专题03 二次根式的加法与减法重难点题型专训（3个知识点+8大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（人教版）

专题03二次根式的加法与减法重难点题型专训 （3个知识点+8大题型+3拓展训练+自我检测） 题型一 同类二次根式 题型二 二次根式的加减运算 题型三 二次根式的混合运算 题型四 分母有理化 题型五 二次根式的化简求值 题型六 比较二次根式的大小 题型七 复合二次根式的化简 题型八 二次根式的应用 拓展训练一 二次根式的整数部分与小数部分 拓展训练二 利用分母有理化比较大小 拓展训练三 二次根式的新定义运算 知识点一：同类二次根式 1.同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。 2.合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分配律，如 【即时训练】 1．（25-26八年级上·陕西西安·期中）下列二次根式中能与合并的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了同类二次根式，解题的关键是掌握同类二次根式的定义：化简后被开方数相同的二次根式是同类二次根式． 先化简选项中各个二次根式，然后找出被开方数为2的二次根式即可． 【详解】解：A、，被开方数是2，与是同类二次根式，能合并，符合题意； B、与不是同类二次根式，不能合并，不符合题意； C、已是最简，被开方数为，与不是同类二次根式，不能合并，不符合题意； D、，被开方数为，与不是同类二次根式，不能合并，不符合题意； 故选：A． 2．（24-25八年级下·广东阳江·期中）最简二次根式与可以合并，则 【答案】2 【分析】本题考查了同类二次根式的概念，一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式，根据同类二次根式的定义得到被开方数相同是解题的关键．因为最简二次根式与可以合并，所以它们是同类二次根式，被开方数相同，列出方程，解出m即可． 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ∴最简二次根式与是同类二次根式， ∴， ∴， 故答案为：2． 知识点二：二次根式的加减 1.二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 2.二次根式加减运算的步骤： ①化：将各个二次根式化成最简二次根式； ②找：找出化简后被开方数相同的二次根式； ③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。 【即时训练】 1．（24-25八年级下·贵州黔南·期末）计算：的结果是（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查同类二次根式的减法运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键，根据二次根式的减法运算法则计算即可得到答案． 【详解】解：， 故选：B． 2．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）计算的结果是 ． 【答案】 【分析】直接利用二次根式的加减运算法则计算得出答案． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了二次根式的加减运算，正确掌握运算法则是解题关键． 知识点三：二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号） 【即时训练】 1．（2025·河北邯郸·二模）若，则“”表示的运算符号是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的运算，解题的关键是熟练掌握二次根式运算法则，准确计算． 【详解】解：∵， ∴“”中的运算符号是． 故选：D． 2．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）已知，，则的值是 【答案】2 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握运算法则是解题的关键．把x、y的值代入，然后利用平方差公式计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：2． 【经典例题一 同类二次根式】 【例1】（24-25八年级下·全国·课后作业）下列各组根式是同类二次根式的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题考查了同类二次根式．根据同类二次根式的定义，逐项分析即可判断． 【详解】A、，故和不是同类根式，该选项不符合题意； B、，，故和是同类根式，该选项符合题意； C、，，故和不是同类根式，该选项不符合题意； D、和不是同类根式，该选项不符合题意； 故选：B． 【例2】（24-25八年级下·湖北黄冈·月考）最简二次根式与最简二次根式可以合并，则 ． 【答案】 【分析】本题考查同类二次根式的概念，根据题意，它们的被开方数相同，列出方程求解，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式． 【详解】解：二次根式与最简二次根式可以合并， ∴二次根式是同类项， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 1．（24-25八年级下·江苏淮安·期末）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查同类二次根式的识别，掌握定义是解题的关键，即：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．首先化简二次根式，然后根据同类二次根式的定义即可判定． 【详解】解：，与不是同类二次根式，故A选项不合题意； 不能化简，与不是同类二次根式，故B选项不合题意； ，与不是同类二次根式，故C选项不合题意； ，与是同类二次根式，故D选项符合题意； 故选：D． 2．（25-26九年级上·福建泉州·期中）已知最简根式与是同类二次根式，最简根式与也是同类二次根式，则的值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是同类二次根式及最简二次根式，熟知把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式是解题的关键．根据同类二次根式的定义，被开方数相等，列出方程组求解出和的值，再代入计算． 【详解】解：由题意与是同类二次根式， 故； 与是同类二次根式，故． 得方程组： 化简得： 解得：，， 代入． 故答案为：． 3．（24-25八年级下·云南昆明·月考）已知最简二次根式与是同类二次根式． (1)求出a的值； (2)若，化简． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，化简二次根式： （1）被开方数相同的最简二次根式叫做同类二次根式，据此得到，则； （2）根据（1）所求得到，据此化简二次根式即可得到答案． 【详解】（1）解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴ ． 【经典例题二 二次根式的加减运算】 【例1】（24-25八年级下·陕西商洛·期末）下列运算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式运算法则计算，逐一验证即可． 【详解】A．，运算正确，不符合题意； B．，运算正确，不符合题意； C．，运算正确，不符合题意； D．，但原式结果为2，显然错误，符合题意． 故选：D． 【例2】（2025八年级下·全国·专题练习）计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的加减法，二次根式的性质与化简，熟练掌握运算法则是解题的关键； 先根据二次根式的性质化简，再根据二次根式的加减法法则计算即可； 【详解】解：， 故答案为：. 1．（24-25八年级下·河南安阳·月考）若，则a和b的值不可能是（   ） A． B．， C．， D． 【答案】D 【分析】本题主要考查实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则进行求解即可． 【详解】解：，故选项A不符合题意； ，故选项B不符合题意； ，故选项C不符合题意； ，故选项D符合题意； 故选D． 2．（24-25八年级上·湖南郴州·期末）若最简二次根式与可以合并，则 ， ． 【答案】 1 1 【分析】本题考查合并同类二次根式，根据题意，最简二次根式与为同类二次根式，列出方程组，进行求解即可． 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ∴与为同类二次根式， ∴，解得：， 故答案为：1，1 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）在计算时，小敏的解题过程如下： 解：原式  第一步   第二步     第三步 ．  第四步 (1)小敏从第________步开始出现错误． (2)正确的答案是______________． 【答案】(1)二 (2) 【分析】本题考查的是二次根式的加减法，熟知二次根式的加减法则是解题的关键． （1）小敏在第二步去括号时，错误地将减号分配，导致符号错误； （2）正确计算需先化简根式，再去括号并合并同类项即可． 【详解】（1）解：小敏在第二步去括号时，对减号后的括号内各项未全部变号， 故从第二步开始出现错误． （2）解：正确解题过程： 原式 ． 正确的答案是． 【经典例题三 二次根式的加减运算】 【例1】（25-26八年级上·全国·课后作业）计算的结果是（    ） A．5 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解法1：先对括号内合并同类二次根式，再进行运算；解法2：先把括号内每一项除以，再把所得的商相加即可. 【详解】解：解法1： 原式= 解法2： 原式 故选： ． 【例2】（2025·安徽·模拟预测）若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，二次根式的混合运算，根据得出，进而代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 故答案为：． 1．（25-26八年级上·河北石家庄·期末）按如图所示的程序计算，若开始输入的的值为，则最后输出的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查流程图与实数运算，二次根式的混合运算，正确理解流程图是关键． 根据流程图的计算公式进行计算即可． 【详解】解：根据题意，当输入时，， ∵， ∴循环计算； 当输入时，， ∵， ∴输出的结果为． 故选：C． 2．（2025·浙江宁波·模拟预测） ． 【答案】2 【分析】利用完全平方公式对根号内的式子进行因式分解，再通过二次根式的性质进行化解即可．本题主要考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握完全平方公式以及二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解： ． 故答案为：2． 3．（2026八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3)2 (4) (5)5 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟知相关运算法则是解题的关键． （1）先根据平方差公式去括号，再计算二次根式除法，最后计算加减法即可得到答案； （2）先计算二次根式乘除法，再计算加减法即可得到答案； （3）先计算二次根式乘法和化简二次根式，再计算二次根式除法，最后计算加减法即可得到答案； （4）先根据二次根式的乘法运算法则和平方差公式去括号，然后计算加减法即可得到答案； （5）先化简二次根式，再计算括号内的加减法，最后计算除法即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ． 【经典例题四 分母有理化】 【例1】（24-25八年级上·黑龙江齐齐哈尔·月考）若，，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法比较 【答案】A 【分析】此题考查了两数实数大小，先计算倒数，然后作差值比较即可，解题的关键是熟练掌握二次根式的乘除运算和实数比较大小的方法． 【详解】解：∵，， ∴， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故选：． 【例2】（24-25八年级下·湖北黄冈·自主招生） ． 【答案】 【分析】本题考查的是分母有理化，二次根式的化简，把原式化为，再进一步求解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 1．（24-25八年级上·上海普陀·期中）已知a＝，b＝2+，则a，b的关系是（　　） A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．互为有理化因式 【答案】A 【分析】求出a与b的值即可求出答案． 【详解】解：∵a＝＝+2，b＝2+， ∴a＝b， 故选：A． 【点睛】本题考查了分母有理化，解题的关键是求出a与b的值，本题属于基础题型． 2．（24-25八年级下·湖南益阳·期末）化简： ． 【答案】9 【分析】本题考查二次根式分母有理化，以及二次根式的运算，解题的关键在于正确掌握相关运算法则．根据二次根式分母有理化方法化简各项，再结合二次根式的运算法则求解，即可解题． 【详解】解： ． 3．（25-26八年级上·贵州·期中）细心观察下列等式： 第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式： 按上述规律，回答以下问题： (1)按上面规律填空：______=______=______； (2)利用以上规律计算：… 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和除法法则是解决问题的关键． （1）利用题目中的等式反映的规律写出，然后分母有理化； （2）先分母有理化，然后合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：原式 【经典例题五 二次根式的化简求值】 【例1】（24-25八年级下·湖北荆州·期末）当时，代数式 （      ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，直接利用完全平方公式将原式变形，进而代入已知数据求出答案． 【详解】解：当时， ． 故选：B． 【例2】（24-25八年级下·四川绵阳·期中）已知x＋y＝﹣5，xy＝4，则 ． 【答案】 【分析】对所求的式子进行整理，再代入相应的值运算即可． 【详解】解：当x+y=-5，xy=4时， =． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查二次根式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 1．（2025·湖北武汉·模拟预测）若三个实数，，满足，且，则有：，则的值（    ） A． B． C．2023 D． 【答案】B 【分析】结合所给的条件，把所求的式子进行化简，再求值即可． 【详解】解：三个实数，，满足，且， ． 故选：B． 【点睛】本题主要考查二次根式的化简求值，数字的变化规律，分式的加减法，解答的关键是理解清楚所给的条件． 2．（24-25八年级下·湖南长沙·月考）已知，，则 ． 【答案】6 【分析】先把和的值分母有理化得到，，则，，再利用完全平方公式变形原式得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：，， ，， ，， 原式 ． 故答案为． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值；二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰． 3．（24-25八年级下·云南普洱·期末）已知，，求下列各式的值． (1)． (2)． 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）根据，将的值代入计算即可得； （2）根据，将的值代入计算即可得． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ． （2）解：∵，， ∴ ． 【经典例题六 比较二次根式的大小】 【例1】（24-25八年级下·福建福州·期中）已知，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了实数大小比较的方法，二次根式大小比较，首先分别求出的平方，并比较出它们的平方的大小关系，然后根据两个正实数，平方大的这个数也大，判断出的大小关系即可，解答此题的关键是要明确：正实数负实数，两个正实数，平方大的这个数也大． 【详解】解： ，，， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【例2】（25-26八年级上·上海徐汇·月考）比较大小： （填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的大小比较，熟练掌握“通过平方转化为有理数（或含根式的整式）比较大小”是解题的关键． 通过平方两个根式表达式，比较平方值的大小，进而判断原式的大小关系． 【详解】解：设，． ∵ ， ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ 均为正数， ∴ ，即， 故答案为：． 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，，都是整数，若，，，则下列关于，，大小关系的结论，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的乘法，实数大小的比较，熟练掌握实数大小比较的方法是解题的关键． 可根据二次根式的乘法法则进行化简，求出、、的整数值，然后比较大小即可. 【详解】解：∵ ，且， ∴． ∵，且， ∴． ∵，且， ∴． ∴, , , ． 故选：A． 2．（25-26八年级上·湖南永州·期中）已知，，，则a，b，c的大小关系是 ． 【答案】 【分析】通过有理化将每个表达式转化为分母形式，比较分母的大小关系即可得出结果． 【详解】解：∵，，， ∴， ， ， ∵， ∴， 即． 故答案为∶． 【点睛】本题考查了实数的大小比较，利用二次根式的性质化简，分子有理化，比较二次根式的大小等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 3．（25-26八年级上·江苏南京·月考）已知：，求证： 【答案】见解析 【分析】本题考查比较二次根式的大小关系，通过比较与的大小，即可得出结论． 【详解】证明：∵， ∴，，， ∵，， 又∵， ∴， ∴． 【经典例题七 复合二次根式的化简】 【例1】（24-25九年级上·四川乐山·月考）若，则化简为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．先判断出，，再利用二次根式的性质化简即可得． 【详解】解：∵， ∴同号，且均不为0， 又∵在中，是被开方数， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【例2】（2025九年级·全国·模拟预测）若为的小数部分，为的小数部分，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】将两个根式分别用完全平方公式进行化简，再代入，即可求解，本题考查了完全平方公式，根式的化简，分母有理化。解题的关键是：熟练掌握配方法，化简根式． 【详解】， ， ，整数部分为， ， ， ， ，整数部分为， ， ， 故答案为：． 1．（2025八年级·全国·模拟预测）已知正整数满足．则这样的的取值（    ）． A．有一组 B．有二组 C．多于二组 D．不存在 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则进行计算．根据，得出，即可得出，，，根据，分三种情况求出的值进行验证即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，，， 又∵， 当时，不合题意， 当时，不合题意， 当时，符合题意， 满足条件的取值只有1组． 故选：A． 2．（24-25八年级下·浙江湖州·期末）观察下列各式： ， ，……．请运用以上的方法化简 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了复合二次根式的化简，完全平方公式的应用；按照题中提供的方法进行化简即可． 【详解】解： ； 故答案为：． 3．（24-25八年级下·江苏南京·月考）形如的化简，只要找到两个正数a，b，使，，即，，那么便有． 例如：化简． 解：，这里，，由于， ∴． 请仿照上例解下列问题： (1)填空：________，________，________； (2)化简：（请写出计算过程）； (3)化简： 【答案】(1)；； (2) (3) 【分析】本题考查二次根式的化简，二次根式的混合运算，熟练掌握题干给定的化简方法，是解题的关键： （1）根据题干给定的化简方法，进行化简即可； （2）根据题干给定的化简方法，进行化简即可； （3）根据题干给定的化简方法，先化简，再进行计算即可． 【详解】（1）解：； ； ； （2）解：， ∴，，， ∴； （3）原式 ． 【经典例题八 二次根式的应用】 【例1】（24-25八年级下·河北廊坊·月考）如果一个三角形的面积为，一边长为，则这条边上的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形的面积公式列出算式，再根据二次根式的性质化简计算即可．　 【详解】解：由三角形的面积公式可得所求高为： 故选B． 【点睛】本题考查二次根式的综合应用，熟练掌握二次根式的性质是解题关键． 【例2】（25-26八年级上·甘肃张掖·期中）观察下列各式：①；②；③；……请你将发现的规律用含自然数n（）的等式表示出来 ． 【答案】（） 【分析】本题主要考查二次根式运算、式子类规律探索，观察给定等式，左边系数与根号内分子相同，分母为系数的平方减1；右边为根号下系数与分数之和，分数分子与系数相同，分母为系数的平方减1，由此得出规律． 【详解】解：总结得：对于自然数n（），等式左边为 ，右边为， 验证：左边， 右边， 左右相等，故规律成立， 因此，用含自然数的等式表示为（）． 故答案为：（）． 1．（24-25八年级上·北京海淀·期末）如图，从一个大正方形中裁去面积为和 的两个小正方形，则余下部分的面积为（ ） A．78 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的实际应用，求出大正方形的边长，分割法求出余下部分的面积即可． 【详解】解：∵两个小正方形的面积为和， ∴两个小正方形的边长为和， ∴大正方形的边长为， ∴余下部分的面积为， 故选：D． 2．（24-25八年级下·湖北鄂州·期中）如图，将一张长方形纸片按如图所示的方式沿虚线折叠，得到两个面积分别为16和5的正方形，则阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】由正方形的面积可求出大小两个正方形的边长，再由折叠的性质可得阴影图形的长和宽，从而可得出答案． 【详解】解：如图， 由题意可知， ∴ ∴阴影部分的面积为 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，二次根式的运算，熟练掌握正方形的性质是解题的关键． 3．（24-25八年级下·陕西安康·期末）阳光中学有一块矩形活动区域．为积极响应国家政策，确保学生每天获得不少于2小时的体育锻炼时间．学校计划每天组织多样化的体育活动，并将原本的活动区域扩大，在原来矩形的基础上，按如图的方式扩大成一个面积为的正方形活动区域．已知将边增加得到边，边增加得到边，求学校需扩大的活动区域（阴影部分）的面积． 【答案】学校需扩大的活动区域（阴影部分）的面积为 【分析】本题主要考查了二次根式的实际应用，求得长方形的面积是解题的关键． 先根据正方形面积计算公式求出正方形的边长，即可得到，据此可求出的长，则可求出长方形的面积，再用正方形面积减去长方形的面积即可解答． 【详解】解：∵正方形活动区域面积为， ∴， ，． ∴原活动区域的面积为． ． 答：学校需扩大的活动区域（阴影部分）的面积为． 【拓展训练一 二次根式的整数部分与小数部分】 【例1】（2025八年级·贵州遵义·模拟预测）用表示不超过的最大整数，把称为的小数部分，已知，是的小数部分，是的小数部分，则的值是（    ） A． B． C．1 D． E． 【答案】A 【分析】本题考查了估算无理数的大小，分母有理化等知识，先求出，由是的小数部分，是的小数部分，求得，，再代入即可得出结论． 【详解】解：∵，而， ∴． 又∵，而， ∴． ∴． 故选：A． 【例2】（24-25九年级上·河南新乡·月考）的整数部分为a，小数部分为b，则的值为 ． 【答案】 【分析】现将原式计算后进行估算即可． 【详解】解：原式， ∵， ∴， ∴， ∴， 那么， 故答案为： 【点睛】本题考查无理数的估算，熟练掌握估算无理数大小的方法是解题的关键． 1．（24-25八年级上·四川达州·期中）已知，； (1)求的值； (2)若x的小数部分为a，y的小数部分为b，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先进行分母有理化，再直接代入计算即可； （2）分别估算出x，y的取值范围，然后可得a，b的值，再直接代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解：∵， ∴，， 由（1）知，， ∴，， 又∵x的小数部分为a，y的小数部分为b， ∴，， ∴ ． 【点睛】本题考查了分母有理化，二次根式的混合运算，估算无理数的大小等知识点，正确化简x，y，求出a、b的值是解此题的关键． 2．（24-25八年级下·全国·课后作业）阅读下面的材料：，即，∴的整数部分为2．小数部分为．规定实数m的整数部分记为，小数部分记为．如：，． 解答以下问题： (1)______，______； (2)求的值． 【答案】(1)3； (2)1 【分析】（1）先判断，的整数部分，从而可得答案； （2）先判断，的整数部分，再计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴； （2）∵，∴， ∴， ∴， ∴，， ∴原式． 【点睛】本题考查的是无理数的整数部分与小数部分的判断，二次根式的加减运算，掌握判断无理数的整数部分与小数部分的方法是解本题的关键． 3．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）请阅读下面的过程，完成相应的题目： 的整数部分是1，故的小数部分是． (1)的整数部分是______； (2)设分别是的整数部分和小数部分，则______，______； (3)在（2）的条件下，若已知，为有理数，且，求的值． 【答案】(1)5 (2)2； (3) 【分析】本题考查了估算无理数的大小，算术平方根，利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算是解题的关键． （1）根据，得到，即可求解； （2）根据，得到，进而确定m、n的值，即可求解； （3）根据代入m和n的值整理得到，然后根据，为有理数解出、，即可求解． 【详解】（1）∵， ， 的整数部分是； （2）∵ ∴ ∴ ∴ ∵分别是的整数部分和小数部分 ∴，； （3）∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵，为有理数 ∴， ∴， ∴． 【拓展训练二 利用分母有理化比较大小】 【例1】（24-25八年级下·重庆江津·月考）二次根式除法可以这样做，如，像这样通过分子，分母同乘一个式子把分母中的根号化去或者把根号号中的分母化去，叫做分母有理化．有下列结论：①将式子进行分母有理化，可以对其分子、分母同时乘以；②若a是的小数部分，则的值为；③比较两个二次根式的大小：；④计算：；⑤若x=，，且，则整数．以上结论正确的是（   ） A．①③④ B．①②④⑤ C．①③⑤ D．①③④⑤ 【答案】D 【分析】本题考查了分母有理化，以及二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键题． ①类比示例，利用分式的基本性质进行分母有理化； ②估计无理数的整数部分，求出小数部分，进而分母有理化进行化简； ③通过分母有理化，比较两个二次根式的大小； ④通过分母有理化找到题中无理式求和的运算规律，从而化简求出值； ⑤与y可以利用分母有理化化简， 可得出x与y互为倒数，故，然后观察方程特点，求得n的值． 【详解】解： ，故将式子进行分母有理化，可以对其分子、分母同时乘以，故①正确； ∵a是 的小数部分，， ∴， ∴， 故②错误； ∵，， ∴，故③正确； ，故④正确； ⑤∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ， ， ， ∵， ∴， 即， 解得．故⑤正确． 故选：D． 【例2】（24-25八年级上·上海长宁·月考）比较大小： （1） ； （2） ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式比较大小，分母有理化： （1）分母有理数后比较大小即可； （2）比较两数的倒数，进而得出两数的大小关系即可． 【详解】解：（1）∵，， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）∵，， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 1．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）观察下列一组等式，然后解答后面的问题： ； ； ； (1)观察以上规律，请写出第5个等式：______； (2)观察以上规律，请写出第个等式：______（为正整数）； (3)请利用上面的规律，比较与的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的乘法，分母有理数，二次根式的大小比较，根据已知等式得出规律是解题关键． （1）观察已知等式规律作答即可； （2）观察已知等式规律作答即可； （3）根据上述规律，得到两个数的倒数，然后通过比较两个倒数的大小，即可比较这两个数的大小． 【详解】（1）解：观察以上规律，第5个等式为：， 故答案为： （2）解：观察以上规律，第个等式为：， 故答案为：； （3）解：， ， ， ，即， ． 2．（24-25九年级上·广东佛山·期中）“比差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，即：； 例如：比较与2的大小． ∵又∵则 ∴，∴． 请根据上述方法解答以下问题： (1)的整数部分是________，的小数部分是________； (2)比较与的大小． (3)已知，试用“比差法”比较与的大小． 【答案】(1)5， (2) (3) 【分析】此题考查了无理数大小的比较，弄清题中的“作差比较法”是解本题的关键． （1）首先估算出，据此问题即可求解； （2）根据“比差法”比较两个数大小即可； （3）根据“比差法”比较得再得到，根据，化简比较即可求解． 【详解】（1）解：， 的整数部分是5；小数部分为， 故答案为：5；； （2）解：， ； （3）解： ， ， ． 3．（24-25八年级上·北京顺义·期末）阅读下面材料： 我们知道把分母中的根号化去叫分母有理化，例如：．类似的把分子中的根号化去就是分子有理化，例如：．分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，例如：比较和的大小，可以先将它们分子有理化如下：，，因为，所以． 请根据上述材料，解决下列问题： (1)把下列各式分子有理化： ①；②； (2)比较和的大小，并说明理由； (3)将式子分子有理化为__________，该式子的最大值为__________． 【答案】(1)①； ② (2)，理由见解析 (3)， 【分析】（）根据阅读材料中的分母有理化即可； （）根据阅读材料中的分母有理化即可； （）根据阅读材料中的分母有理化即可； 本题考查了二次根式的运算二次根式有意义的条件，熟练掌握分母有理化是解题的关键． 【详解】（1）解： ， ， 故答案为：，； （2）解：由，  ， 又∵， ∴．         ∴， （3）解： ， ∵， ∴， ∴当时，有最大值，即有最大值， 故答案为：，． 【拓展训练三 二次根式的新定义运算】 【例1】（24-25八年级下·河北廊坊·月考）对于任意的正数x、y定义运算为：，计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，原式先计算，，再计算即可 【详解】解：∵ ∴ 故选：B 【例2】（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）定义运算“*”的运算法则为：，其中a，b为非负实数，且，则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了新定义下的实数的运算，根据，求的算术平方根，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ 故答案为：． 1．（24-25八年级上·福建漳州·期中）定义：已知都是实数，若，则称与是关于3的“实验数”． (1)4与是______关于3的“实验数”，与______是关于3的“实验数”． (2)若，判断与是否是关于3的“实验数”，并说明理由． 【答案】(1)，； (2)与是关于3的“实验数”．理由见解析． 【分析】本题考查二次根式的混合运算，二次根式的乘除运算．掌握本题的关键是：①能理解题述1 的“实验数”的定义，并据此作出计算；②掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并． （1）根据所给的例子，可得出实验数的求法，由此即可计算4与-1是关于3的“实验数”； （2）把代入计算与的和，根据所求得结果即可判断． 【详解】（1）解：， 所以与是关于的“实验数”， ， 所以与是关于的“实验数” 故依次填：，； （2）解：与是关于的“实验数”．理由如下： ∵， ∴ ∴与是关于的“实验数”． 2．（24-25八年级下·浙江台州·期中）对于任意实数a，b，定义一种运算“”如下：．如：． (1)______，______； (2)已知，求的值． 【答案】(1)1，3 (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题关键是理解新定义的含义，列出正确的算式． （1）根据已知条件中的新定义，列出算式，根据二次根式的性质进行计算即可； （2）根据新定义，列出含有的等式，再根据平方差公式分解因式，然后进行解答可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 故答案为：1，3； （2）∵， ∴， ， ， ， ∴． 3．（24-25八年级下·山东临沂·期中）阅读材料，并解决问题：定义：将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化． 如：将分母有理化，解：原式． 运用以上方法解决问题： 已知：． (1)化简； (2)求的值． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】（）仿照已知化简即可； （）求出、的值，再把它们代入代数式计算即可求解； 本题考查了二次根式的化简求值，掌握分母有理化是解题的关键． 【详解】（1）解：， ； （2）解：∵，， ∴，， ∴原式 ， ． A基础训练 1．（24-25八年级下·河南·月考）若可以合并为一项，则可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的化简，同类二次根式的识别，把每个选项的值代入二次根式，若化简后与是同类二次根式，则可以合并，否则不能，据此即可求解，掌握同类二次根式的含义是解题的关键． 【详解】解：、当时，，与不是同类二次根式，不能合并； 、当时，，与不是同类二次根式，不能合并； 、当时，，与是同类二次根式，可以合并； 、当时，，与不是同类二次根式，不能合并； 故选：． 2．（24-25八年级下·重庆合川·期末）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先将各二次根式化简，再合并同类二次根式． 【详解】解：， ， ∴ ． 故选：D． 3．（24-25八年级下·湖南郴州·期末）已知，则的值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】D 【分析】将代入代数式，然后根据二次根式混合运算法则进行化简计算． 【详解】解：当时， ， ． 故选：D． 【点睛】本题考查二次根式的混合运算，掌握运算顺序和计算法则正确计算是解题关键． 4．（2025九年级·全国·专题练习）设，且x、y、z为有理数．则xyz＝（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将已知式子两侧平方后，根据x、y、z的对称性，列出对应等式，进而求出x、y、z的值即可求解． 【详解】解：两侧同时平方，得到 ∴ ∴, ， ∴xyz＝， 故选择：A． 【点睛】本题考查二次根式的加减法，x、y、z对称性，掌握二次根式加减法法则，利用两边平方比较无理数构造方程是解题关键． 5．（24-25九年级上·河南驻马店·月考）观察下列等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：，……，按照上述规律，计算：（　　） A． B． C．9 D．8 【答案】C 【分析】首先根据题意，得出一般规律，代入数字相加即可得解． 【详解】解：第个等式：，     第个等式：， 第个等式：，     第个等式：， …… 第n个等式：， ∴ = ，故C正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了数字的变化规律以及分母有理化，首先要理解题意，找到规律，并进行推导得到答案． B 提高训练 6．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： （1） ． （2） ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，解题关键是先把每个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式． （1）先将化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）先将和化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可． 【详解】解:（1） ． 故答案为：． （2） ． 故答案为：． 7．（2025·广西防城港·一模）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简： ．    【答案】0 【分析】根据数a、b在数轴上的位置确定，，的符号，再根据二次根式的性质进行化简，再合并同类项． 【详解】解：由数轴可知，，， ∴，，， ∴原式＝ 故答案为：0 【点睛】本题考查的是利用数轴比较实数的大小，二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键. 8．（24-25八年级下·贵州黔南·期中）我们规定运算符号“”的意义是：当时，a； 当时， a，其他运算符号的意义不变，计算： 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，实数新定义运算即二次根式的大小比较，先比较与，与的大小，再根据新定义列出式子，利用二次根式加减运算法则计算即可． 【详解】解：， ， 故答案为：． 9．（24-25八年级下·山东济宁·期中）观察下列等式：第1个等式：； 第2个等式：；第3个等式：； 第4个等式：，…， 按上述规律，计算 ． 【答案】 【分析】本题考查了数字类规律探索，分母有理化，二次根式的混合运算，找出规律后，根据运算法则进行运算即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：， ， ∴第个等式为：， ∴ ， ， 故答案为：． 10．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·月考）如图，长方形内有两个相邻的正方形，其面积分别为18和50，则图中阴影部分面积为    【答案】12 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，利用面积公式先算出两个正方形的面积，再利用“阴影面积长方形的面积两个正方形的面积”得结论．利用二次根式的性质计算出两个正方形的边长是解决本题的关键． 【详解】解：图中两个正方形的面积分别为18和50， 图中两个正方形的边长分别为：和． 图中最大长方形的长为，宽为． 图中阴影部分面积为：． 故答案为：12． C 培优训练 11．（25-26九年级上·甘肃天水·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．先化简各二次根式，然后进行乘除运算，最后合并同类二次根式． 【详解】解：原式 ． 12．（25-26八年级上·江西抚州·期中）课本再现：我们已经知道，因此将的分子、分母同时乘“”，分母就变成了4，这就是分母有理化． 方法应用： (1)化简：______________； (2)若，求的值； (3)若，比较a和b的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查分母有理化，二次根式的化简求值，实数比较大小，熟练掌握分母有理化的方法是解题的关键． （1）根据题干给定的方法进行求解即可； （2）先将进行分母有理化得到，再将化简为，最后代入计算即可； （3）将、进行分母有理化，再比较即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴ ； （3）解：，， ， ， ． 13．（25-26八年级下·山东泰安·期末）定义：形如“”的数称为“族”数（其中m，n为有理数，．），并规定：两个“族”数之间可以进行“，，，”等运算，运算符合二次根式的相关要求． (1)试判断，，，2中哪些属于“族”的数； (2)若（其中a，b为有理数，）是“族”数，求A的倒数的值，并判断其是否为“族”的数． 【答案】(1)，属于“族”的数 (2)；为“族”的数． 【分析】本题考查了二次根式的定义，分母有理化，熟练掌握二次根式的定义及分母有理化是关键． （1）根据二次根式的定义判断即可； （2）根据分母有理化的方法求解即可． 【详解】（1）解：，属于“族”的数； （2）解：， ，为有理数，， 为“族”的数． 14．（24-25八年级上·山东青岛·开学考试）在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题： 已知，求的值. 他是这样解答的： 因为， 所以， 所以，， 所以， 所以. (1)化简：______； (2)化简： (3)若，按照小明的做法，求的值. 【答案】(1) (2) (3)5 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，分母有理化，解答时一定要先化简再代入求值．二次根式运算到最后，注意结果要化为最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰． （1）利用分母有理化计算即可； （2）先将每一项分母有理化，然后合并即可； （3）先根据分母有理化得出，根据完全平方公式将变形为，然后利用整体代入的方法计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： = ； （3）解：， ， ∴ ． 15．（25-26八年级上·陕西西安·月考）十一黄金周，处处秋景如画，小宇趁着假期外出写生．如图，他写生用的一块特制正方形画板（不可折叠）的面积为，小宇准备用一个面积为的长方形布袋装着画板，已知这个长方形布袋的长和宽的比为，请通过计算判断这块画板是否可以放进布袋． 【答案】画板可以放进布袋 【分析】本题考查了二次根式的应用，解题的关键是正确理解题意，求出布袋的宽． 由题意设布袋的长为，宽为，则，解方程求出布袋的宽为，再与画板的边长比较即可． 【详解】解：由题意设布袋的长为，宽为， 则， 解得（负值舍去）， 布袋的宽为，长为 由题知画板的边长为． ， 画板可以放进布袋． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03二次根式的加法与减法重难点题型专训 （3个知识点+8大题型+3拓展训练+自我检测） 题型一 同类二次根式 题型二 二次根式的加减运算 题型三 二次根式的混合运算 题型四 分母有理化 题型五 二次根式的化简求值 题型六 比较二次根式的大小 题型七 复合二次根式的化简 题型八 二次根式的应用 拓展训练一 二次根式的整数部分与小数部分 拓展训练二 利用分母有理化比较大小 拓展训练三 二次根式的新定义运算 知识点一：同类二次根式 1.同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。 2.合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分配律，如 【即时训练】 1．（25-26八年级上·陕西西安·期中）下列二次根式中能与合并的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·广东阳江·期中）最简二次根式与可以合并，则 知识点二：二次根式的加减 1.二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 2.二次根式加减运算的步骤： ①化：将各个二次根式化成最简二次根式； ②找：找出化简后被开方数相同的二次根式； ③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。 【即时训练】 1．（24-25八年级下·贵州黔南·期末）计算：的结果是（   ） A． B． C． D．1 2．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）计算的结果是 ． 知识点三：二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号） 【即时训练】 1．（2025·河北邯郸·二模）若，则“”表示的运算符号是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）已知，，则的值是 【经典例题一 同类二次根式】 【例1】（24-25八年级下·全国·课后作业）下列各组根式是同类二次根式的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【例2】（24-25八年级下·湖北黄冈·月考）最简二次根式与最简二次根式可以合并，则 ． 1．（24-25八年级下·江苏淮安·期末）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·福建泉州·期中）已知最简根式与是同类二次根式，最简根式与也是同类二次根式，则的值是 ． 3．（24-25八年级下·云南昆明·月考）已知最简二次根式与是同类二次根式． (1)求出a的值； (2)若，化简． 【经典例题二 二次根式的加减运算】 【例1】（24-25八年级下·陕西商洛·期末）下列运算错误的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（2025八年级下·全国·专题练习）计算： ． 1．（24-25八年级下·河南安阳·月考）若，则a和b的值不可能是（   ） A． B．， C．， D． 2．（24-25八年级上·湖南郴州·期末）若最简二次根式与可以合并，则 ， ． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）在计算时，小敏的解题过程如下： 解：原式  第一步   第二步     第三步 ．  第四步 (1)小敏从第________步开始出现错误． (2)正确的答案是______________． 【经典例题三 二次根式的加减运算】 【例1】（25-26八年级上·全国·课后作业）计算的结果是（    ） A．5 B． C． D． 【例2】（2025·安徽·模拟预测）若，则的值为 ． 1．（25-26八年级上·河北石家庄·期末）按如图所示的程序计算，若开始输入的的值为，则最后输出的结果是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·浙江宁波·模拟预测） ． 3．（2026八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【经典例题四 分母有理化】 【例1】（24-25八年级上·黑龙江齐齐哈尔·月考）若，，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法比较 【例2】（24-25八年级下·湖北黄冈·自主招生） ． 1．（24-25八年级上·上海普陀·期中）已知a＝，b＝2+，则a，b的关系是（　　） A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．互为有理化因式 2．（24-25八年级下·湖南益阳·期末）化简： ． 3．（25-26八年级上·贵州·期中）细心观察下列等式： 第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式： 按上述规律，回答以下问题： (1)按上面规律填空：______=______=______； (2)利用以上规律计算：… 【经典例题五 二次根式的化简求值】 【例1】（24-25八年级下·湖北荆州·期末）当时，代数式 （      ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 【例2】（24-25八年级下·四川绵阳·期中）已知x＋y＝﹣5，xy＝4，则 ． 1．（2025·湖北武汉·模拟预测）若三个实数，，满足，且，则有：，则的值（    ） A． B． C．2023 D． 2．（24-25八年级下·湖南长沙·月考）已知，，则 ． 3．（24-25八年级下·云南普洱·期末）已知，，求下列各式的值． (1)． (2)． 【经典例题六 比较二次根式的大小】 【例1】（24-25八年级下·福建福州·期中）已知，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·上海徐汇·月考）比较大小： （填“”“”或“”）． 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，，都是整数，若，，，则下列关于，，大小关系的结论，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·湖南永州·期中）已知，，，则a，b，c的大小关系是 ． 3．（25-26八年级上·江苏南京·月考）已知：，求证： 【经典例题七 复合二次根式的化简】 【例1】（24-25九年级上·四川乐山·月考）若，则化简为（  ） A． B． C． D． 【例2】（2025九年级·全国·模拟预测）若为的小数部分，为的小数部分，则的值为 ． 1．（2025八年级·全国·模拟预测）已知正整数满足．则这样的的取值（    ）． A．有一组 B．有二组 C．多于二组 D．不存在 2．（24-25八年级下·浙江湖州·期末）观察下列各式： ， ，……．请运用以上的方法化简 ． 3．（24-25八年级下·江苏南京·月考）形如的化简，只要找到两个正数a，b，使，，即，，那么便有． 例如：化简． 解：，这里，，由于， ∴． 请仿照上例解下列问题： (1)填空：________，________，________； (2)化简：（请写出计算过程）； (3)化简： 【经典例题八 二次根式的应用】 【例1】（24-25八年级下·河北廊坊·月考）如果一个三角形的面积为，一边长为，则这条边上的高为（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·甘肃张掖·期中）观察下列各式：①；②；③；……请你将发现的规律用含自然数n（）的等式表示出来 ． 1．（24-25八年级上·北京海淀·期末）如图，从一个大正方形中裁去面积为和 的两个小正方形，则余下部分的面积为（ ） A．78 B． C． D． 2．（24-25八年级下·湖北鄂州·期中）如图，将一张长方形纸片按如图所示的方式沿虚线折叠，得到两个面积分别为16和5的正方形，则阴影部分的面积是 ． 3．（24-25八年级下·陕西安康·期末）阳光中学有一块矩形活动区域．为积极响应国家政策，确保学生每天获得不少于2小时的体育锻炼时间．学校计划每天组织多样化的体育活动，并将原本的活动区域扩大，在原来矩形的基础上，按如图的方式扩大成一个面积为的正方形活动区域．已知将边增加得到边，边增加得到边，求学校需扩大的活动区域（阴影部分）的面积． 【拓展训练一 二次根式的整数部分与小数部分】 【例1】（2025八年级·贵州遵义·模拟预测）用表示不超过的最大整数，把称为的小数部分，已知，是的小数部分，是的小数部分，则的值是（    ） A． B． C．1 D． E． 【例2】（24-25九年级上·河南新乡·月考）的整数部分为a，小数部分为b，则的值为 ． 1．（24-25八年级上·四川达州·期中）已知，； (1)求的值； (2)若x的小数部分为a，y的小数部分为b，求的值． 2．（24-25八年级下·全国·课后作业）阅读下面的材料：，即，∴的整数部分为2．小数部分为．规定实数m的整数部分记为，小数部分记为．如：，． 解答以下问题： (1)______，______； (2)求的值． 3．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）请阅读下面的过程，完成相应的题目： 的整数部分是1，故的小数部分是． (1)的整数部分是______； (2)设分别是的整数部分和小数部分，则______，______； (3)在（2）的条件下，若已知，为有理数，且，求的值． 【拓展训练二 利用分母有理化比较大小】 【例1】（24-25八年级下·重庆江津·月考）二次根式除法可以这样做，如，像这样通过分子，分母同乘一个式子把分母中的根号化去或者把根号号中的分母化去，叫做分母有理化．有下列结论：①将式子进行分母有理化，可以对其分子、分母同时乘以；②若a是的小数部分，则的值为；③比较两个二次根式的大小：；④计算：；⑤若x=，，且，则整数．以上结论正确的是（   ） A．①③④ B．①②④⑤ C．①③⑤ D．①③④⑤ 【例2】（24-25八年级上·上海长宁·月考）比较大小： （1） ； （2） ． 1．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）观察下列一组等式，然后解答后面的问题： ； ； ； (1)观察以上规律，请写出第5个等式：______； (2)观察以上规律，请写出第个等式：______（为正整数）； (3)请利用上面的规律，比较与的大小． 2．（24-25九年级上·广东佛山·期中）“比差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，即：； 例如：比较与2的大小． ∵又∵则 ∴，∴． 请根据上述方法解答以下问题： (1)的整数部分是________，的小数部分是________； (2)比较与的大小． (3)已知，试用“比差法”比较与的大小． 3．（24-25八年级上·北京顺义·期末）阅读下面材料： 我们知道把分母中的根号化去叫分母有理化，例如：．类似的把分子中的根号化去就是分子有理化，例如：．分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，例如：比较和的大小，可以先将它们分子有理化如下：，，因为，所以． 请根据上述材料，解决下列问题： (1)把下列各式分子有理化： ①；②； (2)比较和的大小，并说明理由； (3)将式子分子有理化为__________，该式子的最大值为__________．   【拓展训练三 二次根式的新定义运算】 【例1】（24-25八年级下·河北廊坊·月考）对于任意的正数x、y定义运算为：，计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）定义运算“*”的运算法则为：，其中a，b为非负实数，且，则 ． 1．（24-25八年级上·福建漳州·期中）定义：已知都是实数，若，则称与是关于3的“实验数”． (1)4与是______关于3的“实验数”，与______是关于3的“实验数”． (2)若，判断与是否是关于3的“实验数”，并说明理由． 2．（24-25八年级下·浙江台州·期中）对于任意实数a，b，定义一种运算“”如下：．如：． (1)______，______； (2)已知，求的值． 3．（24-25八年级下·山东临沂·期中）阅读材料，并解决问题：定义：将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化． 如：将分母有理化，解：原式． 运用以上方法解决问题： 已知：． (1)化简； (2)求的值． A基础训练 1．（24-25八年级下·河南·月考）若可以合并为一项，则可以是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·重庆合川·期末）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·湖南郴州·期末）已知，则的值为（    ） A． B． C． D．0 4．（2025九年级·全国·专题练习）设，且x、y、z为有理数．则xyz＝（    ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·河南驻马店·月考）观察下列等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：，……，按照上述规律，计算：（　　） A． B． C．9 D．8 B 提高训练 6．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： （1） ． （2） ． 7．（2025·广西防城港·一模）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简： ．    8．（24-25八年级下·贵州黔南·期中）我们规定运算符号“”的意义是：当时，a； 当时， a，其他运算符号的意义不变，计算： 9．（24-25八年级下·山东济宁·期中）观察下列等式：第1个等式：； 第2个等式：；第3个等式：； 第4个等式：，…， 按上述规律，计算 ． 10．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·月考）如图，长方形内有两个相邻的正方形，其面积分别为18和50，则图中阴影部分面积为    C 培优训练 11．（25-26九年级上·甘肃天水·期末）计算：． 12．（25-26八年级上·江西抚州·期中）课本再现：我们已经知道，因此将的分子、分母同时乘“”，分母就变成了4，这就是分母有理化． 方法应用： (1)化简：______________； (2)若，求的值； (3)若，比较a和b的大小． 13．（25-26八年级下·山东泰安·期末）定义：形如“”的数称为“族”数（其中m，n为有理数，．），并规定：两个“族”数之间可以进行“，，，”等运算，运算符合二次根式的相关要求． (1)试判断，，，2中哪些属于“族”的数； (2)若（其中a，b为有理数，）是“族”数，求A的倒数的值，并判断其是否为“族”的数． 14．（24-25八年级上·山东青岛·开学考试）在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题： 已知，求的值. 他是这样解答的： 因为， 所以， 所以，， 所以， 所以. (1)化简：______； (2)化简： (3)若，按照小明的做法，求的值. 15．（25-26八年级上·陕西西安·月考）十一黄金周，处处秋景如画，小宇趁着假期外出写生．如图，他写生用的一块特制正方形画板（不可折叠）的面积为，小宇准备用一个面积为的长方形布袋装着画板，已知这个长方形布袋的长和宽的比为，请通过计算判断这块画板是否可以放进布袋． 学科网（北京）股份有限公司 $