12.12 勾股定理的逆定理（第1课时）课件 2026-2027学年北京版数学八年级上册

第12章 三角形 12.12 勾股定理的逆定理 （第1课时）三角形形状的判断 八年级上册　数学（北京版） 学习目标 本课学习目标 理解 区分勾股定理与其逆定理的条件和结论。 证明 用构造直角三角形和SSS证明逆定理。 判断 选最长边，比较平方和，判断直角三角形。 复习引入 原定理与逆命题 原定理 在直角三角形中，两直角边平方和等于斜边平方。 交换 若三角形三边满足平方关系，能否推出有直角？ 随堂探究 探究　写出逆命题 写出勾股定理的逆命题，并判断它的真假。 答：逆命题为：若三边满足，则三角形是直角三角形。它是真命题。 解 交换原定理的条件与结论。 下面用作图和证明检验。 方法：交换原命题的条件与结论。 注意：逆命题的真假需要另行证明。 随堂探究 探究　作图检验一组边 三条线段长分别为8cm、15cm、17cm。作出以它们为三边的三角形，量一量c边所对的角。 答：c边所对的角为90°。 解 先作17cm的边，再用8cm、15cm为半径交弧。 连结交点与端点，量角并核验。 方法：以最长边为底，用另两边长交弧。 注意：量角用于猜想，精确等式用于证明。 随堂探究 探究　检验另两组三边 分别以3cm、4cm、5cm；5cm、12cm、13cm为边长作三角形，判断形状。 答：都为直角三角形。 解 。 。 方法：先选最长边，比较三边平方。 注意：比较最长边的平方，不要比较边长之和。 知识讲授 勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长满足，那么这个三角形是直角三角形。 满足关系时，边最长。 直角是边所对的角。 知识讲授 两条定理的使用方向 勾股定理 已知直角，研究三边数量关系。 逆定理 已知三边数量关系，判断直角。 随堂探究 探究　逆定理证明：构造 已知中且。求证。先构造一个比较三角形。 答：作，使。 解 新三角形的两直角边与原三角形的两边对应相等。 由勾股定理，。 方法：构造两直角边为a、b的直角三角形。 注意：只能对新构造的直角三角形用勾股定理。 随堂探究 探究　逆定理证明：全等 仍已知且。已作，怎样推出？ 答：，所以。 解 ，边长均正，故。 三边分别相等，用SSS判定全等。 对应角。 方法：求出第三边，再用SSS判定全等。 注意：边长为正，平方相等可推出边长相等。 知识讲授 为什么先找最长边 直角的对边 直角三角形的斜边一定最长。 判断方法 比较“两条较短边的平方和”与“最长边的平方”。 随堂探究 探究　边的顺序可调整 三角形三边为13、5、12，应比较哪两个量？ 答：与，二者相等。 解 最长边为13，不一定写在题目最后。 所以13所对的角为直角。 方法：先选最长边，比较三边平方。 注意：比较最长边的平方，不要比较边长之和。 例题讲解 例　判断直角三角形 判断下列以为边的三角形是否为直角三角形。 （1） 。 （2） 。 解第（1）题 是直角三角形。 最长边为。 ，用逆定理。 方法：先选最长边，比较三边平方。 注意：比较最长边的平方，不要比较边长之和。 例题讲解 例　判断直角三角形 判断下列以为边的三角形是否为直角三角形。 （1） 。 （2） 。 解第（2）题 不是直角三角形。 最长边为7。 。 若它是直角三角形，则应满足勾股定理，产生矛盾。 方法：先选最长边，比较三边平方。 注意：比较最长边的平方，不要比较边长之和。 随堂探究 探究　例题变式：数据有根号 判断边长为、、的三角形是否为直角三角形。 答：是。 解 最长边为。 。 方法：先求三边平方，再比较平方和。 注意：含根号的边也须先确认哪条最长。 随堂探究 探究　例题变式：平方关系不成立 三角形三边为4、5、6，是否为直角三角形？ 答：不是。 解 最长边6。 。 方法：先选最长边，比较三边平方。 注意：比较最长边的平方，不要比较边长之和。 课堂练习 练习　三个正方形围出的三角形 如图，边长分别为3、4、5的三个正方形如图摆放，则所围成的三角形是直角三角形，为什么？ 答：三角形三边长为3、4、5，满足勾股定理的逆定理。 解 正方形的各边相等，故三角形三边就是3、4、5。 。 方法：利用正方形各边相等读出三角形边长。 注意：判定依据是三边平方关系，不是图形外观。 知识讲授 正方形面积的解释 三边正方形 三边上的正方形面积分别等于三边长的平方。 面积关系 较小两个正方形面积和等于最大正方形面积，可判断三角形为直角。 随堂探究 辨析　判断过程辨析 （1）三角形的两边平方和等于第三边平方时，它是直角三角形。 √ 理由：前提已经是三角形，符合逆定理。 （2）较短两边平方和不等于最长边平方，就不是直角三角形。 √ 理由：否则与勾股定理矛盾。 （3）三边长为2、3、5的三角形不是直角三角形。 × 理由：2+3=5，不能组成三角形。 方法：逐句判断，再用定义或反例说明。 注意：判断结论同时检查取值条件。 随堂探究 探究　比例不改变平方关系 三边为6、8、10的三角形为什么与3、4、5一样是直角三角形？ 答：三边同乘2，平方关系两边同乘4，仍成立。 解 。 。 方法：将三边表示为同一正数乘以三个比值。 注意：同乘k后，三边平方都乘以。 归纳总结 阶段整理：完整判断 先检查 若只给三条线段，先确认能组成三角形。 再比较 选最长边，比较两个较短边的平方和。 写依据 相等用逆定理，不相等由勾股定理排除。 随堂探究 探究　直角所在位置 在中，，哪个角为直角？ 答：。 解 。 最长边AB所对的角为C。 方法：先判断直角三角形，再定位最长边对角。 注意：不能把最长边的邻角当作直角。 随堂探究 探究　从面积还原判断 三角形三边上正方形面积分别为9、16、25，能确定三角形形状吗？ 答：能确定为直角三角形。 解 两较小面积和等于最大面积。 即三边平方满足勾股关系。 方法：把正方形面积直接看作相应边长的平方。 注意：已给的是面积，不要再平方一次。 随堂探究 探究　不能把边长相加 边长3、4、7的三条线段满足3+4=7，是直角三角形吗？ 答：不是，它们不能组成三角形。 解 三角形两边之和须大于第三边。 逆定理比较的是平方，不是边长和。 方法：先检查两条较短线段和是否大于最长线段。 注意：等于时三点共线，不能围成三角形。 课堂总结 三角形形状的判断 逆命题 交换原定理的条件与结论。 逆定理 平方和等式推出直角三角形。 证明 构造直角三角形并用SSS。 应用 判断角与检验实际垂直。 特别提醒：比较最长边的平方，不要比较边长之和。 针对训练 训练1　选择：直角三角形 哪组三边组成直角三角形？A.4、6、8　B.7、24、25　C.5、6、7 答：B 解 。 方法：先选最长边，比较三边平方。 注意：比较最长边的平方，不要比较边长之和。 针对训练 训练2　基础判断 三边8、15、17是否组成直角三角形？ 答：是。 解 。 方法：先选最长边，比较三边平方。 注意：比较最长边的平方，不要比较边长之和。 针对训练 训练3　否定判断 三边6、7、9是否为直角三角形？ 答：不是。 解 。 方法：先选最长边，比较三边平方。 注意：比较最长边的平方，不要比较边长之和。 针对训练 训练4　根式判断 三边1、、2是否为直角三角形？ 答：是。 解 。 方法：先求三边平方，再比较平方和。 注意：含根号的边也须先确认哪条最长。 针对训练 训练5　无序数据 三边25、15、20是否为直角三角形？ 答：是。 解 取25为最长边，。 方法：先选最长边，比较三边平方。 注意：比较最长边的平方，不要比较边长之和。 针对训练 训练6　小数数据 三边0.5、1.2、1.3是否为直角三角形？ 答：是。 解 。 方法：先选最长边，比较三边平方。 注意：比较最长边的平方，不要比较边长之和。 针对训练 训练7　角的定位 在中，，求最大的角。 答：。 解 。 最长边BC所对的是A。 方法：先判断直角三角形，再定位最长边对角。 注意：不能把最长边的邻角当作直角。 针对训练 训练8　比例判断 三边之比为9∶12∶15，是否为直角三角形？ 答：是。 解 设三边9k、12k、15k，。 。 方法：将三边表示为同一正数乘以三个比值。 注意：同乘k后，三边平方都乘以。 针对训练 训练9　不能成三角形 长度为1、2、3的线段能否围成直角三角形？ 答：不能，连三角形也围不成。 解 1+2=3，不满足严格三角不等式。 方法：先检查两条较短线段和是否大于最长线段。 注意：等于时三点共线，不能围成三角形。 针对训练 训练10　正方形面积 三角形三边上正方形面积为20、25、45，判断形状。 答：直角三角形。 解 20+25=45，对应三边平方关系。 方法：把正方形面积直接看作相应边长的平方。 注意：已给的是面积，不要再平方一次。 针对训练 训练11　根式三边 三边为、、，是否为直角三角形？ 答：是。 解 三边平方8、12、20，8+12=20。 方法：先求三边平方，再比较平方和。 注意：含根号的边也须先确认哪条最长。 针对训练 训练12　反例 给出一个有两边为3、4但不是直角三角形的例子。 答：例如三边3、4、6。 解 满足三角不等式，且9+16≠36。 方法：先保证能成三角形，再排除平方关系。 注意：一个符合条件的反例即可说明不一定。 针对训练 训练13　条件补充 三角形两较短边长2、7，最长边为。若要为直角三角形，应为多少？ 答：。 解 应满足。 方法：令最长边平方等于两较短边平方和。 注意：边长取正值，并检查它确为最长边。 针对训练 训练14　公式关系 三边为的三角形中，若，能否判断是直角三角形？ 答：能。 解 展开消去，得。 方法：展开完全平方，把关系化为勾股等式。 注意：展开时不要漏掉。 针对训练 训练15　应用：地面放样 在地面上从同一点O引出两条射线，分别量取OA=9米、OB=12米，测得AB=15米。两条射线是否垂直？ 答：垂直。 解 三边满足。 9米与12米所夹的角为直角。 方法：把同一起点和两个测量端点连成三角形。 注意：要判断的是9米与12米两边所夹的角。 针对训练 训练16　应用：支架检查 三角支架三边精确长为20、21、29厘米，能否认定其中一个角是直角？说明理由。 答：能，29厘米边所对的角为直角。 解 。 根据勾股定理的逆定理判断。 方法：用精确边长验证两短边平方和。 注意：指出29厘米边所对的角为直角。 方法总结 本课解题方法 最长边比较法 （1）先选最长边，比较三边平方。 （2）等式成立时指出最长边对角为直角。 条件审查法 （1）三条线段先检查能否成三角形。 （2）区分测量猜想与精确证明。 $