12.10 轴对称和轴对称图形（第1课时）课件 2026--2027学年北京版八年级数学上册

第12章 三角形 12.10 轴对称和轴对称图形 （第1课时）图形的对称与轴对称的应用 八年级上册　数学（北京版） 学习目标 认识、作图与应用 认识概念 理解轴对称图形、对称轴和两个图形成轴对称的含义。 掌握性质 对应点的连线被对称轴垂直平分，能据此作对称点和对称图形。 解决问题 观察图案形成过程，并利用轴对称把折线长度转成线段长度。 复习引入 把半张图案展开 动手操作 把半透明纸对折，在一边描出曲线，并在另一边拓出相同图形。 观察结果 展开后沿折痕再折，左右两部分能够完全重合。 进一步思考 如果纸的一边是一个三角形，展开后两个三角形有什么关系？ 知识讲授 轴对称图形与对称轴 当我们把这个图形沿折痕折过来时，图形的两部分能够完全重合，这样的图形叫作轴对称图形，中间的折痕所在的直线叫作对称轴． 判断标准是折叠后完全重合，不是大致相像。 对称轴是一条直线，不是图形内部的一小段折痕。 随堂探究 探究　交通标志的对称性 图12-80所示的交通标志中，哪些是轴对称图形？并画出这些轴对称图形的对称轴。 按图中顺序观察 答：上排第1、3、5、7个；下排第1、5、6、7个。 检查外框与内部图案是否同时重合；禁行横杠图有水平、竖直两条轴。 方法：整体折叠检验。 注意：不能只看外框，忽略箭头、斜杠或文字图案。 随堂探究 探究　冬奥会图标辨析 图12-81选自历届冬奥会体育项目图标，其中哪些图标是轴对称图形？并画出这些轴对称图形的对称轴。 六个图标从左到右编号 答：第3、5个；对称轴见图中红色虚线。 第3图检查圆环与两侧纹样；第5图检查两侧队员、器材轮廓。 其余图标的人物动作或内部细节不能沿直线翻折重合。 方法：从整体到细节逐项核对。 注意：检查整个图标，不能只看外框。 知识讲授 一个图形与两个图形 轴对称图形 关注一个完整图形自身能否沿一条直线折叠重合。 两个图形成轴对称 一个图形沿某直线翻折，能够与另一个图形重合。 联系 把两个成轴对称的图形看成一个整体，这个整体可看作轴对称图形。 随堂探究 探究　找出对应点 观察△ABC和翻折后的△A′B′C′，分别指出与A、B、C对应的点。 l 沿直线l翻折 答：A与A′、B与B′、C与C′分别对应。 对应点是翻折后互相重合的点，不能按左右位置猜测。 方法：先定位顶点，再连对应边。 注意：图形翻折后左右顺序会改变。 知识讲授 轴对称的性质 成轴对称的两个图形中对应点的连线被对称轴垂直平分． 对应点连线与轴垂直，且两个点到轴的距离相等。 轴上的点翻折后位置不变，对称点就是它自身。 l 知识讲授 作一个点的对称点 作垂线 从点A向对称轴作垂线，交轴于H。 截取等长 沿垂线在对称轴另一侧取A′，使HA′＝HA。 检查 H是AA′中点，且AA′垂直对称轴；两项条件缺一不可。 随堂探究 探究　实践：三种位置都能作图 在图12-83中，分别画出与△ABC关于直线l成轴对称的图形，并通过折叠的方法验证你画的是否正确。 l 全在轴的一侧 l 一个顶点在轴上 l 图形跨越对称轴 答：分别作三个顶点的对称点，再依次连接。 轴上点B不动；其余顶点按垂直、等距分别作图。 方法：点的对称决定图形的对称。 注意：不能把跨轴的三角形整体平移过去。 知识讲授 轴对称这一图形运动 将一个平面图形通过翻折得到它的对称图形的图形运动为轴对称． 翻折保持图形的形状和大小，对应边、对应角分别相等。 作图时先确定对称轴与关键顶点，最后按原顺序连边。 巩固练习 探究　已知距离求对应点间距 点A到对称轴l的距离为3 cm，A′是A关于l的对称点。求AA′。 答：AA′＝6 cm。 解 设AA′交l于H，则AH＝A′H＝3 cm。 AA′＝AH＋HA′＝6 cm。 方法：用对称轴垂直平分对应点连线。 注意：距离是垂线段长度，不是任意斜线长度。 课堂练习 练习1 观察图中两组图案，你能分别说出最后图案的形成过程吗？ （1）鸟形图案 （2）方形图案 答：（1）先沿第一条竖直轴对称，再沿第二条竖直轴对称；（2）先竖直对称，再水平对称。 每次都把上一阶段的整体作为本次翻折的对象。 由基本图形逐步补全，得到最后图案。 方法：按箭头顺序分析两次操作。 注意：第二次对称的对象包括第一次所得部分。 课堂练习 练习2 请你分别在图（1）（2）中画出点P关于直线l₁对称的点P′，再画出点P′关于直线l₂对称的点P″。 l₁ l₂ （1）两条平行直线 l₁ l₂ （2）两条相交直线 答：先以l₁作P′，再以l₂作P″，如图。 每一步都作对应点连线垂直于本次对称轴，并在另一侧截等长。 第二步必须从P′出发。 方法：一次完成一组垂直、等距关系。 注意：不能在第二步再次把原点P对称过去。 课堂练习 练习3 请你在图中的正方形内填充适当的图案，使它们和正方形内的蓝色三角形关于虚线所在直线对称。 原图 补全结果 答：补出其余三个对应三角形，使图案分别关于两条虚线对称。 先关于竖直虚线补右上部分，再关于水平虚线补下方两部分。 每个顶点都满足垂直、等距关系。 方法：逐次对称，并检查两条轴。 注意：中心顶点在对称轴上，位置不变。 例题讲解 例　利用对称把折线转成线段 如图12-84，点A、B在直线l同侧，点C与点B关于直线l对称，连接AC交直线l于点D，求证：AD＋DB＝AC。 l 答：AD＋DB＝AC。 解 B、C关于l对称，且D在l上，所以DB＝DC。 D在线段AC上，故AD＋DB＝AD＋DC＝AC。 方法：先用对称得到等长，再用线段相加。 注意：必须说明D在线段AC上，不能只说三点共线。 巩固练习 探究　例题变式：代入长度 在同一图形中，AC＝9 cm，AD＝5 cm，求DB。 l 答：DB＝4 cm。 解 由AD＋DB＝AC，得DB＝9－5＝4 cm。 也可先算DC＝AC－AD，再用DB＝DC。 方法：把需要的折线段转成同一直线上的线段。 注意：等长来自对称，不来自图上估计。 方法总结 对称题的两条路线 作图路线 （1）确定对称轴，找关键顶点。 （2）作垂线并在另一侧截等距。 （3）依原顺序连边，逐点复核。 证明路线 （1）找出对应点或轴上的点。 （2）利用垂直平分线得到等长。 （3）把等长代入线段或角的关系。 课堂总结 轴对称 识别 沿直线折叠后完全重合 性质 对应点连线被轴垂直平分 作图 先作点，再按顺序连图形 应用 借助等长转化线段关系 特别提醒：看整体与细节；作图同时检查垂直和等距。 针对训练 训练1　选择：对称轴是什么 轴对称图形的对称轴是：A.一条线段；B.一条射线；C.一条直线。 答：C。 解 折痕是观察对称轴的依据。 数学上对称轴是折痕所在的整条直线。 方法：区分折痕与所在直线。 注意：不要只画图形内一小段就改变概念。 针对训练 训练2　填空：对应点的位置 点A和A′关于l对称，AA′与l交于H，则AA′与l____，AH与A′H____。 答：垂直；相等。 解 l垂直平分AA′。 垂直给出方向关系，平分给出长度关系。 方法：把垂直平分拆成两项。 注意：两项条件必须同时满足。 针对训练 训练3　轴上的点 点P在对称轴l上，点P关于l的对称点在哪里？ 答：仍在P点。 解 翻折时轴上点位置不改变。 因此P与其对称点重合。 方法：先判断点是否位于轴上。 注意：不能另作一个与P不同的点。 针对训练 训练4　距离计算 点M与M′关于l对称，MM′＝14 cm，求M到l的距离。 答：7 cm。 解 l垂直平分MM′，交点H是中点。 MH＝14÷2＝7 cm。 方法：对应点间距的一半等于到轴距离。 注意：仅适用于关于该轴对应的两点。 针对训练 训练5　由点确定轴 已知两个不同的对应点A、A′，如何确定使它们互为对称点的对称轴？ 答：作线段AA′的垂直平分线。 解 对称轴必须同时垂直AA′并经过其中点。 这条直线由两个不同点的连线唯一确定。 方法：把性质用于确定对称轴。 注意：两个点不同是必要前提。 针对训练 训练6　改错：只有等距不够 两个点到l的距离相等，就一定关于l对称吗？说明理由。 答：不一定。 解 它们可能在l同侧，也可能对应垂足不同。 还要保证对应点连线被l垂直平分。 方法：检查完整的垂直平分关系。 注意：到轴距离相等只是必要关系的一部分。 针对训练 训练7　改错：只有垂直不够 线段AA′与l垂直，能否立即说明A与A′关于l对称？ 答：不能。 解 l还必须经过AA′中点。 若两侧截取长度不同，翻折后两点不能重合。 方法：同时检查垂直与平分。 注意：少一个条件都不能保证对应。 针对训练 训练8　对应边计算 △ABC与△A′B′C′关于l对称，AB＝6 cm，B′C′＝8 cm，AC＝5 cm，求△A′B′C′周长。 答：19 cm。 解 对应边相等，A′B′＝6，A′C′＝5，B′C′＝8。 周长6＋8＋5＝19 cm。 方法：先按字母对应关系补齐边长。 注意：不要把B′C′对应到AB。 针对训练 训练9　对应角计算 △ABC关于l对称到△A′B′C′，∠A＝48°，∠B′＝67°，求∠C。 答：65°。 解 对应角相等，∠B＝∠B′＝67°。 ∠C＝180°－48°－67°＝65°。 方法：先由对称取得同一三角形中的角。 注意：内角和要在同一个三角形中使用。 针对训练 训练10　双轴对称 正方形的两条对角线都是对称轴吗？连接两组对边中点的直线呢？ 答：都是，共4条对称轴。 解 对角线折叠可使两半正方形重合。 连接对边中点的两条直线也可使两半重合。 方法：逐条折叠检验而非凭经验数。 注意：非正方形的长方形没有对角线对称轴。 针对训练 训练11　等腰三角形中的轴 非等边的等腰△ABC中AB＝AC，BC中点为D。它的对称轴是哪条直线？ 答：直线AD。 解 等腰三角形顶角平分线、底边中线、底边高重合。 沿AD翻折，两腰和两底角相互对应。 方法：由三线合一确定对称轴。 注意：是直线AD，不是仅线段AD。 针对训练 训练12　线段和的转化 A、B在l同侧，B关于l的对称点为C，AC交l于D。若AD＝4、DB＝6，求AC。 答：10。 解 因为DB＝DC，所以DC＝6。 AC＝AD＋DC＝4＋6＝10。 方法：用对称把DB换成DC。 注意：要明确D在线段AC上。 针对训练 训练13　确定对称后再连边 作四边形ABCD关于l的对称图形，已求得A′、B′、C′、D′。能按A′C′B′D′顺序连接吗？ 答：不能，应按A′B′C′D′依次连接并闭合。 解 原边AB对应A′B′，原边BC对应B′C′。 乱序连接会把边换成对角线，改变图形结构。 方法：保持原图顶点的邻接顺序。 注意：顶点全作对不代表连线一定正确。 针对训练 辨析　一页辨析四种说法 （1）两个全等图形一定关于某直线对称。 × 理由：全等也可能由平移等方式得到。 （2）成轴对称的图形一定全等。 √ 理由：翻折后可以完全重合。 （3）对称轴经过两个对应点连线中点。 √ 理由：连线被垂直平分。 （4）轴对称图形只能有一条对称轴。 × 理由：如正方形有4条。 方法：用定义与具体图形核对。 注意：全等和成轴对称不是同一个条件。 针对训练 训练15　反向思考：轴上等距点 A与A′关于l对称，P为l上的任意一点。PA与PA′有何关系？ 答：PA＝PA′。 解 l是AA′的垂直平分线。 P在这条垂直平分线上，所以到两端点距离相等。 方法：连接轴对称与垂直平分线性质。 注意：P不一定是AA′的中点。 针对训练 训练16　连续对称的顺序 先把P关于l₁作P′，再关于l₂作P″。某同学第二步作的是P关于l₂的对称点，这个做法对吗？ 答：不对。 解 第二次运动的出发点是第一次得到的P′。 应将P′到l₂作垂线并在另一侧截等距。 方法：记录每一步的输入点和输出点。 注意：对称轴改变后，出发点也要按步骤更新。 针对训练 作图检查的四个位置 检查点 每个顶点是否都有正确对应点；轴上点是否保持原位。 检查轴 每组对应点连线是否被该轴垂直平分。 检查边 是否按原顶点顺序连接，闭合图形有没有遗漏一条边。 针对训练 训练17　轴上等距应用 A与A′关于l对称，P在l上。若PA＝11 cm，PA′＝2x＋3 cm，求x。 答：x＝4。 解 由垂直平分线性质，PA＝PA′。 所以2x＋3＝11，解得x＝4。 方法：先由对称得到等量关系，再解方程。 注意：P是轴上任意点，不必是对应点连线中点。 针对训练 训练18　生活应用：对称装饰 一块门饰以竖直线l为对称轴，左侧孔A距l为8 cm。要在右侧开对应孔A′，两孔间距应是多少？两孔高度有何关系？ 答：间距16 cm；高度相同。 解 AA′垂直竖直轴l，所以两孔在同一水平线上。 轴平分AA′，两侧各8 cm，总距16 cm。 方法：按垂直、等距确定孔的位置。 注意：只量横向距离，还要核对高度。 针对训练 训练19　生活应用：镜面对称走线 A、B位于一条直线标线l同侧，先作B的对称点C，AC与l交于D。测得AC＝12 m、AD＝7 m，求沿A到D再到B的折线总长和DB。 答：总长12 m，DB＝5 m。 解 DB＝DC，因此AD＋DB＝AC＝12 m。 DB＝12－7＝5 m。 方法：用反射等长把折线化成线段。 注意：本题只用书中等长关系，不凭图估计长度。 方法总结 对称关系转为可用条件 从点到图形 （1）作每个关键点的对称点。 （2）核对垂直、等距、异侧。 （3）按原顺序连边并检查轴上点。 从图形到数量 （1）对应边、对应角分别相等。 （2）轴上点到一对对应点等距。 （3）借助这些等量关系求长、求角。 $