12.8 尺规作图（第1课时）课件 2026-2027学年北京版数学八年级上册

第12章 三角形 12.8 尺规作图 （第1课时）基本作图与垂线作法 八年级上册　数学（北京版） 学习目标 学习目标 理解 会用无刻度直尺和圆规完成基本作图。 运用 理解角平分线与垂直平分线的性质，并用它们说明作图依据。 复习引入 问题引入 观察 没有刻度，怎样把一条线段的长度搬到另一处？ 思考 怎样找到到两个点距离相等的点，使作出的直线位置可靠？ 知识讲授 尺规作图 利用直尺（无刻度）和圆规完成作图，称之为尺规作图。 直尺只用来连线和延长，不用刻度量长度。 圆规用于画圆弧和搬运长度，作图需保留关键弧线。 知识讲授 工具与基本操作 无刻度直尺 过两点作直线、射线或线段，并延长线段。 圆规 以已知点为圆心、定长为半径作圆或圆弧，完成长度的搬运。 随堂探究 探究　作相等线段 已知线段a，求作一条线段等于a。 答：作射线OA，以O为圆心、a为半径作弧交射线于B，OB即所求。 解 圆上的点到圆心距离都等于半径，因此OB=a。 方法：写清圆心、半径、交点及所连直线。 注意：点到直线的距离必须用垂线段。 随堂探究 探究　三边作三角形 已知线段a、b、c，求作△ABC，使BC=a、AC=b、AB=c。 答：先作BC=a，再分别以B、C为圆心、c、b为半径作弧交于A，连接AB、AC。 解 三边对应相等，作图依据是SSS；三边必须满足三角形三边关系。 方法：核对对应条件，用SSS证明全等。 注意：点到直线的距离必须用垂线段。 例题讲解 例 1 已知∠AOB，求作一个角，使它等于∠AOB。 答：作∠A′O′B′=∠AOB。 解 作射线O′A′；以O为圆心任意半径画弧交OA、OB于C、D。 以O′为圆心、OC为半径作弧交O′A′于C′；以C′为圆心、CD为半径截弧得D′，作射线O′D′，记为O′B′。 方法：写清圆心、半径、交点及所连直线。 注意：点到直线的距离必须用垂线段。 随堂探究 探究　复制角的依据 在复制角的作图中，为什么新角与原角相等？ 答：由SSS证明△OCD≌△O′C′D′。 解 两条半径分别相等，弦CD与C′D′也相等，所以对应角相等。 方法：写清圆心、半径、交点及所连直线。 注意：点到直线的距离必须用垂线段。 例题讲解 例 2 已知∠AOB，求作射线OC，使它平分∠AOB。 答：射线OC就是所求角平分线。 解 以O为圆心任意半径作弧，交两边于D、E。 以D、E为圆心，用同一大于DE一半的半径作弧交于C，作射线OC。 方法：写清圆心、半径、交点及所连直线。 注意：点到直线的距离必须用垂线段。 随堂探究 变式　圆弧半径的限制 按教材作角平分线时，为什么取大于DE一半的半径？等于一半会怎样？ 答：大于一半可使两弧相交，便于定位交点。 解 半径小于一半时不相交；等于一半时，两弧相切于DE中点。 连接O与该中点也能平分角；教材采用相交作法，便于准确作图。 方法：写清圆心、半径、交点及所连直线。 注意：点到直线的距离必须用垂线段。 知识讲授 角平分线的性质 角平分线上的点到角两边的距离相等。 点在角平分线上，到两边的垂线段长度相等。 距离指垂线段长度，连接点到角边任意一点的线段不能代替。 随堂探究 探究　性质的证明 P在∠AOB平分线上，PM⊥OA，PN⊥OB。证明PM=PN。 答：PM=PN。 解 两直角相等、O处锐角相等、OP公共，由AAS证明两直角三角形全等。 方法：核对对应条件，用AAS证明全等。 注意：点到直线的距离必须用垂线段。 例题讲解 例 3 已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，CA=CB，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E。求证：DC=BE。 答：DC=BE。 解 D在∠BAC平分线上，DC与DE都是到角两边的距离，所以DC=DE。 CA=CB得∠B=45°，Rt△DEB另一个锐角也是45°，故DE=BE。 方法：写清圆心、半径、交点及所连直线。 注意：点到直线的距离必须用垂线段。 知识讲授 角平分线的判定 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。 点在角内部，且到两边的垂线段等长，可判它在角平分线上。 “角内部”和“垂直距离”都是必要的使用条件。 随堂探究 探究　判定的证明 P在∠AOB内，PC⊥OA，PD⊥OB，PC=PD。证明P在角平分线上。 答：P在∠AOB平分线上。 解 两直角三角形OPC、OPD有斜边OP公共、直角边PC=PD，由HL得O处两角相等。 方法：核对对应条件，用HL证明全等。 注意：点到直线的距离必须用垂线段。 知识讲授 垂直平分线 垂直于一条线段并过这条线段中点的直线叫作这条线段的垂直平分线。又称线段的中垂线。 直线经过线段中点，并且垂直于该线段。 只有垂直或只有过中点，都不足以称垂直平分线。 知识讲授 垂直平分线的性质 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。 点在线段的垂直平分线上，可得。 点可位于垂直平分线任意位置，包括线段中点。 知识讲授 垂直平分线的判定 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。 若，则点在线段的垂直平分线上。 两个不同等距点确定一条直线，可用来定位整条垂直平分线。 例题讲解 例 4 已知线段AB，求作线段AB的垂直平分线。 答：直线CD就是所求垂直平分线。 解 分别以A、B为圆心，以同一大于AB一半的长度为半径作弧，交于C、D。 作直线CD；C、D都到A、B等距，故这条直线就是垂直平分线。 方法：写清圆心、半径、交点及所连直线。 注意：点到直线的距离必须用垂线段。 随堂探究 变式　中垂线作法纠错 分别以A、B为圆心时，使用不同半径能保证交点在AB中垂线上吗？ 答：不能保证。 解 要让同一交点到A、B等距，两个圆必须取相等半径。 方法：写清圆心、半径、交点及所连直线。 注意：点到直线的距离必须用垂线段。 课堂练习 练习1 已知直线l以及直线上一点A，求作过点A与直线l垂直的直线。 l 答：取AM=AN，再取到M、N等距的两点P、Q，作直线PQ。 解 A是MN中点，所作中垂线经过A并垂直l。 方法：写清圆心、半径、交点及所连直线。 注意：点到直线的距离必须用垂线段。 课堂练习 练习2 已知直线l以及直线外一点B，求作过点B与直线l垂直的直线。 l 答：以B为圆心作弧交l于M、N；再取等距点P（异于B），作BP。 解 BM=BN，PM=PN，故B、P均在MN的中垂线上。 直线BP即MN的中垂线，因而垂直于l。 方法：写清圆心、半径、交点及所连直线。 注意：点到直线的距离必须用垂线段。 知识讲授 作法与依据 作法 按顺序交代圆心、半径、交点和所连直线。 依据 用SSS、HL或等距点性质解释为什么满足求作条件。 课堂总结 基本作图与垂线作法 基本操作 连线、延长、画弧 角平分线 到两边的距离相等 中垂线 到两端的距离相等 作图说明 步骤与依据对应 特别提醒：点到直线的距离必须用垂线段。 针对训练 训练1　工具作用 完成下列问题，并说明理由。 （1） 无刻度直尺能直接测出3 cm吗？ （2） 已知线段a，怎样用圆规搬运它？ 解第（1）题 不能。 只用于连线与延长。 方法：写清圆心、半径、交点及所连直线。 注意：点到直线的距离必须用垂线段。 针对训练 训练1　工具作用 完成下列问题，并说明理由。 （1） 无刻度直尺能直接测出3 cm吗？ （2） 已知线段a，怎样用圆规搬运它？ 解第（2）题 将两脚距离固定为a，再以指定点画弧。 圆规保持半径不变。 方法：写清圆心、半径、交点及所连直线。 注意：点到直线的距离必须用垂线段。 针对训练 训练2　距离含义 完成下列问题，并说明理由。 （1） P到角一边的距离由哪条线段表示？ （2） 任意连接P与边上一点，能当作距离吗？ 解第（1）题 从P向该边所在直线作的垂线段。 点到直线的距离是垂线段长度。 方法：写清圆心、半径、交点及所连直线。 注意：点到直线的距离必须用垂线段。 针对训练 训练2　距离含义 完成下列问题，并说明理由。 （1） P到角一边的距离由哪条线段表示？ （2） 任意连接P与边上一点，能当作距离吗？ 解第（2）题 不能。 必须垂直。 方法：写清圆心、半径、交点及所连直线。 注意：点到直线的距离必须用垂线段。 针对训练 训练3　角平分线性质 完成下列问题，并说明理由。 （1） P在角平分线上，到一边距离4 cm，到另一边多少？ （2） 到两边距离为2x+1、9，求x。 解第（1）题 4 cm。 角平分线上的点到两边等距。 解第（2）题 4。 令2x+1=9。 方法：写清圆心、半径、交点及所连直线。 注意：点到直线的距离必须用垂线段。 方法：写清圆心、半径、交点及所连直线。 注意：点到直线的距离必须用垂线段。 针对训练 训练4　角平分线判定 完成下列问题，并说明理由。 （1） P在角内，到两边距离均5，P在哪里？ （2） 若P在角外，仅两距离相等能直接用本定理吗？ 解第（1）题 角平分线上。 角内等距点的判定。 解第（2）题 不能直接用。 定理要求角的内部。 方法：写清圆心、半径、交点及所连直线。 注意：点到直线的距离必须用垂线段。 方法：写清圆心、半径、交点及所连直线。 注意：点到直线的距离必须用垂线段。 针对训练 训练5　中垂线性质 完成下列问题，并说明理由。 （1） P在AB中垂线上，PA=12，PB多少？ （2） PA=3x−2、PB=x+8，求x。 解第（1）题 12。 到两端等距。 解第（2）题 5。 3x−2=x+8。 方法：写清圆心、半径、交点及所连直线。 注意：点到直线的距离必须用垂线段。 方法：写清圆心、半径、交点及所连直线。 注意：点到直线的距离必须用垂线段。 针对训练 训练6　中垂线判定 完成下列问题，并说明理由。 （1） PA=PB，P在哪条直线上？ （2） QA=QB且PA=PB，P≠Q，PQ是哪条直线？ 解第（1）题 AB的垂直平分线上。 等距点判定。 解第（2）题 AB的垂直平分线。 两个不同点确定一条直线。 方法：写清圆心、半径、交点及所连直线。 注意：点到直线的距离必须用垂线段。 方法：写清圆心、半径、交点及所连直线。 注意：点到直线的距离必须用垂线段。 针对训练 训练7　半径条件 完成下列问题，并说明理由。 （1） AB=6，作中垂线的相同半径可取4吗？ （2） 可取2吗？ 解第（1）题 可以。 4>6÷2。 解第（2）题 不可以。 两圆间距6，半径和4，小于间距。 方法：写清圆心、半径、交点及所连直线。 注意：点到直线的距离必须用垂线段。 方法：写清圆心、半径、交点及所连直线。 注意：点到直线的距离必须用垂线段。 针对训练 训练8　角度计算 完成下列问题，并说明理由。 （1） 作50°角的平分线后，每个小角多少度？ （2） 一个角平分后每个为37°，原角多少？ 解第（1）题 25°。 角度平分。 解第（2）题 74°。 37°×2。 方法：写清圆心、半径、交点及所连直线。 注意：点到直线的距离必须用垂线段。 方法：写清圆心、半径、交点及所连直线。 注意：点到直线的距离必须用垂线段。 针对训练 训练9　作图依据 完成下列问题，并说明理由。 （1） 复制角时为什么要复制弦CD？ （2） 作相等线段依靠圆的什么性质？ 解第（1）题 为得到第三组边相等。 两条半径加一条弦组成SSS。 解第（2）题 圆上点到圆心距离等于半径。 半径保持给定长度。 方法：核对对应条件，用SSS证明全等。 注意：点到直线的距离必须用垂线段。 方法：写清圆心、半径、交点及所连直线。 注意：点到直线的距离必须用垂线段。 针对训练 训练10　垂线构造 完成下列问题，并说明理由。 （1） A在l上，AM=AN且M、N在A两侧，中垂线经过谁？ （2） B在线外，BM=BN，则B在什么线上？ 解第（1）题 A。 A是MN中点。 解第（2）题 MN的中垂线上。 等距点判定。 方法：写清圆心、半径、交点及所连直线。 注意：点到直线的距离必须用垂线段。 方法：写清圆心、半径、交点及所连直线。 注意：点到直线的距离必须用垂线段。 针对训练 训练11　条件缺失 完成下列问题，并说明理由。 （1） 过AB中点的任意直线都是中垂线吗？ （2） 垂直AB的任意直线都是中垂线吗？ 解第（1）题 不是。 还必须垂直AB。 解第（2）题 不是。 还必须经过AB中点。 方法：写清圆心、半径、交点及所连直线。 注意：点到直线的距离必须用垂线段。 方法：写清圆心、半径、交点及所连直线。 注意：点到直线的距离必须用垂线段。 针对训练 训练12　作图结果检查 完成下列问题，并说明理由。 （1） 作角平分线后应检查哪组角相等？ （2） 作中垂线后应检查哪两个条件？ 解第（1）题 顶点处被分成的两个角。 回到求作目标。 解第（2）题 过中点且垂直。 两个条件同时满足。 方法：写清圆心、半径、交点及所连直线。 注意：点到直线的距离必须用垂线段。 方法：写清圆心、半径、交点及所连直线。 注意：点到直线的距离必须用垂线段。 针对训练 训练13　证明等距 P、Q均在∠AOB的平分线上，分别到OA的距离为3、7。求它们到OB的距离。 答：分别为3、7。 解 分别对每个点应用角平分线性质，不把两个点的距离混用。 方法：写清圆心、半径、交点及所连直线。 注意：点到直线的距离必须用垂线段。 针对训练 训练14　两端等距的构造 A、B是两个固定点，作一条直线，使直线上每一点到A、B的距离相等。 答：作AB的垂直平分线。 解 性质保证线上点都等距，判定说明所有等距点都在这条线上。 方法：写清圆心、半径、交点及所连直线。 注意：点到直线的距离必须用垂线段。 针对训练 训练15　应用：路灯选址 两条相交道路形成一个角，路灯要求在角内且到两道路距离相等。灯柱位置应满足什么条件？ 答：位于该角的平分线上。 解 到两道路的距离取垂线段长度，等距点应用角平分线判定。 方法：写清圆心、半径、交点及所连直线。 注意：点到直线的距离必须用垂线段。 针对训练 训练16　应用：水井选址 村庄A、B要共用一口水井，要求井到两村距离相等。所有可选位置在哪里？ 答：线段AB的垂直平分线上。 解 到两个固定点等距的点位于它们连线的中垂线上。 方法：写清圆心、半径、交点及所连直线。 注意：点到直线的距离必须用垂线段。 方法总结 基本作图与垂线作法 规范叙述作图 （1）写清圆心、半径、交点 （2）保留关键弧线与所求图形 等距关系找位置 （1）到两边等距找角平分线 （2）到两端等距找中垂线 $