2.5.1 直线与圆的位置关系(创新拔高)课时练习 2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.5.1 直线与圆的位置关系 1.已知圆，直线恒过定点P，A是直线l与圆M的一个交点，则的最大值为( ) A. B. C. D. 2.德国数学家米勒曾提出最大视角问题：已知点A，B是的边ON上的两个定点，C是边OM上的一个动点，当C在何处时，最大？结论是：当且仅当的外接圆与边OM相切于点C时，最大.人们称这一命题为米勒定理.在平面直角坐标系内，已知，，点P是直线上一动点，当最大时，点P的坐标为( ) A. B. C. D. 3.已知圆，直线l过点，且交圆O于P，Q两点，则使弦长为整数的直线l的条数为( ) A.18 B.20 C.22 D.24 4.已知圆，直线，P为l上的动点，过点P作圆M的切线，，切点为A，B，当最小时，直线的方程为( ) A. B. C. D. 5.已知的半径为1，直线与相切于点A，直线与交于B，C两点，D为的中点，若，则的最大值为( ) A. B. C.1 D. 6.在平面直角坐标系中，已知射线，，半圆，现从点向x轴上方区域的某方向发射一束光线，光线沿直线传播，但遇到射线，时会发生镜面反射.设光线在发生反射前所在直线的斜率为k，若光线始终与半圆C没有交点，则k的取值范围为( ) A. B. C. D. 7.（多选）已知直线，过直线上任意一点M作圆的两条切线，切点分别为A，B，则下列说法正确的是( ) A.若四边形MACB的面积为12，则点 B.最大度数为 C.直线AB过定点 D.|AB|的最小值为 8.（多选）已知直线l经过，两点，P为l上的动点，过点P作圆的两条切线，切点分别为M，N，且Q为圆C上一点，则( ) A. B.的值可以为 C.的值可以为 D.直线MN一定过坐标原点 9.已知点，点，点C满足，过点C作圆的两条切线，切点分别为P，Q，则的最小值是______. 10.若直线与曲线恰有两个公共点，则实数b的取值范围为__________. 11.已知圆C的方程为，直线l的方程为，直线l被圆C截得的弦中长度为整数的共有__________条. 12.如图，已知点，圆. （1）求过点P且与圆O相切的直线的方程. （2）设圆O与x轴的正半轴的交点是Q，斜率为k的直线l过点P，且与圆O交于不同的两点A，B. （ⅰ）设直线QA，QB的斜率分别是，，求证：为定值； （ⅱ）设AB的中点为M，点，当，且k为整数时，求以MN为直径的圆的方程. 答案以及解析 1.答案：D 解析：直线变形为，令和，解得，，所以直线l恒过定点.因为圆，所以圆M的圆心.因为，所以点P在圆M内部，即直线l与圆M相交.因为点A在圆M上，设（为参数），所以，所以当时，取得最大值，故选D. 2.答案：C 解析：如图，由点，，可得线段MN的垂直平分线的方程为，设的外接圆的圆心为，其中，且圆C的半径为r，因为直线与圆C相切，可得.又由，所以，解得或（舍去），即圆心.又由，可得，解得，则直线PC的方程为，即，联立方程组解得即点P的坐标为.故选C. 3.答案：B 解析：圆O的半径，因为，所以点M在圆O内.过点O作，垂足为C，连接OM，OP，如图所示， 设， 则有， 所以当，即M，C两点重合时，取得最小值， 为， 当PQ为圆O的直径时，取得最大值，为， 所以. 当时，表示圆O内过点M的最短弦，只有1条； 当时，表示圆O内过点M的最长弦，只有1条； 当时， 由圆的对称性可知，圆O内过点M的弦有2条. 故使弦长为整数的直线l的条数为. 4.答案：D 解析：， 所以圆M的圆心为，半径， 如图1，设与交于点N，则， 因为， 所以， 从而，故， 所以当最小时，也最小，而最小时应有，如图2， 因为直线l的斜率为，所以的斜率为， 故的方程为，整理得：， 联立解得：，所以， 由切点弦结论可知直线的方程为， 整理得：. 5.答案：A 解析：根据题意作出图形与坐标系，如图，因为， 所以可设，连接，因为，直线与相切， 所以，，连接，因为D为的中点，所以， 设，则，. 当点A和点D在x轴同侧时， ， 又，所以， 当时，取得最大值， 所以的最大值为； 当点A和点D在x轴异侧时， ， 又，所以， 当时，取得最大值， 所以的最大值为1. 综上可知，的最大值为.故选A. 6.答案：A 解析：由题意知半圆C的圆心为，半径为1，反射前光线所在直线方程为. ①当光线不发生反射时，光线所在直线的斜率， 若此时光线与半圆C无交点，则半圆圆心到光线所在直线的距离， 解得，即. ②当光线只发生一次反射时，反射光线不与x轴非负半轴相交， 由，得则反射光线所在直线方程为， 即，所以，解得. 令半圆圆心到反射光线所在直线的距离，解得， 又，所以此时要使光线与半圆C没有交点，则. ③当光线发生两次反射时，讨论如下. 当时，第一次反射后光线所在直线与x轴非负半轴有交点， 交点为，则第二次反射后光线所在直线方程为， 所以，解得. 令半圆圆心到第二次反射光线的距离，得， 故此时要使光线与半圆C无交点，则. 当时，易知第一次反射后光线过点A，第二次反射后光线所在直线方程为，与半圆C没有交点.综上，. ④当光线发生三次反射时，由得 则第三次反射光线所在直线方程为， 即，所以，即. 令半圆圆心到第三次反射光线的距离，得， 故此时要使光线与半圆C无交点，则. 综上，k的取值范围为.故选A. 7.答案：CD 解析：由题可知圆C的圆心为，半径为2.对于A，设，连接MC，则，则，又，所以，又，所以，解得或，所以点M的坐标为或，A错误；对于B，因为，所以要使最大，只需最大，又，所以当时，最小，为，此时最大，，故的最大度数不是，B错误；对于C，直线AB的方程为，整理得，代入，得，由得所以直线AB过定点，C正确；对于D，设直线AB所过定点为P，则，当时，弦长最小，此时，则的最小值为，D正确. 8.答案：AD 解析：根据题意画图，如图所示，圆可化为，其圆心，半径，直线，即.对于A，，则，因此，A正确；对于B，点C到直线l的距离，则，若，即，解得，则，，，矛盾，B错误；对于C，.又因为，所以，，C错误；对于D，设点，以线段PC为直径的圆为，即，与圆C的方程相减得直线，此直线恒过坐标原点，D正确.故选AD. 9.答案： 解析：设，因为，所以，化简得，所以点C在以原点O为圆心，为半径的圆上.圆D的圆心为，半径为1，连接CD，设，则.连接OD，则，所以，所以.因为函数在上单调递增，所以当，即时，取最小值，最小值为. 10.答案： 解析：由题意知，曲线可化为，则曲线E表示以为圆心，半径的半圆，且.当直线与半圆相切时，可得圆心到直线的距离，解得或（舍去），因为直线与曲线恰有两个公共点，如图所示，当直线经过时为临界情况，此时，所以当时，直线与曲线恰有两个公共点. 11.答案：8 解析：方法一：直线可化为，由可得即直线l过定点. 因为，所以点在圆C内，且当点为直线l被圆C截得的弦的中点时，弦长最短，点到圆心的距离，所以直线l被圆C截得的最短弦长为；最长的弦为直径，长度为10，所以弦长的取值范围是.由圆的对称性可知弦长为7，8，9的直线各两条，弦长为6，10的直线各一条，所以截得的弦中长度为整数的直线共有8条. 方法二：圆C的圆心到直线l的距离，故弦长为，要使弦长为整数，令（k为平方数），整理得，令，整理得（*），，解得，即，则，即，当或100时，，方程（*）各有一解，当时，，方程（*）各有两个不同的解，即方程（*）共有8个不同的解，因此符合题意的直线有8条. 12.答案：（1）或 （2）（ⅰ）证明见解析 （ⅱ） 解析：（1）圆的圆心为，半径等于2，显然有一条切线方程为. 当切线的斜率存在时，因为点不在圆O上， 所以切线的方程可设为. 根据圆心到切线的距离等于半径，可得，解得， 故切线的方程为，即. 综上可得，过点P且与圆O相切的直线方程为或. （2）（ⅰ）由题意知l的方程为. 由得. 设，，则，. 又， 所以， 即为定值，且定值是. （ⅱ）设中点，由（ⅰ）知，① 代入直线l的方程得.② 由，得，化简得 将①②代入得，解得或， 又k为整数，所以. 当时，，，即， 可得MN的中点为，， 故以MN为直径的圆的方程为. 学科网（北京）股份有限公司 $