12.2 三角形的性质（第1课时）课件 2026-2027学年北京版数学八年级上册

第12章 三角形 12.2 三角形的性质 （第1课时）三边关系与内角和 八年级上册　数学（北京版） 学习目标 学习目标 理解 掌握三角形三边关系与内角和定理。 运用 用分类讨论、方程与辅助线解决边角问题。 复习引入 问题引入 观察 三根长2 cm、4 cm、6 cm的木条能围成三角形吗？ 思考 测得三个角的和接近180°，能代替对所有三角形的证明吗？ 知识讲授 三角形三边关系 三角形的任意两边之和大于第三边。 在中，，其余两组关系同样成立。 判断三边能否构成三角形，只需检查较短两边之和大于最长边。 知识讲授 两边之差 三角形的任意两边之差小于第三边。 已知两边长，第三边必须大于两边长度之差的绝对值。 第三边的完整范围还要结合两边之和的限制。 知识讲授 第三边的范围 两个不等式 已知两边长，第三边长满足。 端点不取 两边之和等于第三边时，三点共线，不能组成三角形。 知识讲授 按边分类 等腰与等边 有两边相等的三角形叫作等腰三角形。三边都相等的三角形叫作等边三角形。 包含关系 等边三角形是特殊的等腰三角形。三边互不相等的三角形叫作不等边三角形。 例题讲解 例 1 已知等腰三角形的周长为12 cm，其中一边的长为3 cm，求另外两边的长。 答：另外两边都是4.5 cm。 解 若3 cm为底边，两腰均为(12−3)÷2=4.5 cm。 若3 cm为腰，底边为6 cm，但3+3=6，不能组成三角形。 方法：先写三边限制或内角和等式。 注意：三边范围的两个端点均不取。 随堂探究 变式　周长变式 等腰三角形周长20 cm，一边长6 cm，求另外两边。 答：7 cm、7 cm，或6 cm、8 cm。 解 分别把6 cm作为底边或腰，两种情况都满足三边关系。 方法：先写三边限制或内角和等式。 注意：三边范围的两个端点均不取。 知识讲授 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180°。 在中，。 已知两角求第三角，用减去两个已知角的和。 随堂探究 探究　平行线证明 在△ABC中，延长BC到D，过C作CE∥AB。证明三个内角和为180°。 答：。 解 由平行线，∠ACE=∠A，∠ECD=∠B。 平角∠BCD=180°，三个相邻角相加即得。 方法：先写三边限制或内角和等式。 注意：三边范围的两个端点均不取。 例题讲解 例 2 已知：如图，在△ABC中，∠A=100°，∠B=∠C。求∠B、∠C分别等于多少度。 答：。 解 设∠B=∠C=x，则100°+2x=180°。 解得x=40°。 方法：先写三边限制或内角和等式。 注意：三边范围的两个端点均不取。 随堂探究 变式　内角和变式 三角形两角相等，另一角为70°，求相等的两角。 答：每个角55°。 解 (180°−70°)÷2=55°。 方法：先写三边限制或内角和等式。 注意：三边范围的两个端点均不取。 课堂练习 练习（1）　求内角 计算三角形中标有x的角：∠B=60°，∠C=50°，∠A=x。 答：。 解 180°−60°−50°=70°。 方法：先写三边限制或内角和等式。 注意：三边范围的两个端点均不取。 课堂练习 练习（2）　求内角 计算三角形中标有x的角：∠B=35°，∠C=90°，∠A=x。 答：。 解 180°−35°−90°=55°。 方法：先写三边限制或内角和等式。 注意：三边范围的两个端点均不取。 课堂练习 练习（3）　三个相等的角 计算三角形中标有x的角：三个内角都为x。 答：。 解 3x=180°，所以x=60°。 方法：先写三边限制或内角和等式。 注意：三边范围的两个端点均不取。 课堂总结 三边关系与内角和 三边 两边差<x<两边和 分类 等边包含于等腰 内角 三个内角和180° 应用 分类讨论与方程 特别提醒：三边范围的两个端点均不取。 针对训练 训练1　三边能否围成三角形 完成下列问题，并说明理由。 （1） 三边长3、5、9能组成三角形吗？ （2） 两边长3、5，第三边x的范围是什么？ 解第（1）题 不能。 较短两边和为8，不大于9。 方法：先写三边限制或内角和等式。 注意：三边范围的两个端点均不取。 针对训练 训练1　三边能否围成三角形 完成下列问题，并说明理由。 （1） 三边长3、5、9能组成三角形吗？ （2） 两边长3、5，第三边x的范围是什么？ 解第（2）题 。 应用两边之差与两边之和的限制。 方法：先写三边限制或内角和等式。 注意：三边范围的两个端点均不取。 针对训练 训练2　三边能否围成三角形 完成下列问题，并说明理由。 （1） 三边长4、7、11能组成三角形吗？ （2） 两边长4、7，第三边x的范围是什么？ 解第（1）题 不能。 较短两边和为11，不大于11。 方法：先写三边限制或内角和等式。 注意：三边范围的两个端点均不取。 针对训练 训练2　三边能否围成三角形 完成下列问题，并说明理由。 （1） 三边长4、7、11能组成三角形吗？ （2） 两边长4、7，第三边x的范围是什么？ 解第（2）题 。 应用两边之差与两边之和的限制。 方法：先写三边限制或内角和等式。 注意：三边范围的两个端点均不取。 针对训练 训练3　三边能否围成三角形 完成下列问题，并说明理由。 （1） 三边长5、6、8能组成三角形吗？ （2） 两边长5、6，第三边x的范围是什么？ 解第（1）题 能。 较短两边和为11，大于8。 方法：先写三边限制或内角和等式。 注意：三边范围的两个端点均不取。 针对训练 训练3　三边能否围成三角形 完成下列问题，并说明理由。 （1） 三边长5、6、8能组成三角形吗？ （2） 两边长5、6，第三边x的范围是什么？ 解第（2）题 。 应用两边之差与两边之和的限制。 方法：先写三边限制或内角和等式。 注意：三边范围的两个端点均不取。 针对训练 训练4　整数第三边 完成下列问题，并说明理由。 （1） 两边长4、6，第三边为整数，共有几个可能值？ （2） 两边长2、7，第三边为整数，共有几个可能值？ 解第（1）题 7个。 2<x<10，整数为3至9。 方法：先写三边限制或内角和等式。 注意：三边范围的两个端点均不取。 针对训练 训练4　整数第三边 完成下列问题，并说明理由。 （1） 两边长4、6，第三边为整数，共有几个可能值？ （2） 两边长2、7，第三边为整数，共有几个可能值？ 解第（2）题 3个。 5<x<9，整数为6、7、8。 方法：先写三边限制或内角和等式。 注意：三边范围的两个端点均不取。 针对训练 训练5　按边分类 完成下列问题，并说明理由。 （1） 三边5、5、8属于哪一类？ （2） 三边6、6、6属于哪一类？ 解第（1）题 等腰三角形。 两边相等，且5+5>8。 方法：先写三边限制或内角和等式。 注意：三边范围的两个端点均不取。 针对训练 训练5　按边分类 完成下列问题，并说明理由。 （1） 三边5、5、8属于哪一类？ （2） 三边6、6、6属于哪一类？ 解第（2）题 等边三角形，也属于等腰三角形。 三边都相等。 方法：先写三边限制或内角和等式。 注意：三边范围的两个端点均不取。 针对训练 训练6　内角和计算 完成下列问题，并说明理由。 （1） 两内角为42°、63°，第三角多少度？ （2） 两内角为28°、97°，第三角多少度？ 解第（1）题 75°。 180°−42°−63°=75°。 方法：先写三边限制或内角和等式。 注意：三边范围的两个端点均不取。 针对训练 训练6　内角和计算 完成下列问题，并说明理由。 （1） 两内角为42°、63°，第三角多少度？ （2） 两内角为28°、97°，第三角多少度？ 解第（2）题 55°。 180°−28°−97°=55°。 方法：先写三边限制或内角和等式。 注意：三边范围的两个端点均不取。 针对训练 训练7　角的比例 完成下列问题，并说明理由。 （1） 三个内角比为2∶3∶4，求三个角。 （2） 三个内角比为1∶4∶5，求三个角。 解第（1）题 40°、60°、80°。 180°÷9=20°，再按份数分配。 方法：先写三边限制或内角和等式。 注意：三边范围的两个端点均不取。 针对训练 训练7　角的比例 完成下列问题，并说明理由。 （1） 三个内角比为2∶3∶4，求三个角。 （2） 三个内角比为1∶4∶5，求三个角。 解第（2）题 18°、72°、90°。 180°÷10=18°。 方法：先写三边限制或内角和等式。 注意：三边范围的两个端点均不取。 针对训练 训练8　设未知数 完成下列问题，并说明理由。 （1） ∠A=x，∠B=2x，∠C=3x，求x。 （2） ∠A=x，∠B=x+20°，∠C=x+40°，求x。 解第（1）题 30°。 6x=180°。 方法：先写三边限制或内角和等式。 注意：三边范围的两个端点均不取。 针对训练 训练8　设未知数 完成下列问题，并说明理由。 （1） ∠A=x，∠B=2x，∠C=3x，求x。 （2） ∠A=x，∠B=x+20°，∠C=x+40°，求x。 解第（2）题 40°。 3x+60°=180°。 方法：先写三边限制或内角和等式。 注意：三边范围的两个端点均不取。 针对训练 训练9　相等角 完成下列问题，并说明理由。 （1） ∠B=∠C，∠A=80°，求∠B。 （2） ∠A=∠B，∠C=46°，求∠A。 解第（1）题 50°。 (180°−80°)÷2=50°。 方法：先写三边限制或内角和等式。 注意：三边范围的两个端点均不取。 针对训练 训练9　相等角 完成下列问题，并说明理由。 （1） ∠B=∠C，∠A=80°，求∠B。 （2） ∠A=∠B，∠C=46°，求∠A。 解第（2）题 67°。 (180°−46°)÷2=67°。 方法：先写三边限制或内角和等式。 注意：三边范围的两个端点均不取。 针对训练 训练10　边长分类讨论 完成下列问题，并说明理由。 （1） 等腰三角形周长16，一边长6，另外两边有哪些可能？ （2） 等腰三角形周长18，一边长4，另外两边有哪些可能？ 解第（1）题 5、5或6、4。 分别作底边、腰，两种都通过三边检验。 方法：先写三边限制或内角和等式。 注意：三边范围的两个端点均不取。 针对训练 训练10　边长分类讨论 完成下列问题，并说明理由。 （1） 等腰三角形周长16，一边长6，另外两边有哪些可能？ （2） 等腰三角形周长18，一边长4，另外两边有哪些可能？ 解第（2）题 7、7。 若4为腰，底边10，而4+4<10，应舍去。 方法：先写三边限制或内角和等式。 注意：三边范围的两个端点均不取。 针对训练 训练11　范围的端点 完成下列问题，并说明理由。 （1） 两边为5、9，第三边能取4吗？ （2） 两边为5、9，第三边能取14吗？ 解第（1）题 不能。 4+5=9，三点共线。 解第（2）题 不能。 5+9=14，不满足严格大于。 方法：先写三边限制或内角和等式。 注意：三边范围的两个端点均不取。 方法：先写三边限制或内角和等式。 注意：三边范围的两个端点均不取。 针对训练 训练12　角的限制 完成下列问题，并说明理由。 （1） 三角形能有两个90°内角吗？ （2） 三角形能有两个100°内角吗？ 解第（1）题 不能。 两个90°已经为180°，第三角不能为0°。 解第（2）题 不能。 两角和超过180°。 方法：先写三边限制或内角和等式。 注意：三边范围的两个端点均不取。 方法：先写三边限制或内角和等式。 注意：三边范围的两个端点均不取。 针对训练 训练13　证明的另一条辅助线 在△ABC的顶点A处作直线DE∥BC，说明内角和为180°。 答：把∠B、∠C转移到A点两侧，与∠A拼成平角。 解 平行线的内错角相等；平角为180°。 方法：先写三边限制或内角和等式。 注意：三边范围的两个端点均不取。 针对训练 训练14　组合图形中的角 D在BC内部，∠BAD=25°，∠B=50°，∠C=65°，求∠DAC。 答：40°。 解 ∠BAC=180°−50°−65°=65°，再减去25°。 方法：先写三边限制或内角和等式。 注意：三边范围的两个端点均不取。 针对训练 训练15　应用：围栏长度 两段固定围栏长5 m和8 m，第三段准备用13 m长围栏，能围成三角形场地吗？ 答：不能；第三边应大于3 m且小于13 m。 解 5+8=13，边界情形不能围出三角形面积。 方法：先写三边限制或内角和等式。 注意：三边范围的两个端点均不取。 针对训练 训练16　应用：屋顶夹角 人字屋顶截面的两个底角相等，顶部夹角为110°，每个底角多少度？ 答：35°。 解 两底角之和180°−110°=70°，再除以2。 方法：先写三边限制或内角和等式。 注意：三边范围的两个端点均不取。 方法总结 三边关系与内角和 边长分类检验 （1）分清给定边是腰还是底 （2）每种结果检验三边关系 角度方程 （1）依据内角和列等式 （2）结合相等或倍数关系求解 $