期中综合检测试卷（一）-【名校作业】2026-2027学年九年级上册数学同步练习（北师大版·新教材）

班级： 姓名： 学号： 2026-2027学年第一学期期中综合检测试卷（一） 九年级数学北师版 (测试范固：第一章~第三章)》 (说明：本试卷为闭卷笔答，答题时间120分钟，满分120分) 题号 二 三 总分 得分 第I卷选择题（共30分）》 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.每小题只有一个选项符合题意，请选出并填 入下表相应的位置) 题号 1 2 3 6 7 8 9 10 选项 1已知则 的值为 a+b 3 3 3 2.一元二次方程x2-4x+3=0的根的情况是 A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 智想 C.只有一个实数根 D.没有实数根 3.如图，1/∥L,∥L,若AB=3,BC=4,DF=14,则DE的长为 B C A.3 B.4 C.6 D.8 4.小晨在参观土家族居民建筑时，被如图①所示的菱形图案所吸引，她从中提取出一个含60°角的 菱形ABCD,如图②.若AC=4.5,则菱形ABCD的周长为 60° D C ① ② A.24 B.16 C.20 D.18 5.小贝在解决问题“一块矩形铁片的面积为100cm,长比宽多3cm,求铁片的长”时，设铁片的长为 xcm,列出方程为x(x-3)=100.在估算一元二次方程x(x-3)=100的根时，小贝列表如下： 11.5 11.6 11.7 11.8 11.9 x(x-3) 97.75 99.76 101.79 103.84 105.91 由此可估算方程x(x-3)=100的一个根的大致范围是 A.11.5<x<11.6 B.11.6<x<11.7 C.11.7<x<11.8 D.11.8<x<11.9 6.如图，在口ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,下列说法不正确的是 A.若AB=AD,则□ABCD是菱形 B.若OA=OB,则口ABCD是矩形 0 C.若AB+BC=AC,则口ABCD是矩形 D.若AB=AC,ACLBD,则□ABCD是正方形 7.下列每组三角形，不一定相似的是 6 35 35 X45° 45 2.5 3.5 B D 8.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=8cm,BC=6cm,点P从点A出发沿AB边以1cm/s的速度向 点B运动，同时点Q从点B出发沿BC边以2cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点时，另 一点也随之停止运动.当△PBQ的面积为12cm时，点P的运动时间为 A.2s B.3s C.6s D.2s或6s 个 E H 0 AP→ B G 第8题图 第9题图 第10题图 9.如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABF,过点A作 AH⊥EF于点H,连接CH.若AD=3,DE=1,则CH的长为 A.2V5 B.V10 C.2V2 D.5 10.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在x轴的负半轴上，顶点B,C在y轴上且关于x轴对 称.将△ABC沿x轴正半轴方向平移a个单位长度，点A,B,C的对应点分别为点E,F,G,EF,EG 分别与y轴交于点M,N.若点A的坐标为(-3,0)，点B的坐标为(0,2)，点M,N的坐标分别为(0， m),(0,n).当点E在△ABC的内部时，下列说法正确的是 A.a=3,m+n=0 B.a=3,23 m a m 3-a C.a<3,23 na3,空号 第Ⅱ卷非选择题（共90分）》 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分.请将正确答案填在题中横线上） 11.一元二次方程x2-3x=0的解是 12.道路上的菱形标志名称为人行横道预告标线，作用是提醒驾驶人前方已接近人行横道，应减速 慢行，并需注意行人横过马路.若量得菱形标志ABCD的对角线AC=2m,BD=3m,则该标志的 面积为 13.正五角星的每条边被相交的边分为三段，在这些线段中，较短线段与较长线段的长度比蕴含着 黄金分割的数学原理.在如图所示的正五角星中，点C,D均为线段AB的黄金分割点，若AB= 10cm,则线段AC的长为 cm.(结果保留根号) D B D 第13题图 第14题图 第15题图 14.中秋节前夕，某超市购进一批月饼礼盒，进价为每盒35元.如果每盒的售价为52元，平均每天可 售出200盒.根据市场调研，售价每降低1元，平均每天可多售出10盒.为了迎接中秋销售高峰， 超市决定采取适当的调价措施.如果超市计划每天的月饼销售利润为2700元，那么每盒月饼的 售价应降低 元 15.如图，在矩形ABCD中，延长CD至点F,使FD=CD,点E为BC边上一点，且AE⊥AF,连接AC,DE, 相交于点0.若AD=2√3，AB=2,则线段0E的长为 三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16.（本题共2个小题，每小题5分，共10分)解方程： (1)2x2-7x+6=0; 2 (2)x2-12x-1=0. 17.（本题7分)如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别是OB,OC的中点，连 接AE,DF.求证：AE=DF. 卓育 18.（本题6分)如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A(0,3),B(4,5),C(3,2). 以点B为位似中心，画△A,BC1,使△A,BC,与△ABC位似，且相似比为2：1，并写出点C,的坐标. y个 5 4 3 2 -5-432+1012345 2 3 19.（本题7分)如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E,EFLAD于点F.求证：四边形 ABEF是正方形. D E 20.（本题9分)如图，小智同学使用手电筒进行物理光学实验，手电筒位于点G处，手电筒发出的光 线经平面镜点B反射后，落在墙上的点E处，点E到地面的垂直高度ED=4m,手电筒到墙的水 平距离AD=10.8m,点B到墙的距离DB=8m,点A,B,D在同一直线上，求手电筒到地面的高度 GA. E 多 想 地面面镜A 21.（本题10分)综合与实践 问题情境：在数学实践课上，老师让同学们就长方体收纳盒的制作展开讨论 如图①，长方形纸板的长为60cm,宽为30cm,将四角剪去四个相同的小长方形，可折叠成如图 ②所示的有盖长方体收纳盒，EF和HG恰好重合且无重叠 解决问题：设收纳盒的高为xcm (1)收纳盒底面ABCD的边BC= cm,AB= cm.（用含x的代数式表示) (2)若收纳盒底面ABCD的面积为500cm,求该收纳盒的高 F(G) D G D E E(H) B ① ② 卓育 22.(本题12分)阅读与思考 下面是小颖同学的一篇数学笔记，请仔细阅读并完成相应的任务. 三角形的“亲密菱形” 【概念理解】 若菱形的一个顶点与三角形的一个顶点重合，其余三个顶点均在三角形的三条边上，则称这个菱形为三 角形的“亲密菱形”.如图①，菱形BDEF是△ABC的“亲密菱形”. 4 D B ① ② 【问题解决】 如图②，在Rt△ABC中，∠A=90°，点E为AB边上一点，满足CE=BE,∠ACE=30°，ED平分LAEC交AC边于点 D,过点D作DF⊥CE交BC边于点F,连接EF 求证：四边形CDEF是△ABC的“亲密菱形” 证明：，∠A=90°，∠ACE=30°，∴.∠AEC=90°-LACE=60°， ED平分∠AEC,∠AED=∠CED 24AEC-30 .·.∠ACE=∠CED .CD=DE. :CE=BE,.∠BCE=∠B. ·.∠AEC=∠BCE+∠B, .∠BCE=∠B=30°. 任务： (1)请将材料中的证明过程补充完整 (2)尺规作图：如图③，△ABC是任意三角形，请作出△ABC的“亲密菱形”ADEF,点D,E,F分别 在AB,BC,AC边上（要求：不写作法，保留作图痕迹，标明字母），并说明理由. ③ 4 23.（本题14分)综合与探究 问题探究： (1)如图①，在正方形ABCD中，点E,F分别是BC,CD边上的点，且BE=CF,AE,BF相交于点O, 猜想AE与BF之间的数量关系和位置关系，并说明理由. 类比迁移： (2)如图②，在矩形ABCD中，点F为CD的中点，点E为BC边上一点，且AE⊥BF于点O.若CF= 2,BC=8,求CE的长， 拓展应用： (3)如图③，在矩形ABCD中，点E,F分别是BC,CD边上的点，AE垂直平分BF于点O.若AB=4, BE=2,请直接写出CF的长. D D 0 do B E E C ① ② ③ 卓育 参考答 -、15.ABCDB 6~10.DBADC 解析 2..△=(-4)2-4×1×3=4>0， .方程有两个不相等的实数根 4.四边形ABCD是菱形，∴.AB=BC 又：LB=60°，△ABC是等边三角形 .AB=AC=4.5..菱形ABCD的周长为4AB=18. 8.设点P的运动时间为ts. 根据题意，得AP=tcm,BQ=2tcm, ..BP=AB-AP=(8-t)cm. 1 Sam02BQBP=12,2X2x(8-t)=12 解这个方程，得=2,2=6（不合题意，舍去） 点P的运动时间为2s。 9..四边形ABCD是正方形， .∴.∠ABC=∠BCD=∠D=90°，CD=BC=AD=3 ∴.CE=CD-DE=2. 由旋转，得AF=AE,BF=DE=1,∠ABF=∠D=90° .∴.∠ABF+∠ABC=180° ∴C,B,F三点在同一条直线上 ∴.CF=BC+BF=4. 在Rt△CEF中，EF=VCE2+CF2=2V5. .AF=AE,AH⊥EF,∴.EH=FH. CH-2EF-V5. 10.如图，设FG与x轴交于点P .点A的坐标为(-3,0)，点B的坐标为(0,2)， .0A=3,0B=2 点B,C关于x轴对称， ,∴.AB=AC..∠ABC=∠ACB. 由平移，知FG∥BC,PF=OB=2,PE=OA=3,a<3,∠F= ∠ABC,∠G=∠ACB. .∴.∠EMN=∠F,∠ENM=∠G,∠F=∠G &△EM∽△EFG.∴FGEP MN EO ∠F=LG, 案及详解 即x-6=V37,或x-6=-√/37 (3分) 所以x1=6+V37,x2=6-V37. (5分) ∴.∠EMN=∠ENM.∴.EM=EN.∴.MN=2OM 17.证明：：四边形ABCD是矩形， ma0,2品即受92 (2分) 23 AG-BD.0A-OC-AC.OR-OD-RD. 二、11.x=0,x2=312.313.(15-5V5) ∴.0A=0D,0B=0C. (3分) 14.715.4v21 点E,F分别是OB,OC的中点， 15 解析 0E0B,0F=0c 13.点C,D均为线段AB的黄金分割点， ∴.OE=0F. (4分) BC-V5-lAB=V5-x10-5V5-10-(5V5-5)cm 在△AOE和△D0F中， 2 2 .OA=0D,∠AOE=∠D0F,OE=OF, .AC=AB-BC=10(5V5-5)=10-5V5+5=(15-5V5)cm. .△AOE≌△DOF(SAS). (6分) 14.设每盒月饼的售价应降低x元 ∴.AE=DF (7分) 根据题意，得(52-x-35)(200+10x)=2700. 18.解：如图，△ABC,即为所求 (4分) 解这个方程，得x=-10(不合题意，舍去)，x2=7. C,(2,-1). (6分) 所以每盒月饼的售价应降低7元」 15.:四边形ABCD是矩形， .∴.AD∥BC,CD=AB=2,BC=AD=2V3,∠BAD=∠B=∠BCD= ∠ADC=90° .∠ADF=90° FD=CD,.FD=2. .·AE⊥AF,.∠EAF=90°..∠BAD=∠EAF .∠BAD-∠DAE=∠EAF-∠DAE,即∠BAE=∠DAF 想卓育 又，∠B=∠ADF=90°，..△ABE∽△ADF AB BE 2V32BE=2V3 2 BE 即 AD DF' 19.证明：四边形ABCD是矩形， ∴.∠BAF=∠ABE=90°.∴.EB⊥AB. GE-BC-BE-2V3-2V3_4V3 (2分) 3 3 .EFLAD,.∠AFE=90° (3分) 2 +22=2V21 四边形ABEF是矩形. (4分) ∴.DE=VCE2+CD 4V3 3 3 AE平分LBAD,EBLAB,EFLAD, .EB=EF. (6分) .'AD∥BC,.∴∠OAD=∠OCE,∠ODA=∠OEC .矩形ABEF是正方形 (7分) .∴.△OAD∽△OCE. 20.解：由题意，得∠GAB=∠EDB=90°，AB=AD-BD=10.8-8=2.8 OD AD 2V3 3 OE CE 4V3 2 OD V 15 (m). (2分) 3 .·∠ABG=∠DBE, 三、16.解：(1)这里a=2,b=-7,c=6. (1分) .△GAB∽△EDB. (4分) .:b2-4ac=(-7)2-4×2×6=1>0, (2分) GA AB 7±77±1 ED DB (6分) 2×24, (3分) GA2.8 GA=1.4 (8分) 3 即x=2,x2 (5分) 答：手电筒到地面的高度GA为1.4m. (9分) （2)配方，得(x-6)2-37=0. 21.解：(1)(30-2x) (2分) 移项，得(x-6)2=37. (2分) (30-x) (4分) 两边开平方，得x-6=±V37, (2)根据题意，得(30-2x)(30-x)=500. (6分) 解这个方程，得x,=5,x2=40(不合题意，舍去). (9分) 答：该收纳盒的高为5cm. (10分) 22.解：(1).·.∠CED=∠BCE. .DE∥CF (1分) 如图，设CE与DF交于点O. E .DF⊥CE,∴.∠C0D=∠C0F=90° .'∠ACE=∠BCE=30°， .∴.180°-∠COD-∠ACE=180°-∠COF-∠BCE,即∠CDF= ∠CFD. ..CD=CF..DE=CF. (2分) 四边形CDEF是平行四边形. (3分) 又：DFLCE, ∴口CDEF是菱形. (5分) ∴四边形CDEF是△ABC的“亲密菱形” (6分) (2)如图，四边形ADEF即为所求作， (9分) D 理由：由作图，知DF是AE的垂直平分线，∠FAE=∠DAE. ,∴.AF=EF,AD=DE,∠AHF=∠AHD=90° (10分) ∴.180°-∠AHF-∠FAE=180°-∠AHD-∠DAE,即∠AFD= ∠ADF ∴.AD=AF ∴.AD=AF=DE=EF (11分) 四边形ADEF是菱形 ∴四边形ADEF是△ABC的“亲密菱形” (12分) 23.解：(1)AE=BF,AELBF (2分) 理由：四边形ABCD是正方形， ∴.AB=BC,∠ABE=∠C=90° 在△ABE和△BCF中，'AB=BC,∠ABE=∠C,BE=CF, .∴.△ABE≌△BCF(SAS) (3分) .∴.AE=BF,∠BAE=∠CBF (4分) .∠ABE=90°，.∠BAE+∠AEB=90° ∴.∠CBF+∠AEB=90° .∴.∠BOE=90°..AE⊥BF. (5分) (2)四边形ABCD是矩形， ∴.AB=CD,∠ABE=∠C=90. (6分) .∴.∠BAE+∠AEB=90° .AE⊥BF,.∴.∠BOE=90°. ,∴.∠CBF+∠AEB=90°..∴∠BAE=∠CBF (7分) 又：∠ABE=LC,△ABE△BCF. (8分) AB BE BC CF 点F是CD的中点，∴.CD=2CF=4.∴AB=4. 4 BE …82 ∴.BE=1. (10分) ∴.CE=BC-BE=8-1=7. (11分) a (14分) 解析方法一：如图，连接EF 0 E ,AE垂直平分BF,∴.BE=EF=2 与(2)同理，得△ABE△BCF. 器即0品 BC-CF.BC=2CF. 设CF=x,则BC=2,.CE=2x-2. 在Rt△CEF中，CE+CF=EF, 8 即(2x-2P+-2,解得x写=0（舍去）】 CF的长为餐 方法二：如图，连接EF,AF. .四边形ABCD是矩形， ∴.∠ABE=∠C=∠D=90°，AD=BC,DC=AB=4. :AE垂直平分BF,∴AB=AF=4,BE=FE=2. 在△ABE和△AFE中，，AB=AF,BE=FE,AE=AE, .△ABE≌△AFE. .∴∠ABE=∠AFE=90°.∴.∠AFD+∠CFE=90. .·∠C=90°，·.∠FEC+∠CFE=90° ∴.∠AFD=∠FEC 又∠D=∠C, △ADAP0R402E 与(2)同理，得△ABE∽△BCF 把器即流忌 BCCFBC-2CE. 设CF=x,则BC=2x,∴.CE=2x-2. ..AD=2x,DF=DC-CF=4-x. 号部得号 Γ5 CF的长为 5 智想卓育