12.7 直角三角形（第1课时）课件 2026-2027学年北京版数学八年级上册

第12章 三角形 12.7 直角三角形 （第1课时）性质、判定与斜边直角边 八年级上册　数学（北京版） 学习目标 学习目标 理解 掌握直角三角形锐角互余及其判定。 运用 掌握HL，理解一般三角形两边一对角不能判全等。 复习引入 问题引入 观察 一个三角形已有一个90°角，另两个角的和是多少？ 思考 斜边与一条直角边固定时，直角三角形能否改变形状大小？ 知识讲授 直角三角形的边 斜边 直角所对的边是斜边；在中时，是斜边。 直角边 夹着直角的两边是直角边。 知识讲授 直角三角形的性质 直角三角形的两个锐角互余。 在中，，则。 已知一个锐角，可用减去它求另一个锐角。 知识讲授 直角三角形的判定 有两个角互余的三角形是直角三角形。 若，内角和给出。 两个角互余指和为，不是和为。 随堂探究 探究　性质与判定的证明 分别说明：直角三角形两锐角互余；两个角互余的三角形是直角三角形。 答：都由三角形内角和180°得到。 解 已知一个90°就剩90°；已知两角和90°，第三角即为90°。 方法：先确认直角，再匹配斜边和直角边。 注意：一般SSA不能作全等判定。 随堂探究 探究　固定斜边与直角边 已知线段a、c（c>a），画Rt△ABC，使∠C=90°、BC=a、AB=c。与同学所画三角形叠放，观察能否重合。 答：能重合。 解 先固定BC并作C处垂线；A位于垂线上且到B距离为c，位置由条件确定。 方法：先确认直角，再匹配斜边和直角边。 注意：一般SSA不能作全等判定。 知识讲授 斜边、直角边 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。简记为：斜边、直角边或HL。 先确认两三角形都是直角三角形，再核对斜边与一条直角边。 对应相等的两条边中必须有斜边，HL不能用于一般三角形。 例题讲解 例　两条高相等 已知：在锐角△ABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，且BD=CE。求证：AB=AC。 答：AB=AC。 解 Rt△BDC与Rt△CEB有斜边BC公共、直角边BD=CE，由HL全等。 ∠BCD=∠CBE，所以∠ACB=∠ABC，由等角对等边得AB=AC。 方法：核对对应条件，用HL证明全等。 注意：一般SSA不能作全等判定。 随堂探究 变式　反向验证 等腰三角形两腰上的高是否相等？ 答：相等。 解 两直角三角形斜边BC公共，另有相等底角，可用AAS证全等，再取对应高相等。 方法：核对对应条件，用AAS证明全等。 注意：一般SSA不能作全等判定。 随堂探究 探究　SSA是否能判全等 两条边及其中一边的对角分别相等的两个三角形是否一定全等？ 答：不一定，可能存在两个不同的三角形。 解 图中AB公共、BC=BD、∠BAC=∠BAD，但AC≠AD，所以△ABC与△ABD不全等。 方法：先确认直角，再匹配斜边和直角边。 注意：一般SSA不能作全等判定。 随堂探究 探究　为什么HL是特殊情况 HL也有两边及一个对角相等，为什么能判全等？ 答：因为这个对角是直角，且相等边包括斜边。 解 一般SSA有歧义，而HL针对直角三角形的特定条件。 方法：核对对应条件，用HL证明全等。 注意：一般SSA不能作全等判定。 知识讲授 判定方法的比较 通用方法 ASA、SAS、SSS、AAS适用于满足条件的任意三角形。 专用方法 HL只适用于两个直角三角形，写证明时先交代直角。 课堂总结 性质、判定与斜边直角边 性质 两锐角互余 判定 两角互余推出直角 HL 斜边及一条直角边 边界 一般SSA不能判全等 特别提醒：一般SSA不能作全等判定。 针对训练 训练1　锐角互余 完成下列问题，并说明理由。 （1） 直角三角形一个锐角32°，另一个多少？ （2） 一个锐角67°，另一个多少？ 解第（1）题 58°。 90°−32°。 方法：先确认直角，再匹配斜边和直角边。 注意：一般SSA不能作全等判定。 针对训练 训练1　锐角互余 完成下列问题，并说明理由。 （1） 直角三角形一个锐角32°，另一个多少？ （2） 一个锐角67°，另一个多少？ 解第（2）题 23°。 90°−67°。 方法：先确认直角，再匹配斜边和直角边。 注意：一般SSA不能作全等判定。 针对训练 训练2　直角判定 完成下列问题，并说明理由。 （1） 两角为28°、62°，第三角多少？ （2） 两角为35°、55°，是什么三角形？ 解第（1）题 90°。 两角和90°，第三角90°。 方法：先确认直角，再匹配斜边和直角边。 注意：一般SSA不能作全等判定。 针对训练 训练2　直角判定 完成下列问题，并说明理由。 （1） 两角为28°、62°，第三角多少？ （2） 两角为35°、55°，是什么三角形？ 解第（2）题 直角三角形。 两角互余。 方法：先确认直角，再匹配斜边和直角边。 注意：一般SSA不能作全等判定。 针对训练 训练3　锐角倍数 完成下列问题，并说明理由。 （1） 两锐角比2∶3，分别多少？ （2） 一个锐角是另一个2倍，较小角多少？ 解第（1）题 36°、54°。 90°按5份分。 方法：先确认直角，再匹配斜边和直角边。 注意：一般SSA不能作全等判定。 针对训练 训练3　锐角倍数 完成下列问题，并说明理由。 （1） 两锐角比2∶3，分别多少？ （2） 一个锐角是另一个2倍，较小角多少？ 解第（2）题 30°。 x+2x=90°。 方法：先确认直角，再匹配斜边和直角边。 注意：一般SSA不能作全等判定。 针对训练 训练4　锐角差 完成下列问题，并说明理由。 （1） 两锐角相差18°，分别多少？ （2） 两锐角相差40°，较大角多少？ 解第（1）题 36°、54°。 和90°、差18°。 方法：先确认直角，再匹配斜边和直角边。 注意：一般SSA不能作全等判定。 针对训练 训练4　锐角差 完成下列问题，并说明理由。 （1） 两锐角相差18°，分别多少？ （2） 两锐角相差40°，较大角多少？ 解第（2）题 65°。 (90°+40°)÷2。 方法：先确认直角，再匹配斜边和直角边。 注意：一般SSA不能作全等判定。 针对训练 训练5　斜边识别 完成下列问题，并说明理由。 （1） ∠A=90°，斜边是哪条？ （2） ∠B=90°，两直角边是哪两条？ 解第（1）题 BC。 直角的对边。 方法：先确认直角，再匹配斜边和直角边。 注意：一般SSA不能作全等判定。 针对训练 训练5　斜边识别 完成下列问题，并说明理由。 （1） ∠A=90°，斜边是哪条？ （2） ∠B=90°，两直角边是哪两条？ 解第（2）题 AB、BC。 直角的两条边。 方法：先确认直角，再匹配斜边和直角边。 注意：一般SSA不能作全等判定。 针对训练 训练6　HL条件 完成下列问题，并说明理由。 （1） 两直角三角形斜边相等，还需什么可用HL？ （2） 两直角三角形两直角边分别相等，可用什么？ 解第（1）题 一组对应直角边相等。 斜边、直角边分别相等。 方法：先确认直角，再匹配斜边和直角边。 注意：一般SSA不能作全等判定。 针对训练 训练6　HL条件 完成下列问题，并说明理由。 （1） 两直角三角形斜边相等，还需什么可用HL？ （2） 两直角三角形两直角边分别相等，可用什么？ 解第（2）题 SAS。 夹角都是90°。 方法：先确认直角，再匹配斜边和直角边。 注意：一般SSA不能作全等判定。 针对训练 训练7　条件不足 完成下列问题，并说明理由。 （1） 两个直角三角形只一条直角边相等，能判全等吗？ （2） 两直角三角形斜边及一锐角分别相等，可判全等吗？ 解第（1）题 不能。 缺少另一边或角条件。 方法：先确认直角，再匹配斜边和直角边。 注意：一般SSA不能作全等判定。 针对训练 训练7　条件不足 完成下列问题，并说明理由。 （1） 两个直角三角形只一条直角边相等，能判全等吗？ （2） 两直角三角形斜边及一锐角分别相等，可判全等吗？ 解第（2）题 可以，AAS。 直角相等，再加锐角与斜边。 方法：先确认直角，再匹配斜边和直角边。 注意：一般SSA不能作全等判定。 针对训练 训练8　HL结果 完成下列问题，并说明理由。 （1） HL证△ABC≌△DEF，BC=9，求EF。 （2） 同条件∠A=37°，求∠D。 解第（1）题 9。 对应边相等。 方法：先确认直角，再匹配斜边和直角边。 注意：一般SSA不能作全等判定。 针对训练 训练8　HL结果 完成下列问题，并说明理由。 （1） HL证△ABC≌△DEF，BC=9，求EF。 （2） 同条件∠A=37°，求∠D。 解第（2）题 37°。 对应角相等。 方法：先确认直角，再匹配斜边和直角边。 注意：一般SSA不能作全等判定。 针对训练 训练9　等腰直角 完成下列问题，并说明理由。 （1） 等腰直角三角形两个锐角各多少？ （2） 直角三角形一锐角45°，两直角边有什么关系？ 解第（1）题 45°。 两角相等且互余。 方法：先确认直角，再匹配斜边和直角边。 注意：一般SSA不能作全等判定。 针对训练 训练9　等腰直角 完成下列问题，并说明理由。 （1） 等腰直角三角形两个锐角各多少？ （2） 直角三角形一锐角45°，两直角边有什么关系？ 解第（2）题 相等。 另一锐角也是45°，等角对等边。 方法：先确认直角，再匹配斜边和直角边。 注意：一般SSA不能作全等判定。 针对训练 训练10　方程 完成下列问题，并说明理由。 （1） 直角三角形两锐角为2x°、3x°，求x。 （2） 两锐角为x+10°、2x+5°，求x。 解第（1）题 18。 5x=90。 方法：先确认直角，再匹配斜边和直角边。 注意：一般SSA不能作全等判定。 针对训练 训练10　方程 完成下列问题，并说明理由。 （1） 直角三角形两锐角为2x°、3x°，求x。 （2） 两锐角为x+10°、2x+5°，求x。 解第（2）题 25。 3x+15=90。 方法：先确认直角，再匹配斜边和直角边。 注意：一般SSA不能作全等判定。 针对训练 训练11　性质辨析 完成下列问题，并说明理由。 （1） 三角形两个角互补，能成为直角三角形吗？ （2） 两个锐角相等的三角形一定直角吗？ 解第（1）题 不能形成非退化三角形。 两角已180°，第三角为0°。 方法：先确认直角，再匹配斜边和直角边。 注意：一般SSA不能作全等判定。 针对训练 训练11　性质辨析 完成下列问题，并说明理由。 （1） 三角形两个角互补，能成为直角三角形吗？ （2） 两个锐角相等的三角形一定直角吗？ 解第（2）题 不一定。 等边三角形就是反例。 方法：先确认直角，再匹配斜边和直角边。 注意：一般SSA不能作全等判定。 针对训练 训练12　一般与特殊 完成下列问题，并说明理由。 （1） 一般SSA能作为全等判定吗？ （2） HL可以省去两个直角条件吗？ 解第（1）题 不能。 可出现两个不同三角形。 方法：先确认直角，再匹配斜边和直角边。 注意：一般SSA不能作全等判定。 针对训练 训练12　一般与特殊 完成下列问题，并说明理由。 （1） 一般SSA能作为全等判定吗？ （2） HL可以省去两个直角条件吗？ 解第（2）题 不可以。 HL限定直角三角形。 方法：核对对应条件，用HL证明全等。 注意：一般SSA不能作全等判定。 针对训练 训练13　公共斜边证明 ∠ACB=∠ADB=90°，AC=AD。证明BC=BD。 答：BC=BD。 解 Rt△ACB与Rt△ADB斜边AB公共、直角边AC=AD，由HL。 方法：核对对应条件，用HL证明全等。 注意：一般SSA不能作全等判定。 针对训练 训练14　等高判等腰 锐角△ABC中AB、AC边上的高CE、BD相等。说明为什么AB=AC。 答：两条高对应的直角三角形可用HL全等。 解 BC是公共斜边，BD=CE，从全等得底角相等，再等角对等边。 方法：先确认直角，再匹配斜边和直角边。 注意：一般SSA不能作全等判定。 针对训练 训练15　应用：扶梯角度 扶梯与水平地面的夹角为34°，它与竖直方向的夹角多少度？ 答：56°。 解 水平与竖直互相垂直，两个锐角互余。 方法：先确认直角，再匹配斜边和直角边。 注意：一般SSA不能作全等判定。 针对训练 训练16　应用：直角支架检验 两块直角三角形支架斜边均为50 cm，一条对应直角边均为30 cm，能否说明两支架形状大小一致？ 答：能。 解 已确认直角，斜边及对应直角边分别相等，由HL全等。 方法：核对对应条件，用HL证明全等。 注意：一般SSA不能作全等判定。 方法总结 性质、判定与斜边直角边 先确认直角 （1）标出直角与斜边 （2）再配一组直角边 全等与等腰衔接 （1）HL先给对应角相等 （2）等角对等边得到等腰 $