12.8 尺规作图（第2课时）课件 2026-2027学年北京版数学八年级上册

第12章 三角形 12.8 尺规作图 （第2课时）垂直平分线的应用 八年级上册　数学（北京版） 学习目标 学习目标 理解 运用垂直平分线性质与判定构造证明。 运用 通过两个不同等距点确定中垂线，再推导任意点等距。 复习引入 问题引入 观察 一个点到C、D等距，它在什么直线上？ 思考 两个不同点都到C、D等距，连接它们得到的直线有什么特殊性？ 知识讲授 垂直平分线的性质 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。 点在线段的垂直平分线上，可得。 点可位于垂直平分线任意位置，包括线段中点。 知识讲授 垂直平分线的判定 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。 若，则点在线段的垂直平分线上。 两个不同等距点确定一条直线，可用来定位整条垂直平分线。 例题讲解 例 5 已知：如图，AC=AD，BC=BD，E是直线AB上任意一点。求证：EC=ED。 答：EC=ED。 解 AC=AD，故A在CD中垂线上；BC=BD，故B也在CD中垂线上。 A、B确定直线AB，它就是CD中垂线。E在其上，所以EC=ED。 方法：先由等距点确定垂直平分线。 注意：确定直线需要两个不同点。 随堂探究 变式　任意一点的含义 若E移到AB的延长线上，EC=ED仍成立吗？ 答：仍成立。 解 AB是一条直线上的中垂线，性质对其上所有点成立。 方法：先由等距点确定垂直平分线。 注意：确定直线需要两个不同点。 课堂练习 练习　等腰顶点与中垂线 如图，在△ABC中，AB=AC，用尺规作出BC的垂直平分线，看看它是否经过点A。 答：经过点A。 解 以B、C为圆心，以AB为相同半径作弧，两弧交于A和另一点Q，作直线AQ。 A、Q到B、C分别等距，故AQ是BC的中垂线，经过点A。 方法：先由等距点确定垂直平分线。 注意：确定直线需要两个不同点。 随堂探究 探究　从两端等距到垂直 已知PA=PB、QA=QB，P与Q是两个不同点。证明PQ⊥AB。 答：PQ⊥AB。 解 P、Q同在AB中垂线上，故PQ为该中垂线。 方法：先由等距点确定垂直平分线。 注意：确定直线需要两个不同点。 随堂探究 探究　从等距到中点 同上条件，PQ与AB交于M，AB=18。求AM与BM。 答：AM=BM=9。 解 PQ为AB中垂线，因此交点M平分AB。 方法：先由等距点确定垂直平分线。 注意：确定直线需要两个不同点。 随堂探究 探究　构造辅助线 P不在直线AB上且PA=PB，怎样添加辅助线证明P在AB中垂线上？ 答：作PM⊥AB于M。 解 Rt△PMA与Rt△PMB由HL全等，故AM=BM，PM垂直且平分AB。 方法：核对对应条件，用HL证明全等。 注意：确定直线需要两个不同点。 随堂探究 探究　中垂线性质的证明 M为AB中点，PM⊥AB。证明PA=PB。 答：PA=PB。 解 AM=BM、PM公共、夹角均90°，SAS证两直角三角形全等。 方法：核对对应条件，用SAS证明全等。 注意：确定直线需要两个不同点。 随堂探究 探究　等腰三角形的统一解释 为什么等腰三角形顶点和底边中点连线也是底边中垂线？ 答：顶点与底边中点都到两个底边端点等距。 解 两个不同等距点确定底边中垂线，连接它们得到这条直线。 方法：先由等距点确定垂直平分线。 注意：确定直线需要两个不同点。 知识讲授 阶段整理 先定位直线 两个等距点提供两次判定，确定同一条垂直平分线。 再使用性质 直线上任意点到两端等距，位置可以在给定线段外。 课堂总结 垂直平分线的应用 判定 等距点在中垂线上 确定直线 两个不同等距点 性质 线上任意点等距 延伸 等腰、垂直与中点 特别提醒：确定直线需要两个不同点。 针对训练 训练1　直接性质 完成下列问题，并说明理由。 （1） P在AB中垂线上，PA=8.6，PB多少？ （2） P在AB中垂线上，PA=2x+3、PB=15，求x。 解第（1）题 8.6。 中垂线点到两端等距。 方法：先由等距点确定垂直平分线。 注意：确定直线需要两个不同点。 针对训练 训练1　直接性质 完成下列问题，并说明理由。 （1） P在AB中垂线上，PA=8.6，PB多少？ （2） P在AB中垂线上，PA=2x+3、PB=15，求x。 解第（2）题 6。 2x+3=15。 方法：先由等距点确定垂直平分线。 注意：确定直线需要两个不同点。 针对训练 训练2　等距点定位 完成下列问题，并说明理由。 （1） PA=PB，P一定在AB的中垂线上吗？ （2） PA=PB时，P一定是AB中点吗？ 解第（1）题 是。 等距点判定。 方法：先由等距点确定垂直平分线。 注意：确定直线需要两个不同点。 针对训练 训练2　等距点定位 完成下列问题，并说明理由。 （1） PA=PB，P一定在AB的中垂线上吗？ （2） PA=PB时，P一定是AB中点吗？ 解第（2）题 不一定。 中垂线还有其他点。 方法：先由等距点确定垂直平分线。 注意：确定直线需要两个不同点。 针对训练 训练3　两点确定 完成下列问题，并说明理由。 （1） PA=PB、QA=QB，P≠Q，PQ与AB什么关系？ （2） 若P、Q重合，还能由两点确定一条直线吗？ 解第（1）题 垂直并平分AB。 两等距点确定中垂线。 方法：先由等距点确定垂直平分线。 注意：确定直线需要两个不同点。 针对训练 训练3　两点确定 完成下列问题，并说明理由。 （1） PA=PB、QA=QB，P≠Q，PQ与AB什么关系？ （2） 若P、Q重合，还能由两点确定一条直线吗？ 解第（2）题 不能。 确定直线需两个不同点。 方法：先由等距点确定垂直平分线。 注意：确定直线需要两个不同点。 针对训练 训练4　任意点 完成下列问题，并说明理由。 （1） AB是CD中垂线，E在AB延长线上，EC与ED怎样？ （2） E不在中垂线上，还一定有EC=ED吗？ 解第（1）题 相等。 延长线上的点仍在同一直线上。 方法：先由等距点确定垂直平分线。 注意：确定直线需要两个不同点。 针对训练 训练4　任意点 完成下列问题，并说明理由。 （1） AB是CD中垂线，E在AB延长线上，EC与ED怎样？ （2） E不在中垂线上，还一定有EC=ED吗？ 解第（2）题 没有。 若等距，判定会要求E在线上。 方法：先由等距点确定垂直平分线。 注意：确定直线需要两个不同点。 针对训练 训练5　中点计算 完成下列问题，并说明理由。 （1） 中垂线与AB交于M，AB=25，AM多少？ （2） AM=3x−1、BM=x+7，M为中点，x多少？ 解第（1）题 12.5。 线段一半。 方法：先由等距点确定垂直平分线。 注意：确定直线需要两个不同点。 针对训练 训练5　中点计算 完成下列问题，并说明理由。 （1） 中垂线与AB交于M，AB=25，AM多少？ （2） AM=3x−1、BM=x+7，M为中点，x多少？ 解第（2）题 4。 3x−1=x+7。 方法：先由等距点确定垂直平分线。 注意：确定直线需要两个不同点。 针对训练 训练6　等腰结构 完成下列问题，并说明理由。 （1） AB=AC，A在什么线段的中垂线上？ （2） PA=QA，A在什么线段的中垂线上？ 解第（1）题 BC。 A到B、C等距。 方法：先由等距点确定垂直平分线。 注意：确定直线需要两个不同点。 针对训练 训练6　等腰结构 完成下列问题，并说明理由。 （1） AB=AC，A在什么线段的中垂线上？ （2） PA=QA，A在什么线段的中垂线上？ 解第（2）题 PQ。 等距的固定端点为P、Q。 方法：先由等距点确定垂直平分线。 注意：确定直线需要两个不同点。 针对训练 训练7　性质与判定 完成下列问题，并说明理由。 （1） 从点在线上推出两距离相等，是什么方向？ （2） 从两距离相等推出点在线上，是什么方向？ 解第（1）题 性质。 已知位置推出数量关系。 方法：先由等距点确定垂直平分线。 注意：确定直线需要两个不同点。 针对训练 训练7　性质与判定 完成下列问题，并说明理由。 （1） 从点在线上推出两距离相等，是什么方向？ （2） 从两距离相等推出点在线上，是什么方向？ 解第（2）题 判定。 已知数量关系定位。 方法：先由等距点确定垂直平分线。 注意：确定直线需要两个不同点。 针对训练 训练8　方程计算 完成下列问题，并说明理由。 （1） EC=ED，EC=4x−3，ED=2x+7，求x。 （2） PA=PB，PA=x+8，PB=3x−2，求PA。 解第（1）题 5。 4x−3=2x+7。 方法：先由等距点确定垂直平分线。 注意：确定直线需要两个不同点。 针对训练 训练8　方程计算 完成下列问题，并说明理由。 （1） EC=ED，EC=4x−3，ED=2x+7，求x。 （2） PA=PB，PA=x+8，PB=3x−2，求PA。 解第（2）题 13。 x=5，代入得13。 方法：先由等距点确定垂直平分线。 注意：确定直线需要两个不同点。 针对训练 训练9　条件辨析 完成下列问题，并说明理由。 （1） 只有AC=AD，能说明直线AB是CD中垂线吗？ （2） 再给BC=BD，且A≠B，够吗？ 解第（1）题 不能。 只确定A在中垂线上，B的位置未知。 方法：先由等距点确定垂直平分线。 注意：确定直线需要两个不同点。 针对训练 训练9　条件辨析 完成下列问题，并说明理由。 （1） 只有AC=AD，能说明直线AB是CD中垂线吗？ （2） 再给BC=BD，且A≠B，够吗？ 解第（2）题 够。 两个不同点都在中垂线上。 方法：先由等距点确定垂直平分线。 注意：确定直线需要两个不同点。 针对训练 训练10　垂直与平分 完成下列问题，并说明理由。 （1） 直线l⊥AB，能推出l上点到A、B等距吗？ （2） 直线l过AB中点，能推出等距吗？ 解第（1）题 不能。 还要过AB中点。 方法：先由等距点确定垂直平分线。 注意：确定直线需要两个不同点。 针对训练 训练10　垂直与平分 完成下列问题，并说明理由。 （1） 直线l⊥AB，能推出l上点到A、B等距吗？ （2） 直线l过AB中点，能推出等距吗？ 解第（2）题 不能。 还要垂直AB。 方法：先由等距点确定垂直平分线。 注意：确定直线需要两个不同点。 针对训练 训练11　点的位置 完成下列问题，并说明理由。 （1） A、B不同，是否存在无数个到A、B等距的点？ （2） 在线段AB本身上，等距点有几个？ 解第（1）题 存在。 中垂线有无数个点。 方法：先由等距点确定垂直平分线。 注意：确定直线需要两个不同点。 针对训练 训练11　点的位置 完成下列问题，并说明理由。 （1） A、B不同，是否存在无数个到A、B等距的点？ （2） 在线段AB本身上，等距点有几个？ 解第（2）题 1个。 只有线段中点。 方法：先由等距点确定垂直平分线。 注意：确定直线需要两个不同点。 针对训练 训练12　周长计算 完成下列问题，并说明理由。 （1） AB=AC，BC=8，AB=6，周长多少？ （2） P在AB中垂线上，PA=7，AB=10，△PAB周长多少？ 解第（1）题 20。 6+6+8。 方法：先由等距点确定垂直平分线。 注意：确定直线需要两个不同点。 针对训练 训练12　周长计算 完成下列问题，并说明理由。 （1） AB=AC，BC=8，AB=6，周长多少？ （2） P在AB中垂线上，PA=7，AB=10，△PAB周长多少？ 解第（2）题 24。 PB=7，7+7+10。 方法：先由等距点确定垂直平分线。 注意：确定直线需要两个不同点。 针对训练 训练13　两交点说明 两个以A、B为圆心、相同半径的圆相交于P、Q。证明PQ是AB中垂线。 答：PQ为AB中垂线。 解 PA=PB、QA=QB，两交点是不同等距点。 方法：先由等距点确定垂直平分线。 注意：确定直线需要两个不同点。 针对训练 训练14　线段和差 A、B都到C、D等距，E在直线AB上。EC=3x+1，ED=5x−7，求EC。 答：13。 解 先确定AB为CD中垂线，EC=ED，解得x=4。 方法：先由等距点确定垂直平分线。 注意：确定直线需要两个不同点。 针对训练 训练15　应用：公交站 两小区C、D到道路上的两个点A、B均分别等距。公交站E设在直线AB上任意位置，是否到两小区等距？ 答：是。 解 A、B确定CD中垂线，道路上的E到C、D距离相等。 方法：先由等距点确定垂直平分线。 注意：确定直线需要两个不同点。 针对训练 训练16　应用：园林喷头 两棵树A、B相距12 m，要在两树连线的中垂线上装喷头P，已测PA=10 m，喷头到B多远？ 答：10 m。 解 喷头在中垂线上，到两端等距，直接由性质确定。 方法：先由等距点确定垂直平分线。 注意：确定直线需要两个不同点。 方法总结 垂直平分线的应用 先判定后用性质 （1）分别定位两个已知点 （2）由直线推出任意点等距 确认固定端点 （1）等距式中找共同的两个端点 （2）作这两点连线的中垂线 $