11.6 二次根式的乘除法（第1课时） 课件 2026--2027学年北京版八年级数学上册

第11章 实数和二次根式 11.6 二次根式的乘除法 （第1课时）二次根式的乘法 八年级上册　数学（北京版） 学习目标 本课学习目标 法则 理解并运用二次根式乘法法则。 化简 从被开方数中提出平方因数或因式。 条件 含字母化简时检查非负条件和符号。 随堂探究 探究　长方形面积 一个长方形的长，宽，这个长方形的面积是多少？ 答：，化简得。 解 长方形面积等于长乘宽。 本课研究两个根式相乘的计算方法。 方法：系数与根式分别相乘。 注意：拆根号时，被拆出的各因子必须非负。 随堂探究 探究　乘积与乘积的算术平方根 计算与，再比较。 答：都等于6。 解 前者。 后者。 方法：系数与根式分别相乘。 注意：拆根号时，被拆出的各因子必须非负。 随堂探究 探究　继续观察 计算与；用计算器比较与。 答：前一组都为10，后一组都约5.9161。 解 特殊值支持一般关系，需要明确适用条件。 方法：系数与根式分别相乘。 注意：拆根号时，被拆出的各因子必须非负。 知识讲授 二次根式的乘法法则 （）。两个数的算术平方根的乘积等于这两个数的乘积的算术平方根（被开方数非负）。 根号外的系数相乘。 根号内的数相乘，结果继续化简。 例题讲解 例 1 计算： （1） （2） 解第（1）题 。 解第（2）题 合并根号得。 方法：系数与根式分别相乘。 注意：拆根号时，被拆出的各因子必须非负。 方法：系数与根式分别相乘。 注意：拆根号时，被拆出的各因子必须非负。 随堂探究 探究　例题变式：乘积恰为平方 计算。 答： 解 合并为。 144的算术平方根为12。 方法：系数与根式分别相乘。 注意：拆根号时，被拆出的各因子必须非负。 知识讲授 反向使用乘法法则 拆分 ，前提是。 目的 把可开尽平方的因数提到根号外。 随堂探究 探究　寻找最大平方因数 48可以写成哪些平方数与另一个整数的乘积？哪种最方便？ 答：，选16×3最方便。 解 用最大平方因数16可将化为。 方法：找出平方因子，开方后提出根号。 注意：拆根号时，被拆出的各因子必须非负。 例题讲解 例 2 化简下列二次根式： （1） （2） （3） 解第（1）题 。 将提出。 方法：找出平方因子，开方后提出根号。 注意：拆根号时，被拆出的各因子必须非负。 例题讲解 例 2 化简下列二次根式： （1） （2） （3） 解第（2）题 原式有意义要求。 ，故得。 方法：找出平方因子，开方后提出根号。 注意：拆根号时，被拆出的各因子必须非负。 例题讲解 例 2 化简下列二次根式： （1） （2） （3） 解第（3）题 平方差为。 算术平方根为。 方法：找出平方因子，开方后提出根号。 注意：拆根号时，被拆出的各因子必须非负。 随堂探究 探究　例题变式：平方差结构 化简。 答： 解 平方差。 开方得。 方法：系数与根式分别相乘。 注意：拆根号时，被拆出的各因子必须非负。 例题讲解 例 3 计算： （1） （2） 解第（1）题 乘积为。 。 解第（2）题 系数乘积−10，根号内乘积700。 。 方法：系数与根式分别相乘。 注意：拆根号时，被拆出的各因子必须非负。 方法：系数与根式分别相乘。 注意：拆根号时，被拆出的各因子必须非负。 随堂探究 探究　例题变式：负负得正 计算。 答： 解 系数相乘得6。 根式乘积。 方法：系数与根式分别相乘。 注意：拆根号时，被拆出的各因子必须非负。 课堂练习 练习1 计算： （1） （2） 解第（1）题 。 解第（2）题 。 方法：系数与根式分别相乘。 注意：拆根号时，被拆出的各因子必须非负。 方法：系数与根式分别相乘。 注意：拆根号时，被拆出的各因子必须非负。 课堂练习 练习2 化简： （1） （2） （3） （4） （） 解第（1）题 。 方法：找出平方因子，开方后提出根号。 注意：拆根号时，被拆出的各因子必须非负。 课堂练习 练习2 化简： （1） （2） （3） （4） （） 解第（2）题 ，保留根号外负号。 方法：找出平方因子，开方后提出根号。 注意：拆根号时，被拆出的各因子必须非负。 课堂练习 练习2 化简： （1） （2） （3） （4） （） 解第（3）题 原式有意义给出。 。 方法：找出平方因子，开方后提出根号。 注意：拆根号时，被拆出的各因子必须非负。 课堂练习 练习2 化简： （1） （2） （3） （4） （） 解第（4）题 若，为0；若，为。 时，由原式有意义得。 提出平方因子；时原式直接为0。 方法：提出平方因子前检查定义域。 注意：b=0时不能擅自要求a非负。 课堂练习 练习3 估计介于哪两个连续整数之间。 答：在5与6之间。 解 。 。 方法：把正系数移入根号，再比较被开方数。 注意：移入根号的系数必须先平方。 归纳总结 阶段整理：乘与拆 相乘 系数相乘、被开方数相乘，合成后化简。 拆开 寻找非负的平方因子，提到根号外。 随堂探究 探究　条件不能省略 有意义，能否拆成？ 答：不能。 解 左边为。 右边两个根式均无实数意义。 方法：系数与根式分别相乘。 注意：拆根号时，被拆出的各因子必须非负。 课堂总结 二次根式的乘法 乘法 。 条件 。 化简 提出能开尽方的因数或因式。 应用 面积乘法与大小估计。 特别提醒：拆根号时，被拆出的各因子必须非负。 针对训练 训练1　基础乘法 计算。 答： 解 先合并为，再提出平方因子。 方法：系数与根式分别相乘。 注意：拆根号时，被拆出的各因子必须非负。 针对训练 训练2　基础乘法 计算。 答： 解 先合并为，再提出平方因子。 方法：系数与根式分别相乘。 注意：拆根号时，被拆出的各因子必须非负。 针对训练 训练3　基础乘法 计算。 答： 解 先合并为，再提出平方因子。 方法：系数与根式分别相乘。 注意：拆根号时，被拆出的各因子必须非负。 针对训练 训练4　基础乘法 计算。 答： 解 先合并为，再提出平方因子。 方法：系数与根式分别相乘。 注意：拆根号时，被拆出的各因子必须非负。 针对训练 训练5　法则条件 要求什么？ 答：要求。 解 两个原根式均须有实数意义。 方法：系数与根式分别相乘。 注意：拆根号时，被拆出的各因子必须非负。 针对训练 训练6　整数根式化简 化简。 答： 解 。 方法：找出平方因子，开方后提出根号。 注意：拆根号时，被拆出的各因子必须非负。 针对训练 训练7　含系数乘法 计算。 答： 解 系数−6，根式。 方法：系数与根式分别相乘。 注意：拆根号时，被拆出的各因子必须非负。 针对训练 训练8　两个负因数 计算。 答： 解 系数8，根式。 方法：系数与根式分别相乘。 注意：拆根号时，被拆出的各因子必须非负。 针对训练 训练9　字母化简 化简，。 答： 解 提出平方因子。 方法：找出平方因子，开方后提出根号。 注意：拆根号时，被拆出的各因子必须非负。 针对训练 训练10　符号条件 化简，。 答： 解 原式，。 方法：找出平方因子，开方后提出根号。 注意：拆根号时，被拆出的各因子必须非负。 针对训练 训练11　平方差化简 化简。 答： 解 。 方法：系数与根式分别相乘。 注意：拆根号时，被拆出的各因子必须非负。 针对训练 训练12　反向合并 把写成一个根号。 答： 解 ，合并根号。 方法：系数与根式分别相乘。 注意：拆根号时，被拆出的各因子必须非负。 针对训练 训练13　比较大小 比较和。 答： 解 前者为，后者为。 方法：把正系数移入根号，再比较被开方数。 注意：移入根号的系数必须先平方。 针对训练 训练14　纠错：拆和 “”对吗？ 答：不对，左边5，右边7。 解 乘法法则不适用于根号内加法。 方法：分别计算等号两边，再作判断。 注意：乘法法则不能直接套用于加法。 针对训练 训练15　应用：长方形面积 长方形长厘米，宽厘米，求面积。 答：平方厘米。 解 面积。 方法：系数与根式分别相乘。 注意：拆根号时，被拆出的各因子必须非负。 针对训练 训练16　应用：相邻地块 两块全等长方形地块，每块长米、宽米，合计面积多少平方米？ 答：24平方米。 解 每块面积。 两块合计24。 方法：先求每块面积，再乘地块数量。 注意：总面积需要计入两块地。 方法总结 本课解题方法 乘积合并法 （1）系数与根式分别相乘。 （2）结果仍需提出平方因子。 平方因子法 （1）优先寻找最大平方因数。 （2）含字母先判断符号和定义域。 $