27.1 反比例函数的概念（课件）2026-2027学年人教版九年级数学上册

第二十七章 反比例函数 27.1 反比例函数的概念 1 导入新课 从学校到市图书馆距离为 12 km. 若乘坐不同交通工具, 速度 v (单位: km/h) 与时间 t (单位: h) 有怎样的关系? 计算并用表格记录 v = 3, 4, 6, 12 时对应的 t 值. 速度 v 3 4 6 12 时间 t 4 3 2 1 路程：12 km 路程 = 速度 × 时间 时间 = 路程 速度 2 导入新课 用 100 元购买单价为 x 元/本的笔记本, 能购买的数量 y (单位: 本)与单价 x (单位: 元/本) 之间有怎样的关系? 总价 = 单价 × 数量 y = x 100 3 活动一：归纳特征，抽象概念 在下列问题中, 变量之间具有函数关系吗? 如果有, 它们的解析式有什么共同特点? 高效课堂 (1)京沪高铁全程为 1 318 km, 某次列车的平均速度 v (单位: km/h)随此次列车的全程运行时间 t (单位: h)的变化而变化; (2)某住宅小区要种植一块面积为 1 000 m2 的矩形草坪, 草坪相邻两边的一边长 y (单位: m)随另一边长 x (单位: m)的变化而变化; (3)李明计划在一段时间内使用完 5 GB 手机流量, 平均每天使用的流量 Q (单位: GB) 随使用完流量的总时间 t (单位: 天)的变化而变化. (1) (2) (3) Q 4 共同特点: 在问题 (1) 中, 有两个变量 t 与 v, 当一个量 t 变化时, 另一个量 v 随着 t 的变化而变化, 而且对于 t 的每一个确定的值, v 都有唯一确定的值与其对应. 问题(2)(3)也一样. 高效课堂 所以这些变量之间具有函数关系, 且三个解析式都具有 的形式, 其中 k 是非零常数, 即两个相关联变量的乘积是一个非零常数. 5 矩形面积 S 固定时, 长 y 与宽 x 的关系 高效课堂 S 不变 反比例函数的定义: 为什么 k ≠ 0? 一般地, 形如 (k 为常数, k ≠ 0)的函数叫作反比例函数. 其中 x 是自变量, 其取值范围是不等于 0 的一切实数. (若 k = 0, 则函数值为 0, 两个变量不构成反比关系) (除数不能为 0, 且从实际意义看, 许多情境中自变量为 0无意义). 为什么 x ≠ 0? 6 活动二：概念辨析与形式转换 高效课堂 辨析练习: 下列哪些式子表示 y 是 x 的反比例函数? (1) ; (2) xy = -3; (3) ; (4) y = 3x - 1; (5) . (1)(2)表示 y 是 x 的反比例函数. 判断依据是能否化为 或 xy = k (k 为常数, k ≠ 0)的形式. 正比例函数 y = kx (k ≠ 0) 反比例函数 (k ≠ 0) 积定 xy = k 为常数 商定 为常数 7 活动三：简单应用——确定函数解析式 高效课堂 例 已知 y 是 x 的反比例函数, 且当 x = 2 时, y = 6. (1) 写出 y 关于 x 的函数解析式. (2) 当 x = 4 时, 求 y 的值. 分析: 因为 y 是 x 的反比例函数, 所以设 . 把 x = 2, y = 6 代入上式, 就可求出常数 k 的值. 解得 k = 12. 解: (1) 设 . 因为当 x = 2 时, y = 6, 所以 . 因此 . (2) 把 x = 4 代入 , 得 = 3. 8 课堂评价 1.下列函数中, 是反比例函数的是 ( ) A. B. C. D. C 2.已知在反比例函数 中, 当 x = -3 时, y = 2, 则 k 的值为 ( ) A. 6 B. -6 C. 9 D. -1.5 B 9 课堂评价 3.若函数 y = (m - 2)xm2 - m - 3 是 y 关于 x 的反比例函数, 则 m 的值为 ( ) A. -1 B. 0 C. 2 D. -1 或 2 点拨 因为函数 y = (m - 2)xm2 - m - 3 是 y 关于 x 的反比例函数, 所以 m - 2 ≠ 0, m2 - m - 3 = -1. 由 m2 - m - 3 = -1 得 m2 - m - 2 = 0, 解得 m1 = -1, m2 = 2. 因为 m - 2 ≠ 0, 所以 m ≠ 2. 综上所述, m 的值为 -1. A 10 课堂评价 4. 二胡是我国一种传统拉弦乐器, 演奏二胡时, 在同一张力下, 它的振动弦的共振频率 f (单位: 赫兹) 与长度 l (单位: 米) 近似成反比例关系, 即 (k 为常数, k ≠ 0). 若某一振动频率 f 为 260 赫兹, 长度 l 为 0.5 米, 则 f 关于 l 的函数解析式为_________. 点拨 因为 , 当 f 为 260 赫兹时, 长度 l 为 0.5 米, 所以 k = 260×0.5 = 130, 所以 . 11 课堂评价 答案 5.已知函数 y = (3m - 2)x2 + n +( ) . (1) 当 m, n 为何值时, 该函数是一次函数? (2) 当 m, n 为何值时, 该函数是正比例函数? (3) 当 m, n 为何值时, 该函数是反比例函数? (1) 当 m ≠ , n = -1 时, 该函数是一次函数. (2) 当 m = , n = -1 时, 该函数是正比例函数. (3) 当 m = , n = -3 时, 该函数是反比例函数. 12 课堂总结 什么是反比例函数? 其解析式是什么? 我们是如何从实际问题中抽象出反比例函数概念的? 运用了什么数学思想? 数学建模思想 从现实世界到数学世界 反比例函数解析式 中, 需要注意哪些关键点? (k ≠ 0, x ≠ 0) 观察实例 发现共同特征 抽象定义 13 作业设计 基础性作业: 教材练习第 1, 2 题. 提高性作业: 寻找生活中你认为可能存在的反比例关系实例, 尝试用函数解析式进行描述, 并说明理由. 拓展性作业: 对于反比例函数 y = (k > 0) 与一次函数 y = kx (k > 0), 当 x 增大时, y 的变化趋势有何不同? 为什么? 14 感 谢 观 看 $