12.5 全等三角形的判定（第2课时） 课件 2026--2027学年北京版八年级数学上册

第12章 三角形 12.5 全等三角形的判定 （第2课时）边角边 八年级上册　数学（北京版） 学习目标 学习目标 理解 掌握边角边判定，理解夹角的必要性。 运用 从角平分线、对顶角与平行线中寻找夹角相等。 复习引入 问题引入 观察 两根固定长度的木条夹角改变，末端距离会怎样变化？ 思考 固定两边及它们的夹角，第三个顶点还能任意移动吗？ 知识讲授 边角边 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。简记为：边角边或SAS。 时，可判。 相等角必须夹在两组相等边之间，非夹角不能直接用SAS。 知识讲授 夹角的位置 给定两边 若给出，共同端点是。 必须是夹角 应使用，不能把或直接作为这两边的夹角。 随堂探究 探究　固定两边及夹角 作∠A=60°，在两边分别截取AB=4 cm、AC=3 cm，连接BC。解释为何画出的三角形唯一。 答：角确定两射线，长度确定B、C。 解 三个顶点一旦确定，三角形的形状大小也确定。 方法：找到两组等边之间的夹角。 注意：非夹角不能直接代入SAS。 例题讲解 例 2 已知：如图，AC=AD，AB平分∠CAD。求证：（1）△CAB≌△DAB；（2）∠C=∠D。 答：（1）△CAB≌△DAB；（2）∠C=∠D。 解 ∠CAB=∠DAB，AC=AD，AB=AB，由SAS得全等。 全等三角形的对应角相等，故∠C=∠D。 方法：核对对应条件，用SAS证明全等。 注意：非夹角不能直接代入SAS。 随堂探究 变式　结论的扩展 在例2的条件下，还能得到哪一组边相等？ 答：BC=BD。 解 由△CAB≌△DAB，对应边CB与DB相等。 方法：找到两组等边之间的夹角。 注意：非夹角不能直接代入SAS。 课堂练习 练习1 已知：如图，AB、CD相交于点O，AO=CO，OD=OB。求证：△AOD≌△COB。 答：。 解 ∠AOD=∠COB，因为对顶角相等。 AO=CO、OD=OB，结合夹角相等，由SAS得证。 方法：核对对应条件，用SAS证明全等。 注意：非夹角不能直接代入SAS。 课堂练习 练习2 已知：如图，AB∥CD，且AB=CD。求证：△ADB≌△CBD。 答：。 解 AB∥CD，得∠ABD=∠CDB。 AB=CD，BD=DB，夹角相等，由SAS得证。 方法：核对对应条件，用SAS证明全等。 注意：非夹角不能直接代入SAS。 知识讲授 三种夹角来源 直接与角平分线 直接给出等角，或由角平分线得到两个相等的角。 相交与平行 相交直线提供对顶角，平行直线提供内错角。 随堂探究 探究　补充条件 AB=DE、AC=DF。用SAS证明△ABC≌△DEF，还需什么条件？ 答：。 解 两组边的共同端点分别为A与D。 方法：找到两组等边之间的夹角。 注意：非夹角不能直接代入SAS。 随堂探究 探究　公共角模型 D在AB上，E在AC上，AD=AE、AB=AC。证明△ABE≌△ACD。 答：。 解 AB=AC、AE=AD，夹角∠BAE=∠CAD为同一个角，由SAS。 方法：核对对应条件，用SAS证明全等。 注意：非夹角不能直接代入SAS。 知识讲授 阶段整理 判定时 先找两组边，再核对相等角是否夹在两边之间。 用结论时 按证明中的顶点顺序，提取所需对应边或对应角。 课堂总结 边角边 两边 成对找到对应边 夹角 核对公共顶点 隐含条件 公共边、等角来源 运用 全等推出边角相等 特别提醒：非夹角不能直接代入SAS。 针对训练 训练1　夹角识别 完成下列问题，并说明理由。 （1） 边AB与BC的夹角是什么？ （2） 边AC与BC的夹角是什么？ 解第（1）题 。 公共端点为B。 方法：找到两组等边之间的夹角。 注意：非夹角不能直接代入SAS。 针对训练 训练1　夹角识别 完成下列问题，并说明理由。 （1） 边AB与BC的夹角是什么？ （2） 边AC与BC的夹角是什么？ 解第（2）题 。 公共端点为C。 方法：找到两组等边之间的夹角。 注意：非夹角不能直接代入SAS。 针对训练 训练2　SAS条件 完成下列问题，并说明理由。 （1） AB=DE、AC=DF、∠A=∠D，能否判全等？ （2） AB=DE、AC=DF、∠B=∠E，能否直接用SAS？ 解第（1）题 能，SAS。 相等角分别夹在已知两边之间。 方法：找到两组等边之间的夹角。 注意：非夹角不能直接代入SAS。 针对训练 训练2　SAS条件 完成下列问题，并说明理由。 （1） AB=DE、AC=DF、∠A=∠D，能否判全等？ （2） AB=DE、AC=DF、∠B=∠E，能否直接用SAS？ 解第（2）题 不能。 ∠B不是AB、AC的夹角。 方法：找到两组等边之间的夹角。 注意：非夹角不能直接代入SAS。 针对训练 训练3　补充等角 完成下列问题，并说明理由。 （1） AB=DE、BC=EF，用SAS需什么角相等？ （2） AC=DF、BC=EF，用SAS需什么角相等？ 解第（1）题 。 两边公共顶点为B、E。 方法：找到两组等边之间的夹角。 注意：非夹角不能直接代入SAS。 针对训练 训练3　补充等角 完成下列问题，并说明理由。 （1） AB=DE、BC=EF，用SAS需什么角相等？ （2） AC=DF、BC=EF，用SAS需什么角相等？ 解第（2）题 。 两边公共顶点为C、F。 方法：找到两组等边之间的夹角。 注意：非夹角不能直接代入SAS。 针对训练 训练4　公共边 完成下列问题，并说明理由。 （1） △ABD与△ACD用SAS，公共边是哪条？ （2） 若AB=AC，还需哪组夹角相等？ 解第（1）题 AD。 AD=AD。 方法：找到两组等边之间的夹角。 注意：非夹角不能直接代入SAS。 针对训练 训练4　公共边 完成下列问题，并说明理由。 （1） △ABD与△ACD用SAS，公共边是哪条？ （2） 若AB=AC，还需哪组夹角相等？ 解第（2）题 。 角在AB、AD及AC、AD之间。 方法：找到两组等边之间的夹角。 注意：非夹角不能直接代入SAS。 针对训练 训练5　等角来源 完成下列问题，并说明理由。 （1） 两直线相交，∠AOD与∠COB为何相等？ （2） AB∥CD时，∠ABD与∠CDB为何相等？ 解第（1）题 对顶角相等。 确认两角的边互为反向延长线。 方法：找到两组等边之间的夹角。 注意：非夹角不能直接代入SAS。 针对训练 训练5　等角来源 完成下列问题，并说明理由。 （1） 两直线相交，∠AOD与∠COB为何相等？ （2） AB∥CD时，∠ABD与∠CDB为何相等？ 解第（2）题 内错角相等。 BD是截线。 方法：找到两组等边之间的夹角。 注意：非夹角不能直接代入SAS。 针对训练 训练6　全等后计算 完成下列问题，并说明理由。 （1） SAS证△ABC≌△DEF，BC=14，求EF。 （2） 同样条件，∠C=58°，求∠F。 解第（1）题 14。 对应边相等。 方法：找到两组等边之间的夹角。 注意：非夹角不能直接代入SAS。 针对训练 训练6　全等后计算 完成下列问题，并说明理由。 （1） SAS证△ABC≌△DEF，BC=14，求EF。 （2） 同样条件，∠C=58°，求∠F。 解第（2）题 58°。 对应角相等。 方法：找到两组等边之间的夹角。 注意：非夹角不能直接代入SAS。 针对训练 训练7　方程求边 完成下列问题，并说明理由。 （1） 全等对应边为4x−2和18，求x。 （2） 全等对应边为2x+7和5x−2，求x。 解第（1）题 5。 4x−2=18。 方法：找到两组等边之间的夹角。 注意：非夹角不能直接代入SAS。 针对训练 训练7　方程求边 完成下列问题，并说明理由。 （1） 全等对应边为4x−2和18，求x。 （2） 全等对应边为2x+7和5x−2，求x。 解第（2）题 3。 移项得3x=9。 方法：找到两组等边之间的夹角。 注意：非夹角不能直接代入SAS。 针对训练 训练8　角平分线 完成下列问题，并说明理由。 （1） AB平分∠CAD=70°，求∠CAB。 （2） ∠CAB=28°、∠DAB=28°，可得什么结论？ 解第（1）题 35°。 角平分线将70°分成两半。 方法：找到两组等边之间的夹角。 注意：非夹角不能直接代入SAS。 针对训练 训练8　角平分线 完成下列问题，并说明理由。 （1） AB平分∠CAD=70°，求∠CAB。 （2） ∠CAB=28°、∠DAB=28°，可得什么结论？ 解第（2）题 AB平分∠CAD。 射线在角内部且两小角相等。 方法：找到两组等边之间的夹角。 注意：非夹角不能直接代入SAS。 针对训练 训练9　对顶角数值 完成下列问题，并说明理由。 （1） ∠AOD=62°，对顶角∠COB多少度？ （2） 与62°邻补的角是多少？ 解第（1）题 62°。 对顶角相等。 方法：找到两组等边之间的夹角。 注意：非夹角不能直接代入SAS。 针对训练 训练9　对顶角数值 完成下列问题，并说明理由。 （1） ∠AOD=62°，对顶角∠COB多少度？ （2） 与62°邻补的角是多少？ 解第（2）题 118°。 180°−62°。 方法：找到两组等边之间的夹角。 注意：非夹角不能直接代入SAS。 针对训练 训练10　已知对应顺序 完成下列问题，并说明理由。 （1） AO=CO、OD=OB，△AOD对应哪个三角形？ （2） AB=CD、BD=DB，夹角在B和D，△ABD对应哪个三角形？ 解第（1）题 △COB。 A↔C、O↔O、D↔B。 方法：找到两组等边之间的夹角。 注意：非夹角不能直接代入SAS。 针对训练 训练10　已知对应顺序 完成下列问题，并说明理由。 （1） AO=CO、OD=OB，△AOD对应哪个三角形？ （2） AB=CD、BD=DB，夹角在B和D，△ABD对应哪个三角形？ 解第（2）题 △CDB。 A↔C、B↔D、D↔B。 方法：找到两组等边之间的夹角。 注意：非夹角不能直接代入SAS。 针对训练 训练11　条件真伪 完成下列问题，并说明理由。 （1） 两边分别相等足以判两个三角形全等吗？ （2） 两边及其夹角分别相等能否判全等？ 解第（1）题 不足。 夹角可改变。 方法：找到两组等边之间的夹角。 注意：非夹角不能直接代入SAS。 针对训练 训练11　条件真伪 完成下列问题，并说明理由。 （1） 两边分别相等足以判两个三角形全等吗？ （2） 两边及其夹角分别相等能否判全等？ 解第（2）题 能。 正是SAS基本事实。 方法：核对对应条件，用SAS证明全等。 注意：非夹角不能直接代入SAS。 针对训练 训练12　消去公共量 完成下列问题，并说明理由。 （1） AB=CD且BC公共，能直接得AC=BD吗？ （2） 已证△ABE≌△ACD，可得BE与CD什么关系？ 解第（1）题 不能。 还缺夹角相等等条件。 方法：找到两组等边之间的夹角。 注意：非夹角不能直接代入SAS。 针对训练 训练12　消去公共量 完成下列问题，并说明理由。 （1） AB=CD且BC公共，能直接得AC=BD吗？ （2） 已证△ABE≌△ACD，可得BE与CD什么关系？ 解第（2）题 BE=CD。 全等后的对应边相等。 方法：找到两组等边之间的夹角。 注意：非夹角不能直接代入SAS。 针对训练 训练13　角平分线证明等距 AC=AD，B在∠CAD平分线上，连接BC、BD。证明BC=BD。 答：BC=BD。 解 AC=AD、AB公共、∠CAB=∠DAB，SAS证△CAB≌△DAB。 方法：核对对应条件，用SAS证明全等。 注意：非夹角不能直接代入SAS。 针对训练 训练14　公共角证明 AB=AC，D、E分别为AB、AC中点。证明BE=CD。 答：BE=CD。 解 AD=AE，∠BAE=∠CAD，AB=AC，SAS证△ABE≌△ACD。 方法：核对对应条件，用SAS证明全等。 注意：非夹角不能直接代入SAS。 针对训练 训练15　应用：支架复制 复制一块三角形支架，已量得两边12 cm、16 cm及它们的夹角50°。仅按这三个量制作能保证全等吗？ 答：能。 解 两边及夹角分别相等，由SAS保证全等。 方法：核对对应条件，用SAS证明全等。 注意：非夹角不能直接代入SAS。 针对训练 训练16　应用：两根拉杆 同一立柱顶端A到两个地脚C、D的长度相等，横梁AB平分∠CAD。若BC长2.4 m，BD应长多少？ 答：2.4 m。 解 AC=AD、AB公共、夹角相等，用SAS证两三角形全等。 方法：核对对应条件，用SAS证明全等。 注意：非夹角不能直接代入SAS。 方法总结 边角边 两边找夹角 （1）先找到两边的公共顶点 （2）只使用这两边之间的角 熟悉基本模型 （1）公共边配角平分线 （2）对顶角或平行线配两边 $