12.6 等腰三角形（第1课时）课件 2026-2027学年北京版数学八年级上册

第12章 三角形 12.6 等腰三角形 （第1课时）等边对等角 八年级上册　数学（北京版） 学习目标 学习目标 理解 掌握等腰三角形等边对等角的性质与证明。 运用 结合内角和解决等腰三角形的角度问题。 复习引入 问题引入 观察 把等腰三角形沿顶点与底边中点附近折叠，会看到什么？ 思考 怎样通过全等三角形，把观察到的两底角相等变成证明？ 知识讲授 等腰三角形的要素 相等的两边 AB=AC，AB、AC是腰，BC是底边。 角的名称 两腰夹角∠A是顶角，∠B、∠C是底角。 随堂探究 探究　五角星中的等腰三角形 通过折纸条画出规则五角星，观察并指出其中的等腰三角形。 答：五角星中的10个三角形都是等腰三角形。 解 有5个尖角小三角形和5个较大三角形，按大小分层可避免漏数。 方法：由等边得底角相等，再用内角和。 注意：未说明的已知角要分类讨论。 随堂探究 探究　性质的证明 在△ABC中AB=AC，证明∠B=∠C。 答：∠B=∠C。 解 作∠BAC的平分线AD。AB=AC、AD公共、夹角相等，由SAS全等。 对应角相等，得∠B=∠C。 方法：核对对应条件，用SAS证明全等。 注意：未说明的已知角要分类讨论。 知识讲授 等腰三角形性质定理1 等腰三角形的两个底角相等（简记为：等边对等角）。 在中，可推出。 顶角与两个相等底角的和为，可据此列方程。 例题讲解 例 1 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°。求∠B、∠C分别等于多少度。 答：∠B=∠C=30°。 解 等边对等角得∠B=∠C。 两底角和为180°−120°=60°，各为30°。 方法：由等边得底角相等，再用内角和。 注意：未说明的已知角要分类讨论。 随堂探究 变式　由底角求顶角 等腰三角形一个底角为48°，顶角多少度？ 答：84°。 解 180°−2×48°=84°。 方法：由等边得底角相等，再用内角和。 注意：未说明的已知角要分类讨论。 随堂探究 探究　两个等腰三角形叠放 在△ABC中AB=AC，在△PBC中PB=PC，P在△ABC内部。找出图中相等的角。 答：∠ABC=∠ACB，∠PBC=∠PCB，∠ABP=∠ACP。 解 先分别用等边对等角，再由大角减去小角得到第三组。 方法：由等边得底角相等，再用内角和。 注意：未说明的已知角要分类讨论。 课堂练习 练习1 已知：在△ABC中，AB=AC，∠B=2∠A。求∠A等于多少度。 答：∠A=36°。 解 ∠B=∠C=2∠A，故5∠A=180°。 方法：由等边得底角相等，再用内角和。 注意：未说明的已知角要分类讨论。 课堂练习 练习2 已知：在△ABC中，AB=AC，∠B−∠A=30°。求∠A等于多少度。 答：∠A=40°。 解 设∠A=x，则两底角均为x+30°，3x+60°=180°。 方法：由等边得底角相等，再用内角和。 注意：未说明的已知角要分类讨论。 课堂练习 练习3 已知：在△ABC中，AB=AC，∠A=90°。求∠B、∠C等于多少度。 答：∠B=∠C=45°。 解 两底角相等且和为90°。 方法：由等边得底角相等，再用内角和。 注意：未说明的已知角要分类讨论。 知识讲授 角未指明时的分类 可能是顶角 已知一角60°或其他锐角时，可先把它作为顶角。 可能是底角 再把该角作为底角；检查顶角是否为正角，删去不成立的情况。 课堂总结 等边对等角 要素 腰、底边、顶角、底角 性质 等边对等角 计算 内角和结合等角 分类 给定角身份不明 特别提醒：未说明的已知角要分类讨论。 针对训练 训练1　顶角与底角 完成下列问题，并说明理由。 （1） 等腰三角形顶角40°，求每个底角。 （2） 等腰三角形底角55°，求顶角。 解第（1）题 70°。 两底角相等，平分剩余角度。 方法：由等边得底角相等，再用内角和。 注意：未说明的已知角要分类讨论。 针对训练 训练1　顶角与底角 完成下列问题，并说明理由。 （1） 等腰三角形顶角40°，求每个底角。 （2） 等腰三角形底角55°，求顶角。 解第（2）题 70°。 180°减去两个底角。 方法：由等边得底角相等，再用内角和。 注意：未说明的已知角要分类讨论。 针对训练 训练2　顶角与底角 完成下列问题，并说明理由。 （1） 等腰三角形顶角70°，求每个底角。 （2） 等腰三角形底角35°，求顶角。 解第（1）题 55°。 两底角相等，平分剩余角度。 方法：由等边得底角相等，再用内角和。 注意：未说明的已知角要分类讨论。 针对训练 训练2　顶角与底角 完成下列问题，并说明理由。 （1） 等腰三角形顶角70°，求每个底角。 （2） 等腰三角形底角35°，求顶角。 解第（2）题 110°。 180°减去两个底角。 方法：由等边得底角相等，再用内角和。 注意：未说明的已知角要分类讨论。 针对训练 训练3　顶角与底角 完成下列问题，并说明理由。 （1） 等腰三角形顶角110°，求每个底角。 （2） 等腰三角形底角65°，求顶角。 解第（1）题 35°。 两底角相等，平分剩余角度。 方法：由等边得底角相等，再用内角和。 注意：未说明的已知角要分类讨论。 针对训练 训练3　顶角与底角 完成下列问题，并说明理由。 （1） 等腰三角形顶角110°，求每个底角。 （2） 等腰三角形底角65°，求顶角。 解第（2）题 50°。 180°减去两个底角。 方法：由等边得底角相等，再用内角和。 注意：未说明的已知角要分类讨论。 针对训练 训练4　角的倍数 完成下列问题，并说明理由。 （1） 等腰三角形底角是顶角3倍，求顶角。 （2） 顶角是底角2倍，求顶角。 解第（1）题 。 设顶角x，则x+3x+3x=180°。 方法：由等边得底角相等，再用内角和。 注意：未说明的已知角要分类讨论。 针对训练 训练4　角的倍数 完成下列问题，并说明理由。 （1） 等腰三角形底角是顶角3倍，求顶角。 （2） 顶角是底角2倍，求顶角。 解第（2）题 90°。 2x+x+x=180°，顶角为2x。 方法：由等边得底角相等，再用内角和。 注意：未说明的已知角要分类讨论。 针对训练 训练5　角的差 完成下列问题，并说明理由。 （1） 顶角比底角大30°，求顶角。 （2） 底角比顶角大15°，求顶角。 解第（1）题 80°。 设底角x，3x+30°=180°，顶角80°。 方法：由等边得底角相等，再用内角和。 注意：未说明的已知角要分类讨论。 针对训练 训练5　角的差 完成下列问题，并说明理由。 （1） 顶角比底角大30°，求顶角。 （2） 底角比顶角大15°，求顶角。 解第（2）题 50°。 x+2(x+15°)=180°。 方法：由等边得底角相等，再用内角和。 注意：未说明的已知角要分类讨论。 针对训练 训练6　给定一角的分类 完成下列问题，并说明理由。 （1） 等腰三角形一个角为40°，求顶角。 （2） 等腰三角形一个角为100°，求其他两角。 解第（1）题 40°或100°。 分别作顶角、底角。 方法：由等边得底角相等，再用内角和。 注意：未说明的已知角要分类讨论。 针对训练 训练6　给定一角的分类 完成下列问题，并说明理由。 （1） 等腰三角形一个角为40°，求顶角。 （2） 等腰三角形一个角为100°，求其他两角。 解第（2）题 40°、40°。 100°不能作底角，否则两底角和超过180°。 方法：由等边得底角相等，再用内角和。 注意：未说明的已知角要分类讨论。 针对训练 训练7　边角对应 完成下列问题，并说明理由。 （1） AB=AC，哪两个角相等？ （2） AB=BC，哪两个角相等？ 解第（1）题 ∠B=∠C。 相等边各自所对角相等。 方法：由等边得底角相等，再用内角和。 注意：未说明的已知角要分类讨论。 针对训练 训练7　边角对应 完成下列问题，并说明理由。 （1） AB=AC，哪两个角相等？ （2） AB=BC，哪两个角相等？ 解第（2）题 ∠A=∠C。 顶角在B，底角为A、C。 方法：由等边得底角相等，再用内角和。 注意：未说明的已知角要分类讨论。 针对训练 训练8　外角计算 完成下列问题，并说明理由。 （1） 等腰三角形顶角80°，一个底角的外角多少度？ （2） 等腰三角形底角70°，顶角外角多少度？ 解第（1）题 130°。 底角50°，其外角130°。 方法：由等边得底角相等，再用内角和。 注意：未说明的已知角要分类讨论。 针对训练 训练8　外角计算 完成下列问题，并说明理由。 （1） 等腰三角形顶角80°，一个底角的外角多少度？ （2） 等腰三角形底角70°，顶角外角多少度？ 解第（2）题 140°。 顶角40°，外角140°。 方法：由等边得底角相等，再用内角和。 注意：未说明的已知角要分类讨论。 针对训练 训练9　角度方程 完成下列问题，并说明理由。 （1） AB=AC，∠B=2x+10°，∠C=3x−5°，求x。 （2） AB=AC，∠A=4x°、∠B=x°，求x。 解第（1）题 15。 2x+10=3x−5。 方法：由等边得底角相等，再用内角和。 注意：未说明的已知角要分类讨论。 针对训练 训练9　角度方程 完成下列问题，并说明理由。 （1） AB=AC，∠B=2x+10°，∠C=3x−5°，求x。 （2） AB=AC，∠A=4x°、∠B=x°，求x。 解第（2）题 30。 4x+x+x=180。 方法：由等边得底角相等，再用内角和。 注意：未说明的已知角要分类讨论。 针对训练 训练10　特殊情形 完成下列问题，并说明理由。 （1） 等腰三角形可以是钝角三角形吗？ （2） 等腰三角形的钝角可在底角处吗？ 解第（1）题 可以。 如顶角100°、底角40°。 方法：由等边得底角相等，再用内角和。 注意：未说明的已知角要分类讨论。 针对训练 训练10　特殊情形 完成下列问题，并说明理由。 （1） 等腰三角形可以是钝角三角形吗？ （2） 等腰三角形的钝角可在底角处吗？ 解第（2）题 不可以。 两个相等钝角和超过180°。 方法：由等边得底角相等，再用内角和。 注意：未说明的已知角要分类讨论。 针对训练 训练11　两腰的识别 完成下列问题，并说明理由。 （1） △ABC中AB=BC，顶角是哪一个？ （2） △ABC中AC=BC，底边是哪条？ 解第（1）题 ∠B。 相等两腰的夹角在B。 方法：由等边得底角相等，再用内角和。 注意：未说明的已知角要分类讨论。 针对训练 训练11　两腰的识别 完成下列问题，并说明理由。 （1） △ABC中AB=BC，顶角是哪一个？ （2） △ABC中AC=BC，底边是哪条？ 解第（2）题 AB。 不属于相等两腰的边是底边。 方法：由等边得底角相等，再用内角和。 注意：未说明的已知角要分类讨论。 针对训练 训练12　用外角反求 完成下列问题，并说明理由。 （1） 等腰三角形顶角外角为130°，求底角。 （2） 等腰三角形底角外角为115°，求顶角。 解第（1）题 65°。 顶角50°，两底角平分130°。 方法：由等边得底角相等，再用内角和。 注意：未说明的已知角要分类讨论。 针对训练 训练12　用外角反求 完成下列问题，并说明理由。 （1） 等腰三角形顶角外角为130°，求底角。 （2） 等腰三角形底角外角为115°，求顶角。 解第（2）题 50°。 底角65°，顶角180°−130°。 方法：由等边得底角相等，再用内角和。 注意：未说明的已知角要分类讨论。 针对训练 训练13　嵌套等腰三角形 AB=AC，PB=PC，P在△ABC内，∠ABC=62°，∠PBC=38°。求∠ACP。 答：24°。 解 ∠ACB=62°、∠PCB=38°，相减得24°。 方法：由等边得底角相等，再用内角和。 注意：未说明的已知角要分类讨论。 针对训练 训练14　顶角未注明 一个等腰三角形有一内角为50°，求全部可能的三个角。 答：50°、65°、65°；或50°、50°、80°。 解 把50°分别作为顶角或底角，两种都成立。 方法：由等边得底角相等，再用内角和。 注意：未说明的已知角要分类讨论。 针对训练 训练15　应用：屋架设计 对称人字屋架的两斜梁等长，顶角为104°，每根斜梁与水平底梁的夹角是多少？ 答：38°。 解 横截面为等腰三角形，两底角相等，(180°−104°)÷2。 方法：由等边得底角相等，再用内角和。 注意：未说明的已知角要分类讨论。 针对训练 训练16　应用：等腰标牌 等腰三角形标牌一个底角要求比顶角大24°。求顶角和底角，便于下料画线。 答：顶角44°，底角68°。 解 设顶角x，x+2(x+24°)=180°。 方法：由等边得底角相等，再用内角和。 注意：未说明的已知角要分类讨论。 方法总结 等边对等角 等角代换 （1）先由等边写出等角 （2）与内角和联立求解 分类求角 （1）已知角分别作顶角、底角 （2）检查三角形内角限制 $