2.5直线与圆、圆与圆的位置关系（分层作业，20大题型）高二数学人教A版选择性必修第一册

分层作业 2.5直线与圆、圆与圆的位置关系 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 判断直线与圆的位置关系 题型02 求直线与圆交点的坐标 题型03 圆的弦长与中点弦 题型04 过圆上一点的圆的切线方程 题型05 过圆外一点的圆的切线方程 题型06 求圆的切线长 题型07 判断圆与圆的位置关系 题型08 求两圆的交点坐标 B组 能力进阶 题型01 由直线与圆的位置关系求参数 题型02 已知切线方程求参数或圆的方程 题型03 圆内接三角形的面积 题型04 直线与圆的方程的实际应用 题型05 由圆的位置关系确定参数或范围 题型06 由圆与圆的位置关系确定圆的方程 题型07 相交圆的公共弦方程 C组 思维拔高 题型01 弦长的最值问题 题型02 直线上的点到圆上点距离的最值 题型03 切点弦及其方程 题型04 直线与圆中的定点定值问题 题型05 两圆的公切线问题 判断直线与圆的位置关系题型01 1．已知直线和圆，则直线和圆的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 【答案】A 【解析】利用圆心到直线的距离与半径比较大小，即可判断. 【详解】圆的圆心，半径， 则圆心到直线的距离为， 所以直线和圆的位置关系为相交， 故选：A 2．（25-26高二上·广东惠州·月考）已知直线，圆，则直线与圆的位置关系是（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【答案】A 【分析】先确定直线过定点，再根据点与圆的位置关系进行判断. 【详解】因为直线：， 所以直线经过定点. 因为，所以点在圆：内， 所以直线与圆：相交. 故选：A 3．（25-26高二上·江苏南京·期末）已知直线：与圆：，若点在直线上，则直线与圆的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】B 【分析】依题意可得，再求出圆心到直线的距离，即可判断. 【详解】因为点在直线上，所以，即， 圆：的圆心为，半径为， 所以圆心到直线的距离， 所以直线与圆相切. 故选：B 4．（25-26高三上·海南·期末）已知直线与圆交于两点,则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】易知为等腰三角形，当底边最小时最小.又直线恒过定点，则当弦垂直于该定点与圆心的连线时，弦长最短，进而由余弦定理求出即可. 【详解】由题意作图如下： 可知为等腰三角形，为顶角，当底边最小时最小. 又直线恒过定点，则当弦垂直于该定点与圆心的连线时，弦长最短， 此时平行于轴，即圆心到距离为2，， 在中，由余弦定理，， 又，所以. 故选：A 5．已知圆：，直线：. (1)写出圆的圆心坐标和半径，并判断直线与圆的位置关系； (2)当时，直线与圆交于不同的两点A，B，求. 【答案】(1)圆的圆心坐标为，半径为，直线与圆相交 (2) 【分析】（1）将圆的一般方程化为标准方程，求出圆心和半径，求出直线所过的定点，判断出定点在圆内，由此判断直线与圆的位置关系； （2）求出圆心到直线的距离，利用弦长公式求弦长. 【详解】（1）整理得：， 故圆的圆心坐标为，半径为， 直线变形为， 故直线过定点， 因为，故在圆内， 所以直线与圆相交； （2）当时，直线的方程为 因为圆心到直线的距离为： 所以，. 求直线与圆交点的坐标题型02 1．若直线与圆相交于两点，则线段中点的坐标为 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，设AB的中点为M，由垂径定理可得直线OM与直线AB垂直，进而可得直线OM的方程为yx，据此可得M为直线AB与直线OM的交点，则有，解可得x、y的值，即可得答案． 【详解】根据题意，设AB的中点为M， 圆C：x2+y2＝4的圆心为O，（0，0）， 直线与圆C：x2+y2＝4相交于A，B两点，则直线OM与直线AB垂直， 则直线OM的方程为yx， M为直线AB与直线OM的交点，则有，解可得：，则M的坐标为（，）； 故选A． 【点睛】本题考查直线与圆的方程的应用，涉及直线与圆的位置关系，考查运算能力，属于中档题． 2．（24-25高二上·浙江宁波·期中）已知圆的方程为，直线与圆相交于两点，若(为坐标原点)，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将圆的方程与直线方程联立，设、 ，利用可得 ，利用韦达定理，即可求出. 【详解】由，得， 则，即， 联立，得， 设，，则，， 则， 因为，所以， 则，即，解得. 故选：C. 3．已知直线与圆相交于、两点，则的值为______. 【答案】4 【分析】联立直线与圆的方程求A、B的坐标，再由向量数量积的坐标表示即可求. 【详解】由题意，联立，有，解得，， 若，则，则. 故答案为：4. 4．（24-25高二上·天津·适应性考试）已知直线：与圆：相切于点． (1)求切点的坐标； (2)过点的直线与圆交于另一点，若线段的长度为2，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）过切点和圆心的直线与切线垂直，从而得到过切点和圆心的直线方程，两直线交点即为切点； （2）讨论斜率存在和不存在两种情况，斜率不存在时得出直线方程联立方程组求出另一个交点，验证两点间距离是否为2，再下结论；斜率存在时，设出直线方程，由垂径定理建立方程求得斜率，写出直线方程. 【详解】（1）由题意得：，圆心，半径， 直线与圆相切于点， 则，所以， 所以，所以，即， 联立方程得，， 所以. （2）直线斜率不存在时，， 联立方程得，或， 所以，所以，符合题意； 直线斜率存在时，设直线，即， 圆心到直线的距离， 又因为，所以， 所以，解得，所以. 综上所述，直线的方程为或. 5．（25-26高二上·重庆·月考）已知圆和点． (1)过圆上一点作两条相异直线分别与圆相交于两点，且直线和直线的倾斜角互补，求证：直线的斜率为定值． (2)已知，设P为满足方程的任意一点，过点向圆引切线，切点为B，试探究：平面内是否存在一定点，使得为定值？若存在，请求出定点的坐标，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明： 假设过点的一条直线倾斜角为，由题目条件得另一条直线的倾斜角也为， 但过直线外一点做该直线的垂线只有一条，与两条直线相异矛盾， 故过的直线不可能垂直于轴， 由于两直线的倾斜角互补，因为，故两直线的斜率互为相反数， 设直线与圆相交于，两点， 直线与圆相交于，两点， 点满足， 化简得，由韦达定理得， 点满足， 化简得，由韦达定理得， 则直线AB的斜率为， 易得，，故，故直线AB的斜率为定值． (2)存在，当，定值为；当，定值为 【分析】（1）根据题目条件列出方程，利用韦达定理对直线AB的斜率进行化简，求得定值为； （2）先根据条件求得动点的方程，在假设定值存在，列出等式并用点的方程化简，最后由多项式相等求得的坐标． 【详解】（1）略； （2）设，因，所以， 化简得，， 所以点的轨迹是一个圆，圆心为点，半径为， 因，所以圆内含于圆，故点一定在圆外， 则， 又P在圆上满足，即， 设，则，设，即， 把代入化简得， 继续代入得， 要使上式对任意的，均成立，则， 解得或， 所以当的坐标为时，定值； 当的坐标为时，定值． 圆的弦长与中点弦题型03 1．若圆与直线交于、两点，则（   ） A．1 B． C． D．4 【答案】C 【分析】先根据圆的标准方程求出圆心坐标和半径，再利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，最后结合圆的弦长计算公式求出弦长. 【详解】圆，半径，圆心为 ， 则圆心为到直线的距离为 ， 所以. 故选：C 2．（24-25高三上·北京·期末）过点的直线与圆相交于两点，那么当取得最小值时，直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求出过圆心与点的直线的斜率，当直线与垂直时，取得最小值，则可得直线的斜率，则直线的方程可求． 【详解】由题意得圆的标准方程为，则圆心. 过圆心与点的直线的斜率为. 当直线与垂直时，取得最小值， 故直线的斜率为， 所以直线的方程为， 即， 故选：C． 3．已知直线与圆交于，两点，为圆心，若的面积等于8，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角形的面积可求得，可求弦长. 【详解】圆的半径，由已知得，故， 所以，所以. 故选：D. 4．设圆x2+y2﹣4x﹣5＝0的弦AB的中点为P（3，1），则直线AB的方程是__ 【答案】x+y-4=0 【分析】先把圆的方程变为标准形式，得到圆心O坐标和半径，根据垂径定理可知OP与AB垂直，求出OP的斜率，即可得AB的斜率，写出AB的方程即可． 【详解】解：由x2+y2﹣4x﹣5＝0得：（x﹣2）2+y2＝9，得到圆心O（2，0），所以求出直线OP的斜率为1，根据垂径定理可知OP⊥AB 所以直线AB的斜率为﹣1，过P（3，1），所以直线AB的方程为y﹣1＝﹣1（x﹣3）即x+y﹣4＝0 故答案为x+y﹣4＝0 【点睛】本题考查直线与圆相交的性质，会根据两直线垂直得到斜率的乘积为﹣1，会写出直线的一般式方程． 5．（25-26高二上·陕西榆林·期中）已知圆，直线． (1)求证：对任意，直线与圆总有两个不同的交点； (2)设直线与圆交于，两点，若，求直线的方程； (3)是否存在实数，使得直线截圆所得的弦最长或最短？ 【答案】(1) 证法1：联立直线与圆的方程得， 整理得， ， 直线与圆总有两个不同的交点． 证法2： 圆，圆的圆心为，半径， 圆心到直线的距离为：， 又，， 直线与圆总有两个不同的交点． (2)或 (3)存在实数使得所得的弦最长，不存在实数使得所得的弦最短 【分析】（1）证法1：联立直线与圆的方程，得出判别式大于0，从而证明结论；证法2：利用点到直线的距离公式求出圆心到半径的距离，利用得出直线与圆的位置关系证明结论； （2）利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，结合勾股定理构造方程求出，进而求出直线方程； （3）先求出直线恒过定点，再利用过定点的直线与圆的位置关系讨论求解． 【详解】（1）略 （2）设圆心到直线的距离为，则， 如下图所示，，取中点， 则，，   ，， ，即，解得， 直线的方程为或． （3）存在实数使得直线截圆所得的弦最长，不存在实数使截圆所得的弦最短．理由如下：， 由，解得， 直线过定点，如下图所示：    当直线过圆心时，直线截圆所得的弦最长， 此时，直线的方程为， 存在实数使得直线截圆所得的弦最长； 当直线时，直线截圆所得的弦最短，设直线的斜率为，则， ，， 直线的斜率不存在，故不存在实数使截圆所得的弦最短． 存在实数使得直线截圆所得的弦最长，不存在实数使截圆所得的弦最短． 过圆上一点的圆的切线方程题型04 1．过点且与圆，相切的直线有几条（    ） A．0条 B．1条 C．2 条 D．不确定 【答案】B 【分析】判断出点与圆的位置关系，由此确定切线的条数. 【详解】由于满足，所以在圆上， 所以过点且与圆，相切的直线有条. 故选：B 2．圆在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用圆心与切点连线和切线垂直可求出切线斜率，再根据点斜式可得答案. 【详解】，由切线与直线垂直， 得：，得：， 又因为切线经过， 所以切线的方程为：， 即. 故选：A 3．（24-25高二上·重庆·期中）几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点、是锐角的一边上的两点，试在边上找一点，使得最大.”如图，其结论是：点为过、两点且和射线相切的圆与射线的切点.根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系中，给定两点、，点在轴上移动，当取最大值时，点的横坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】根据题意得出满足条件的过三点、、的圆的方程，由已知当取最大值时，圆必与轴相切于点，得出对应的切点分别为和，并依据定长的弦在优弧上所对的圆周角会随着圆的半径减小而角度增大，舍弃，得到满足条件的，从而得出答案. 【详解】因为、，则线段的中点坐标为，易知， 则经过、两点的圆的圆心在线段的垂直平分线上， 设圆心为，则圆的方程为， 当取最大值时，圆必与轴相切于点（由题中结论得）， 则此时的坐标为， 代入圆的方程得，解得或， 即对应的切点分别为和， 因为对于定长的弦在优弧上所对的圆周角会随着圆的半径减小而角度增大， 又过点、、的圆的半径大于过点、、的圆的半径， 所以，故点为所求，即点的横坐标为. 故选：A. 4．经过圆上一点且与圆相切的直线的一般式方程为__________． 【答案】 【分析】根据题意，求得，得出切线的斜率，结合点斜式方程，即可求解. 【详解】由题意，圆，可得圆心坐标为， 因为，则， 则过点且与圆相切的直线的斜率为， 根据直线的点斜式方程，可得直线的方程为，即， 即点且与圆相切的直线的一般式方程为. 故答案为： 5．（24-25高二上·广东·期中）已知圆：，直线过点. (1)若在两坐标轴上的截距相等，求的方程； (2)若与圆相切，求的方程； (3)若与圆相交于，两点，且（其中为圆的圆心）为直角三角形，求的方程. 【答案】(1)或. (2) (3)或. 【分析】（1）按直线过原点，不过原点分两类求解； （2）确定在圆上，轴，易得切线方程； （3）确定直线斜率存在，由直角三角形可得圆心到直线的距离，设出直线方程，由点到直线距离公式求得参数得直线方程． 【详解】（1）若经过原点，设方程为，由得，则的方程为. 若不经过原点，则可设的方程为， 因为过点，所以，解得， 所以的方程为，即. 故的方程为或. （2）由圆：，可得圆心，半径为2. 因为点在圆上，轴，所以直线的方程为. （3）因为为直角三角形，且，所以， 则圆心到的距离为. 由题意易得的斜率一定存在，所以可设的方程为，即. 由，解得或， 故的方程为或. 过圆外一点的圆的切线方程题型05 1．设直线过点，且与圆相切，则直线的方程为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【详解】圆的圆心，半径，直线过点， 而圆心到直线的距离为1，因此直线是圆的一条切线； 当直线的斜率存在时，设其方程为，即， 由，解得，方程为， 所以直线的方程为或. 2．（26-27高三·福建泉州·适应性考试）已知圆，过点作圆的切线，则切线长为______． 【答案】 【详解】由题可知圆的圆心为、半径为，且， 过点作圆的切线，设切点为A， 则切线长. 3．（25-26高二上·青海西宁·期末）已知圆的圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)已知直线过点且与圆相切，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）将圆心坐标代入直线方程后可求圆的方程； （2）根据圆心到直线的距离为半径可求切线方程，注意斜率不存在的情形. 【详解】（1）圆的圆心为， 因为圆的圆心在直线上，所以，解得， 所以圆的方程为. （2）当直线的斜率不存在时，的方程为，此时圆心到直线的距离，所以直线与圆相切； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 所以圆心到直线的距离，解得， 所以直线的方程为. 综上所述，直线的方程为或. 4．已知圆，直线过定点. (1)若与圆相切，求的方程； (2)若与圆相交于两点，且，求此时直线的方程. 【答案】(1)或； (2)或. 【分析】（1）由圆的方程可得圆心和半径，当直线斜率不存在时，知与圆相切，满足题意；当直线斜率存在时，利用圆心到直线距离等于半径可构造方程求得，由此可得方程； （2）当直线斜率不存在时，知与圆相切，不合题意；当直线斜率存在时，利用垂径定理可构造方程求得，由此可得方程. 【详解】（1）由圆的方程知：圆心，半径； 当直线斜率不存在，即时，与圆相切，满足题意； 当直线斜率存在时，设，即， 圆心到直线距离，解得：， ，即； 综上所述：直线方程为或； （2）当直线斜率不存在，即时，与圆相切，不合题意； 当直线斜率存在时，设，即， 圆心到直线距离， ，解得：或， 直线的方程为或. 5．已知直线，圆，是上一动点. (1)若点在轴上，求过点且与圆相切的直线方程； (2)过点作圆的切线，切点分别为，求证：直线恒过定点. 【答案】(1)或. (2) 证明：设的坐标为，则的中点为， 所以，以为直径的圆的方程为，即， 整理得. 由题可知，，故点在以为直径的圆上，又因为点在圆上，故为圆与以为直径的圆的公共弦， 故将圆与圆的方程相减，得公共弦所在直线的方程为， 由，得， 令得即直线恒过定点. 【分析】（1）分斜率不存在与斜率存在两种情况讨论，使点到直线的距离等于圆的半径即可； （2）由可知点在以为直径的圆上，又因为点在圆上，故为圆与以为直径的圆的公共弦，将两圆方程作差求出所在直线方程，再求其所过定点即可. 【详解】（1）圆的圆心为，半径. 因为点在与轴上，所以的坐标为， 设过点且与圆相切的直线为， 若的斜率不存在，则的方程为， 圆心到的距离等于，故与圆相切； 若的斜率存在，设的方程为， 即， 由与圆相切，得，， 整理得，解得，所以的方程为. 综上所述，过点且与圆相切的直线方程为或. （2）略 求圆的切线长题型06 1．过圆O：外的点作O的一条切线，切点为M，则    ） A．2 B． C． D．4 【答案】B 【分析】根据切线的意义知，由勾股定理可求. 【详解】由题意有，即. 故选：B. 2．（24-25高二上·河南南阳·适应性考试）已知圆，过直线上一点向圆作切线，切点为，则的最小值为（    ） A． B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】将切线长问题，转化为圆心到直线的距离问题，当圆心与点的距离最小，即距离为圆心到直线的距离时，切线长PQ最小. 【详解】记圆心到直线的距离为，则． 因为， 所以当直线与垂直，即时，的值最小， 故． 故选：B. 3．（25-26高二上·山东烟台·学业水平）已知圆，为直线上的一个动点，过点作圆的两条切线，，切点为，，当最小时，直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用圆切线的性质推得四点共圆，，从而将转化为，进而确定时取得最小值，再求得以为直径的圆的方程，由此利用两圆相交弦方程的求法即可得解. 【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为. 如图： 依圆的知识可知，四点共圆，且， 所以， 而， 当直线时，最小，此时最小， 所以当直线时，最小. 此时斜率为1，故方程为， 联立，解得，即， 所以，中点 故以为直径的圆的方程为， 又圆， 两圆的方程相减即为直线的方程：. 故选：B 4．（25-26高二上·山东·联考）过直线上一点P向圆作切线，切点为M，则的最小值为______．若O为坐标原点，Q为圆C上的动点，则的最小值为______． 【答案】 ； 【分析】求出圆心和半径，利用点到直线的距离求出圆心到直线的距离，由切线得到，结合图形得到，当且仅当与直线垂直时，等号成立，即可求得；设点与点关于直线对称，利用对称的性质可得，解得的值，即可得到的坐标，，当且仅当分别与重合时等号成立，其中分别为线段与直线和圆的交点，综上所述，的最小值为，计算得解. 【详解】的圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为， 是直角三角形，， ， 当且仅当与直线垂直时，等号成立，； 设点与点关于直线对称， 则有，解得，即， ， 当且仅当分别与重合时等号成立， 其中分别为线段与直线和圆的交点， 综上所述，的最小值为. 故答案为：，. 5．已知圆，点是直线上的一动点，过点作圆的切线、，切点为、. (1)当切线的长度为时，求点的坐标； (2)求线段长度的最小值. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）分析可知圆的半径，设，利用勾股定理求出，再利用两点间的距离公式求出的值，即可得出点的坐标； （2）设，分析可知，、、、四点共圆，求出以为直径的圆的方程，可求出圆和圆的公共弦所在直线的方程，求出直线所过定点的坐标，分析可知，当时，取最小值，结合勾股定理可求得的最小值. 【详解】（1）解：由题可知，圆的半径，设， 因为是圆的一条切线，所以， 所以， 解得或，所以点的坐标为或. （2）解：设，因为、是圆的两条切线，所以， 所以、、、四点共圆，且以为直径， 设圆心为，易知，则， 圆的半径为， 则其方程为， 即①， 又圆②， ①②得圆与圆相交弦所在直线方程为， 即，由可得， 所以，直线恒过定点， 因为，则点在圆内， 当时，取最小值，且， 故. 判断圆与圆的位置关系题型07 1．（25-26高二上·北京·期中）圆与圆的位置关系是（   ） A．相交 B．相离 C．内切 D．外切 【答案】D 【分析】求出两圆圆心的距离，再与两圆半径进行比较，得到答案. 【详解】圆，圆， 所以两圆圆心为，， 所以， 两圆半径分别为，， 所以， 所以两圆位置关系为外切. 故选：D. 2．圆与圆的公切线共有 A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】D 【分析】把两个圆方程化成标准方程，分别求出两圆的圆心坐标及两圆的半径，比较圆心距与两圆半径和与差的关系，判断出两圆的位置关系，进而可以判断出有几条公切线． 【详解】 圆心坐标为（2，0）半径为2； 圆心坐标为，半径为1， 圆心距为4，两圆半径和为3，因为4>3,所以两圆的位置关系是外离，故两圆的公切线共有4条． 故本题选D. 【点睛】本题重点考查了圆与圆的位置关系的判定、公切线的条数．解决的方法就是利用圆的标准方程求出圆心坐标以及半径，比较圆心距与两圆半径和差的关系． 3．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）圆与圆相交，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求得两圆的圆心与半径，然后根据两圆的位置关系列出不等式，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 所以圆心距， 又圆与圆相交，所以， 即，又，所以解得：， 故选：C. 4．已知圆：和： (1)求证：圆和圆相交； (2)求圆和圆的公共弦所在直线的方程和公共弦长． 【答案】(1) 标准方程是，，， 标准方程是，，， ，显然， 所以两圆相交． (2)， 【分析】（1）由圆心距与两圆半径的和、差比较可得； （2）两圆方程相减可得公共弦所在直线方程，由勾股定理求弦长． 【详解】（1）略 （2）两圆方程相减得，即为公共弦所在直线方程， 到直线的距离为， 所以公共弦长． 5．已知圆和圆. (1)判断圆O和圆C的位置关系； (2)过圆C的圆心C作圆O的切线l，求切线l的方程； (3)过圆C的圆心C作动直线m交圆O于A，B两点.试问：在以为直径的所有圆中，是否存在这样的圆P，使得圆P经过点？若存在，求出圆P的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)圆O与圆C相离. (2)或 (3)存在圆，圆的方程为：或 【分析】（1）求出两圆的圆心距，在比较其与 的大小关系，从而确定两圆的位置关系； （2）由点 斜式设出切线方程，然后用点线距离公式建立关于的方程； （3）斜率不存在时，易知圆也是满足题意的圆；斜率存在时，假设存在以为直径的圆经过点，则，所以，则可得，再把韦达定理式代入上式可得关于的方程． 【详解】（1）因为圆O的圆心，半径，圆C的圆心，半径， 所以圆O和圆C的圆心距， 所以圆O与圆C相离. （2）显然当直线的斜率不存在时不合题意， 则设切线l的方程为：，即， 所以O到l的距离，解得. 所以切线l的方程为或 （3）（i）当直线m的斜率不存在时，直线m经过圆O的圆心O， 此时直线m与圆O的交点为，， 即为圆O的直径，而点在圆O上， 即圆O也是满足题意的圆. （ii）当直线m的斜率存在时，设直线， 由，消去y整理，得， 由，得或. 设，， 则有① 由①得，② ，③ 若存在以为直径的圆P经过点，则，所以， 因此， 即， 则，所以，，满足题意. 此时以为直径的圆的方程为， 即，亦即. 综上，在以为直径的所有圆中， 存在圆或，使得圆P经过点.    【点睛】关键点睛：本题第三问的关键是利用设线法，将其与圆的方程联立得到韦达定理式，根据，展开化简，将韦达定理式整体代入求出直线方程，同时不忘考虑直线斜率不存在的情况. 求两圆的交点坐标题型08 1．在平面直角坐标系中，圆与圆相交于A，B两点，则四边形OACB的面积为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】联立方程可求解两圆的交点，即可根据对称性求解面积. 【详解】联立可得或， 故, 又, 故四边形OACB的面积为, 故选：B    2．设点，，动点满足，设点的轨迹为，圆：，与交于点，为直线上一点（为坐标原点），则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意先求动点P的轨迹的方程,联立和求出的坐标,如图由平面几何知识和向量数量积的运算规则可求得. 【详解】 设点P(),由可得, 化简得动点P的轨迹的方程为:,联立 解得:,如图所示,有平面几何知识可得:, 向量数量积的运算规则可得: . 故选:C. 【点睛】本题考查了由已知条件求动点轨迹的问题,考查了求两圆交点坐标的运算,借助于平面几何知识求向量的数量积的问题,考查了综合运算能力,属于中档题. 3．已知圆和圆，观察可得它们都经过坐标原点，除此之外，它们还相交于一点，这点的坐标是______． 【答案】 【分析】将两圆方程联立解方程组即可求得该点坐标. 【详解】联立两圆方程，解得或， 即可得这点的坐标为. 故答案为： 4．（24-25高二上·福建龙岩·期末）已知圆：，圆：． (1)证明：圆与圆相交； (2)若圆M经过圆与圆的交点，且圆心M在y轴上，求圆M的方程． 【答案】(1) 圆的标准方程为，圆心，半径； 圆的标准方程为，圆心，半径； 于是，即， 所以圆与圆相交. (2). 【分析】（1）求出两圆的圆心和半径，再求出圆心距即可推理得证. （2）联立两个圆的方程求出交点坐标，结合已知求出圆的方程. 【详解】（1）略 （2）由，得， 将代入圆得：，当时，；当时，， 则圆与圆的交点为，，线段AB的中点坐标为， 而圆心M在y轴上，因此圆心M为，所以圆M的方程为. 5．（25-26高二上·山东·期中）已知圆的圆心在轴上，且过，两点. (1)求圆的标准方程； (2)过直线上且在圆外的一点作圆的两条切线，切点分别为、，当点的坐标为时，求点的坐标. (3)已知点，点在轴上且异于点，动点在圆上，当为定值时，求点的坐标. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）借助待定系数法计算即可得； （2）由题意可先求出过点的切线方程，则可联立直线得到点坐标，再以为圆心，为半径作圆，求出该圆与圆的交点坐标即可得解； （3）设，，，则可借助两点间距离公式得到与、、有关等式，结合该等式恒成立计算即可得解. 【详解】（1）设圆的标准方程为， 由圆的圆心在轴上，则， 由圆过，两点， 则有，解得， 即圆的标准方程为； （2）圆，则圆心， 则过点的切线与轴垂直，即为， 对，令，则，即， 以为圆心，为半径作圆，即为， 则、为该圆与圆的两个交点， ，解得或， 由，故；    （3）设，，则，即， 设，则， 由， ， 则恒成立， 整理得， 则需，由，则， 即有， 由，则，即，则，即， 即方程组符合题意的解为， 即点的坐标为.    由直线与圆的位置关系求参数题型01 1．已知直线与圆相切，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得圆心到的距离等于半径1，即可解得的值． 【详解】直线即， 由已知直线与圆相切可得， 圆的圆心到的距离等于半径1， 即，解得， 故选：B． 2．若直线过圆的圆心，则   ） A． B． C．1 D．3 【答案】C 【分析】由题可知圆心坐标满足直线方程进而即得. 【详解】圆的圆心为， 因为直线经过圆心，所以，解得. 故选：C. 3．若圆:恰有个点到直线的距离为1，则    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】条件可转化为圆心到直线为，结合点到直线距离公式列方程可求结论. 【详解】圆的圆心为，半径， 因为圆上恰有个点到直线的距离为1， 所以到直线的距离为， 所以， 所以， 所以， 故选：C. 4．（24-25高二上·河北·月考）已知圆直线，点P在直线l上运动，直线PA，PB分别与圆M相切于点A，B．则下列说法正确的个数是（   ） （1）四边形PAMB的面积最小值为                （2）最短时，弦AB长为 （3）最短时，弦AB直线方程为    （4）直线AB过定点 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】四边形的面积可以看成两个直角三角形的面积之和，当最短时，面积最小，当时，最短，求出面积即可得（1）错误；结合（1）和弦长公式以及几何关系可得（2）正确；当短时，由两直线平行得到斜率关系，再求出AB的直线方程，利用点到直线的距离求出，再结合几何关系确定的取值可得直线方程，最后可得（3）错误；设圆上一点，由向量的数量积为零得到关于点的两条直线方程，解方程组即可得到定点坐标，可得（4）错误； 【详解】对于（1），四边形的面积可以看成两个直角三角形的面积之和，即， 最短时，面积最小，故当时，最短， 即， ，故（1）错误； 对于（2），由上述可知，时，最短，故最小，且最小值为， 所以，故（2）正确； 对于（3），当短时，则，又，所以， 可设AB的直线方程为圆心到直线AB的距离， 解得或， 由于直线AB在圆心的右侧，且在直线l的左侧， 所以，所以，即直线AB的方程为，故（3）错误； 对于（4），设圆上一点， ， 易知，由于， 所以，同理， ，， ，即， 令， 解得，所以直线AB过定点为，故（4）错误； 故选：A． 5．（25-26高二上·黑龙江·月考）已知直线，该直线与圆交于两点，且. (1)求的值； (2)求过点的的切线方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据直线经过圆心，即可根据直径为6求解， （2）根据圆心到直线的距离与半径相等，即可求解. 【详解】（1）的标准方程为，故圆心为， 由于直线恒过定点，故直线经过圆心， 因此为圆的直径，故，，则，故 （2）， 由于在圆外，故当切线斜率不存在时，方程为，满足题意， 当切线斜率存在时，设其方程为：， 则，解得，故方程为， 综上所述切线方程为：或 已知切线方程求参数或圆的方程题型02 1．圆心为，且与轴相切的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由圆心坐标排除AB，再由相切性质得半径可得选项. 【详解】由题意，圆心坐标为，可知AB错误； 设圆心半径为，且圆心到轴的距离为， 则由圆与轴相切可得， 故圆的方程为：. 故选：C. 2．（25-26高二上·甘肃酒泉·期末）圆心为且与直线相切的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先设出圆的方程，根据相切的性质可求半径，进而可得答案. 【详解】设圆的方程为， 因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离为，即， 所以. 故选：A 3．（24-25高二上·广东·月考）过点可以作圆的两条切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据方程表示圆以及点与圆的位置关系列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】由圆的一般式方程知：， 所以，，即，解得或， 又知过点可作两条切线，得点在圆外， 即，即，综上可知：. 故选：A 4．（24-25高二上·陕西渭南·期中）已知直线，圆. (1)若直线与圆相切，求的值； (2)记圆的圆心为，若直线与圆交于，两点，为等边三角形，求的值. 【答案】(1)或. (2) 【分析】（1）先求出圆心和半径，再根据点到直线距离公式列出关于的方程求解. （2）当为等边三角形时，根据等边三角形的性质可知圆心到直线的距离与半径的关系，同样根据点到直线距离公式列出关于的方程求解. 【详解】（1）由圆的方程可知圆心，半径. 直线，即. 因为直线与圆相切，则，解得或. （2）因为为等边三角形，所以圆心到直线的距离. 同样根据点到直线距离公式得. 化简得. 解得. 5．古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出圆的另一种定义：平面内，到两个定点距离之比值为常数的点的轨迹是圆，我们称之为阿波罗尼奥斯圆．已知点P到的距离是点P到的距离的2倍． (1)求点P的轨迹方程； (2)若点P与点Q关于点B对称，点，求的最大值； (3)若过B的直线与第二问中Q的轨迹交于E，F两点，试问在x轴上是否存在点，使恒为定值？若存在，求出点M的坐标和定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)138； (3)存在点，使得为定值. 【分析】（1）设点，由题意可得，利用两点之间的距离公式化简整理可得； （2）先由的轨迹方程求出点的轨迹方程，利用两点间距离公式整理，从而转化为线性规划问题处理； （3）代入消元，韦达定理，整体思想代入，整理可得解. 【详解】（1）设点，由题意可得，即， 化简可得， 所以点P的轨迹方程为； （2）设，由(1)得点满足的方程， 又点是点与点的中点，则，代入可得，即的轨迹为，设， 所以， 令，则，可视为直线即在y轴上的截距， 的最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最小值，即直线与圆相切时在y轴上的截距， 所以，所以， 因此的最大值为； （3）存在点，使得为定值. 当直线的斜率存在时，设其斜率为，则直线的方程为， 由，消去，得， 设，，则，， 又，， 则 要使上式恒为定值，需满足，解得，此时，为定值； 当直线的斜率不存在时，，， 由可得，所以， 综上所述，存在点，使得为定值. 【点睛】方法点睛：本题为直线与圆的综合题，与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略 （1）与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解． （2）与圆上点有关代数式的最值的常见类型及解法： ①形如型的最值问题，可转化为过点和点的直线的斜率的最值问题； ②形如型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题； ③形如型的最值问题，可转化为动点到定点的距离平方的最值问题． 圆内接三角形的面积题型03 1．（25-26高二·浙江·期中）直线与圆相交于两点，当面积最大时，的值为（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】C 【分析】利用点到直线的距离公式和弦长公式可以求出的面积是关于的一个式子，利用基本不等式即可求出答案. 【详解】圆心到直线的距离， 则弦长， ， 当且仅当，即时， 面积取得最大值. 2．已知圆心为C（4，3）的圆经过原点O． （1）求圆C的方程； （2）设直线3x﹣4y+15＝0与圆C交于A，B两点，求△ABC的面积． 【答案】（1）（x﹣4）2+（y﹣3）2＝25．（2）12 【分析】（1）求出半径，从而可得圆的标准方程； （2）作CD⊥AB于D，则CD平分线段AB，求出圆心到直线的距离，根据勾股定理求出弦长，从而可求出面积． 【详解】解：（1）圆C的半径为 ， 从而圆C的方程为（x﹣4）2+（y﹣3）2＝25； （2）作CD⊥AB于D，则CD平分线段AB，    在直角三角形ADC中，由点到直线的距离公式，得|CD|＝3， 所以， 所以|AB|＝2|AD|＝8， 所以△ABC的面积． 【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，属于基础题． 3．（24-25高二上·河南洛阳·期末）已知圆C：. (1)若直线l过点）且与圆C相切，求直线l的方程； (2)若直线l过点与圆C相交于P，Q两点，求的面积的最大值，并求此时直线l的方程. 【答案】(1)或. (2)或. 【分析】（1）先判断点在圆C外，当切线斜率存在时，利用圆心到直线距离为半径列式求解斜率即可，当直线斜率不存在时，与圆相切，即可求解. （2）设直线l的方程为，求出圆心到直线l的距离，结合弦长公式利用基本不等式求解面积的最大值，求出，列式求解，即可求出直线方程. 【详解】（1）因为，所以点在圆C外， 当切线斜率存在时，可设直线方程为：，即. 因为直线与圆相切，所以点到直线的距离为2，即，解的， 此时直线方程为， 当直线斜率不存在时，即，此时满足直线与圆相切. 综上可知直线l的方程为或. （2）因为直线与圆相交，所以斜率k存在，且. 设直线l的方程为，即， 所以圆心到直线l的距离， 故可得， 当且仅当时等号成立， 此时，解的或. 所以直线的方程为：或. 4．（24-25高二上·云南·月考）已知圆过两点，，且圆心在直线上． (1)求圆的标准方程； (2)设，过点作两条互相垂直的直线和直线，交圆于、两点，交圆于、两点，求的最小值和四边形面积的最大值． 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）设，表示出圆C的标准方程，利用待定系数法计算即可求解； （2）当直线时最小，利用几何法求弦长即可；如图，先证，结合基本不等式计算即可求解. 【详解】（1）由题意知，设，则圆C的标准方程为， 又圆C过点， 所以，解得， 故圆C的标准方程为； （2）由（1）知，连接，则， 当直线时，最小，此时， 所以的最小值为； 如图，    取弦长的中点，连接，， 则四边形为矩形，， ， 又，所以，， 当且仅当时，等号成立. 所以四边形的面积为， 即四边形面积的最大值为6. 5．（25-26高二上·重庆·月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点，圆与x轴的正半轴的交点是Q，过点P的直线l与圆O交于不同的两点A，B (1)若直线l与y轴交于D，且，求直线l的方程； (2)设直线QA，QB的斜率分别是，，证明：为定值； (3)设AB的中点为M，点，若，求的面积. 【答案】(1) (2) 设直线的方程为：，联立 可得：， 设，则，① ， 则 ，② 将①代入②化简可得， 即； (3) 【分析】（1）可设点，表示出，可求出参数或6，结合题意可舍去，再由两点已知求出直线的方程； （2）可设，设直线方程为，联立直线和圆的方程求出关于的一元二次方程，表示出韦达定理，再分别求出，结合前式即可求解； （3）设，由建立方程，化简可得，由（2）可得，联立求解得，再结合圆的几何性质和点到直线距离公式及三角形面积公式即可求解； 【详解】（1）设，求出，， 则或6， 当时，，此时直线的方程为：， 圆心到直线距离，满足题意； 当时，，，直线的方程为：， 圆心到直线距离（舍去）； （2）略 （3）设点，由点，， 可得，化简得，③ 又，④ ④式代入③式解得或， 由圆心到直线的距离，故， 此时，圆心到直线距离， 则，直线方程为：，， 到直线的距离，则. 直线与圆的方程的实际应用题型04 1．一座圆拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，当水面下降2米后，水面宽是（    ） A．13米 B．14米 C．15米 D．16米 【答案】D 【分析】沿拱顶建立如图所示的平面直角坐标系，求出圆的方程后可得水面下降2米后的水面宽. 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，则，， 设圆的方程为：，代入，则有， 故圆的方程为：， 令，则，故， 故选：D. 2．某圆拱桥的水面跨度16米，拱高4米，现有一船宽10米，则这条船能从桥下通过的水面以上最大高度约为（    ） A．2.40米 B．2.66米 C．2.80米 D．3.00米 【答案】B 【分析】建立平面直角坐标系，求出圆拱桥所在圆的方程，令，求出相应的y值，即可求得答案. 【详解】如图，以圆拱桥横跨水面上的正投影为x轴，过桥的最高点垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系， 设图中矩形为船刚好能通过桥下时的位置， 则， 设圆拱桥所在圆的方程为， 将坐标代入，得，解得， 即圆的方程为， 令，则， 结合题意可得这条船能从桥下通过的水面以上最大高度为（米）， 故选：B 3．已知等边的边长为，点P是该三角形所在平面内的动点，满足，当向量的模取最大值时，与夹角的正切值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过化简向量条件得出动点P的轨迹，再利用三点共线确定使线段最长时P的位置，最后在直角三角形中解出目标夹角的正切值即可. 【详解】设的中点为，以为原点建系，则有，， ，解得， 所以点的轨迹是以中点为圆心，为半径的圆， 易得等边的高，所以点在圆外， 要使的模取最大值，此时三点共线，由圆的图像性质易得此时， 则，与的夹角为， 在中，. 4．在中，， 动点在的内切圆上，若， 则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意，以为原点，以、所在直线分别为轴、轴建立直角坐标系，设，求出内切圆方程，再根据直线与圆的位置关系即可求出最值． 【详解】解：由题意，以为原点，以、所在直线分别为轴、轴建立直角坐标系，    则，，， ∵，∴， ∵的面积为， ∴的内切圆半径， ∴内切圆圆心， ∵点在的内切圆上，设， ∴， 由得，即， ∴令，即，即 由几何知识，当直线与圆相切时有最值， 此时，解得，或， ∴的最大值为1， 故选：C． 【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查分析能力与计算能力，属于中档题． 5．（25-26高二上·浙江·月考）已知圆经过坐标原点，圆心在轴正半轴上，且与直线相切. (1)求圆的标准方程； (2)直线与圆交于，两点. （i）求的取值范围； （ii）求的最小值. 【答案】(1)； (2)（i）；（ii）. 【分析】（1）设出圆心，进而根据题意得到半径，然后根据圆与直线相切求出圆心，最后得到答案； （2）（ⅰ）联立直线方程和圆的方程并化简，根据判别式大于零即可得到答案； （ⅱ）设出两点坐标得，通过根与系数的关系化简为只含参数的表达式，进而求最小值. 【详解】（1）由题意，设圆心为，因为圆C过原点，所以半径， 又圆C与直线相切， 所以圆心C到直线的距离（负值舍）， 所以圆C的标准方程为； （2）（ⅰ）将直线l代入圆的方程得，则， 因为有两个交点，所以；    （ⅱ）设，则， 由根与系数的关系， ，且， 令，则，得，当时， 当时，，而在上恒负，在上恒正， 要使最小，则，而在上单调递增，在上单调递减， 所以时，， 综上，. 由圆的位置关系确定参数或范围题型05 1．已知与有且仅有3条公切线，则的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由两圆有3条公切线，可知两圆相外切，从而可得两圆的圆心距等于两半径之和，进而可求出的值 【详解】解：由题意得圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， 因为与有且仅有3条公切线， 所以两圆相外切， 所以，解得或， 所以的取值集合为， 故选：C 2．（25-26高二上·江西赣州·期中）已知圆，点，在圆上存在点，使得为钝角，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设圆，在圆上存在点，使得为钝角，意味着点在圆内，等价于圆与圆相交，内切或内含，利用圆与圆的位置关系，列方程可得答案. 【详解】如图，设圆，当圆上存在一点在圆内时，为钝角， 所以点在圆内，等价于圆与圆相交，内切或内含， ，得. 故选：B 3．（24-25高二上·黑龙江牡丹江·期中）已知圆与圆相切，则的最小值为（    ） A．5 B．3 C．2 D． 【答案】C 【分析】求出圆心和半径，按两圆外切和内切分类讨论求出最小值. 【详解】圆的圆心为，半径为3，圆的圆心为，半径为1， 若圆与圆外切，则，即， 则，当且仅当时取等号； 若圆与圆内切，则，即， 则，当且仅当时取等号， 所以的最小值为2. 故选：C 4．（24-25高二上·河南·期末）若圆与圆恰有一个公共点，则的值为______． 【答案】或6 【分析】根据两圆的方程，先得到圆心坐标和半径，由两圆相切，讨论内切和外切两种情况，即可得出结果. 【详解】圆，该圆的圆心坐标为，半径（）. 而圆的圆心坐标为，半径. 根据两点间距离公式，两圆的圆心距. 因为两圆恰有一个公共点，所以两圆内切或外切. 当两圆外切时， ，可得，解得； 当两圆内切时， ，可得. 当时，解得. 当时，（不成立，因为算术平方根是非负的）. 故的值为或. 故答案为：或. 5．（25-26高二上·重庆·月考）已知圆过点和点，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)若以为圆心的圆与圆没有公共点，求圆的半径的取值范围； (3)若过点的直线与圆交于两点（在线段上），且，求的值. 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）求解线段的垂直平分线，即可联立方程求解圆心坐标，进而根据两点间距离公式求解半径， （2）根据两圆外离或者内含，即可求解， （3）根据圆的弦长公式，以及余弦定理和勾股定理求解长度，即可得解. 【详解】（1）,的中点为， 故线段的垂直平分线所在的直线方程为，即， 联立与，解得， 故圆心坐标为，半径为， 故圆的方程为 （2）设圆的半径为，圆的半径为， 由于两圆没有交点，故两圆为外离或者内含， 所以或， ， 即或，解得或 故半径的取值范围为：或 （3）取的中点为，连接，则, 由于,则， , 故, 所以 故， 由圆与圆的位置关系确定圆的方程题型06 1．以为圆心，且与圆相外切的圆C的方程为（    ） A． B． C．=16 D． 【答案】B 【分析】根据两圆外切求圆的半径，即可求解. 【详解】由题意可知，两圆的圆心距为5，设圆的半径为， 因为两圆相外切，则，得， 所以圆的方程为. 故选：B 2．已知以为圆心的圆与圆相内切，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判断点在圆的外部，然后设所求圆的半径为r，再由求解. 【详解】因为， 所以点在圆的外部， 设以为圆心的圆的半径为：r， 则， 解得， 所以所求圆的方程为：. 故选：C 【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 3．圆心在直线上，并且经过圆与圆交点的圆的方程为____________． 【答案】 【分析】利用圆系方程求解. 【详解】设经过两圆交点的圆的方程为，即，圆心坐标为，将其代入直线解得．所以圆的方程为． 故答案为： 4．已知两圆和． (1)求两圆的公共弦所在直线的方程； (2)求过两圆交点且圆心在直线上的圆的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）两圆的方程相减，即可得公共弦所在直线的方程； （2）根据题意，得到所求圆的圆心在直线上，联立方程组求得圆心坐标和半径，即可的圆的方程. 【详解】（1）解：由圆和， 两个圆的方程相减，可得， 即两圆的公共弦所在直线的方程为． （2）解：由两圆方程，可得圆心，可得圆心连线所在直线的方程为， 由圆的性质，可得所求圆的圆心在直线上， 由方程组，解得， 又由方程组，解得或， 即两个圆的交点为或， 即所求圆的圆心坐标为，半径， 所以所求圆的方程为. 5．（24-25高二上·北京·期中）已知圆：及其上一点． (1)若圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上，求圆的标准方程； (2)设过点的直线与圆相交的另一交点为，且为直角三角形，求的方程； (3)设动点，若圆上存在两点，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）求得圆的圆心和半径，从而求得圆的标准方程. （2）利用圆心到直线的距离列方程，求得直线的斜率，从而求得直线的方程. （3）将原问题转化为即可求解. 【详解】（1）圆的方程可化为， 所以圆心为，半径为. 由于圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上， 结合图象可知圆的圆心为，半径为， 所以圆的标准方程为. （2）由于，所以三角形是等腰直角三角形，且， 所以到直线的距离为， 所以直线的斜率存在，设直线的方程为， 则，两边平方并化简得， 解得或， 所以直线的方程为或， 即或. （3），所以， 因为，为圆上的两点，所以， 由，得，即，， ， 解得，即实数的取值范围为． 【点睛】方法点睛：圆的几何性质与方程化简：通过化简圆的方程，找到圆心和半径，结合切线和外切条件，利用几何性质确定圆心的具体位置和半径. 利用距离公式求直线方程：在涉及到圆与直线的关系时，利用点到直线的距离公式来确定直线的方程，是一种行之有效的方法. 相交圆的公共弦方程题型07 1．（25-26高二·陕西咸阳·质检）圆与圆的公共弦所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用两圆的方程相减可得直线方程. 【详解】将圆与圆的方程相减， 即可得公共弦所在直线的方程为. 故选：C 2．圆与圆的公共弦长为（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】D 【分析】通过两圆方程作差得到公共弦所在直线方程，再利用点到直线距离公式求出圆心到公共弦的距离，最后结合垂径定理与勾股定理计算出公共弦长. 【详解】已知两圆方程：圆，圆心，半径，圆 ， 将两圆方程相减消去二次项，得到公共弦方程， 化简得：. 根据点到直线的距离公式，圆心到公共弦的距离：， 根据垂径定理，公共弦长. 【点睛】本题考查两圆公共弦长的计算，核心方法是两圆方程作差得公共弦方程，结合垂径定理求解弦长，是圆中弦长问题的常规解法. 3．（25-26高二上·甘肃兰州·期末）若圆与圆的公共弦长为，则   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】由两圆方程相减得公共弦的方程为，再根据弦长求解即可. 【详解】当时，两圆是同心圆，没有公共弦，故， 已知两个圆的方程分别为与， 将两个圆作差可得相交弦的直线方程为，即， 所以可得：圆心到直线的距离， 又因为两圆的公共弦长为，所以，解得. 故选：B. 4．（25-26高二上·天津·质检）在平面直角坐标系中，圆，点为直线上的动点，过点作圆的两条切线，切点为，，则直线恒过定点_____． 【答案】 【分析】先求得直线的方程，进而求得定点坐标. 【详解】设点，因为在直线上， 所以满足，即. 因为、是圆的切线，切点为、， 所以，（为坐标原点）， 因此，、、、四点共圆，且该圆以为直径， 圆心坐标：,半径：， 圆的标准方程为：， 展开并整理得：， 圆与上述圆的公共弦为， 将两圆方程相减，得， 由，代入得： 整理为：， 要使该方程对任意恒成立，需令系数同时为0：， 解得：， 因此，直线恒过定点. 故答案为：     5．（25-26高二上·浙江·期中）已知圆：，圆的圆心在直线上，两圆的公共弦所在的直线方程为． (1)求公共弦的长度； (2)求圆的方程； (3)过点分别作直线，交圆于，，，四点，且，求四边形面积的最大值与最小值． 【答案】(1)4 (2) (3)最大值6，最小值 【分析】（1）设圆心的半径为，求出圆心到直线的距离，在由半径，，和组成的直角三角形中，利用勾股定理求解即可； （2）根据两圆圆心所在的直线垂直平分公共弦AB，先求出直线的方程，再通过联立方程组，求出圆心的坐标及半径，即可求出圆的方程； （3）设圆心到直线的距离为，到直线的距离为，用表示，求出四边形面积的解析式，利用，将转化为关于的二次函数，即可得解. 【详解】（1）已知圆心，半径， 则圆心到直线的距离， 所以， 所以公共弦的长度为4； （2）由题意可知，两圆圆心所在的直线垂直平分公共弦AB， 因为公共弦所在的直线方程为， 所以可设直线的方程为， 将圆心代入上式，可得，所以直线的方程为. 又由圆的圆心在直线上， 联立方程组，解得，所以圆心. 则圆心到直线的距离， 说明直线过圆心，公共弦就是圆的直径， 所以圆的半径， 所以圆的方程为； （3） 设圆心到直线的距离为，到直线的距离为, 因为，，所以. 因为，所以， 所以由垂径定理可得，. 所以四边形面积 ， 将代入上式可得 ， 因为，且.令，则， 所以. 所以当时，取到最大值； 当或时，取到最小值， 所以四边形面积的最大值为6，最小值为. 弦长的最值问题题型01 1．已知圆，直线过点，则直线被圆所截得的弦长的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】根据垂径定理，过圆内一点的最短的弦，应垂直于该定点和圆心的连线，再结合弦长公式进行求解即可. 【详解】过点的直线被圆所截得的弦长的最小， 即点为弦的中点 所以若要弦长最小，只要圆心到直线的距离即为圆心到定点的距离， 圆心到直线距离的最大值为，所以弦长的最小值为. 故选：D 2．已知直线与圆相交于两点，则弦长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，求得直线恒过点，结合圆的性质和弦长公式，即可求解. 【详解】因为直线，可得， 由，解得，所以直线恒过点， 可得点在圆内部， 又由圆，可得圆心，半径为， 当直线过圆心时，截得弦长最长，此时， 当直线与垂直时，此时弦长最短，又由， 可得， 所以弦长的取值范围是. 故选：B. 3．已知圆，则过点的最短弦所在的直线方程是_________. 【答案】 【分析】由题知，弦最短时，圆心与点的连线与直线垂直，进而求解直线方程即可. 【详解】解：根据题意：弦最短时，圆心与点的连线与直线垂直, 因为圆，即，圆心为：， 所以，所以， 所以所求直线方程为：. 故答案为：. 4．已知圆的方程为，直线的方程为，直线被圆截得的弦中长度为整数的共有______条. 【答案】9 【详解】确定直线过定点，进而求得弦长最大、最小值，即可求解. 直线：可化为，由可得，即直线过定点， 因为，所以点在圆C内， 当点为直线被圆C截得的弦的中点时，弦长最短，点到圆心的距离， 所以直线被圆C截得的最短弦长为， 最长的弦为直径，长度为10， 所以弦长的取值范围是.又弦长为6，7，8，9的直线各两条，弦长为10的直线有一条， 又直线被圆C截得弦长为，不是整数， 所以截得的弦中长度为整数的直线共有9条. 故答案为：9 5．（25-26高二上·安徽·期中）已知圆C：，直线l：． (1)求证：直线过定点； (2)求直线l被圆C截得的弦长最短时，直线l的方程以及最短弦长． 【答案】(1) 直线的方程可化为， 由，解得， 所以直线恒过定点. (2)直线的方程为，最短弦长为 【分析】(1)参数提出来，即可求出定点； (2) 令点，当直线时，直线被圆截得的弦长最短，由得直线的斜率,即可求出直线方程，此时根据弦长公式即可得到最短弦长. 【详解】（1）略 （2）圆的圆心，半径， 令点，当直线时，直线被圆截得的弦长最短， 直线的斜率为， 由得直线的斜率为，解得， 此时的方程为，即， 圆心到直线的距离为，最短弦长为， 所以当的方程为时最短；，最短弦长为.    直线上的点到圆上点距离的最值题型02 1．（24-25高二上·重庆·适应性考试）已知直线上有动点，点为圆上的动点，则的最小值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】先计算出圆心到直线的距离，再减去该圆半径即为最小值. 【详解】由可知，该圆圆心为，半径为， 则圆心到直线的距离， 故圆心到直线上的点的长度最短为， 则. 故选：B. 2．已知圆的方程为，过点的直线与圆交于不同的两点，，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判断的位置，然后判断出时有最小值，结合几何关系计算出结果. 【详解】因为，所以在圆内， 记圆心为，由条件可知，圆心，半径， 记圆心到直线的距离为，所以， 当取最大值时，有最小值， 当时，取最大值， (理由：当时，，当与不垂直时，设，则， 在中，显然，所以) 此时，， 所以的最小值为， 故选：C.    3．设O为坐标原点，A为圆C：上一个动点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用直线与圆的位置关系解三角形即可. 【详解】    如图所示，当直线与圆相切时，A为切点，此时最大，易得, 由，即， 所以. 故选：C 4．圆上的点到直线的距离的最小值是__． 【答案】3 【分析】由圆心到直线的距离减去半径求解即可. 【详解】圆的圆心坐标为，半径为2， 圆心到直线的距离， 所以圆上的点到直线的距离的最小值是． 故答案为： 5．（24-25高二上·重庆·期中）已知圆上有一动点，记点到直线的距离为，平面上有一定点，则的最小值为__________. 【答案】 【分析】求出中点的轨迹，再结合图形找到线段和最小值的情况. 【详解】作出图形，分别取线段中点分别为， 因为，则，则， 则点的轨迹是以点为圆心，半径为1的圆， 其轨迹方程，半径， 则，设点到直线的距离为， 则，则的最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是求出中点的轨迹，再根据三点共线即可得到最值. 切点弦及其方程题型03 1．（25-26高二·陕西渭南·学业水平）过点作圆的两条切线，切点分别为和，则切点弦AB所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求以为直径的圆的方程,再通过两圆的方程相减得到公共弦的直线方程. 【详解】已知圆的圆心.半径.且, 所以的中点的坐标为. ， 故有以为直径的圆的方程为: . 化简得，. 将圆的标准方程展开得，. 是两圆的公共弦，其方程为两圆方程相减， 化简得,. 故选：C 2．已知圆，过动点分别作直线、与圆相切，切点为、，设经过、两点的直线为，则动直线恒过的定点坐标为__________． 【答案】 【分析】求出直线的方程为，变形为，解方程组，可得出直线所过定点的坐标. 【详解】设点为圆上一点，当的斜率存在且不为零时，直线的斜率为， 此时，圆在点处的切线方程为， 即， 当与轴重合时，，，此时切线方程为，满足， 当与轴重合时，，，此时切线方程为，满足. 综上所述，圆在其上一点处的切线方程为. 设点、，则直线的方程为， 直线的方程为， 由题意可得， 所以，点、的坐标满足方程， 故直线的方程为，即， 由，解得，因此，直线恒过的定点坐标为. 故答案为：. 3．（24-25高三下·甘肃张掖·联考）如图，圆，为直线上一动点，过点向圆引两条切线、，切点分别为、，则线段长度的最小值为__________.    【答案】 【分析】推导出，利用等面积法可得，分析可知，当的长度最小，只需使线段的长度最小，可知当时，取最小值，结合点到直线的距离公式可求得的最小值. 【详解】由切线长定理可得， 又因为，，则，所以，， 所以，， 则四边形的面积为，所以. 在中，，代入整理得， 要使线段的长度最小，只需使线段的长度最小， 而是圆心到直线上任意一点的距离， 故当且仅当时，即为圆心到直线的距离时，最小， 此时，则. 故答案为：. 4．（24-25高二上·广东·期中）已知的三个顶点分别为，，，直线经过点. (1)求外接圆的标准方程； (2)若直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程； (3)若是圆上的两个动点，当最大时，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或. (3) 【分析】（1）设出圆的一般式方程，代入三点坐标解方程组可得一般式方程，再配方得标准方程； （2）由弦长求法求得圆心到直线的距离，按直线斜率存在与不存在分类讨论求直线方程，斜率存在时，设直线方程，由点到直线距离公式求参数值． （3）由在圆M外，当与圆相切时（E，F不重合），取的最大值, 求出以为直径的圆方程，与圆方程相减可得切点弦所在直线方程． 【详解】（1）设圆的方程为，， 则，解得， 则圆的方程为， 即圆的标准方程为； （2）由（1）得圆心，半径， 又，可知圆心到直线的距离， 当直线斜率不存在时，直线方程为，此时圆心到直线的距离为，成立； 当直线斜率存在时，设直线方程为，即， 圆心到直线的距离， 解得，则直线方程为，即； 综上，直线方程为或. （3）由在圆M外，当与圆相切时（E，F不重合），取的最大值, 此时的中点为，, 所以以为直径的圆的方程为, 即①, 又圆M的方程为②, ①②：, 所以直线的方程为. 5．（24-25高二上·重庆·期中）已知，，动点满足，点的轨迹为曲线. (1)求的方程. (2)曲线，曲线与曲线的交点为，.以为直径的圆与轴，轴正半轴交点分别为，. （i）点Q在直线上移动，过Q作圆的切线，切点为C，，试问直线是否过定点?若是.求出这个定点；若否，请说明理由. （ii）为圆上异于，的一点，直线交轴于点，直线交轴于点，求证：为定值. 【答案】(1) (2)（i）过定点为； （ii)证明：设 则有, 所以得到 所以 所以 因为 不妨设 所以有 继续化简得 所以为定值4. 【分析】（1）先设点,然后利用化简求解即可. （2）先计算交点坐标，然后求出圆的方程，求出点，的坐标；再分别计算每一个小问， （i）利用切线与半径垂直，然后建立等式求出直线方程，计算定点即可； （ii）先分别计算出两个直线，然后计算两个焦点，表示出然后化简求解即可. 【详解】（1）设 因为 所以有 经整理得 （2）方程与方程联立 求解得或 所以圆的方程为 所以有 （i）设 易知圆的圆心为原点 所以有 由向量数量积的几何意义可知 所以有 故两点均满足直线 所以直线的方程为 过定点 （ii）略 【点睛】关键点点睛：当两个数的平方和为定值时，我们可以三角换元，这样就只有一个变量了，然后求解即可. 直线与圆中的定点定值问题题型04 1．（25-26高二上·江苏海安·期中）设圆，直线，P为上的动点，过点作圆的两条切线，，切点分别为，则直线过定点______． 【答案】 【分析】设，进而求得以为直径的圆的方程，并与圆的方程作差即可得直线的方程，再根据方程判断定点问题即可. 【详解】由题可设，则以为直径的圆的圆心为，半径为， 所以以为直径的圆的方程为，化简得， 所以为圆C和以为直径的圆的公共弦， 联立可得，两式相减可得，即， 因该式对任意成立，故，解得定点为， 故直线过定点． 故答案为： 2．（25-26高二上·甘肃·期中）已知直线，圆经过、、三点. (1)求圆的标准方程； (2)证明：圆与直线恒相交； (3)求出直线被圆截得的弦长的最小值. 【答案】(1) (2) 直线， 不管为何值时，直线恒过点，且， 所以点恒在圆内，所以直线与圆恒相交； (3) 【分析】（1）首先设圆的一般方程，再代入三点坐标，最后转化为标准方程，即可求解； （2）求直线所过定点，再判断定点与圆的位置关系，即可证明； （3）当定点为弦的中点时，弦长最短，代入弦长公式，即可求解. 【详解】（1）设圆的方程为， 所以，解得：， 即圆的方程为， 所以圆的标准方程为； （2）略 （3）当点是弦的中点时，此时弦长最短， 圆的圆心是，半径为，圆心到点的距离为， 所以最短弦长为. 3．已知圆C经过坐标原点O，圆心在x轴正半轴上，且与直线相切． （1）求圆C的标准方程； （2）直线与圆C交于A，B两点． ①求k的取值范围； ②证明：直线OA与直线OB的斜率之和为定值． 【答案】（1）； （2）（ⅰ）； （ⅱ）设， 由根与系数的关系：， 所以. 即直线OA，OB斜率之和为定值. 【分析】（1）设出圆心，进而根据题意得到半径，然后根据圆与直线相切求出圆心，最后得到答案； （2）（ⅰ）联立直线方程和圆的方程并化简，根据判别式大于零即可得到答案；（ⅱ）设出两点坐标，进而通过根与系数的关系与坐标公式进行化简，即可得到答案. 【详解】（1）由题意，设圆心为，因为圆C过原点，所以半径r=a， 又圆C与直线相切， 所以圆心C到直线的距离（负值舍去），所以圆 C的标准方程为：. （2）（ⅰ）将直线l代入圆的方程可得：， 因为有两个交点， 所以，即k的取值范围是. （ⅱ）略 4．在平面直角坐标系中，已知点，以原点O为圆心的圆截直线所得线段的长度为. (1)求圆O的方程； (2)若直线与圆O相交于M，N两点，且，求t的值； (3)在直线上是否存在异于A的定点Q，使得对圆O上任意一点P，都有（为正常数）？若存在，求出点Q的坐标及的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在定点，，理由如下： 假设存在定点Q，使得对圆O上任意一点P，都有（为正常数） 由已知直线的方程为，设， 设，则， ， 则，解得，取负值和的舍去； 故存在定点，使得对圆O上任意一点P，都有. 【分析】（1）设圆O的方程为，再利用垂径定理计算可得答案； （2）设，联立直线和圆的方程，利用韦达定理及向量的坐标运算代入计算可得答案； （3）假设存在定点Q，设，设，利用坐标计算，然后列方程求解即可. 【详解】（1）设圆O的方程为， 由垂径定理可得，则， 即圆O的方程为； （2）设， 联立，消去得，，得 则，， 解得； （3）略 5．平面直角坐标系中，圆M经过点，，. (1)求圆M的标准方程； (2)设，过点D作直线，交圆M于PQ两点，PQ不在y轴上. （i）过点D作与直线垂直的直线，交圆M于EF两点，记四边形EPFQ的面积为S，求S的最大值； （ii）设直线OP，BQ相交于点N，试讨论点N是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，说明理由. 【答案】(1) (2)（i）7；（ii）在定直线上 【分析】（1）设圆M的方程为，利用待定系数法求出，即可得解； （2）（i）设直线的方程为，分和两种情况讨论，利用圆的弦长公式分别求出，再根据即可得出答案； （ii）设，联立，利用韦达定理求得，求出直线OP，BQ的方程，联立求出交点坐标即可得出结论. 【详解】（1）解：设圆M的方程为， 则，解得， 所以圆M的标准方程为； （2）解：设直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离， 所以， （i）若，则直线斜率不存在， 则，， 则， 若，则直线得方程为，即， 则圆心到直线的距离， 所以， 则 ， 当且仅当，即时，取等号， 综上所述，因为， 所以S的最大值为7； （ii）设， 联立，消得， 则， 直线的方程为， 直线的方程为， 联立，解得， 则 ， 所以， 所以点N在定直线上. 【点睛】本题考查了利用待定系数法求圆的标准方程，考查了圆的弦长问题及圆中四边形的面积的最值问题，还考查了圆中的定直线问题，有一定的计算量. 两圆的公切线问题题型05 1．两圆与的公切线条数为（ ） A．4条 B．3条 C．2条 D．1条 【答案】C 【分析】根据圆的方程可确定圆心和半径，由圆与圆的位置关系的判断方法确定两圆相交，由此可得公切线条数. 【详解】由得：， 圆心坐标为，半径； 由得：， 圆心坐标为，半径； 两圆圆心距，， 两圆相交，则公切线条数为条. 故选：. 【点睛】本题考查圆与圆的公切线条数的问题，关键是明确两圆公切线条数与两圆位置关系之间的联系，并熟练掌握圆与圆的位置关系的判定方法. 2．（25-26高三下·山西太原·月考）在平面直角坐标系中，已知圆与圆的两条公切线互相垂直，则    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，结合两圆的位置关系，可得四边形与四边形均为正方形，结合勾股定理，列式求解，即可得答案 【详解】圆C的圆心为，半径，圆O的圆心为， 因为，所以在圆C内部， 因为两圆有两条公切线，且垂直，所以两圆相交， 设圆C与两切线分别交于点A、B，圆O与两切线分别交于点D、E，两切线交于点F， 连接CA、CB、OD、OE、OC，过O作，如图所示， 则四边形与四边形均为正方形， 则四边形为矩形，且，， 在中，，所以， 则，即，解得或（舍）， 3．已知圆：与圆：有且仅有三条公切线，则的值为__________． 【答案】 【详解】圆：的圆心为，半径， 与圆：的标准形式为， 圆心为，半径为，，即， 圆心距为：， 已知两圆有且仅有三条公切线，则两圆外切，则： ，故，即， 两边平方得，解得． 4．圆与圆的一条公切线长为______ 【答案】或（填一个即可） 【分析】先判断圆与圆的位置关系，即可得公切线情况，利用几何关系即可求出公切线的长. 【详解】由题意得，，，，，故两圆相离，有四条公切线．如图，    设四条公切线分别为直线、直线、直线、直线，且交于点． 由对称性可知，．连接，过作，垂足为，连接， 则四边形为矩形，所以．连接． 易知，所以．又，所以． 所以在中，，所以． 故两圆的一条公切线长为或． 故答案为：或（填一个即可）. 5．已知两圆和. (1)分析两圆位置关系并确定公切线数量； (2)求公切线所在直线方程. 【答案】(1)两圆内切，只有一条公切线 (2) 【分析】（1）通过两个圆的圆心距与两圆半径之间的关系判断两个圆的位置关系，进而判断两个圆的公切线条数 （2）由（1）可知两个圆是内切关系，进而将两个圆直接作差即可得到两个圆的公切线 【详解】（1），圆心，半径； ，圆心，半径， ， 所以两圆内切，只有一条公切线. （2）与 ， 两圆方程相减得：，化简即为：， 所以两圆公切线直线方程：. 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 2.5直线与圆、圆与圆的位置关系 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 判断直线与圆的位置关系 题型02 求直线与圆交点的坐标 题型03 圆的弦长与中点弦 题型04 过圆上一点的圆的切线方程 题型05 过圆外一点的圆的切线方程 题型06 求圆的切线长 题型07 判断圆与圆的位置关系 题型08 求两圆的交点坐标 B组 能力进阶 题型01 由直线与圆的位置关系求参数 题型02 已知切线方程求参数或圆的方程 题型03 圆内接三角形的面积 题型04 直线与圆的方程的实际应用 题型05 由圆的位置关系确定参数或范围 题型06 由圆与圆的位置关系确定圆的方程 题型07 相交圆的公共弦方程 C组 思维拔高 题型01 弦长的最值问题 题型02 直线上的点到圆上点距离的最值 题型03 切点弦及其方程 题型04 直线与圆中的定点定值问题 题型05 两圆的公切线问题 判断直线与圆的位置关系题型01 1．已知直线和圆，则直线和圆的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 2．（25-26高二上·广东惠州·月考）已知直线，圆，则直线与圆的位置关系是（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 3．（25-26高二上·江苏南京·期末）已知直线：与圆：，若点在直线上，则直线与圆的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 4．（25-26高三上·海南·期末）已知直线与圆交于两点,则的最小值为（   ） A． B． C． D． 5．已知圆：，直线：. (1)写出圆的圆心坐标和半径，并判断直线与圆的位置关系； (2)当时，直线与圆交于不同的两点A，B，求. 求直线与圆交点的坐标题型02 1．若直线与圆相交于两点，则线段中点的坐标为 A． B． C． D． 2．（24-25高二上·浙江宁波·期中）已知圆的方程为，直线与圆相交于两点，若(为坐标原点)，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．已知直线与圆相交于、两点，则的值为______. 4．（24-25高二上·天津·适应性考试）已知直线：与圆：相切于点． (1)求切点的坐标； (2)过点的直线与圆交于另一点，若线段的长度为2，求直线的方程． 5．（25-26高二上·重庆·月考）已知圆和点． (1)过圆上一点作两条相异直线分别与圆相交于两点，且直线和直线的倾斜角互补，求证：直线的斜率为定值． (2)已知，设P为满足方程的任意一点，过点向圆引切线，切点为B，试探究：平面内是否存在一定点，使得为定值？若存在，请求出定点的坐标，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由． 圆的弦长与中点弦题型03 1．若圆与直线交于、两点，则（   ） A．1 B． C． D．4 2．（24-25高三上·北京·期末）过点的直线与圆相交于两点，那么当取得最小值时，直线的方程是（    ） A． B． C． D． 3．已知直线与圆交于，两点，为圆心，若的面积等于8，则（   ） A． B． C． D． 4．设圆x2+y2﹣4x﹣5＝0的弦AB的中点为P（3，1），则直线AB的方程是__ 5．（25-26高二上·陕西榆林·期中）已知圆，直线． (1)求证：对任意，直线与圆总有两个不同的交点； (2)设直线与圆交于，两点，若，求直线的方程； (3)是否存在实数，使得直线截圆所得的弦最长或最短？ 过圆上一点的圆的切线方程题型04 1．过点且与圆，相切的直线有几条（    ） A．0条 B．1条 C．2 条 D．不确定 2．圆在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·重庆·期中）几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点、是锐角的一边上的两点，试在边上找一点，使得最大.”如图，其结论是：点为过、两点且和射线相切的圆与射线的切点.根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系中，给定两点、，点在轴上移动，当取最大值时，点的横坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 4．经过圆上一点且与圆相切的直线的一般式方程为__________． 5．（24-25高二上·广东·期中）已知圆：，直线过点. (1)若在两坐标轴上的截距相等，求的方程； (2)若与圆相切，求的方程； (3)若与圆相交于，两点，且（其中为圆的圆心）为直角三角形，求的方程. 过圆外一点的圆的切线方程题型05 1．设直线过点，且与圆相切，则直线的方程为（    ） A． B．或 C． D．或 2．（26-27高三·福建泉州·适应性考试）已知圆，过点作圆的切线，则切线长为______． 3．（25-26高二上·青海西宁·期末）已知圆的圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)已知直线过点且与圆相切，求直线的方程. 4．已知圆，直线过定点. (1)若与圆相切，求的方程； (2)若与圆相交于两点，且，求此时直线的方程. 5．已知直线，圆，是上一动点. (1)若点在轴上，求过点且与圆相切的直线方程； (2)过点作圆的切线，切点分别为，求证：直线恒过定点. 求圆的切线长题型06 1．过圆O：外的点作O的一条切线，切点为M，则    ） A．2 B． C． D．4 2．（24-25高二上·河南南阳·适应性考试）已知圆，过直线上一点向圆作切线，切点为，则的最小值为（    ） A． B．4 C．5 D．6 3．（25-26高二上·山东烟台·学业水平）已知圆，为直线上的一个动点，过点作圆的两条切线，，切点为，，当最小时，直线的方程为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·山东·联考）过直线上一点P向圆作切线，切点为M，则的最小值为______．若O为坐标原点，Q为圆C上的动点，则的最小值为______． 5．已知圆，点是直线上的一动点，过点作圆的切线、，切点为、. (1)当切线的长度为时，求点的坐标； (2)求线段长度的最小值. 判断圆与圆的位置关系题型07 1．（25-26高二上·北京·期中）圆与圆的位置关系是（   ） A．相交 B．相离 C．内切 D．外切 2．圆与圆的公切线共有 A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 3．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）圆与圆相交，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．已知圆：和： (1)求证：圆和圆相交； (2)求圆和圆的公共弦所在直线的方程和公共弦长． 5．已知圆和圆. (1)判断圆O和圆C的位置关系； (2)过圆C的圆心C作圆O的切线l，求切线l的方程； (3)过圆C的圆心C作动直线m交圆O于A，B两点.试问：在以为直径的所有圆中，是否存在这样的圆P，使得圆P经过点？若存在，求出圆P的方程；若不存在，请说明理由. 求两圆的交点坐标题型08 1．在平面直角坐标系中，圆与圆相交于A，B两点，则四边形OACB的面积为（   ） A． B． C．1 D． 2．设点，，动点满足，设点的轨迹为，圆：，与交于点，为直线上一点（为坐标原点），则（    ） A． B． C． D． 3．已知圆和圆，观察可得它们都经过坐标原点，除此之外，它们还相交于一点，这点的坐标是______． 4．（24-25高二上·福建龙岩·期末）已知圆：，圆：． (1)证明：圆与圆相交； (2)若圆M经过圆与圆的交点，且圆心M在y轴上，求圆M的方程． 5．（25-26高二上·山东·期中）已知圆的圆心在轴上，且过，两点. (1)求圆的标准方程； (2)过直线上且在圆外的一点作圆的两条切线，切点分别为、，当点的坐标为时，求点的坐标. (3)已知点，点在轴上且异于点，动点在圆上，当为定值时，求点的坐标. 由直线与圆的位置关系求参数题型01 1．已知直线与圆相切，则（    ） A． B． C． D． 2．若直线过圆的圆心，则   ） A． B． C．1 D．3 3．若圆:恰有个点到直线的距离为1，则    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·河北·月考）已知圆直线，点P在直线l上运动，直线PA，PB分别与圆M相切于点A，B．则下列说法正确的个数是（   ） （1）四边形PAMB的面积最小值为                （2）最短时，弦AB长为 （3）最短时，弦AB直线方程为    （4）直线AB过定点 A．1 B．2 C．3 D．4 5．（25-26高二上·黑龙江·月考）已知直线，该直线与圆交于两点，且. (1)求的值； (2)求过点的的切线方程. 已知切线方程求参数或圆的方程题型02 1．圆心为，且与轴相切的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·甘肃酒泉·期末）圆心为且与直线相切的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·广东·月考）过点可以作圆的两条切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·陕西渭南·期中）已知直线，圆. (1)若直线与圆相切，求的值； (2)记圆的圆心为，若直线与圆交于，两点，为等边三角形，求的值. 5．古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出圆的另一种定义：平面内，到两个定点距离之比值为常数的点的轨迹是圆，我们称之为阿波罗尼奥斯圆．已知点P到的距离是点P到的距离的2倍． (1)求点P的轨迹方程； (2)若点P与点Q关于点B对称，点，求的最大值； (3)若过B的直线与第二问中Q的轨迹交于E，F两点，试问在x轴上是否存在点，使恒为定值？若存在，求出点M的坐标和定值；若不存在，请说明理由． 圆内接三角形的面积题型03 1．（25-26高二·浙江·期中）直线与圆相交于两点，当面积最大时，的值为（    ） A．2 B． C． D．4 2．已知圆心为C（4，3）的圆经过原点O． （1）求圆C的方程； （2）设直线3x﹣4y+15＝0与圆C交于A，B两点，求△ABC的面积． 3．（24-25高二上·河南洛阳·期末）已知圆C：. (1)若直线l过点）且与圆C相切，求直线l的方程； (2)若直线l过点与圆C相交于P，Q两点，求的面积的最大值，并求此时直线l的方程. 4．（24-25高二上·云南·月考）已知圆过两点，，且圆心在直线上． (1)求圆的标准方程； (2)设，过点作两条互相垂直的直线和直线，交圆于、两点，交圆于、两点，求的最小值和四边形面积的最大值． 5．（25-26高二上·重庆·月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点，圆与x轴的正半轴的交点是Q，过点P的直线l与圆O交于不同的两点A，B (1)若直线l与y轴交于D，且，求直线l的方程； (2)设直线QA，QB的斜率分别是，，证明：为定值； (3)设AB的中点为M，点，若，求的面积. 直线与圆的方程的实际应用题型04 1．一座圆拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，当水面下降2米后，水面宽是（    ） A．13米 B．14米 C．15米 D．16米 2．某圆拱桥的水面跨度16米，拱高4米，现有一船宽10米，则这条船能从桥下通过的水面以上最大高度约为（    ） A．2.40米 B．2.66米 C．2.80米 D．3.00米 3．已知等边的边长为，点P是该三角形所在平面内的动点，满足，当向量的模取最大值时，与夹角的正切值为（   ） A． B． C． D． 4．在中，， 动点在的内切圆上，若， 则的最大值为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·浙江·月考）已知圆经过坐标原点，圆心在轴正半轴上，且与直线相切. (1)求圆的标准方程； (2)直线与圆交于，两点. （i）求的取值范围； （ii）求的最小值. 由圆的位置关系确定参数或范围题型05 1．已知与有且仅有3条公切线，则的取值集合为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·江西赣州·期中）已知圆，点，在圆上存在点，使得为钝角，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·黑龙江牡丹江·期中）已知圆与圆相切，则的最小值为（    ） A．5 B．3 C．2 D． 4．（24-25高二上·河南·期末）若圆与圆恰有一个公共点，则的值为______． 5．（25-26高二上·重庆·月考）已知圆过点和点，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)若以为圆心的圆与圆没有公共点，求圆的半径的取值范围； (3)若过点的直线与圆交于两点（在线段上），且，求的值. 由圆与圆的位置关系确定圆的方程题型06 1．以为圆心，且与圆相外切的圆C的方程为（    ） A． B． C．=16 D． 2．已知以为圆心的圆与圆相内切，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 3．圆心在直线上，并且经过圆与圆交点的圆的方程为____________． 4．已知两圆和． (1)求两圆的公共弦所在直线的方程； (2)求过两圆交点且圆心在直线上的圆的方程． 5．（24-25高二上·北京·期中）已知圆：及其上一点． (1)若圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上，求圆的标准方程； (2)设过点的直线与圆相交的另一交点为，且为直角三角形，求的方程； (3)设动点，若圆上存在两点，使得，求实数的取值范围． 相交圆的公共弦方程题型07 1．（25-26高二·陕西咸阳·质检）圆与圆的公共弦所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 2．圆与圆的公共弦长为（    ） A．2 B． C． D．4 3．（25-26高二上·甘肃兰州·期末）若圆与圆的公共弦长为，则   ） A．1 B． C．2 D． 4．（25-26高二上·天津·质检）在平面直角坐标系中，圆，点为直线上的动点，过点作圆的两条切线，切点为，，则直线恒过定点_____． 5．（25-26高二上·浙江·期中）已知圆：，圆的圆心在直线上，两圆的公共弦所在的直线方程为． (1)求公共弦的长度； (2)求圆的方程； (3)过点分别作直线，交圆于，，，四点，且，求四边形面积的最大值与最小值． 弦长的最值问题题型01 1．已知圆，直线过点，则直线被圆所截得的弦长的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 2．已知直线与圆相交于两点，则弦长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知圆，则过点的最短弦所在的直线方程是_________. 4．已知圆的方程为，直线的方程为，直线被圆截得的弦中长度为整数的共有______条. 5．（25-26高二上·安徽·期中）已知圆C：，直线l：． (1)求证：直线过定点； (2)求直线l被圆C截得的弦长最短时，直线l的方程以及最短弦长． 直线上的点到圆上点距离的最值题型02 1．（24-25高二上·重庆·适应性考试）已知直线上有动点，点为圆上的动点，则的最小值为（   ） A． B．1 C． D．2 2．已知圆的方程为，过点的直线与圆交于不同的两点，，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 3．设O为坐标原点，A为圆C：上一个动点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．圆上的点到直线的距离的最小值是__． 5．（24-25高二上·重庆·期中）已知圆上有一动点，记点到直线的距离为，平面上有一定点，则的最小值为__________. 切点弦及其方程题型03 1．（25-26高二·陕西渭南·学业水平）过点作圆的两条切线，切点分别为和，则切点弦AB所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 2．已知圆，过动点分别作直线、与圆相切，切点为、，设经过、两点的直线为，则动直线恒过的定点坐标为__________． 3．（24-25高三下·甘肃张掖·联考）如图，圆，为直线上一动点，过点向圆引两条切线、，切点分别为、，则线段长度的最小值为__________.    4．（24-25高二上·广东·期中）已知的三个顶点分别为，，，直线经过点. (1)求外接圆的标准方程； (2)若直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程； (3)若是圆上的两个动点，当最大时，求直线的方程. 5．（24-25高二上·重庆·期中）已知，，动点满足，点的轨迹为曲线. (1)求的方程. (2)曲线，曲线与曲线的交点为，.以为直径的圆与轴，轴正半轴交点分别为，. （i）点Q在直线上移动，过Q作圆的切线，切点为C，，试问直线是否过定点?若是.求出这个定点；若否，请说明理由. （ii）为圆上异于，的一点，直线交轴于点，直线交轴于点，求证：为定值. 直线与圆中的定点定值问题题型04 1．（25-26高二上·江苏海安·期中）设圆，直线，P为上的动点，过点作圆的两条切线，，切点分别为，则直线过定点______． 2．（25-26高二上·甘肃·期中）已知直线，圆经过、、三点. (1)求圆的标准方程； (2)证明：圆与直线恒相交； (3)求出直线被圆截得的弦长的最小值. 3．已知圆C经过坐标原点O，圆心在x轴正半轴上，且与直线相切． （1）求圆C的标准方程； （2）直线与圆C交于A，B两点． ①求k的取值范围； ②证明：直线OA与直线OB的斜率之和为定值． 4．在平面直角坐标系中，已知点，以原点O为圆心的圆截直线所得线段的长度为. (1)求圆O的方程； (2)若直线与圆O相交于M，N两点，且，求t的值； (3)在直线上是否存在异于A的定点Q，使得对圆O上任意一点P，都有（为正常数）？若存在，求出点Q的坐标及的值；若不存在，请说明理由. 5．平面直角坐标系中，圆M经过点，，. (1)求圆M的标准方程； (2)设，过点D作直线，交圆M于PQ两点，PQ不在y轴上. （i）过点D作与直线垂直的直线，交圆M于EF两点，记四边形EPFQ的面积为S，求S的最大值； （ii）设直线OP，BQ相交于点N，试讨论点N是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，说明理由. 两圆的公切线问题题型05 1．两圆与的公切线条数为（ ） A．4条 B．3条 C．2条 D．1条 2．（25-26高三下·山西太原·月考）在平面直角坐标系中，已知圆与圆的两条公切线互相垂直，则    ） A． B． C． D． 3．已知圆：与圆：有且仅有三条公切线，则的值为__________． 4．圆与圆的一条公切线长为______ 5．已知两圆和. (1)分析两圆位置关系并确定公切线数量； (2)求公切线所在直线方程. 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $