板的直角顶点在这两条平行线之间，另两个顶点均在这两条平行线的外部，设，，则x与y的数量关系为___．    【答案】 【分析】设含的直角三角板的三个顶点为，延长交于点，交于点，利用直角三角形的两个锐角互余，得到，利用平行线的性质，对顶角相等和三角形的内角和定理，通过等量代换即可得到答案． 【详解】解：如图，设含的直角三角板的三个顶点为，延长交于点，交于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ．    故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形，平行线的性质，三角形的内角和定理，对顶角的性质，作出正确的辅助线是解题的关键． 3．（25-26七年级下·四川资阳·期末）一副三角板按图1所示方式摆放，其中，，.固定三角板，将三角板绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角 (1)如图2，当时，的度数为__________； (2)当的一边与平行时，求的度数； (3)如图3，连结，当时，试判断的大小是否改变?并说明理由 【答案】(1) (2)或或 (3) 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的内角和定理，掌握平行线的性质是解题的关键． （1）根据两直线平行，内错角相等得到，然后根据角的和差解题即可； （2）分为三种情况：，，画图计算解题即可； （3）根据三角形的内角和得到,然后利用外角代入计算即可解题． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）①当时, 如图所示, ， ， 即 ， ②当时， 如图所示， 过点作， ∴， ∴， ∴，， ∴； ∴； 当时， 如图所示， 如图，则； 综上所述，的度数为或或； （3）当,, 保持不变，理由如下： 如图, 设分别交、于点,在中,, ∵, ∴， ∵, ∴. 【基础题型三 与角平分线有关的三角形内角和问题】 【例1】（25-26七年级下·河北唐山·期末）如图，中，、分别是、的平分线，，则等于（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形内角和定理可得，再由角平分线的定义可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵、分别是、的平分线， ∴，， ∴， ∴． 【例2】（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，为的角平分线，交于点E，若，，则的度数为________． 【答案】36 【分析】根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，根据三角形的内角和即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴． 1．（25-26七年级下·河南洛阳·期末）如图，在中，，，．则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形内角和定理求出的度数，再根据角平分线的定义得出，最后代入计算即可． 【详解】解：在中，， ， ，， ，， ， ． 2．（25-26七年级下·山西晋中·期末）如图，在中，，平分，若，，则________． 【答案】/42度 【分析】根据角平分线的定义，得到，求出的度数，再利用垂直的定义和三角形内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．（25-26八年级上·广西柳州·阶段检测）数学兴趣小组围绕“三角形的内角和是”，进行了一系列探究，过程如下： (1)【论证】如图1，延长至D，过点A作，就可以说明成立，即：三角形的内角和为，请完成上述说理过程； (2)【应用】如图2，在中，的平分线与的角平分线交于点P，过点A作，M在射线上，且，的延长线与的延长线交于点D． ①______； ②设，请用的代数式表示； (3)【拓展】如图3，中，，，过点A作，直线与相交于A点右侧的点P，．绕点A以每秒的速度顺时针方向旋转，同时绕点P以每秒的速度顺时针方向旋转，与重合时再绕着点P以原速度逆时针方向旋转，当旋转一周时，运动全部停止，设运动时间为t秒，在旋转过程中，是否存在某一时刻，使得？若存在，求t的值：若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明：延长至D，过点A作， ∴， ∵， ∴， 即三角形的内角和为； (2)①；② (3)t的值为15秒或秒． 【分析】（1）利用平行线的性质以及平角的性质即可证明； （2）①利用平行线的性质以及角平分线的定义求得，再推出，再利用平角的性质即可求解； ②在中，，由三角形的外角性质推出，结合①的结论即可求解． （3）当旋转一周时，运动全部停止，求得总时间为30秒，与重合时间为15秒，分情况讨论，求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴； ②∵是的角平分线， ∴， 在中，， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即； （3）解：∵当旋转一周运动停止， ∴总时间（秒）， 当与重合时，重合时间为秒， 当秒时，旋转了， 此时，即； 当与重合后，绕着点P逆时针方向旋转过程中，时，如图，， ∵， ∴， 整理得， 解得， 综上，t的值为15秒或秒． 【基础题型四 三角形折叠中的角度问题】 【例1】（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图，将沿着折叠，使点与点重合，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理． 根据三角形内角和定理求出，根据折叠的性质得到，即可求出的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵将沿着折叠，使点与点重合， ∴， ∴． 故选：A． 【例2】（25-26七年级下·河南周口·期末）如图，将长方形纸片依次折叠两次：第一次以为折痕，使点A落在上的点E处；第二次以为折痕，使点N与点E重合，点B落在点处．若，则的度数为______． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内角和性质，平行线的性质．先由折叠得，，，结合平行线的性质列式，解得，由三角形的内角和性质，得，即可作答． 【详解】解：如图所示： ∵将长方形纸片依次折叠两次：第一次以为折痕，使点A落在上的点E处， ∴，，， ∵第二次以为折痕，使点N与点E重合，点B落在点处． ∴，，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得， 在中，， ∴， 解得， 故答案为：． 1．（25-26七年级下·河南南阳·阶段检测）将一个直角三角形纸片，沿线段折叠，使点落在处，若，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，利用平行线性质和折叠性质证得，结合直角三角形两锐角互余构建方程求解． 【详解】解：设． ， ． 由折叠性质知，． ． ． ． ， ． 在中，， ，即， 解得． ，故C正确． ，故B错误．． ． ，故D错误． ，故A错误． 2．（25-26七年级下·陕西宝鸡·期末）如图，长方形纸片中，为边上一点，将纸片沿，折叠，点落在点的位置，点落在点的位置（点在点右侧）．若，则__________． 【答案】/度 【分析】设，，用两种方法表示，求出的值，进而解题． 【详解】解：设，， 则，， ∵， ∴，， ∵， ， ∴， 化简得， ∴． 3．（25-26七年级下·吉林长春·期中）以下是华师版数学七下的部分内容． 如图，在中，．，平分，平分，求的度数． 解：平分（已知）， ， 同理可得___________． （___________）， （等式的性质）___________． (1)对于上述问题，请你在解答过程的空白处填上适当的内容（填数学理由或数学式）． (2)【拓展延伸】如图1，在中，的平分线交于点，将沿折叠，使得点与点重合，若，求的度数； (3)如图2，在中，角平分线交于点，，交边于点，点在的延长线上，作的平分线交的延长线于点．若，则_______． 【答案】(1)；三角形内角和定理； (2) (3) 【分析】（1）根据三角形内角和定理和角平分线的定义求解即可； （2）先由折叠的性质和平角的定义得到，进而求出，同（1）即可得到答案； （3）根据角平分线得到，，进而可知，即可求出，根据得到，根据三角形内角和即可得解． 【详解】（1）解：∵平分（已知）， ∴． 同理可得． ∵（三角形内角和定理）， ∴（等式的性质） ． （2）由折叠的性质可得，， ，，， ， ， ， ， ， 平分，平分， ，， ， 即， ； （3）∵是角平分线，是角平分线 ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【基础题型五 三角形内角和定理的应用】 【例1】（26-27八年级上·广西南宁·期中）一个三角形三个内角度数的比是，这个三角形是（     ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断 【答案】B 【分析】三角形按角分类由最大角的度数决定，需先结合内角和与角度比求出最大角的度数． 【详解】解：∵ 三角形内角和为，三个内角度数的比为． ∴最大角的度数为． ∴这个三角形是直角三角形． 【例2】（2026·四川宜宾·模拟预测）如图所示，有一块含有角的直角三角板的一个顶点放在直尺的一条边上．如果，那么的度数是_________． 【答案】 【分析】根据两直线平行内错角相等和直角三角板的特点即可求解． 【详解】解：根据题意可知，， ∴， ∵， ∴， ∴． 1．（25-26七年级下·河南南阳·阶段检测）如图，点，分别在的边，上，将沿折叠，使点恰好落在边上处，已知，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据可以求出，根据折叠的性质可以求出，利用三角形的内角和定理即可求出． 【详解】解：， ， 由折叠可知，， ， 在中， ． 2．（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，妍妍在走廊上看到一个“安全出口”标志，她从中抽象出这样一个数学图形，其中，，若，，，则的度数为_________． 【答案】/80度 【分析】由得，再由三角形内角和为可得，由，得，即可求解． 【详解】解：延长交于点， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴． 3．（2026七年级下·甘肃酒泉·模拟预测）已知，点M在直线上，点N、Q在直线上，点P在直线之间，，平分． (1)如图1，求的度数（用含α的式子表示）； (2)如图2，过点Q作交的延长线于点E，过E作平分交于点F．请你判断与的位置关系，并说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，若平分，请你判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)解：，理由如下： 由（1）知，， ∵平分， ∴， 即， ， ． 平分， ． ∴在中，， ∴， ． (3)解：．理由如下： 由（1）知，， ∵平分， ∴, ， ∴． ∵， ∴， 平分， ． ∵， ∴， ∴， 由（2）知，， ∴， ∴． ∵， ∴． 【分析】（1）过点P作平行线平行于，因为，所以所作平行线也平行于，利用平行线的内错角相等性质，结合已知，即可得到的表达式． （2）由角平分线定义可得与的关系，由，利用平行线的同旁内角互补性质，得到与的数量关系；结合平分，以及（1）中得到的的数值，推导中两个角的和，进而判断与的位置关系． （3）由平行线性质和，可得，根据平行线性质和角平分线定义可得，根据三角形内角和定理得，由直角三角形两锐角关系得，即可求出的度数表达式，和的度数表达式 比较，即可得与的关系． 【详解】（1）解：如图①，过点P作， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）略 （3）略 【基础题型六 直角三角形的两个锐角互余】 【例1】（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期中）直角三角形的一个锐角的度数为，则另一个锐角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余． 直角三角形两锐角互余，即和为． 【详解】解：∵直角三角形中，两锐角之和为，且已知一个锐角为， ∴另一个锐角． 故选：B． 【例2】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，是斜边上的高线，，则______ °． 【答案】30 【分析】本题考查的是直角三角形的性质； 依题意得，易求，又因为是斜边上的高线，运用三角形内角和定理即可求出． 【详解】解：， ， 是斜边上的高线， ， ， 故答案为：30． 1．（2026·宁夏吴忠·模拟预测）将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图， 根据三角板的度数可知：，， ． 2．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测）将一副直角三角尺按如图1方式叠放，点D，B，A在同一直线上（，，，），若将含的三角尺绕顶点A顺时针旋转一周，使两块三角尺至少有一组边互相平行，直接写出符合条件的的度数为________．    【答案】或或或或或． 【分析】此题考查了直角三角形两锐角互余，平行线的性质， 根据题意分情况讨论，然后利用直角三角形两锐角互余和平行线的性质求解即可． 【详解】如图所示，当时，    ∴ ∴ ∴； 如图所示，当时，    ∴； 如图所示，当时，    ∴； 如图所示，当时，    ∴ ∴； 如图所示，当时，    ∴ ∴； 如图所示，当时，    ∴ ∴； 综上所述，的度数为或或或或或． 故答案为：或或或或或． 3．（25-26七年级下·陕西汉中·期末）如图，直线，连接、交于点，点、分别在线段、上，连接并延长至点，． (1)与平行吗？为什么？ (2)若，，求的度数． 【答案】(1)，理由如下： 因为， 所以， 因为， 所以， 所以． (2) 【分析】（1）由得到，结合，得到，即可得证结论； （2）由垂直的定义得到，则，根据邻补角互补求出，从而根据平行线的性质求出，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：因为， 所以， 所以， 因为， 所以， 因为， 所以， 所以． 【基础题型七 锐角互余的三角形是直角三角形】 【例1】（2025八年级上·全国·专题练习）下列条件不能判定是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形的判定． 由三角形的内角和定理，结合直角三角形的判定方法，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：选项A： ∵，且， ∴ ， ∴， ∴是直角三角形， 故选项A不符合题意； 选项B： ∵，，， ∴中最大的角为， ∴不是直角三角形， 故选项B符合题意； 选项C： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴是直角三角形， 故选项C不符合题意； 选项D： ∵， ∴， 又∵， ∴ ， ∴， ∴是直角三角形， 故选项D不符合题意． 故选：B． 【例2】（2025八年级上·全国·专题练习）在中，若，则___________；若，则___________，此时是___________三角形． 【答案】 直角 【分析】本题考查直角三角形的判定．由三角形的内角和定理，结合已知可得，即可判断三角形的类型． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴在中，若，则， ∵在中，， ∴， ∴当时，是直角三角形． 故答案为：；；直角． 1．（25-26八年级上·河南新乡·阶段检测）具备下列条件的中，不是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别进行变形结合，进行逐一求解，即可判断． 【详解】解：A.， ， ， ， 解得：，，， 不是直角三角形，故符合题意； B. ， ， ， ， 解得：， 是直角三角形，故不符合题意； C.， 设，，， ， ， 解得：， ， 是直角三角形，故不符合题意； D.， ，， ， ， 解得：，，， 是直角三角形，故不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了直角三角形的判定，三角形内角和定理，掌握定理是解题的关键． 2．（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，在中，，、分别在、上，连接，若，则是________三角形． 【答案】直角 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理和直角三角形的判定，掌握这些是解题的关键． 根据三角形内角和定理得到，进而等量代换得到，进一步推出，由此可得结论． 【详解】解：在中，， ， ， ， ， 是直角三角形． 故答案为：直角． 3．（25-26八年级上·吉林白城·期末）如图，，垂足为，是线段上一点，交于，．求证：是直角三角形． 【答案】 证明：， ， ，， ，， ，， ， 是直角三角形． 【分析】本题考查了三角形内角和以及直角三角形的判定，用三角形的内角和求得即可． 【详解】略 【基础题型八 三角形的外角的定义及性质】 【例1】（25-26七年级下·山西临汾·期末）如图，在中，，，则的外角的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵在中，，， ∴的外角的度数为． 【例2】（25-26八年级上·北京·期末）如图，点D是延长线上一点，若，，则________． 【答案】103 【分析】此题重点考查三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，正确理解和应用三角形内角和定理及其推论是解题的关键． 由点D是延长线上一点，，，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，求得，即可得出的度数． 【详解】解：∵在中，点D是延长线上一点， ， ，， ， 故答案为：103． 1．（25-26七年级下·江苏南通·期末）如图，已知，，平分，且，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】延长交于点，根据平行得到，，，再由角平分线得到， 根据三角形外角的性质求出即可． 【详解】解：延长交于点， ∵ ∴，，， ∵平分， ∴ ∴， ∴ ∵ ∴ ∴． 2．（25-26八年级下·宁夏银川·期中）如图在中点DE分别在边AB和AC上点是BC延长线上的一点若，则_______°． 【答案】 【分析】根据平行线的性质求出 的度数再利用三角形外角的性质求出 的度数． 【详解】解：， ， 是 的外角， ， ， ． 3．（25-26七年级下·河南南阳·阶段检测）综合与实践 (1)如图1，在中，与的平分线交于点，若，则_____． (2)如图2，的内角的平分线与的外角的平分线交于点．其中，求的度数用表示． (3)如图3，平分外角，平分外角．试确定与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)解：结论：；理由如下： ∵平分外角，平分外角， ，， ． 【分析】（1）根据角平分线的定义得出，，根据三角形内角和定理求出结果即可； （2）根据角平分线的定义和三角形外角的性质，得出，即可得出答案； （3）根据三角形外角的性质和角平分线的定义，求出，，再根据三角形内角和定理求出结果即可． 【详解】（1）解：∵、分别平分和， ∴，（角平分线的定义）， ∵（三角形内角和定理）， ∴ ． 故答案为：； （2）解：∵是的平分线，是的平分线， ∴，， ∵是的外角，是的外角， ∴，， ∴， 即， ∴； （3）略 【提高题型一 三角形中旋转角度问题】 【例1】（25-26七年级下·浙江杭州·期中）一副三角板按如图所示放置，将含角的三角板固定，含角的三角板绕点旋转，保持为锐角，旋转过程中有下列结论：①；②若，则．③若，则；④若，则．其中正确的有（   ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，平行线的判定与性质，熟练的利用数形结合的方法解决问题是解本题的关键．由同角的余角相等可判断①，求解从而可判断②，证明可判断③，画好的示意图，证明可判断④，从而可得答案． 【详解】解：由题意可得：， ，故①符合题意； 如图，，， ， ， 与不平行，故②不符合题意； ，， ， ∴，故③符合题意； 如图，当时， ， ， ， ， ，故④符合题意； 故选：B． 【例2】（25-26七年级下·湖南衡阳·阶段检测）一副三角板按如图所示放置，将含角的三角板固定，含角的三角板绕A点旋转，保持为锐角，旋转过程中有下列结论：①；②若，则．③若，则；④若，则．其中正确的有___________．（填序号） 【答案】①③④ 【分析】由同角的余角相等可判断①，求解从而可判断②，证明可判断③，画好的示意图，证明可判断④，从而可得答案． 【详解】解：由题意可得：， ∴，故①符合题意； 如图，∵，， ∴， ∴， ∴与不平行，故②不符合题意； ∵，， ∴， ∴，故③符合题意； 如图，∵， ∴， ∴，而， ∴， ∴，故④符合题意； 故答案为：①③④ 【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，平行线的判定与性质，熟练的利用数形结合的方法解决问题是解本题的关键． 1．（25-26七年级下·山西临汾·期末）将一副分别含角和角的直角三角板按如图所示方式摆放，，点在边上，保持点位置不动，将绕点旋转，始终保持边与边相交，则和的数量关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平角的定义可得：，根据直角三角形的两个锐角互余，可得：． 【详解】解：如下图所示，在中，，， ， ， ， ， ， ， ． 2．（25-26七年级下·河南郑州·阶段检测）两块不同的三角板按如图所示位置摆放，其中点C与点E重合，保持三角板不动，将三角板绕着点B按逆时针以每秒的速度旋转后停止．在此旋转过程中，当旋转时间____秒时，三角板的边与三角板的边恰好平行． 【答案】2或14 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，注意分类讨论是解题的关键． 根据题意分两种情况讨论：①当第一次平行于时；②当第二次平行于时，画出图形，根据平行线的性质以及三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：如图所示：当第一次平行于时， ∵， ∴， ∴（秒）； 如图所示：当第二次平行于时， ∵， ∴， ∴旋转了， ∴（秒）； 综上，旋转时间或秒时，三角板的边与三角板的边恰好平行 故答案为：2或14． 3．（25-26八年级上·江苏镇江·期末）综合性学习：长方形内的旋转与翻折 【阅读】 长方形的四个角都是直角，它们都是，且旋转或翻折之后对应的角不变（如图1）．例如，翻折到之后，，． 【理解】 （1）如图1，四边形是长方形，、的数量关系是　　　． （2）如图2，四边形是长方形，四边形是由四边形翻折而来，若是，则的度数是　　　°． 【运用】 （3）如图3，长方形、分别由长方形旋转而来，若，，则的度数是　　　°． （4）如图4，长方形，将翻折至，当时，则的度数是　　　°． （5）如图5，长方形，在中，一个锐角是．将旋转（），得到，点和点的对应点分别是和，若，旋转角是　　　°． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5） 【分析】本题主要考查了理由余角和补角、三角形内角和求角的度数，根据折叠、旋转性质，结合图形得出角的关系（相等、互余、互补等）是解题关键． （1）根据可得，，进而由平角的定义可得，由此得出，结合即可得出结论； （2）由折叠可知，根据周角的定义和，可求，在由邻补角求出的度数； （3）先根据同角的余角相等证明，进而由即可求解； （4）先折叠可以证明，进而可得：，再由，可得，结合已知解方程即可求出； （5）由旋转可知：，，分两种情况：当在内时，，当在内时，，结合求解即可． 【详解】解：（1）如图： ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，即， ∴， （2）由折叠可知：， ∵，， ∴， ∴； （3）∵长方形、， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， （4）由翻折可知：，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴ 又∵， ∴，即， 又∵， ∴． （5）∵长方形，在中，一个锐角是． ∴， 由旋转可知：，， 当在内时，， 又∵，即， ∴，解得， 当在内时，， ∴，解得（不合题意舍去）， 综上可得：旋转角是． 【提高题型二 三角形内角和定理的角度计算问题】 【例1】（2026·江苏扬州·模拟预测）如图，在中，，，平分交于点，，交于点，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由三角形内角和定理求出的度数，再由角平分线的定义得到的度数，最后根据平行线的性质可得答案． 【详解】解：在中，，， ， 平分， ， ， ． 【例2】（2026·湖南长沙·一模）如图，，的顶点F，G分别落在直线，上，交于点H，平分，若，，则________． 【答案】/40度 【分析】由，可得，利用平行线与角平分线可得，可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 1．（25-26七年级下·辽宁葫芦岛·期末）如图，将一个含角的直角三角板的直角顶点C放在直尺的两边，之间，则下列结论中：①；②：；③；④若，则．其中正确结论的个数是（    ）．      A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】过C点作，根据平行线的性质，对顶角相等，三角形内角和定理以及三角板的特点即可作答． 【详解】解：过C点作，如图，      结合图形，根据含角的直角三角板的特点可知：，，， 根据题意有：， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵（对顶角相等）， ∴， 若 ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故正确的有：②③④，即正确的有3个； 故选：C． 【点睛】本题主要考查的是平行线的性质，熟记平行线的性质是解本题的关键． 2．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，，于点，延长、交于点，连接，若平分，，，则的度数为___． 【答案】/度 【分析】设，，根据已知和角平分线的定义可得，，然后利用平行线的性质可得，，再根据垂直定义可得，从而利用三角形的内角和是可得，进而求出，最后利用角的和差关系进行计算即可解答． 【详解】解：设，， ， ， 平分， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，垂线，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 3．（25-26七年级下·福建泉州·期中）如图1，与的斜边在同一直线上，，，平分，将绕点按逆时针方向旋转，记为，在旋转过程中， (1)如图1， _______， _______； (2)如图2，当为多少度时，与平行； (3)如图3，当顶点在内部时（不包含边界），边、分别交，的延长线于点、，使得，求的度数范围． 【答案】(1)， (2)当时， (3) 【分析】（1）在中，根据三角形的内角和可求出，由角平分线的定义可得，再根据三角形的内角和即可求出； （2）把当作已知条件，利用平行线的性质和三角形的内角和定理即可求解； （3）先求出，当点在边上时，，当点在边上时，，再根据，，列不等式求解即可． 【详解】（1）解：在中，，， ， 平分， ， ， ， 故答案为：，； （2）当时， ， ，，， ， ， ， 当时，； （3）是的外角，， ， 在中，， ， ， 如图，连接， 在中，， ， ， 在中， ， 即， ， ，平分， ，， ， 当点在边上时，， 解得：， 当点在边上时，， 当顶点在内部时，； ，， ， ， ，即， ， ， 解得：， 的范围是． 【点睛】本题考查了平行线的性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理，不等式等知识，合理选择三角形后利用三角形内角和定理列等量关系是解决问题的关键． 【提高题型三 三角形内角和的综合应用】 【例1】（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）如图是一辆变速自行车的实物图，图是抽象出来的部分示意图，已知直线与相交于点，，，，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由邻补角定义求出，再由三角形内角和定理求出，最后由平行线性质求解即可． 【详解】解：， ， 在中，，，则， ， ． 【例2】（25-26七年级下·天津河东·期末）如图1光线照射到镜面会产生反射现象，当光线从入射到平面镜上时沿反射出去，其中经过入射点且垂直于反射面的直线称为法线，根据光线反射规律可以得到． （I）若，则________度； （II）如图2，，为两面有一定夹角的平面镜，当光线平行于镜面入射时，在点、、处经过三次平面镜反射后沿射出，若，________度． 【答案】 【分析】（I）利用互余关系求出的度数，即可得出结果； （II）设，根据反射规律，平行线的性质，三角形的内角和定理推出，进行求解即可. 【详解】解：（I）由题意，， ∴， ∴； （II）设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， 即. 1．（25-26七年级下·福建宁德·期中）将一块直角三角板按如图所示的位置摆放，，，，点在上，点在上，则下列结论错误的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平行线的性质与三角形内角和定理，通过过拐点作平行线，推导各角之间的数量关系，逐一判断选项正误． 【详解】过点作， 选项A、，， ，， 与 不一定相等，仅 ，A 错误； 在中，，， ，； 选项B、 ， ，B正确； 选项C、，C 正确； 选项D、，D 正确． 2．（25-26七年级下·江苏泰州·阶段检测）如图，线段和线段交于点，连、，，，、分别交，于、；则、、之间数量关系是____________ 【答案】 【分析】根据三角形内角和定理和对顶角相等即可列出等式求解. 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即：. 3．（25-26七年级下·福建福州·期末）如图，，且，是的角平分线，是的高． (1)求的度数． (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，由三角形内角和定理可得，解方程即可得到答案； （2）由角平分线的定义得到，由三角形的高的定义得到，据此求出的度数即可得到答案． 【详解】（1）解：设， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵是的角平分线， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∴． 1．（25-26六年级上·广西防城港·期中）李想同学想知道三角形内角和的度数，下面拼法中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将三角形三个内角拼在一起，若顶点重合、相邻边重合且组成平角，则验证了内角和为． 【详解】解：验证三角形内角和，需将三个内角拼在一起组成平角， ∵平角等于， ∴ 正确的拼法应使三个角的顶点重合，相邻边重合，且三个角之和构成平角， A选项拼法中角未紧密拼接，错误，该选项不符合题意； B选项拼法中边未重合，错误，该选项不符合题意； C选项拼法中角未构成平角，错误，该选项不符合题意； D选项拼法中三个角顶点重合，相邻边重合，构成平角，正确，该选项符合题意． 2．（25-26八年级上·安徽淮南·期中）如图，中，，的两条角平分线交于点，的度数是（） A． B． C．° D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线定义等知识；灵活运用三角形的内角和定理及角平分线定义是解题的关键． 运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出，进而求出即可解决问题． 【详解】解：如图， ∵在中，°，且， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴． 故选A． 3．（25-26七年级下·河南周口·期末）一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力G方向的夹角的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由平行线的性质及三角形内角和的性质即可求解． 【详解】解：如图，∵摩擦力的方向与斜面平行， ∴， ∵重力G的方向竖直向下， ∴重力G的方向与地面垂直， ∴， ∵，， ∴． 4．（25-26七年级下·四川眉山·期末）如图，在中，，于点，是角平分线，延长交的外角的平分线于点，为上一点，且，则下列结论： ①；②；③；④，其中正确的是（     ） A．②③ B．①②③ C．①④ D．①②③④ 【答案】D 【详解】解：平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ①正确； ， 又平分， ， ， ， ， ，即， ， ②、③正确； ，， ， ， ， ④正确． 5．（25-26七年级下·山东泰安·期末）在三角形纸片中，，点为边上靠近点处一定点，点为边上一动点，沿折叠三角形纸片，点落在点处． ①如图1，当点落在边上时，； ②如图2，当点落在内部时，； ③如图3，当点落在上方时，； ④当时，或，以上结论正确的个数是（  ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】该题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，综合运用相关知识是解题的关键． ①如图1，当点落在边上时，根据折叠性质和三角形外角的性质求解即可；②如图2，当点落在内部时，根据折叠性质以及平角的定义即可求解；③如图3，当点落在上方时，根据折叠性质可得，根据 即可求解；④当时，分别画出图形根据折叠性质和平行线性质求解即可； 【详解】解：①如图1，当点落在边上时， 根据折叠性质可得， ∴，故①正确； ②如图2，当点落在内部时， 根据折叠性质可得 ∴ ，故②正确； ③如图3，当点落在上方时，； 根据折叠性质可得 ∴ ，故③正确； ④当时，    ∵， ∴， ∵， ∴， 根据折叠性质可得， ∴， ∴； 当时，      ∵， ∴ ∵， ∴， 根据折叠性质可得，， ∴， ∴， ∴； 综上或；故④错误； 故选：C． 6．（25-26八年级上·辽宁朝阳·期末）如图，已知，，，则的度数为__________． 【答案】/度 【分析】根据平角的定义得出，根据三角形内角和得到，再根据平行线的性质即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为． 【点睛】此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键． 7．（25-26八年级上·上海·阶段检测）如图，中于D，于E，则与的关系是________ 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握直角三角形的两个锐角互余是解题关键．根据直角三角形的两个锐角互余可得，，由此即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 8．（2026·河北保定·三模）如图，写出图中比大的角：________．（写出一个即可） 【答案】 （或 或 或 ） 【分析】根据三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角及对顶角相等即可得出答案． 【详解】解：∵是的一个外角， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∵与是对顶角， ∴， 综上，图中比大的角为或 或 或 ．（写出一个即可） 9．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期中）在中，，点，分别是，边两个动点．将沿折叠得到，点的对应点为点，的平分线交直线于点．若边与的一条边平行，，则的度数为______． 【答案】或或 【分析】本题考查了角平分线的有关计算、三角形内角和定理及平行线的性质．分三种情况，分别作出三种情况下相应图形，并结合平行线的性质求出即可． 【详解】解：∵，， ∴， ①如下图： ∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴； ②如下图： ∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴； ③如下图： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 故答案为：或或． 10．（25-26七年级下·河南周口·期中）在中，若存在一个内角是另外一个内角度数的（为大于1的正整数）倍，则称为“倍角三角形”．例如，在中，，，，可知，所以为“倍角三角形”．如图，直线直线于点，点，分别在射线，上，点在的延长线上．已知，的平分线分别与的平分线所在的直线交于点，．若为“倍角三角形”，则的度数为_____________． 【答案】 或 【分析】首先利用角平分线性质推导的度数，确定为直角三角形，进而可得，的度数，然后根据三角形内角和定理表示出，确定的取值范围，然后根据“倍角三角形”的定义，分情况讨论直角与锐角、锐角与锐角之间的倍数关系，最后结合图形几何性质确定的取值范围，筛选出符合题意的解． 【详解】平分，平分， ，， ， ， 是直角三角形， ， ， 直线平分， ， 点在射线上， ， 在中，， ， ， 为“倍角三角形”，且， 分以下情况讨论： 当直角是锐角的倍时， 若， ，解得，此时，符合题意； 若， 则， 解得， ，此时，不符合题意，舍去； 当一个锐角是另一个锐角的倍时， 若， ， ， 解得， 此时，符合题意； 若， 则， 解得，此时，不符合题意，舍去； 综上所述，的度数为或． 11．（25-26七年级下·全国·课后作业）你在小学学习时是如何探索三角形内角和的？本节你探索三角形内角和的方法与在小学学习的方法有什么不同？ 【答案】小学多通过测量内角求和、剪拼内角的方法探索得到三角形内角和约为，初中通过几何推理论证证明三角形内角和为；二者的核心不同点是小学以直观实验操作得到猜想性结论，初中以逻辑推理论证得到严谨结论． 【详解】略 12．（25-26七年级下·江苏淮安·阶段检测）如图中，，点D在边上，，若，求的度数． 【答案】 【分析】先由平行线的性质求出的度数，再根据三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的性质及三角形的内角和定理，掌握平行线的性质是解决问题的关键． 13．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，将沿，，翻折，三个顶点均落在点O处，若，求的度数．    【答案】 【分析】根据翻折的性质及三角形内角和定理可得，从而求得，最后求得． 【详解】解：根据翻折的性质可知，，，， 又， ， ， 又， ． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，翻折的性质，通过翻折前后对应角相等进行等量代换求解是关键． 14．（25-26八年级上·江苏南京·期中）已知． (1)如图①，当时，请判断与之间的位置关系，并说明理由； (2)如图②，若，求的度数． 【答案】(1)．理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据内错角相等两直线平行可求解； （2）延长线段交于点H，由平行线的性质可求解． 【详解】（1）解：．理由如下： ， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图，延长线段交于点H， ， ． ， ． ， ， ． 15．（25-26七年级下·吉林长春·期中）结合图形，解答下列各题： 【问题】 (1)如图，在中，平分，平分．若，则_____； 【探究】 (2)如图，在中，平分，平分．试猜想和有怎样的关系，并说明理由； 【应用】 (3)如图，在中，，三等分，，三等分，若，则_____． 【答案】(1)； (2)，理由见解析； (3)． 【分析】（）根据角平分线定义和三角形的内角和解答即可； （）根据角平分线定义和三角形的内角和解答即可； （）根据三角形的内角和定理得，再由，三等分，，三等分，得到，，于是，再根据三角形的内角和定理得到的大小． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵分别平分和， ∴，， ∴ ， 故答案为：； （2）解：，理由如下， ∵，， ∴， ∵分别平分和， ∴，， ∴ ； （3）解：如图， 由三角形的内角和定理得， ∵，三等分，，三等分， ∴，， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $