12.3 三角形中的主要线段（第1课时）课件 2026-2027学年北京版数学八年级上册

第12章 三角形 12.3 三角形中的主要线段 （第1课时）中线、角平分线与高 八年级上册　数学（北京版） 学习目标 学习目标 理解 准确区分三角形的中线、角平分线和高。 运用 会画三类线段，能根据定义进行长度、角度和面积计算。 复习引入 问题引入 观察 从顶点向对边画一条线段，它一定是中线吗？ 思考 同一条线段怎样通过中点、等角、直角三个不同条件来确定？ 知识讲授 三角形的中线 在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段，叫作这个三角形的中线。 是的中点，故，连接得到中线。 中线只要求平分对边，不直接给出垂直或平分角。 随堂探究 探究　中线定义的使用 AD是△ABC的中线，BC=10 cm。求BD和CD。 答：BD=CD=5 cm。 解 D是BC的中点，BD=CD=BC÷2。 方法：把特殊线段的定义译成等量或垂直。 注意：中线、角平分线、高不可混用。 知识讲授 三角形的重心 一个三角形的三条中线交于一点，这个点叫作三角形的重心。 从三个顶点分别连接对边中点，三条中线相交于重心。 重心位于三角形内部，与高线交点是不同概念。 随堂探究 探究　薄板平衡实验 在质地均匀的三角形薄板上画三条中线。用笔尖托住三条中线的交点，观察能否保持平衡。 答：能保持平衡，交点是三角形的重心。 解 均匀薄板的质量分布与三角形形状相对应；多换几种形状重复验证。 方法：把特殊线段的定义译成等量或垂直。 注意：中线、角平分线、高不可混用。 知识讲授 三角形的角平分线 在三角形中，一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段，叫作这个三角形的角平分线。 平分，有。 这里的角平分线是顶点到对边交点之间的线段。 随堂探究 探究　角平分线定义的使用 AT是△ABC的角平分线，∠BAC=76°。求∠BAT和∠CAT。 答：∠BAT=∠CAT=38°。 解 角平分线将一个角分成两个相等的角。 方法：把特殊线段的定义译成等量或垂直。 注意：中线、角平分线、高不可混用。 知识讲授 三角形的高 由三角形的一个顶点向它的对边所在的直线引垂线，顶点和垂足之间的线段叫作这个三角形的高线，简称三角形的高。 ，其中可在边上或其延长线上。 高的对应底边必须说清，不能只看线段在图上是否竖直。 随堂探究 探究　不同三角形中的高 画出锐角、直角、钝角三角形中边BC上的高，并比较垂足位置。 答：垂足可在边上、端点处或延长线上。 解 对边所在直线是作垂线的对象，垂足不要求落在边的内部。 方法：把特殊线段的定义译成等量或垂直。 注意：中线、角平分线、高不可混用。 随堂探究 探究　高线交点的位置 三角形的三条高或其所在直线交于一点吗？按三类三角形说明。 答：都共点；锐角在内部，直角在直角顶点，钝角在外部。 解 钝角三角形需要延长高所在直线，不能只看有限长线段。 方法：把特殊线段的定义译成等量或垂直。 注意：中线、角平分线、高不可混用。 随堂探究 变式　中线与面积 AD是△ABC的中线，△ABC面积18 cm²，求△ABD面积。 答：9 cm²。 解 两小三角形等底BD=DC，且到BC的高相同，因此面积相等。 方法：把特殊线段的定义译成等量或垂直。 注意：中线、角平分线、高不可混用。 知识讲授 三类线段的判别 中线与角平分线 中线平分对边长度；角平分线平分顶点处的角。 高线 高线产生垂直关系。一般三角形中，三条线段不重合。 课堂总结 中线、角平分线与高 中线 顶点连对边中点 角平分线 平分顶角 高 垂直对边所在直线 重心 三中线的交点 特别提醒：中线、角平分线、高不可混用。 针对训练 训练1　中线长度 完成下列问题，并说明理由。 （1） AD是中线，BC=14，求BD。 （2） AD是中线，BD=4.5，求BC。 解第（1）题 7。 中点将边平分。 方法：把特殊线段的定义译成等量或垂直。 注意：中线、角平分线、高不可混用。 针对训练 训练1　中线长度 完成下列问题，并说明理由。 （1） AD是中线，BC=14，求BD。 （2） AD是中线，BD=4.5，求BC。 解第（2）题 9。 BC=2BD。 方法：把特殊线段的定义译成等量或垂直。 注意：中线、角平分线、高不可混用。 针对训练 训练2　由中点列方程 完成下列问题，并说明理由。 （1） AD是中线，BD=2x+1，DC=9，求x。 （2） AD是中线，BD=3x−2，DC=x+6，求x。 解第（1）题 4。 2x+1=9。 方法：把特殊线段的定义译成等量或垂直。 注意：中线、角平分线、高不可混用。 针对训练 训练2　由中点列方程 完成下列问题，并说明理由。 （1） AD是中线，BD=2x+1，DC=9，求x。 （2） AD是中线，BD=3x−2，DC=x+6，求x。 解第（2）题 4。 3x−2=x+6。 方法：把特殊线段的定义译成等量或垂直。 注意：中线、角平分线、高不可混用。 针对训练 训练3　角平分线计算 完成下列问题，并说明理由。 （1） AD平分∠BAC=84°，求∠BAD。 （2） AD平分∠BAC，∠BAD=27°，求∠BAC。 解第（1）题 42°。 84°÷2。 方法：把特殊线段的定义译成等量或垂直。 注意：中线、角平分线、高不可混用。 针对训练 训练3　角平分线计算 完成下列问题，并说明理由。 （1） AD平分∠BAC=84°，求∠BAD。 （2） AD平分∠BAC，∠BAD=27°，求∠BAC。 解第（2）题 54°。 27°×2。 方法：把特殊线段的定义译成等量或垂直。 注意：中线、角平分线、高不可混用。 针对训练 训练4　等角方程 完成下列问题，并说明理由。 （1） AD平分∠BAC，∠BAD=2x+5°，∠CAD=35°，求x。 （2） AD平分∠BAC，∠BAD=3x°，∠CAD=x+24°，求x。 解第（1）题 15。 2x+5=35。 方法：把特殊线段的定义译成等量或垂直。 注意：中线、角平分线、高不可混用。 针对训练 训练4　等角方程 完成下列问题，并说明理由。 （1） AD平分∠BAC，∠BAD=2x+5°，∠CAD=35°，求x。 （2） AD平分∠BAC，∠BAD=3x°，∠CAD=x+24°，求x。 解第（2）题 12。 3x=x+24。 方法：把特殊线段的定义译成等量或垂直。 注意：中线、角平分线、高不可混用。 针对训练 训练5　高的计算 完成下列问题，并说明理由。 （1） △ABC中BC=8，高AH=5，求面积。 （2） △ABC面积24，BC=12，求这边上的高。 解第（1）题 20。 面积=8×5÷2。 方法：把特殊线段的定义译成等量或垂直。 注意：中线、角平分线、高不可混用。 针对训练 训练5　高的计算 完成下列问题，并说明理由。 （1） △ABC中BC=8，高AH=5，求面积。 （2） △ABC面积24，BC=12，求这边上的高。 解第（2）题 4。 高=24×2÷12。 方法：把特殊线段的定义译成等量或垂直。 注意：中线、角平分线、高不可混用。 针对训练 训练6　垂足位置 完成下列问题，并说明理由。 （1） 钝角三角形的高一定都在三角形外吗？ （2） 直角三角形两条直角边可否作为高？ 解第（1）题 不一定。 从钝角顶点作的高在内部。 方法：把特殊线段的定义译成等量或垂直。 注意：中线、角平分线、高不可混用。 针对训练 训练6　垂足位置 完成下列问题，并说明理由。 （1） 钝角三角形的高一定都在三角形外吗？ （2） 直角三角形两条直角边可否作为高？ 解第（2）题 可以。 每条直角边垂直于另一条直角边。 方法：把特殊线段的定义译成等量或垂直。 注意：中线、角平分线、高不可混用。 针对训练 训练7　定义辨析 完成下列问题，并说明理由。 （1） D是BC中点，就能说AD⊥BC吗？ （2） AD⊥BC，就能说BD=DC吗？ 解第（1）题 不能。 中线定义只给BD=DC。 方法：把特殊线段的定义译成等量或垂直。 注意：中线、角平分线、高不可混用。 针对训练 训练7　定义辨析 完成下列问题，并说明理由。 （1） D是BC中点，就能说AD⊥BC吗？ （2） AD⊥BC，就能说BD=DC吗？ 解第（2）题 不能。 高的定义只给垂直关系。 方法：把特殊线段的定义译成等量或垂直。 注意：中线、角平分线、高不可混用。 针对训练 训练8　角平分线与内角和 完成下列问题，并说明理由。 （1） ∠B=50°、∠C=70°，AD平分∠A，求∠BAD。 （2） ∠B=35°、∠C=85°，AD平分∠A，求∠CAD。 解第（1）题 30°。 ∠A=60°，再平分。 方法：把特殊线段的定义译成等量或垂直。 注意：中线、角平分线、高不可混用。 针对训练 训练8　角平分线与内角和 完成下列问题，并说明理由。 （1） ∠B=50°、∠C=70°，AD平分∠A，求∠BAD。 （2） ∠B=35°、∠C=85°，AD平分∠A，求∠CAD。 解第（2）题 30°。 ∠A=60°。 方法：把特殊线段的定义译成等量或垂直。 注意：中线、角平分线、高不可混用。 针对训练 训练9　中线分面积 完成下列问题，并说明理由。 （1） AD是中线，△ABD面积11，求△ABC面积。 （2） AD是中线，△ABC面积34，求△ACD面积。 解第（1）题 22。 等底同高，两小三角形等面积。 方法：把特殊线段的定义译成等量或垂直。 注意：中线、角平分线、高不可混用。 针对训练 训练9　中线分面积 完成下列问题，并说明理由。 （1） AD是中线，△ABD面积11，求△ABC面积。 （2） AD是中线，△ABC面积34，求△ACD面积。 解第（2）题 17。 取总面积的一半。 方法：把特殊线段的定义译成等量或垂直。 注意：中线、角平分线、高不可混用。 针对训练 训练10　周长差 完成下列问题，并说明理由。 （1） AD是中线，AB=7，AC=10，求△ACD与△ABD周长之差。 （2） AD是中线，AB=12，AC=8，求两小三角形周长之差的绝对值。 解第（1）题 3。 公共AD与相等BD、DC抵消，只剩AC−AB。 方法：把特殊线段的定义译成等量或垂直。 注意：中线、角平分线、高不可混用。 针对训练 训练10　周长差 完成下列问题，并说明理由。 （1） AD是中线，AB=7，AC=10，求△ACD与△ABD周长之差。 （2） AD是中线，AB=12，AC=8，求两小三角形周长之差的绝对值。 解第（2）题 4。 绝对值为|AB−AC|。 方法：把特殊线段的定义译成等量或垂直。 注意：中线、角平分线、高不可混用。 针对训练 训练11　对象是线段 完成下列问题，并说明理由。 （1） 三角形的一条高是无限长直线吗？ （2） 三角形的角平分线是射线吗？ 解第（1）题 不是。 高是顶点与垂足之间的线段。 方法：把特殊线段的定义译成等量或垂直。 注意：中线、角平分线、高不可混用。 针对训练 训练11　对象是线段 完成下列问题，并说明理由。 （1） 三角形的一条高是无限长直线吗？ （2） 三角形的角平分线是射线吗？ 解第（2）题 不是。 限定为顶点到对边交点之间的线段。 方法：把特殊线段的定义译成等量或垂直。 注意：中线、角平分线、高不可混用。 针对训练 训练12　重心 完成下列问题，并说明理由。 （1） 三条中线交点在钝角三角形外吗？ （2） 重心是三条高的交点吗？ 解第（1）题 不在。 三角形重心总在内部。 方法：把特殊线段的定义译成等量或垂直。 注意：中线、角平分线、高不可混用。 针对训练 训练12　重心 完成下列问题，并说明理由。 （1） 三条中线交点在钝角三角形外吗？ （2） 重心是三条高的交点吗？ 解第（2）题 不是。 重心由三条中线确定。 方法：把特殊线段的定义译成等量或垂直。 注意：中线、角平分线、高不可混用。 针对训练 训练13　一个高带来的角 △ABC中∠B=42°，AH⊥BC，H在线段BC内部。求∠BAH。 答：48°。 解 Rt△ABH中，∠BAH=180°−90°−42°。 方法：把特殊线段的定义译成等量或垂直。 注意：中线、角平分线、高不可混用。 针对训练 训练14　一条角平分线带来的角 △ABC中∠B=52°，∠C=68°，AD平分∠A，求∠ADB。 答：98°。 解 ∠A=60°，∠BAD=30°，所以∠ADB=180°−52°−30°。 方法：把特殊线段的定义译成等量或垂直。 注意：中线、角平分线、高不可混用。 针对训练 训练15　应用：三角形土地分配 一块三角形土地要从顶点A用直线分给两户，且两部分面积相等。应连接A与BC上什么点？ 答：BC的中点。 解 两部分有同一高，等面积要求底边长度相等。 方法：把特殊线段的定义译成等量或垂直。 注意：中线、角平分线、高不可混用。 针对训练 训练16　应用：三角旗用料 三角旗底边30 cm，这条边上的高20 cm。制作12面同样的旗，共需布料多少平方厘米，不计损耗？ 答：3600 cm²。 解 每面面积30×20÷2=300 cm²，再乘12。 方法：把特殊线段的定义译成等量或垂直。 注意：中线、角平分线、高不可混用。 方法总结 中线、角平分线与高 从定义翻译条件 （1）中点对应两段相等 （2）角平分与垂直分别记号 借共同高求面积 （1）比较两个三角形底边 （2）把等底转化为等面积 $