期中综合检测试卷（二）-【名校作业】2026-2027学年九年级上册数学同步练习（北师大版·新教材）

2026-2027学年第一学期期中综合检测试卷（二） 九年级数学北师版 (考试范围：上册第一章一第三章) (说明：本试卷为闭卷笔答，答题时间120分钟，满分120分) 三 题号 二 总分 州 16 17 18 19 20 21 22 23 得分 第I卷 选择题（共30分） 一选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.每小题只有一个选项符合题意，请将其字母 标号填入下表相应题号的空格内) 题号 1 2 3 4 5 6 7 6 9 10 答案 1 则的值为 若七了 2 滚 2 B. 5 c号 D 8-3 智想 2 用配方法解一元二次方程x2+8x+7=0,下列变形正确的是 A.(x+4)2=9 B.(x-4)2=9 C.(x+8)2=23 D.(x-8)2=23 3 如图，一根木棍斜靠在与地面OM垂直的墙OW上，设木棍的中点为点P.当木棍A端沿墙下 滑时，B端沿地面向右滑动.在此过程中，点P与点O之间的距离 BM A.逐渐变小 B.先变小后变大 C.先变小后不变 D.始终不变 4 已知△ABC∽△DEF,相似比为2：3.若△ABC的周长为6，则△DEF的周长为 A.4 B.8 C.9 D.12 5如图，在正方形ABCD中，点E在对角线AC的延长线上，且CE=BC,连接BE,则∠E的度数为 A.25° B.22.5° C.30° D.45° 6课堂上，同学们围绕一元二次方程2x2+▲x-5=0的根的情况展开讨论，其中一次项系数被遮 挡，下列说法正确的是 A.无论“▲”为何值，该方程总有两个相等的实数根 B.无论“▲”为何值，该方程总有两个不相等的实数根 C.无论“▲”为何值，该方程总只有一个实数根 D.因为“▲”的值不确定，所以无法判断该方程有没有实数根 7如图，在△ABC中，P为AB上一点，添加下列条件，仍不能判定△ACP∽△ABC的是 A.∠ACP=∠B B.APC=∠ACB C.AP_PC D.AC2=AP.AB AC BC B B 第7题图 第8题图 8如图，四边形ABCD是菱形，AB=BD=4,则菱形ABCD的面积为 A.8V3 B.16 C.16V3 D.82 9我国古代数学著作《四元玉鉴》中记载“买椽多少”问题，其大意为：现请人代买一批椽，这批椽 的价钱为6210文.如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于 一株椽的价钱.根据题意可列方程3x(x-1)=6210,其中x表示 A.剩余椽的数量 B.这批椽的数量 C.剩余椽的运费 D.每株椽的价钱 10如图，在矩形ABCD中，等边三角形ABE的顶点E恰好落在CD边上，AC与BE交于点F.若矩 形ABCD的面积为12，则△BCF的面积为 A.1 B.2 C.3 D.4 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分.请将正确答案填在题中横线上） 11一元二次方程(x+5)2-16=0的解是 2在花艺造型中，黄金分割率被赞誉为最美比例.如图，在竖向的花艺作品中，花材的高AC、花 器的高BG以及整体作品的高AB满足黄金分制，即BC-AC0.618,若整体作品的高AB= AC AB 50cm,则花材的高AC约为 cm. Y个 B OC …B 第12题图 第13题图 13如图，菱形ABCD的顶点A,B的坐标分别为(0,8)，（-6,0)，则点D的坐标为 14已知关于x的一元二次方程x2-(2m+3)x+m2=0有两个实数根x1,2,且x+x2=m2,则m的值为 15如图，在口ABCD中，∠B=45°，AC为对角线，AE⊥BC于点E,点F是AE上一点，且∠ACF= ∠CAF,延长CF交AB于点G.若AD=3,BE=2,则BG的长为 智想 三解答题（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）》 16(本题共2个小题，每小题4分，共8分)解方程： (1)2x2-3x-6=0; (2)2(x-3)=3x(x-3) 17（本题7分)如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A(2,1),B(3,4),C(1,3) (1)以点O为位似中心，在第三象限内画出将△ABC放大到原来的2倍得到的△A,B,C1,点A, B,C的对应点分别为点A1,B1,C1; (2)若点M(a,b)为△ABC内一点，则点M的对应点M的坐标为 6 5 4 3 -2 -8-7-6-5-4-3211012345618x 2 -3 -4 6 7 8 18（本题7分)如图，在口ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,AE⊥BD,DFLAC,垂足分别为点 E,F,AE=DF.求证：口ABCD是矩形 0 E B 9(本题7分)给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和 面积的2倍，那么这个矩形是给定矩形的“加倍”矩形.如图，矩形A,B,C,D是矩形ABCD的“加 倍”矩形.当矩形的长和宽分别为3,2时，它是否存在“加倍”矩形？若存在，求出“加倍”矩形 的长和宽；若不存在，请说明理由 0 4 C D 12 C 3 2 A B B 数 痛 20（本题10分)如图，在□ABCD中，AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F,BD与AE,AF分别交于点G,H.> (1)求证：△ABE∽△ADF. (2)若AG=AH,求证：口ABCD是菱形. H 和 21(本题11分)阅读与思考 小颖在一篇数学杂志中看到“在尺规作图中，三等分任意角是著名的古希腊三大几何难题之 一，19世纪数学家通过代数方法（如伽罗瓦理论）证明：仅用无刻度直尺和圆规三等分任意角 是不可能的.”小颖想着用尺规不能三等分任意角，那能否三等分任意线段呢？请认真阅读 她的笔记，并完成下面任务 问题：如图1，已知线段AB,利用尺规在线段AB上作一点C,使BC=一AB. 3 A ●B 图1 方法一： 方法二： 作法：如图2. 作法：如图3. ①以点A为端点作射线AP; ①以AB为一边作等边三角形ABE; ②在射线AP上依次截取线段AD=DE=EF; ②作AB的垂直平分线，交AB于点O; ③连接FB,过点E作CE∥BF交AB于点C ③以OB为一边作等边三角形OBF; 侧Bc ④连接EF交AB于点C. 、1 证明：CE∥BF, 则BC=AB. 3 BC EF 依据). 证明：，'△ABE和△OBF都是等边三角形， ∴ABAF ∴.∠A=LOBF=60°，AE=2BF. …… .∴.BC=-AB. 3 B 图2 图3 任务： (1)方法一中的“依据”为 (2)请你帮助小颖完成方法二中剩余的证明过程 (3)如图4，请你再用不同的方法，利用尺规在线段AB上作一点C,使BC=AB.(要求：保留作 图痕迹，不写作法) A● ●B 图4 22 （本题12分)综合与实践 背 景 春日，赏花游、文旅体验类消费爆发，各大景区及周边商户抢抓商机，相关消费数据持续刷 新纪录，成为春季经济的核心增长点 某景区春日赏花专线5月1日的客运收入为5万元，随着花期进入盛期，游客量激增，5月3日 素材1 的客运收入达到7.2万元 为承接赏花游客流，景区旁的特色餐饮店推出“花田春味”套餐.已知该套餐的食材成本为 素材2 20元/份，当定价为50元/份时，平均每天可售出40份；调研发现，售价每降低2元，平均每 天可多售出8份.该店计划下调售价，使平均每天的销售利润达到1200元. 问题解决 任务1 求5月1日到5月3日该景区春日赏花专线客运收入的日平均增长率， 任务2 为尽可能多地销售“花田春味”套餐，求每份套餐的售价. 该店平均每天的销售利润能否达到1800元？若能，请求出每份套餐的售价；若不能，请说 任务3 明理由. 智 23(本题13分)综合与探究 问题情境：如图1，将正方形纸片ABCD对折，使点B与点A重合，点C与点D重合，得到折痕 EF,将正方形纸片沿EF剪开，得到矩形AEFD和矩形GBCH(EF与GH重合)，取EF(GH)的 中点O,将矩形GBCH以点O为旋转中心，逆时针旋转x(0°<a≤90°). 初步探究： (1)如图2，当点B与点A重合，点G落在线段AD上时，四边形AEOG的形状是 拓展延伸： (2)在旋转的过程中，BG与AE交于点M,连接AB. ①如图3，当M为AE的中点时，连接FH,判断AB与FH的数量关系，并说明理由； ②若正方形的边长为6，当M为线段AE的三等分点时，请直接写出AB的长 H B C E(G) FH 0 D A(B)G 卓育 图1 图2 图3 备用图 参考答 一、1-~5.DADCB6-10.BCABB 解析： 8.如图，设AC与BD相交于点O .四边形ABCD是菱形， ..ACLBD,AC=2A0,BO=DO= BD=2. ∴.∠A0B=90° ∴.A0=VAB2-B02=V42-22=2V3 ∴.AC=4V3 菱形ABGD的面积为AC~BD= 4/3×4=8/3 21 9.设这批椽的数量为x,则每株椽的价格为3(x-1)文， 根据题意，得3x(x-1)=6210. 所以x表示这批椽的数量， 10..:四边形ABCD是矩形， .∴.AD=BC,∠D=∠BCE=90°，CD∥AB,CD=AB. ,△ABE是等边三角形， ..AE=BE. .Rt△DAE≌Rt△CBE(HL) DE-CE...CE-2CD. CE-AB. CD∥AB, ∴，∠CEF=∠ABF,∠ECF=∠BAF .△CE∽△ABF. CF CE 1 六AFAB2 CF 1 AC 3 1 六S△BcF3S△Aac石3矩形Cn2. 二、11.x1=-1,x2=-912.30.913.(10,8)14.3 15.v2 7 解析： 14.由一元二次方程的根与系数的关系，得x+x,=2m+3. .'x1+x2=m2, .m2=2m+3. 解这个方程，得m,=3,m2=-1. 案及详解 x-3=0,或2-3x=0. ∴.∠ABG=∠ADH. (7分) x=3,x53 (4分) ..AB=AD. (8分) 3 ,四边形ABCD是平行四边形， :4=[-(2m+3)]2-4m2≥0，.m≥ 17.解：(1)如图，△AB,C,即为所求 (4分) ·.□ABCD是菱形 (10分) .m=3. Y个 21.解：(1)平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得 15..四边形ABCD是平行四边形， 的对应线段成比例 (2分) ..BC=AD=3 3 (2).·.AE∥BF (3分) .CE=BC-BE=3-2=1 .∴.∠AEC=∠BFC. AE⊥BC, -7-6-5-43211012345678x ∴.△AEC∽△BFC. (5分) .∴.∠AEB=∠AEC=90° AE AC (6分) .∴.∠BAE=90°-∠B=90°-45°=45° BF BC' ∴.∠BAE=∠B ·.AE=2BF, 5 ..AE=BE=2. ..AC=2BC. (7分) 2 .∠ACF=∠CAF, B :BC→8 (8分) ∴.AF=CF. (2)(-2a,-2b) (7分) (3)如图，点C即为所求 (11分) 设EF=x,则CF=AF=AE-EF=2-x. 18.证明：AE⊥BD,DF⊥AC, 在Rt△CEF中，EF+CE=CP,即x2+12=(2-x)2,解得x ∴.∠AE0=∠DF0=90° (1分) 又.·∠AOE=∠DOF,AE=DF, .∴.△AEO≌△DFO(AAS). (3分) .P .0A=0D (4分) 如图，过点G作GH⊥BC于点H,则∠CHG=90°，易得GH= 四边形ABCD是平行四边形， BH. 智想卓 ..AC=20A.BD=20D. (5分) 22.解：任务1：设5月1日到5月3日该景区春日赏花专线客 ..AC=BD. (6分) 运收入的日平均增长率为x。 (1分) .口ABCD是矩形 (7分) 根据题意，得5(1+x)2=7.2. (2分) 19.解：存在。 (1分) 解这个方程，得x,=0.2=20%,x2=-2.2(不合题意，舍去). 由题意，得“加倍”矩形的周长为2×2×(3+2)=20. (3分) ∴.∠CEF=∠CHG 设“加倍”矩形的一边长为x,则另一边长为10-x 答：5月1日到5月3日该景区春日赏花专线客运收人的日 又.·∠ECF=∠HCG, (2分) 平均增长率为20%. (4分) .∴.△CEF∽△CHG. 根据题意，得x(10-x)=2×2×3. (4分) 任务2：设每份套餐的售价降低m元 (5分) EF CE 解得x,=5+V13,x2=5-V13 (5分) GH CH 所以另一边长为10-(5+√13)=5-V13,或10-(5-V13)= 根据题意，得(50-m2040+8×}120 (7分) 设GH=BH=y,则CH=BC-BH=3-y. 5+V13. (6分) 解这个方程，得m,=20,m2=0(不合题意，舍去). (8分) 3 7解得号 答：“加倍”矩形的长为5+V√13，宽为5-V13, (7分) .50-m=30. y 3-y 20.证明：(1)AELBC,AF⊥CD, 答：每份套餐的售价为30元. (9分) G=m-号 .∠AEB=∠AFD=90 (1分) 任务3：不能。 (10分) .:四边形ABCD是平行四边形， 设每份套餐的售价降低n元 在Rt△BHG中，BG=VCH+BF_9V2 7 .∠ABE=LADF. (2分) 根据题意，得(50-n2040+8×分引180 三、16.解：(1)这里a=2,b=-3,c=-6, (1分) .△ABE∽△ADF (4分) (2).△ABE∽△ADF, 整理，得n2-20n+150=0. .∵b2-4ac=9+48=57>0, (2分) 3±57 ∴.∠BAG=∠DAH. (5分) .△=(-20)2-4×1×150=400-600=-200<0， (11分) 3X7即3+573 (4分) 4 .AG=AH, .该方程无实数根 (2)原方程可变形为2(x-3)-3x(x-3)=0. (1分) ∴.AGH=∠AHG (6分) ·.该店平均每天的销售利润不能达到1800元.(12分) .(x-3)(2-3x)=0, (2分) .·∠AGH=∠BAG+∠ABG,∠AHG=∠DAH+∠ADH, 23.解：(1)正方形 (2分) (2)①AB=FH. (3分) 理由：如图，连接EG (4分) C D :点O为EF和GH的中点，且EF=GH, .0E=0F=0G=0H. 在△EOG和△FOH中， .0E=0F,∠E0G=∠F0H.0C=0H. .△EOG≌△FOH(SAS) (5分) ∴，EG=FH. (6分) .OE=0G. ∴.L0EG=L0GE ,四边形AEFD和GBCH都是矩形， ∴.∠AE0=∠BG0=90° ∴.∠AEO-∠OEG=LBGO-∠OGE,即MEG=LMGE .ME=MG. (7分) 由旋转的性质，得BG=AE ∴.BG-MG=AE-ME,即MB=MA. .点M为AE的中点， ∴.ME=MA ..MB=MA=ME=MG. 又.∠BMA=∠GME, .∴.△BMA≌△GME(SAS). (8分) ∴，AB=EG ∴，AB=FH (9分) ②6Y或v0 (13分) 13 5 解析：由①可得ME=MG,MB=MA. 怒船 又.∠GME=∠BMA, .△GME∽△BMA. EG ME ·ABMA 分两种情况：当MA=AE时，如图，连接OM,交EG于点P 正方形的边长为6， .EF=6,AE=3, ~MA与AE,点0为BF的中点， ∴.MA=1,ME=2,0E=3. 在Rt△ME0中，M0=VME2+OE=V13. .∵ME=MG,OE=OG, .MO垂直平分EG 1 .EG-2EP,SAwwo-ME-OE-MO-EP. EP-ME·0E6VI3 MO 13 .EG=2EP-12V13 13 w贤2 .AB=6V13 13 0 当MA=二AE时，如图，连接OM,交EG于点Q 智想卓育 同理可得MA=2,ME=1,OE=3,M0垂直平分EG 在Rt△ME0中，MO=VME2+OE2=V10. SAupo-2 ME-OE-2 MO-EQ. .EQ-ME-OE_3V10 M010 EG-2EQ-3V10 2 ME 1 :MA=AE,MA立 EG 1 。 AB 2 ∴AB-6VI0 5 综上所述，AB的长为6V下或5V10 13 5