12.6等腰三角形（第4课时等腰三角形的判定）（教学课件）数学北京版2024八年级上册

北京版2024·八年级上册 等腰三角形与直角三角形 12.6等腰三角形 第四课时等腰三角形的判定 第十二章 三角形 学 习 目 标 1 2 3 掌握"等角对等边"判定定理及其三种证明方法 能识别复杂图形中的等腰三角形 会运用判定定理解决几何问题 知识回顾 回顾等腰三角形的性质： A B C 等腰三角形：AB=AC "根据定义，等腰三角形最显著的特征是什么？" 两条边相等AB=AC "除了边的关系，在角度方面有什么特点？" 两底角相等 ∠B=∠C "如果画出底边上的中线，这条线还有什么特殊身份？" 同时是高线和角平分线 知识回顾 回顾等腰三角形的性质： 性质逆向思考： 已知△ABC中，AD⊥BC且平分BC，求证AB=AC A B C D ∟ 已知条件转化：AD是底边的______？ 联想到什么性质？ 三线合一的前提是什么？ 高线+中线 （三线合一） （必须是等腰三角形） 知识回顾 回顾等腰三角形的性质： 性质逆向思考： 已知△ABC中，AD⊥BC且平分BC，求证AB=AC A B C D ∟ 证明：∵ AD⊥BC且BD=DC 在△ABD和△ACD中 BD=CD ∠ADB=∠ADC AD=AD ∴ △ABD≌△ACD（SAS） ∴ AB=AC 知识回顾 回顾等腰三角形的性质： "我们先用全等证明了AB=AC，才能说它是等腰三角形。但'三线合一'本身是等腰三角形的性质，这里是否存在循环论证？“ 已知等腰三角形 推出其他特征 证明等腰三角形 知识回顾 回顾等腰三角形的性质： 命题关系图 我们已经知道： 两边相等 两角相等 那么反过来： 两角相等 ？ 情境导入 "工匠用等腰三角形原理制作水平仪，当两个底角相等时，就能保证两边长度相同。如何用数学方法验证这个原理？" 新知探究 等腰三角形的判定 小明用量角器画出∠MBC=∠NCB,其中BM 和CN交于点A(图12-54),那么,△ABC是一个什么形状的三角形呢? 思考与交流 你能应用三角形全等的知识证明你的判断吗? 图12-54 新知探究 等腰三角形的判定 已知∠MBC=∠NCB，探究△ABC的形状 甲、乙、丙三位同学在图12-54的△ABC中各添加了一条辅助线(图12-55),你能用哪位同学添加辅助线的方法证明AB=AC? A B C D 甲：作∠BAC的平分线， 交BC于点D A B C E 乙：取BC的中点E 连接AE A B C F ∟ 丙：过点A作AF⊥BC 于点F 新知探究 等腰三角形的判定 在△ABC中，若∠B=∠C，则AB=AC。三位同学分别采用不同的辅助线策略： A B C 证明者 辅助线 核心定理 全等判定方法 甲 乙 丙 作角平分线AD 角平分线定义 AAS 取中点E连AE 中点定义 SAS 作高AF 垂线定义 HL 新知探究 等腰三角形的判定 A B C D 甲：作∠BAC的平分线， 交BC于点D 甲同学证法： 解：作∠BAC的平分线AD，交BC于D 则∠BAD = ∠CAD 在△ABD与△ACD中 ∠B = ∠C （已知） ∠BAD = ∠CAD （已证） AD = AD （公共边） ∴ △ABD ≌ △ACD （AAS） ∴ AB = AC 关键点说明： 1.角平分线创造了两个相等的角，为AAS全等创造条件 2.这是最直接的证法，但需要准确作出角平分线 3.适用于已知角度关系明确的情况 新知探究 等腰三角形的判定 乙同学证法： 解：取BC的中点E，连接AE 则BE = EC （中点定义） 在△ABE与△ACE中 BE = EC （已证） ∠B = ∠C （已知） AE = AE （公共边） ∴ △ABE ≌ △ACE （SAS） ∴ AB = AC 关键点说明： 1.中点构造创造了相等的线段 2.利用SAS定理时，注意夹角是∠AEB与∠AEC 3.此方法在已知中点条件时特别有效 A B C E 乙：取BC的中点E 连接AE 新知探究 等腰三角形的判定 丙同学证法： 解：过A作AF⊥BC，垂足为F 则∠AFB = ∠AFC = 90° （垂直定义） 在△ABF与△ACF中 ∠AFB = ∠AFC （已证） ∠B = ∠C （已知） AF = AF （公共边） ∴ ∴ △ABF ≌ △ACF （AAS） ∴ AB = AC 关键点说明： 1.高线创造了直角条件 2.既可用AAS也可用HL证明 3.特别适合已知垂直关系的场景 A B C F ∟ 丙：过点A作AF⊥BC 于点F 新知探究 等腰三角形的判定 归纳小结 由此推出等腰三角形判定定理： 有两个角相等的三角形是等腰三角形(简记为：等角对等边). A B C 符号语言： 在△ABC中 ∵∠B=∠C ∴AB=AC 典例解析 例4 已知：如图12-56,在△ABC中，AB=AC,∠A=36°,BD平分∠ABC.问图中共有多少个等腰三角形.试说明理由. 图12-56 思维引导： 已知AB=AC △ABC为等腰三角形 求底角∠B=∠C=72° BD平分∠ABC：∠ABD=36° △ABD：∠A=∠ABD=36° △BDC：∠BDC=∠C=36° 新知探究 1.在△ABC中： AB=AC → ∠B=∠C=(180°-36°)/2=72° 2.BD平分∠ABC： ∠ABD=∠CBD=36° 3.在△ABD中： ∠A=∠ABD=36° → AD=BD 4.△BDC中： ∠BDC=180°-36°-72°=72°=∠C → BD=BC 5.综上，等腰三角形有： △ABC、△ABD、△BDC 完整解答过程： 课堂练习 1.下列条件能判定 为等腰三角形的是( ) C A. ， B. ， C. ， D. ， 2.等边三角形的两条高线相交成钝角的度数是（　　） A．105° B．120° C．135° D．150° B 课堂练习 3.如图，等边三角形ABC的三条角平分线交于点O，DE∥BC，则这个图形中的等腰三角形共有（ ） A. 4个 B. 5个 C. 6个 D. 7个 D A C B D E O 课堂练习 4.如图，在中， , , . （1）_____, _____; （2）图中一共有___个等腰三角形，分别是_____________________. 3 ,, 课堂练习 5.如图，在中，点，分别是边， 上的点，， ，与相交于点.求证： 是等腰三角形. 证明： ， . 在和 中， . . , 即 . 是等腰三角形. 课堂练习 6.如图，点A，B，C在一条直线上，△ABD，△BCE均为等边三角形，连接AE和CD，AE分别交CD，BD于 点M，P，CD交BE于点Q，连接PQ，BM，下面结论：①△ABE≌△DBC；②∠DMA＝60°；③△BPQ为等边三角形；④MB平分∠AMC，其中结论正确的有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 D 课堂练习 7.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°以AB为边在△ABC外作等边△ABD，E是AB的中点，连接CE并延长交AD于F． 求证：△AEF≌△BEC． 证明：∵△ABD是等边三角形， ∴∠DAB=60°， ∵∠CAB=30°，∠ACB=90°， ∴∠EBC=180°-90°-30°=60°， ∴∠FAE=∠EBC． ∵E为AB的中点， ∴AE=BE． 又∵ ∠AEF＝∠BEC， ∴△AEF≌△BEC（ASA）． 课堂总结 等腰三角形的判定 基本方法 定义法：证两边相等 判定定理：证两角相等 辅助线技巧 作角平分线 取中点 作垂线 应用策略 复杂图形分解 角度计算转化 课堂总结 方法升华： "一题多解"思维培养： 1.比较三种证法的优劣 2.甲法最简洁，丙法适用范围广 几何证明"三看"原则： 看条件（角相等） 看结论（边相等） 看联系（全等三角形） 易错警示： 1.避免"边边角"错误使用 2.注意辅助线描述的规范性 3.角度计算时的单位统一 感谢聆听! $$