2.3直线与圆的位置关系（相交）（题型专练，7基础2提升+2培优）高二数学北师大版选择性必修第一册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.3直线与圆的位置关系（相交) 直线与圆的相交弦长 已知弦长求参 相交点坐标及韦达定理 基础达标题 圆上的点到直线距离的最值 园的实际应用 相交弦长的最值 圆上的点到直线距离为a的点的个数 2.3直线与圆的位 置关系（相交） 相交三角形面积最值 能力提升题 圆上的点的相关最值问题 数形结合等价转化为距离最值 拓展培优题 直线与园的综合应用 基础达标题 题型一：直线与圆的相交弦长 1.已知直线x-V3y+8=0与圆x2+y2=25相交于A,B两点，则AB等于() A.6 B.8 C.10 D.12 2.直线1：2x-y+5=0被圆C:(x-a+(y-2a2=9所截得的弦长为() A.2 B.3 C.4 D.5 3.已知直线x+2y+1=0与⊙C:(x-)2+y2=4交于A,B两点，则△ABC的面积为 4.(多选)已知直线1：x-2y=0与圆C:x2+y2-2x=0相交于E,F两点，则() A圆心C的坐标为，0 B.圆C的半径为V2 C.圆心c到直线，的距离为5 .1-45 1/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型二：已知弦长求参 1.若直线3x-y=0被圆x2+y2+4y+2m=0(m∈R)截得的弦长为2，则m=() A.1 B.-1 D.1或3 2.若倾斜角为锐角且过点(1,0)的直线1截圆(x+2)+y2=4所得弦长为2，则1的斜率为() A.② B. 2 3 C. D.1 3.已知直线x-my+1=0与⊙C:(x-1)2+y2=4交于A,B两点，写出满足“△ABC面积为V”的m的一个 值 4.已知圆c过点A4,2),与直线y=x相切于点B(2,2). (1)求圆C的方程： (2)若斜率为1的直线1与圆C交于M,V两点，∠MCN=120°，求直线I的方程. 5.己知圆C过点E(-1,-1),F(L,-3),且圆心在直线y=2x-1上 (1)求圆C的标准方程： (2)若过点QL,)的直线I交圆C于A,B两点，且△ABC的面积为2，求直线1的方程. 题型三：相交点坐标及韦达定理 1.直线V3x+y+23=0交圆x2+y2=4于A、B两点，则OA.0B=（) A.-2 B.-1 C.1 D.2 2.已知直线：y=x+2与圆O:x2+y2=4相交于A,B两点，则AB·AO的值为() A.8 B.4v2 219 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.4 D.2 3.记0为坐标原点，若直线y=kx与圆x2+y2-2x-3=0交于A,B两点，且OA=2,则1OB= 4.设A、B为圆x2+y2=1上的两动点，且∠A0B=120°，P为直线1：3x-4y-15=0上一动点，则 PA+PB的最小值为 题型四：圆上的点到直线距离的最值 1.已知P是⊙C:x2+y2+2x-6y+8=0上的动点，则P到直线1：y=x距离的最小值为() A.3√2 B.2V2 C.2 D.1 2.圆(x-1)2+(y-1)2=1上的点到直线x-y-2=0距离的最小值是() A.√2-1 B.1 C.2 D.V2+1 3.已知圆x2+y2+2y-3=0上的点到直线：y=kx+2的最近距离为√5-2，则k= 4.己知圆x2+y2-4x-4y-1=0上的点到直线3x-4y-23=0的距离的最大值是a,最小值是b,则 a+b= 题型五：圆的实际应用 1.某圆拱桥的圆拱的平面图如图所示，该圆拱的跨度AB=24m,拱高OP=8m.为加固该圆拱桥，现决 定建造两根支柱4只，4品（将支柱4码，44视为两条贺段），且4=04=5m,则支柱4品的商度 AB 3/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 为() 夕 D 62 A O A2 B A.8m B.7m C.7.5m D.6.5m 2.已知某岛屿A正西方向120km处有一台风中心，它正向北偏东60°方向移动，移动速度的大小为 20kmh.距台风中心100m以内的地区都将受到影响.若台风中心的这种移动趋势不变，则岛屿A所在地受 到影响的持续时间为小时. 3.在气象台A正西方向100W3km处有一台风中心，它正向北偏东60°方向移动，移动速度的大小为 20kmh,距台风中心100km以内的地区都将受到影响，若台风中心的这种移动趋势不变，则气象台所在地 受到影响的持续时间为 小时. 4.某海面有一台风，当前台风中心位于轮船的正南方200km的O处，台风以20km/h的速度向正东方向移 动，台风侵袭的区域为圆形区域，半径为100km,轮船以20W2km/h的速度向东南方向航行，若将轮船视 为一个质点，则台风侵袭轮船的时长为小时. 题型六：相交弦长的最值 1.已知过原点的直线1与圆C:(x-3)2+(y-4)2=41相交于M,N两点，则MW的最小值为() A.8 B.V39 C.10 D.4V6 2.已知直线1：x+my+1=0与圆0：x2+y2=4相交于A,B两点，则AB的最小值为() A.25 B.2V2 C.√2 D.√5 419 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.已知圆C:x2-4x+y2=0与直线1：m+1)x+2y-3-m=0(m∈R). (1)证明：直线1与圆C相交： (2)设直线1与圆C的交点为A,B,求AB的取值范围。 4.已知圆C的圆心在直线y=2x上，并且经过点P(5,5),与直线y=7相切，直线 1:2m+1)x+m+1y-7m-5=0. (1)求圆C的方程： (2)求直线I被圆C截得的最短弦长及此时m的值. 题型七：圆上的点到直线距离为a的点的个数 1.若圆x2+y2=4上恰有三个点到直线：y=2x+m的距离等于1，则m的值为() A.+2√5 B.±5 C.±3v5 D.5 1.己知圆x2+(y+2)2=2(>0)上到直线y=V3x+2的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是( A.(0,1) B.(1,3) C.(3,+o) D.(0,+0) 3.(多选)已知直线1：mx+y-1-2m=0与圆O:x2+y2=r2(r为半径)恒有两个不同的公共点A,B,则 下列结论正确的有() A.直线1过定点(3,1 B.半径，的取值范围是O,V5 519 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.当r=4时，线段AB的长度的最小值为2√11 .当，=4时，圆0上到直线，的距离为2的点恰好有三个，则m B 能力提升题 题型一：相交三角形面积最值 1.已知直线：x+y+2m=0与圆C:x2+y2+6x-2y=0交于A,B两点，则S。4Bc的最大值为() A.2 B.4 C.5 D.10 2.(多选)已知直线1：y-1=k(x-3与圆C:(x-2)+(y-1)2=1交于4，B两点，则() A.直线1恒过定点(3，-1 B.圆C与x轴相切 C.AB最大值为2 D.△CAB的面积最大值为) 3.已知圆C过点A(3,1),B(5,3),圆心在直线y=x上. (1)求C的标准方程： (2)直线2x-y+1=0与C交于M,N两点，点P为C上任意一点，求△MWP面积的最大值， 4.已知圆c的圆心在直线y=了上，且过圆C上一点M1L3到的切线方程为，=3x· (1)求圆C的方程： (2)设过点M的直线I与圆交于另一点N,求△CMN面积的最大值及此时的直线I的方程. 题型二：圆上的点的相关最值问题 1.(多选)已知实数x,y满足曲线C的方程x2+y2-2x-2=0,则下列选项正确的是() A.x2+y2-4的最小值是-2N3 6/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B. y+ +的最大值是2+V6 C.x-y+3到的最小值是2√2-√5 D.过点0，V2作曲线C的切线，则切线方程为x-√2y+2=0 2.(多选)已知实数x,y满足曲线C的方程x2+y2-4x+1=0,则下列说法正确的是() A.y-x的最大值为√6-2 B.x2+y2的最大值为2+√5 C.兰的最大值为5 D.曲线C上恒有四个点到直线x-y-2m=0的距离等于V3 2 3.(多选)已知实数x,y满足曲线C的方程x2+y2-2x-3=0,则下列选项正确的是() A.x2+y2的最大值是9 B.上42 x+2的最大值是9 C.x+y的最大值是2W2+1 D.K-y+3的最小值是2√2-5 拓展培优题 题型一：数形结合等价转化为距离最值 1.已知实数，x2,%,⅓2满足，x2+y2=1,x2+22=1,xx2+y2=0,则：+-3到+x2+2-3的最大值为 () A.2√2 B.4 C.4V2 D.8 719 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2·已知圆C:(x-4)2+y2=4,A(x,y),B(x,y2)是圆上的两个动点，且4B=2V3，则 x-y+1+x2-y2+的最大值为() A.10-2W2 B.5 2+1 2 C.5+√2 D.10+2√2 3.己知实数，x,满足：x+=4,号+=4，xx2+2=0.则x+片-2+2+2-2的最大值为 4.已知圆C:x-1)2+(0-1)2=4,过点M(2,2)的直线1与圆C交于Ax,,B(:2)两点，则 x,+-6+x2+y2-6的最小值为 题型二：直线与圆的综合应用 1.已知圆C经过点A(1,3)、B(2,2),并且直线m:3x-2y=0平分圆C. (1)求圆C的方程； (2)过点D(0,1),且斜率为k的直线1与圆C有两个不同的交点M,N,且OM.ON=12,求k的值. PA 1 2.已知两个定点40,1'B0,4动点。始终满足P82·记动点，的轨迹为曲线D (1)求曲线D的方程： (2)已知点Q(-4,0),过点Q的直线与曲线D交于M,N两点(M在N,2之间)，若Saov=2Somw（0为 坐标原点)，求直线MN的方程. 3.己知圆C的圆心在x轴上，且过(-1，V3),(2,0). (1)求圆C的方程； (2)过点P(-1,O)的直线与圆C交于E,F两点（点E位于x轴上方），在x轴上是否存在点A,使得当直线 8/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 变化时，均有∠PAE=∠PAF？若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由 4.已知平面上两定点44,0和BL,0),动点M满足MB -2,记点W的轨迹为曲线C (1)求曲线C的方程： ②)设点D在曲线C上运动，记点M为过少、B两点的弦的中点，若直线8与直线：x)交于点N,证明 I BM I BNI恒为定值 (3)若点P、Q在曲线C上，点SV2V2满足直线PS、QS的斜率之积为-2，试问直线PQ是否过定点，若 直线P过定点，求出该定点坐标；若直线PO不过定点，请说明理由. 9/9 2.3直线与圆的位置关系（相交） 题型一：直线与圆的相交弦长 1．已知直线与圆相交于，两点，则等于（ ） A．6 B．8 C．10 D． 【答案】A 【分析】求出圆心坐标与半径，再求出圆心到直线的距离，最后根据计算可得. 【详解】圆的圆心为，半径， 圆心到直线的距离， 所以. 故选：A 2．直线：被圆：所截得的弦长为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】应用平行线间距离公式结合几何法求出弦长. 【详解】由题意得圆心在直线：上，直线，二者之间的距离， 所以圆心到直线的距离为， 所以直线被圆所截得的弦长. 故选:C. 3．已知直线与交于，两点，则的面积为___________. 【答案】 【分析】利用弦长公式求得，进而求得三角形的面积. 【详解】的圆心坐标为，半径， 圆心到直线的距离， 直线被圆截得的弦长为. 面积为. 故答案为：. 4．（多选）已知直线与圆相交于，两点，则（ ） A．圆心的坐标为 B．圆的半径为 C．圆心到直线的距离为 D． 【答案】ACD 【分析】将圆的方程化成标准方程，明确圆心和半径，可判断AB的真假；利用点到直线的距离公式，可判断C的真假；利用“几何法”求弦长，可判断D的真假. 【详解】对于AB，圆的圆心，半径，A正确，B错误； 对于C，点到直线的距离，C正确； 对于D，，D正确． 故选：ACD 题型二：已知弦长求参 1．若直线被圆截得的弦长为，则（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】利用点到直线的距离公式结合弦长可得，求解即可. 【详解】由可知圆的方程为表示圆，所以， 解得或， 圆心，半径为， 所以圆心到直线的距离， 由弦长为可得，所以， 解得或. 故选：D. 2．若倾斜角为锐角且过点的直线截圆所得弦长为，则的斜率为（ ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据题目条件设出直线方程，利用点到直线的距离和直线与圆的弦长公式计算即可求出直线斜率. 【详解】由题可得，直线斜率存在，故设斜率为， 直线的方程：，化为一般式：， 圆圆心坐标为，半径， 设圆心到直线的距离为， 则直线截得圆的弦长，即， 代入得：， 化简计算得：， ，解得：. 故选：A 3．已知直线与交于，两点，写出满足“面积为”的的一个值________. 【答案】（中任意一个皆可以，答案不唯一） 【分析】根据直线与圆的位置关系，求出弦长，以及点到直线的距离，结合面积公式即可解出． 【详解】的圆心为，半径， 设点到直线的距离为，由弦长公式得， 所以，解得或， 由，所以或， 解得或． 故答案为：（中任意一个皆可以，答案不唯一）． 4．已知圆过点，与直线相切于点. (1)求圆的方程； (2)若斜率为1的直线与圆交于，两点，，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据圆与直线相切于点，求出直线的方程，设出圆心坐标，进而求出圆心坐标及半径，即可得到圆的方程. （2）设出直线的方程，根据余弦定理及垂径定理求出圆心到直线的距离，进一步求解即可. 【详解】（1）设圆的圆心为. 由题意可知，直线与直线垂直，所以. 所以直线的方程为，即. 可设圆心坐标为，则，即. 整理得，解得，则圆心坐标为，半径. 所以圆的方程为. （2）在中， ， 则. 设圆心到直线的距离为，根据垂径定理可知. 设直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离. 所以，即，解得或. 所以直线的方程为或. 5．已知圆过点，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)若过点的直线交圆于两点，且的面积为2，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）方法一，求出线段的垂直平分线，其与的交点即为圆心，求出的长即为半径，即可求出答案；方法二，设圆方程为，将坐标代入，结合圆心在直线上，求出，化为标准方程即可得答案； （2）设圆心到直线的距离为，根据三角形面积公式或求出，分为直线斜率不存在和存在两种情况，结合点到直线的距离公式即可得到答案. 【详解】（1）解法一：由题意可得线段的中点坐标为， 直线的斜率， 因此线段的垂直平分线的斜率为1， 所以线段的垂直平分线方程为，即， 又因为圆心在直线上，联立方程：，解得， 即圆心， 半径， 所以圆的标准方程为. 解法二：设圆方程为， 把两点代入得， 又因为圆心在直线上，所以，即， 解得， 所以圆方程为， 即圆的标准方程为. （2）解法一：设圆心到直线的距离为， 所以弦长， 由的面积得：，即， 两边平方整理：， 解得，又因为，所以. ①当直线斜率不存在时， 则直线方程为，圆心到直线距离为，舍去. ②当直线斜率存在时， 设直线的方程为，即， 由点到直线距离公式：，即， 两边平方整理：， 即，解得或， 当时，直线方程为，即， 当时，直线方程为，即， 综上所述，直线的方程为或， 解法二：因为的面积， 所以， 因为，所以， 所以，所以圆心到直线的距离为. （注：后面解题步骤同上） 题型三：相交点坐标及韦达定理 1．直线交圆于、两点，则（ ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】直线与圆方程联立，求出点坐标，再根据平面向量数量积的坐标运算，可求. 【详解】联立解得：，， 所以. 故选：D 2．已知直线与圆相交于，两点，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】联立直线与圆的方程求A、B的坐标，再由向量数量积的坐标表示即可求. 【详解】由题意，联立，有，解得，， ∴若，则，则. 故选：C. 3．记为坐标原点，若直线与圆交于A，B两点，且，则__________. 【答案】/1.5 【分析】求出圆与轴的交点，利用三角形相似可得，即可得解. 【详解】令，代入圆的方程中，可得， 即圆与轴的两个交点为， 直线过原点且与圆交于两点， 由，可知和相似， 可得，即， 从而， 故答案为： 4．设为圆上的两动点，且，为直线上一动点，则的最小值为______. 【答案】5 【分析】取中点，求出点轨迹方程，，转化求点到直线上点的距离的最小值，由此计算可得. 【详解】设是中点，因为，所以， 即在以原点为圆心，为半径的圆上， 所以，所以， 又，所以，所以. 故答案为：5 题型四：圆上的点到直线距离的最值 1．已知P是：上的动点，则P到直线l：距离的最小值为（ ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据直线与圆的位置关系可知，点P到直线的距离的最小值为圆心到直线的距离减去圆的半径． 【详解】圆C的方程可化为， 所以，半径， 则C到直线l：的距离为， 所以所求距离的最小值为． 故选：C 2．圆上的点到直线距离的最小值是（ ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】根据圆的标准方程确定圆心和半径，再根据直线方程，利用点到直线的距离公式，计算出圆心到直线的距离d，根据的大小关系，得出直线和圆不相交，从而得出距离的最小值为. 【详解】已知圆的标准方程为：，则其圆心,半径. 直线方程为，根据点到直线的距离公式计算圆心到直线的距离为： . 因为，那么圆与直线相离. 因此，圆上点到直线的最小距离为圆心到直线的距离减去半径，即： 故选:A. 3．已知圆上的点到直线的最近距离为，则k=__________. 【答案】 【分析】利用点线距离公式求圆心到的距离，由列方程求参数. 【详解】由圆的标准方程为，则圆心为，半径为， 所以，圆心到的距离，则， 所以，可得. 故答案为： 4．已知圆上的点到直线的距离的最大值是，最小值是，则_____________. 【答案】 【分析】求出圆心到直线的距离，根据直线与圆的位置关系可得的值. 【详解】可化为，圆心，半径， 圆心到直线的距离， 则直线与圆相离， 故，，则. 故答案为： 题型五：圆的实际应用 1．某圆拱桥的圆拱的平面图如图所示，该圆拱的跨度，拱高．为加固该圆拱桥，现决定建造两根支柱，（将支柱，视为两条线段），且，则支柱的高度为（ ） A．8m B．7m C．7.5m D．6.5m 【答案】B 【分析】以为原点，为轴，为轴，建立直角坐标系，求解圆的方程，再将坐标代入求解即可. 【详解】由题意可得，，圆拱的跨度，拱高，所以， 如图，以为原点，为轴，为轴，建立直角坐标系， 设圆心，半径为，所以圆：， ，，， 所以，解得，， 所以圆：， 将代入，因为，解得， 所以. 故选：B. 2．已知某岛屿正西方向处有一台风中心，它正向北偏东60°方向移动，移动速度的大小为.距台风中心以内的地区都将受到影响.若台风中心的这种移动趋势不变，则岛屿所在地受到影响的持续时间为______小时. 【答案】 【分析】设直角坐标系的原点为台风中心，求出以为圆心，以为半径的圆与直线所得弦长即可. 【详解】如图，设直角坐标系的原点为台风中心，轴正半轴上存在岛屿， 且台风中心在第一象限沿着直线运动， 以为圆心，以为半径的圆与直线交于两点， 因为点到直线的距离， 则， 则岛屿所在地受到影响的持续时间为小时. 故答案为： 3．在气象台正西方向处有一台风中心，它正向北偏东方向移动，移动速度的大小为，距台风中心以内的地区都将受到影响，若台风中心的这种移动趋势不变，则气象台所在地受到影响的持续时间为___________小时． 【答案】5 【分析】以气象台为圆心，作半径为100的圆交台风轨迹于CD两点，计算CD两点的长度即可求得气象台所在地受到台风影响的时间． 【详解】如图所示，可设台风中心初始位置为，气象台为，， 以A为圆心，为半径作圆A交台风运动轨迹于C、D两点，CD为圆A的弦， 而台风向北偏东移动，可知， 过作BD的垂线，垂足为E， 在直角中，，则， 在直角中，由勾股定理得， 所以， 故持续时间为小时． 故答案为：5． 4．某海面有一台风，当前台风中心位于轮船的正南方的处，台风以的速度向正东方向移动，台风侵袭的区域为圆形区域，半径为，轮船以的速度向东南方向航行，若将轮船视为一个质点，则台风侵袭轮船的时长为______小时. 【答案】10 【分析】建立平面直角坐标系，小时后，台风侵袭的区域对应的圆的方程为，则台风侵袭轮船等价于，建立不等式求解即可. 【详解】以为坐标原点，台风移动的方向为轴的正方向，建立平面直角坐标系， 则小时后，台风侵袭的区域对应的圆的方程为，圆心， 此时轮船的位置为， 则台风侵袭轮船等价于， 所以，解得， 所以台风侵袭轮船的时长为小时. 故答案为：10. 题型六：相交弦长的最值 1．已知过原点的直线与圆相交于两点，则的最小值为（ ） A．8 B． C．10 D． 【答案】A 【分析】由原点在已知圆内部，确定当直线时，弦长最小，进而可求解. 【详解】由，即原点在已知圆内部， 由于直线过原点，要使最小，只需直线， 而， 所以最小. 故选：A 2．已知直线：与圆：相交于，两点，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出直线恒过的定点，由几何法可知当时，最小，用勾股定理求出。 【详解】直线恒过定点， 当时，圆心到直线的距离最大值为， 此时取得最小值,根据勾股定理：. 故选：A. 3．已知圆与直线. (1)证明：直线与圆相交； (2)设直线与圆的交点为，，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）先判断直线经过定点，且定点在圆内，所以直线与圆相交； （2）因为直线经过圆内的定点，所以圆心距，再由圆的弦长公式可得弦长的范围. 【详解】（1）由圆，得，圆心，半径. 再由直线，即， 令，解得，所以直线经过定点， 且，所以点在圆内，故直线经过圆内一个定点， 故直线与圆相交. （2）如图：过C点作，则，当且仅当M与N重合时等号成立. 所以，且，所以. 故的取值范围为. 4．已知圆的圆心在直线上，并且经过点，与直线相切，直线 (1)求圆的方程； (2)求直线被圆截得的最短弦长及此时的值. 【答案】(1) (2)最短弦长为，此时 【分析】（1）由圆心在直线上，设出圆心坐标，然后利用圆与直线相切，且过点，得出圆心到直线的距离为圆心到点的距离且为圆的半径列出方程，解出，然后求出圆心和半径即可； （2）先求直线恒过的定点，画出图形，分析得出直线被圆截得的弦长最短时的位置，然后利用几何法求出最短弦长以及此时对应的值. 【详解】（1）因为圆的圆心在直线上，设圆的圆心为， 因为圆与直线相切，且过点， 所以有：，整理得， 解得，所以圆心，半径， 所以圆的方程为：. （2）， 即， 由，得， 所以当，时，无论取何值，方程都成立， 即直线恒过定点， 如图，当时，直线被圆截得的弦长最短， 因为，所以当直线被圆截得的弦长最短时，直线的斜率为， 由直线， 斜率，即，解得：， 此时，， 所以弦长为：， 故当时，直线被圆截得的弦长最短， 最短弦长为，此时. 题型七：圆上的点到直线距离为的点的个数 1．若圆上恰有三个点到直线的距离等于1，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆上点到直线距离为1的点的个数可知圆心到直线的距离为1，计算可得结果. 【详解】易知圆的圆心为，半径为2， 若圆上恰有三个点到直线的距离等于1可知圆心到直线的距离为1， 即，解得. 故选：B 1．已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出圆心到直线的距离，然后结合图象，即可得出结论. 【详解】由题意， 在圆中，圆心，半径为， 到直线的距离为的点有且仅有个， ∵圆心到直线的距离为：， 故由图可知， 当时， 圆上有且仅有一个点（点）到直线的距离等于； 当时， 圆上有且仅有三个点（点）到直线的距离等于； 当则的取值范围为时， 圆上有且仅有两个点到直线的距离等于. 故选：B. 3．（多选）已知直线与圆（为半径）恒有两个不同的公共点，则下列结论正确的有（ ） A．直线过定点 B．半径的取值范围是 C．当时，线段的长度的最小值为 D．当时，圆上到直线的距离为2的点恰好有三个，则 【答案】CD 【分析】首先直线变形为，可得直线过定点即可判断A；根据定点与圆的位置关系，即可判断B；当定点为弦的中点时，此时弦长最短，即可判断C；根据题意转化为圆心到直线的距离为2，即可判断D. 【详解】A.直线，所以直线恒过点，故A错误； B.若直线恒与圆有2个交点，则定点在圆的内部，即，，得，故B错误； C.当定点为弦的中点时，此时弦长最短，，时，此时最短弦，故C正确； D.当时，圆上到直线的距离为2的点恰好有三个，则圆心到直线的距离等于2，则，得，故D正确. 故选：CD 题型一：相交三角形面积最值 1．已知直线与圆交于A，B两点，则的最大值为（ ） A．2 B．4 C．5 D．10 【答案】B 【分析】确定直线所过的定点，再求出圆心到该定点的距离，进而确定圆心到直线距离的取值范围，最后根据三角形面积公式求出面积的最大值. 【详解】直线过定点，圆， 易知 设到距离为， ， 当时，. 故选:B． 2．（多选）已知直线与圆交于两点，则（ ） A．直线恒过定点 B．圆与轴相切 C．最大值为2 D．的面积最大值为 【答案】BCD 【分析】选项A，当时，，可判断；选项B，圆心到轴的距离为半径可判断；选项C，直线的定点在圆上，故最大为直径2；选项D，设到的距离为，则，进而可得. 【详解】选项A：当时，，故直线恒过定点，故A错误； 选项B：圆的圆心为，半径为，由圆心到轴的距离为，即等于半径， 故圆与轴相切，故B正确； 选项C：由题意在圆上， 故当为圆的直径时，最大为2，故C正确； 选项D：设到的距离为，则，， ， 当且仅当，即时等号成立. 故D正确， 故选：BCD 3．已知圆过点，，圆心在直线上. (1)求的标准方程； (2)直线与交于，两点，点为上任意一点，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意设圆的标准方程为.将两点的坐标代入方程，求出的值，即可得解； （2）求出圆心到直线的距离，再利用几何法求出弦长，分析出点到直线的最大距离为，再根据三角形的面积公式计算即可得解. 【详解】（1）因为圆心在直线上，所以设圆心为，半径为， 则圆的标准方程为. 因为圆过点，， 所以，即. 将上面两式相减，消去，可得，解得， 将其代入，解得. 所以圆的标准方程为； （2）由（1）知圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离为， 则，要使面积的最大， 只须点到直线的距离最大，最大距离为， 故面积的最大值为. 4．已知圆的圆心在直线上，且过圆上一点的切线方程为． (1)求圆的方程； (2)设过点的直线与圆交于另一点，求面积的最大值及此时的直线的方程． 【答案】(1)； (2)，或． 【分析】（1）先根据切线与过切点的半径所在直线垂直，得直线的方程，与联立，可得圆心坐标，再求半径，可得圆的标准方程. （2）结合基本不等式可求面积的最大值，并确定圆心到直线的距离.根据点到直线的距离公式可求直线的斜率，可得直线的方程. 【详解】（1）如图，由题意，过点的直径所在直线方程为， 联立，解得. 圆心坐标为，半径， 圆的方程为. （2）设圆心到直线的距离为， 则的面积， 由于， 当，即时面积最大为． 当直线斜率不存在时，直线方程为，此时到的距离为； 故直线斜率存在，设为，则直线的方程为， 由到的距离， 解得或，故此时直线方程为或． 题型二：圆上的点的相关最值问题 1．（多选）已知实数满足曲线的方程，则下列选项正确的是（ ） A．的最小值是 B．的最大值是 C．的最小值是 D．过点作曲线的切线，则切线方程为 【答案】ABD 【分析】选项A转化为两点间距离公式的平方即可求解；选项B转化为斜率即可求解；选项C转化为点到直线的距离的倍即可求解；选项D设出切线方程，根据点到直线的距离为半径即可求解 【详解】曲线的方程可化为，它表示圆心为，半径为的圆. 对于A，表示圆上的点到原点的距离的平方， 则它的最小值为， 此时的最小值是，故A正确； 对于B，表示圆上的点与点的连线的斜率， 则该直线的方程为，即 由圆心到直线的距离， 解得，故B正确； 对于C，设是曲线上任意一点， 则到直线的距离为， 所以表示曲线上任意一点到直线的距离的倍， 而圆心到直线的距离， 所以其最小值为，故C错误； 对于D，因为点在圆上， 的斜率为，则过点的切线斜率为， 故切线方程为，即，故D正确. 故选：ABD. 2．（多选）已知实数x，y满足曲线C的方程，则下列说法正确的是（ ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．曲线C上恒有四个点到直线的距离等于 【答案】AD 【分析】令，，，根据其几何意义求解判断ABC，先求出直线所过的定点，然后求出圆上的点到直线距离的最大值，即可判断D. 【详解】根据题意，方程，即， 表示圆心为，半径为的圆， 对于A，设，即， 直线与圆有公共点， 所以，解得 则的最大值为，故A正确； 对于B，设，其几何意义为圆上的点到原点的距离， 所以的最大值为， 故的最大值为，故B错误； 对于C，设，则，直线与圆有公共点， 则，解得，即的最大值为，故C错误； 对于D，直线化为， 令，解得， 所以直线过圆心， 则圆上的点到直线距离的最大值为，且直线与圆相交， 因为， 所以曲线C上恒有四个点到直线的距离等于，故D正确. 故选：AD. 3．（多选）已知实数，满足曲线的方程，则下列选项正确的是（ ） A．的最大值是9 B．的最大值是9 C．的最大值是 D．的最小值是 【答案】AC 【分析】先将曲线的方程化为标准方程，确定其几何图形，再根据不同选项的要求，结合圆的性质进行分析. 【详解】曲线的方程可化为， 令，其几何意义是圆上的点到原点的距离的平方， 圆心到原点的距离为， 圆上的点到原点的最大距离为圆心到原点的距离加上半径，即， 的最大值为，正确. 设，其几何意义是圆上的点与点连线的斜率， 则可化为，即， 直线与圆有公共点，圆心到直线的距离小于半径， 即，化简得，解得， 的最大值为，错误. 设，则，其几何意义是直线在轴上的截距， 当直线与圆相切时的截距取得最值， 圆心到直线的距离，即， 解得或， 的最大值是，正确. 设，即，其几何意义是直线在轴上的截距， 当直线与圆相切时取得最值， 圆心到直线的距离，即， 解得或， 的最小值是，错误. 故选：. 题型一：数形结合等价转化为距离最值 1．已知实数满足，，则的最大值为（ ） A． B．4 C． D．8 【答案】D 【分析】依题可得点在圆上，且，原问题等价为求解点和点到直线距离之和的倍的最大值，据此数形结合确定的最大值即可. 【详解】 由题意，可知在圆上， 由,可得,则, 因， 而和可理解为点到直线的距离和. 如图，取中点，连接,分别作于点，于点，于点， 则，且. 又,即点的轨迹方程为， 要使最大值，需使取最大值， 由图知，显然当线段经过圆心时，的值最大. 由点到直线的距离为， 故，此时， 故. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查距离公式的应用，等价转化、数形结合的思想，属于难题. 解题关键在于根据条件数形结合，将两个方程理解为单位圆上的两点，由条件得，将所求式理解为点到直线距离之和的倍，根据圆的性质和梯形中位线性质即可求得其最大值. 2．已知圆是圆上的两个动点，且，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出中点M的轨迹方程为圆，所求式子可转化为M到直线的距离，利用圆的性质即可得出最大值. 【详解】如图， 圆，圆心为点，设线段的中点为， 得，所以点的轨迹是以点为圆心，1为半径的圆， 即为可看作点到直线的距离， 同理，可看作点到直线的距离， 因此可看作点到直线的距离， 于是点到直线的距离最大值即，则，即，故D正确． 故选：D 3．已知实数满足：则的最大值为__________. 【答案】8 【分析】根据题意可得点在以原点为圆心，半径为2的圆上，进而把转化为点到直线的距离问题求解即可. 【详解】由，，，可设点， 且，因此，点在以原点为圆心，半径为2的圆上， 故， 所求最大值可转化为点到直线的距离的和的最大值的倍. 由下图可知，直线与圆相交，则点在优弧上的时候所求距离最大， 从作直线的垂线，垂足分别为，则, 所以四边形是梯形，分别取的中点，则. 于是所求距离的最大值等于点的中点到直线距离的最大值的倍. 设，由得，即， 故点的中点坐标为， 则点的中点到直线的距离为， 当时，， 则的最大值为． 故答案为：8 4．已知圆，过点的直线与圆交于两点，则的最小值为_____________． 【答案】4 【分析】根据表示，两点到直线的距离之和的倍，结合，两点到直线的距离之和等于线段的中点到直线距离的2倍，根据题意分析可得中点的轨迹是以为直径的圆，从而求出到直线距离的最小值的倍即可得到答案. 【详解】由题可得：， 所以表示，两点到直线距离之和的倍， 根据题意作出图形如下： 如图，设，的中点为， 且，，在直线的投影分别为，，， 圆心到直线的距离， 所以直线与圆相离，易得，即， 所以点在以为直径的圆上，其圆心为，半径为， 由图可得： 由于到直线的距离， 所以， 即的最小值为. 故答案为：4 题型二：直线与圆的综合应用 1．已知圆经过点、，并且直线：平分圆． (1)求圆的方程； (2)过点，且斜率为的直线与圆有两个不同的交点，且，求k的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）利用待定系数法即可得解； （2）联立直线与圆的方程得到，从而化简得到关于k的方程，解之即可得解. 【详解】（1）设圆C的标准方程为， 因为直线m：平分圆C的面积， 所以直线过圆心，即， 则，解得， 圆的方程为； （2）由题意直线的方程为， 联立，消去得， 设， 则，得， 故， 而， 所以 ， 故有，解得，满足， 所以. 2．已知两个定点，动点始终满足．记动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)已知点，过点的直线与曲线交于两点（在之间），若（为坐标原点），求直线的方程． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）设点，利用，计算即可. （2）由，得，由勾股定理得，，计算得，，利用，求出直线的斜率计算即可. 法二：设直线为：，点，，由，得：，直线方程与圆方程联立，利用韦达定理得：，代入直线方程计算即可. 【详解】（1）设点， ，， 由题可得， 化简得：， 曲线D的方程为； （2）如图， 取中点为点，则, 由， ，即， 为的中点， 设，则， 由勾股定理得： ① ② ①-②，得：， 代入①式得：， ， ， ， 由对称性得， ， 直线的方程为， 即． 法二：由图形特征，直线斜率为0不符合题意， 设直线为：，点，， 由， 为的中点，即， 直线方程与圆方程联立， 整理得：， ， 由韦达定理得：，， ， ，， ，化简得：， ，解得：， ， 直线的方程为：， 即直线的方程为：． 3．已知圆的圆心在轴上，且过． (1)求圆的方程； (2)过点的直线与圆交于两点（点位于轴上方），在轴上是否存在点，使得当直线变化时，均有？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，且 【分析】（1）设出圆的方程，借助代入所过点的坐标计算即可得； （2）圆问题可转化为在轴上是否存在点，使，设出直线方程，联立曲线，借助韦达定理与斜率公式计算即可得. 【详解】（1）设圆为，则有， 解得，故圆的方程为； （2）由题意可得，直线斜率不为，故可设，，， 联立，有， ， ，， 设，，由，则有， 即， 即， ， 即， 则当时，恒成立， 故存在定点，使得当直线变化时，均有. 4．已知平面上两定点和，动点M满足，记点M的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)设点D在曲线C上运动，记点M为过D、B两点的弦的中点，若直线与直线交于点N，证明：恒为定值； (3)若点P、Q在曲线C上，点满足直线、的斜率之积为，试问直线是否过定点，若直线过定点，求出该定点坐标；若直线不过定点，请说明理由. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)； 【分析】（1）根据两点间的距离公式可得曲线的方程； （2）设直线联立得出韦达定理结合弦长公式计算证明； （3）设直线为及，结合斜率之积计算得出，进而得出定点. 【详解】（1）设,因为，，所以， 所以，化简可得， 所以曲线的方程为. （2）若直线的斜率为0，则， 若直线的斜率不为0， 设直线为，直线与曲线C交点为， 联立 所以，所以， D、B两点的弦的中点的纵坐标为， 联立与，所以的纵坐标为， ， 所以恒为定值； （3）设直线为，， 联立， 所以， 所以， 又因为点满足直线、的斜率之积为， 所以， 所以， 所以， 即得， 化简得， 所以， 所以或， 当时，即，直线为，定点为； 当时，即， 直线为，定点为不满足直线、的斜率存在，不合题意舍； 当直线为，，直线、的斜率之积为， 所以，所以， 即得，所以或舍； 综上，直线过定点； 1 / 37 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $