12.1 三角形（第1课时）课件 2026-2027学年北京版数学八年级上册

第12章 三角形 12.1 三角形 （第1课时）三角形的概念与稳定性 八年级上册　数学（北京版） 学习目标 学习目标 理解 认识三角形、顶点、边和内角，正确读写三角形。 运用 利用稳定性解释支架结构，并准确识别组合图形中的三角形。 复习引入 问题引入 观察 桥梁拉索与主梁围出了哪些图形？ 思考 用三根木条搭成的封闭图形，与四根木条搭成的框架有什么不同？ 知识讲授 三角形 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫作三角形。 三条边首尾相接，围成封闭图形。 三点不能在同一条直线上，边也不能用曲线代替。 知识讲授 三角形的表示 符号 读作“三角形”。 组成 点是顶点，是边，是内角。 随堂探究 探究　木条实验 选取三根长度适当的木条组成一个三角形，使每两根木条的连接处可以转动。用手轻轻推拉，观察现象。 答：三角形的形状和大小固定不变。 解 每根木条长度保持不变。 三条边连接后，顶点之间的位置受到约束。 方法：对照三角形定义逐项判断。 注意：三条边需首尾连接且不共线。 知识讲授 三角形的稳定性 实验发现 三角形的形状和大小固定不变了，这个特征称为三角形的稳定性。 生活应用 支架中的三角形能保持结构形状。使用这一结论时，木条长度和连接关系要保持不变。 随堂探究 探究　新首钢大桥 斜拉索与主梁构成一个个三角形。这种结构有什么作用？ 答：利用三角形的稳定性保持结构的形状。 解 将拉索、主梁和连接点抽象为三角形的边与顶点。 方法：对照三角形定义逐项判断。 注意：三条边需首尾连接且不共线。 随堂探究 探究　发射架中的三角形 火箭发射架被焊接成很多个三角形的形状，你知道其中的道理吗？再举一个生活中的例子。 答：利用三角形的稳定性；如自行车三角形车架。 解 先找出围成三角形的三个构件，再解释其保持形状的作用。 方法：对照三角形定义逐项判断。 注意：三条边需首尾连接且不共线。 随堂探究 变式　三个条件缺一不可 三条线段首尾连接但在同一直线上，组成三角形吗？ 答：不能。 解 定义还要求三条线段不在同一直线上。 方法：对照三角形定义逐项判断。 注意：三条边需首尾连接且不共线。 随堂探究 变式　名称与顺序 △ABC还能用哪些字母顺序表示？ 答：△ACB、△BAC、△BCA、△CAB、△CBA。 解 三个顶点的顺序改变，不会改变这个三角形。 方法：对照三角形定义逐项判断。 注意：三条边需首尾连接且不共线。 知识讲授 顶点、边与角的对应 角与边 顶点处的角由两边组成，与这个角相对。 读图习惯 先点名三个顶点，再沿边走一圈，避免把图中的任意三点都当成一个三角形。 随堂探究 探究　含有一条内部线段 D在线段BC上，连接AD。图中共有几个三角形？ 答：3个：△ABD、△ACD、△ABC。 解 分别按小三角形与整体三角形计数。 方法：对照三角形定义逐项判断。 注意：三条边需首尾连接且不共线。 知识讲授 阶段整理 识别依据 三条线段、首尾顺次相接、不在同一直线上，需要同时满足。 结构分析 判断稳定性时，要看三角形是否由不变长的构件连接而成。 课堂总结 三角形的概念与稳定性 定义 三个条件同时满足 表示 三个顶点确定名称 组成 三边、三角、三顶点 应用 稳定性解释结构 特别提醒：三条边需首尾连接且不共线。 针对训练 训练1　定义辨析 完成下列问题，并说明理由。 （1） 三条弯曲的绳子围成封闭图形，是三角形吗？ （2） 三条线段只有两处连接，是三角形吗？ 解第（1）题 不是。 边必须是线段。 方法：对照三角形定义逐项判断。 注意：三条边需首尾连接且不共线。 针对训练 训练1　定义辨析 完成下列问题，并说明理由。 （1） 三条弯曲的绳子围成封闭图形，是三角形吗？ （2） 三条线段只有两处连接，是三角形吗？ 解第（2）题 不是。 必须首尾顺次相接并闭合。 方法：对照三角形定义逐项判断。 注意：三条边需首尾连接且不共线。 针对训练 训练2　顶点与边 完成下列问题，并说明理由。 （1） △PQR的三个顶点是什么？ （2） △PQR的三条边是什么？ 解第（1）题 P、Q、R。 三角形名称中的三个字母表示顶点。 方法：对照三角形定义逐项判断。 注意：三条边需首尾连接且不共线。 针对训练 训练2　顶点与边 完成下列问题，并说明理由。 （1） △PQR的三个顶点是什么？ （2） △PQR的三条边是什么？ 解第（2）题 PQ、QR、RP。 依次连接相邻顶点。 方法：对照三角形定义逐项判断。 注意：三条边需首尾连接且不共线。 针对训练 训练3　内角命名 完成下列问题，并说明理由。 （1） 在△ABC中，顶点B处的角用三个字母怎样表示？ （2） 在△DEF中，边DE所对的顶点是什么？ 解第（1）题 或。 顶点B必须写在中间。 方法：对照三角形定义逐项判断。 注意：三条边需首尾连接且不共线。 针对训练 训练3　内角命名 完成下列问题，并说明理由。 （1） 在△ABC中，顶点B处的角用三个字母怎样表示？ （2） 在△DEF中，边DE所对的顶点是什么？ 解第（2）题 F。 不在线段DE端点上的顶点是F。 方法：对照三角形定义逐项判断。 注意：三条边需首尾连接且不共线。 针对训练 训练4　顺序不改变图形 完成下列问题，并说明理由。 （1） △ABC与△BCA是否表示同一个三角形？ （2） △ABC与△ABD一定表示同一个三角形吗？ 解第（1）题 是。 三个顶点完全相同。 方法：对照三角形定义逐项判断。 注意：三条边需首尾连接且不共线。 针对训练 训练4　顺序不改变图形 完成下列问题，并说明理由。 （1） △ABC与△BCA是否表示同一个三角形？ （2） △ABC与△ABD一定表示同一个三角形吗？ 解第（2）题 不一定。 C与D可能是不同的点。 方法：对照三角形定义逐项判断。 注意：三条边需首尾连接且不共线。 针对训练 训练5　边的表示 完成下列问题，并说明理由。 （1） AB与BA是不是同一条线段？ （2） ∠ABC与∠ACB是不是同一个角？ 解第（1）题 是。 线段的端点相同。 方法：对照三角形定义逐项判断。 注意：三条边需首尾连接且不共线。 针对训练 训练5　边的表示 完成下列问题，并说明理由。 （1） AB与BA是不是同一条线段？ （2） ∠ABC与∠ACB是不是同一个角？ 解第（2）题 不是。 顶点分别是B和C；即使度数相等，也不是同一个角。 方法：对照三角形定义逐项判断。 注意：三条边需首尾连接且不共线。 针对训练 训练6　周长 完成下列问题，并说明理由。 （1） 三边长4 cm、5 cm、6 cm的三角形周长是多少？ （2） 三角形周长18 cm，两边5 cm、6 cm，第三边长多少？ 解第（1）题 15 cm。 周长为4+5+6。 方法：对照三角形定义逐项判断。 注意：三条边需首尾连接且不共线。 针对训练 训练6　周长 完成下列问题，并说明理由。 （1） 三边长4 cm、5 cm、6 cm的三角形周长是多少？ （2） 三角形周长18 cm，两边5 cm、6 cm，第三边长多少？ 解第（2）题 7 cm。 18−5−6=7。 方法：对照三角形定义逐项判断。 注意：三条边需首尾连接且不共线。 针对训练 训练7　等长边计算 完成下列问题，并说明理由。 （1） 一个三角形三条边均长6 cm，周长是多少？ （2） 一个三角形三边均等长，周长27 cm，一边长多少？ 解第（1）题 18 cm。 6×3=18。 方法：对照三角形定义逐项判断。 注意：三条边需首尾连接且不共线。 针对训练 训练7　等长边计算 完成下列问题，并说明理由。 （1） 一个三角形三条边均长6 cm，周长是多少？ （2） 一个三角形三边均等长，周长27 cm，一边长多少？ 解第（2）题 9 cm。 27÷3=9。 方法：对照三角形定义逐项判断。 注意：三条边需首尾连接且不共线。 针对训练 训练8　长度单位 完成下列问题，并说明理由。 （1） 三角形三边为30 mm、4 cm、5 cm，周长多少厘米？ （2） 三角形两边长0.5 m、40 cm，周长1.4 m，第三边多少厘米？ 解第（1）题 12 cm。 30 mm=3 cm，再相加。 方法：对照三角形定义逐项判断。 注意：三条边需首尾连接且不共线。 针对训练 训练8　长度单位 完成下列问题，并说明理由。 （1） 三角形三边为30 mm、4 cm、5 cm，周长多少厘米？ （2） 三角形两边长0.5 m、40 cm，周长1.4 m，第三边多少厘米？ 解第（2）题 50 cm。 统一为厘米：140−50−40=50。 方法：对照三角形定义逐项判断。 注意：三条边需首尾连接且不共线。 针对训练 训练9　稳定条件 完成下列问题，并说明理由。 （1） 把三角形框架的一根木条换成可伸缩杆，形状还一定不变吗？ （2） 三根木条的连接处可以转动，就一定能改变三角形形状吗？ 解第（1）题 不一定。 边长固定的条件改变了。 方法：对照三角形定义逐项判断。 注意：三条边需首尾连接且不共线。 针对训练 训练9　稳定条件 完成下列问题，并说明理由。 （1） 把三角形框架的一根木条换成可伸缩杆，形状还一定不变吗？ （2） 三根木条的连接处可以转动，就一定能改变三角形形状吗？ 解第（2）题 不能。 三边长度固定并首尾连接时具有稳定性。 方法：对照三角形定义逐项判断。 注意：三条边需首尾连接且不共线。 针对训练 训练10　组合计数 完成下列问题，并说明理由。 （1） D在线段BC内部，已连接AD。最小的三角形有哪些？ （2） 同一图中，包含点D且D为顶点的三角形有几个？ 解第（1）题 △ABD、△ACD。 沿每个封闭区域的边界识别。 方法：对照三角形定义逐项判断。 注意：三条边需首尾连接且不共线。 针对训练 训练10　组合计数 完成下列问题，并说明理由。 （1） D在线段BC内部，已连接AD。最小的三角形有哪些？ （2） 同一图中，包含点D且D为顶点的三角形有几个？ 解第（2）题 2个。 D不是△ABC的顶点。 方法：对照三角形定义逐项判断。 注意：三条边需首尾连接且不共线。 针对训练 训练11　顶点位置 完成下列问题，并说明理由。 （1） 点D在线段AB内部，△ACD的三条边是什么？ （2） 点D在线段AB内部，△BCD的三个角是什么？ 解第（1）题 AC、CD、DA。 只沿A、C、D三个顶点连接。 方法：对照三角形定义逐项判断。 注意：三条边需首尾连接且不共线。 针对训练 训练11　顶点位置 完成下列问题，并说明理由。 （1） 点D在线段AB内部，△ACD的三条边是什么？ （2） 点D在线段AB内部，△BCD的三个角是什么？ 解第（2）题 。 每个顶点各有一个内角。 方法：对照三角形定义逐项判断。 注意：三条边需首尾连接且不共线。 针对训练 训练12　图形是否完整 完成下列问题，并说明理由。 （1） 画了AB、BC、CA，又画一条AD，原△ABC还存在吗？ （2） 若擦去△ABC的边BC的一段，剩下的三条线还是完整三角形吗？ 解第（1）题 存在。 增加线段不改变原来的三条边。 方法：对照三角形定义逐项判断。 注意：三条边需首尾连接且不共线。 针对训练 训练12　图形是否完整 完成下列问题，并说明理由。 （1） 画了AB、BC、CA，又画一条AD，原△ABC还存在吗？ （2） 若擦去△ABC的边BC的一段，剩下的三条线还是完整三角形吗？ 解第（2）题 不是。 边界已不闭合。 方法：对照三角形定义逐项判断。 注意：三条边需首尾连接且不共线。 针对训练 训练13　三分底边的计数 B、D、E、C依次共线，A不在该直线上，连接AB、AD、AE、AC。共有几个三角形？ 答：6个。 解 底边端点可从B、D、E、C中选两点：BD、BE、BC、DE、DC、EC。 方法：对照三角形定义逐项判断。 注意：三条边需首尾连接且不共线。 针对训练 训练14　最少加一根杆 一个可活动的四边形木框，用一根木条怎样加固？ 答：连接一组不相邻顶点。 解 对角线将木框分成两个三角形，利用稳定性加固。 方法：对照三角形定义逐项判断。 注意：三条边需首尾连接且不共线。 针对训练 训练15　应用：相框支撑 长方形展板背面有四角A、B、C、D。只能安装一根支撑条，应连接相邻两角还是不相邻两角？说明理由。 答：连接不相邻两角。 解 形成两个三角形可限制框架变形；沿原边重复安装不能形成新的三角形。 方法：对照三角形定义逐项判断。 注意：三条边需首尾连接且不共线。 针对训练 训练16　应用：三角形围栏 花圃围成三角形，三边分别长7 m、8 m、9 m。留出2 m入口，需要多长围栏？ 答：22 m。 解 总边长7+8+9=24 m，减去入口2 m。 方法：对照三角形定义逐项判断。 注意：三条边需首尾连接且不共线。 方法总结 三角形的概念与稳定性 按定义识图 （1）检查线段与连接方式 （2）沿边界依次点名顶点 分层分析结构 （1）先识别局部三角形 （2）再分析整体结构与稳定性 $