12.7《直角三角形》——直角三角形三边关系课件-2025-2026学年北京版2024数学八年级上册

12.7直角三角形 直角三角形三边的关系 相传2500年前，古希腊著名数学家毕达哥拉斯有一次在朋友家里做客时，发现朋友家用砖铺成的地面中反映了等腰直角三角形三边的某种数量关系． 你觉得毕达哥拉斯发现了什么关系？ P的面积 Q的面积 R的面积 图2 9 16 25 图3 9 4 13 P、Q、R的面积关系 直角三角形三边关系 图2 图3 猜想： 如果一个直角三角形的两直角边分别为a、b，斜边为c 那么就有： 活动： 如何利用4个全等的直角三角形拼成一个正方形？ a b c 活动： 如何利用4个全等的直角三角形拼成一个正方形？ 证明： “赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲.因此，这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学大会的会徽. 活动： 如何利用4个全等的直角三角形拼成一个正方形？ 请仿照上面的方法，写出证明过程 a b c 概括： 勾股定理： 直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方 a b c 几何语言： 直角三角形的性质 （Ⅰ）有一个角是直角； A B C a b c ∠C=90° ∠A+∠B=90° （Ⅱ）两个锐角的和为90°（互余）； 那直角三角形还有哪些性质呢？ 探索: 问题：观察下图，并解决下列问题： SP+SQ=SR Q A C B R P （图中每一格代表1平方厘米） （1）正方形P的面积是 平方厘米； （2）正方形Q的面积是 平方厘米； （3）正方形R的面积是 平方厘米； 1 1 2 （4）通过刚才的计算，你有何发现？ 发现 在等腰直角三角形ABC中，两直角边的平方和等于斜边的平方. 那一般的直角三角形的三边呢？ 活动一 探索: P Q R 面积 （单位长度） P、Q、R 面积关系 直角三角形 三边关系 SP+SQ=SR （每一小方格表示1平方厘米） Q P R A B C 9 16 25 在一般的直角三角形ABC中，两直角边的平方和等于斜边的平方。 活动二 问题：分别以5cm、12cm为直角三角形的直角边作出一个直角三角形ABC,测量斜边的长度,然后验证上述关系对这个直角三角形是否成立。 B A 5 B 12 13 探索: 活动三 探索: 猜想与论证 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c. A B C a b c 结论 直角三角形三边的关系 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 A B C a b c 又名：勾股定理 几何语言 ∴ ∵ ∠C=90° 勾股定理结论变形 细心解读 勾股定理将“形”转化为“数”,已知直角三角形任意两边,可以求出第三边,而这对于实际问题的解决起到积极的作用。 勾股定理结论变形 细心解读 应用新知，针对训练 【变式】 A B C 例2 若直角三角形的两直角边边长分别为3、4，则第三边长为 ． 【变式】若直角三角形的两边长分别为3、4，则第三边长的平方为 . ． A B C 5 25或7 应用新知，针对训练 拓展提升 B A C D 勾股定理论证 a a a a c c c c b b b b 最早是由1700多年前三国时期的数学家赵爽为《周髀算经》作注时给出的，他用面积法证明了勾股定理。 弦图 勾股定理结论变形 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 A B C a b c 结论 （1）勾股定理是研究直角三角形三边之间的关系,只在直角三角形 中成立。 （2）运用勾股定理时要分清直角边和斜边,然后再使用；若没有告 诉斜边的情况下，经常有两解，勿漏解。 （3）勾股定理将“形”转化为“数”,已知直角三角形任意两边, 可以求出第三边,而这对于实际问题的解决起到积极的作用。 例如 A C B a c b C B A c b a 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 例 1 在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8，求AC. C A B 变式拓展 变式1：在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=10，BC=8，求AB； 变式2：在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=10，AB=6，求BC； 变式3：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=6，求BC； 变式4：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC:BC=3:4，求BC； 变式5：在Rt△ABC中，AC=10，AB=6，求BC. 规律与方法：利用勾股定理解决直角三角形边的问题时，需要注意以下问题：一是要分清斜边和直角边；二是没有明确斜边，应分类讨论；三是一定要数形结合解决问题。 例 2 一棵电杆从离地面8m处拉一根钢绳，钢绳在地面的固定点离电杆底部有6m。那么需要多长的钢绳？ 解：设钢绳长为x在电杆、钢绳、地面围成的直角三角形中，电杆与地面作为直角边，则钢绳作为斜边。 所以有：a2+b2=c2 x2=82+62=100 所以 x=10m 所以需要10m长的钢绳。 A.基础巩固 课后作业，反馈提升 2.如图，图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为_________cm2. 如图，直线同侧有三个正方形 、 、 ，若 、 的面积分别为5和12，则 的面积为 . A.基础巩固 课后作业，反馈提升 4.如图，△ABC中，AB=AC=13，BC=10． （1）求高AD的长； （2）求△ABC的面积 A.基础巩固 课后作业，反馈提升 再见，谢谢聆听！ $$