11.7 二次根式的加减法（第2课时）课件 2026-2027学年北京版数学八年级上册

第11章 实数和二次根式 11.7 二次根式的加减法 （第2课时）二次根式的混合运算 八年级上册　数学（北京版） 学习目标 本课学习目标 运算 按顺序完成二次根式混合运算。 公式 会选择分配律、平方差与完全平方公式。 检验 用符号、结构与近似值检查结果。 复习引入 根式运算与整式运算 共同规则 先括号，再乘方，再乘除，最后加减。 不同之处 每次运算后需要化简二次根式、合并同类根式。 知识讲授 分配律 单项乘多项 。 根式照用 把根式看作数，每一项都要乘，不漏掉负号。 随堂探究 探究　分配律预热 计算。 答： 解 分别相乘得6与。 把化为。 方法：用分配律逐项相乘，再化简合并。 注意：括号内每一项都必须相乘。 例题讲解 例 3 计算： （1） （2） 解第（1）题 分配得到。 分别化为与。 方法：用分配律逐项相乘，再化简合并。 注意：括号内每一项都必须相乘。 例题讲解 例 3 计算： （1） （2） 解第（2）题 展开得。 化简后合并同类根式。 方法：用分配律逐项相乘，再化简合并。 注意：括号内每一项都必须相乘。 随堂探究 探究　例题变式：先化简还是先分配 计算，给出两种方法。 答： 解 先化简：。 先分配：。 方法：用分配律逐项相乘，再化简合并。 注意：括号内每一项都必须相乘。 知识讲授 平方差公式 结构 两个因式中一项相同，另一项互为相反数。 公式 ，适用于根式整体。 知识讲授 完全平方公式 和的平方 。 差的平方 ，中间项不能漏。 例题讲解 例 4 计算： （1） （2） 解第（1）题 平方差得。 。 方法：识别平方差或完全平方公式。 注意：差的平方不等于平方的差。 例题讲解 例 4 计算： （1） （2） 解第（2）题 完全平方为。 化简。 方法：识别平方差或完全平方公式。 注意：差的平方不等于平方的差。 随堂探究 探究　例题变式：公式选择 计算与。 答：前者2，后者。 解 前者用平方差公式。 后者用完全平方公式，保留中间项。 方法：识别平方差或完全平方公式。 注意：差的平方不等于平方的差。 随堂探究 辨析　公式使用判断 （1）。 × 理由：漏掉中间项。 （2）。 √ 理由：平方差为5−4。 （3）。 × 理由：系数也平方，应为12。 方法：逐句判断，再用定义或反例说明。 注意：判断结论同时检查取值条件。 课堂练习 练习　二次根式混合运算 计算： （1） （2） （3） （4） 解第（1）题 括号先化为。 再乘。 方法：先化简括号内同类根式，再相乘。 注意：负系数在乘法中要保留。 课堂练习 练习　二次根式混合运算 计算： （1） （2） （3） （4） 解第（2）题 分配得。 化简第一项为，两项不同类，保留相减。 方法：逐项相乘。 注意：注意两项的被开方数是否相同。 课堂练习 练习　二次根式混合运算 计算： （1） （2） （3） （4） 解第（3）题 平方差为6−3。 方法：识别平方差或完全平方公式。 注意：差的平方不等于平方的差。 课堂练习 练习　二次根式混合运算 计算： （1） （2） （3） （4） 解第（4）题 平方差为12−2。 方法：识别平方差或完全平方公式。 注意：差的平方不等于平方的差。 课堂练习 练习　二次根式混合运算 计算： （5） （6） 解第（5）题 平方项为5与1，中间项。 方法：识别平方差或完全平方公式。 注意：差的平方不等于平方的差。 课堂练习 练习　二次根式混合运算 计算： （5） （6） 解第（6）题 平方项45与2，中间项。 方法：识别平方差或完全平方公式。 注意：差的平方不等于平方的差。 归纳总结 阶段整理：先看结构 公式明显 平方差或完全平方的结构，先选公式。 没有公式 用分配律展开，再化简和合并。 最终检查 没有可提出的平方因子，能合并的项已合并。 随堂探究 探究　结果为零的抵消 计算。 答： 解 展开前式为。 两式相减全部抵消。 方法：识别平方差或完全平方公式。 注意：差的平方不等于平方的差。 随堂探究 探究　乘法公式倒用 把写成一个完全平方。 答： 解 。 中间项。 方法：识别平方差或完全平方公式。 注意：差的平方不等于平方的差。 随堂探究 探究　符号检查 的结果是正数吗？ 答：是。 解 平方值非负，且，所以大于零。 数值约为2.515。 方法：识别平方差或完全平方公式。 注意：差的平方不等于平方的差。 课堂总结 二次根式的混合运算 顺序 先括号、乘方、乘除，再加减。 分配律 逐项相乘，不漏符号。 公式 平方差与完全平方。 整理 化最简并合并同类根式。 特别提醒：差的平方不等于平方的差。 针对训练 训练1　选择公式 适合用什么公式？求值。 答：平方差公式，结果9。 解 。 方法：识别平方差或完全平方公式。 注意：差的平方不等于平方的差。 针对训练 训练2　直接分配 计算。 答： 解 括号为，乘积12。 方法：用分配律逐项相乘，再化简合并。 注意：括号内每一项都必须相乘。 针对训练 训练3　负号分配 计算。 答： 解 分别相乘，负负得正。 方法：用分配律逐项相乘，再化简合并。 注意：括号内每一项都必须相乘。 针对训练 训练4　完全平方 计算。 答： 解 平方项7与4，中间项。 方法：识别平方差或完全平方公式。 注意：差的平方不等于平方的差。 针对训练 训练5　平方差 计算。 答： 解 。 方法：识别平方差或完全平方公式。 注意：差的平方不等于平方的差。 针对训练 训练6　差的平方 计算。 答： 解 完全平方为12−+1。 方法：识别平方差或完全平方公式。 注意：差的平方不等于平方的差。 针对训练 训练7　多项相乘 计算。 答： 解 先把化为。 展开得。 方法：用分配律逐项相乘，再化简合并。 注意：括号内每一项都必须相乘。 针对训练 训练8　同类再相乘 计算。 答： 解 括号内为。 方法：先将同类根式合并，再作乘除。 注意：约分前先将分子整理为乘积。 针对训练 训练9　混合运算 计算。 答： 解 展开后中间项与后项抵消。 方法：识别平方差或完全平方公式。 注意：差的平方不等于平方的差。 针对训练 训练10　分数根式混合 计算。 答： 解 两项分别相乘为与。 方法：用分配律逐项相乘，再化简合并。 注意：括号内每一项都必须相乘。 针对训练 训练11　除法与括号 计算。 答： 解 分子为，再约分。 方法：先将同类根式合并，再作乘除。 注意：约分前先将分子整理为乘积。 针对训练 训练12　错误辨析 “”错在哪里？ 答：漏中间项且常数符号错，正确为。 解 差的平方不是平方的差。 方法：识别平方差或完全平方公式。 注意：差的平方不等于平方的差。 针对训练 训练13　公式组合 计算。 答： 解 两式中间项互相抵消。 两组平方项之和为。 方法：识别平方差或完全平方公式。 注意：差的平方不等于平方的差。 针对训练 训练14　参数整体 已知，求。 答： 解 。 代入得5−4。 方法：识别平方差或完全平方公式。 注意：差的平方不等于平方的差。 针对训练 训练15　应用：正方形扩边 正方形花坛原边长米，每边长增加2米后，新面积是多少平方米？ 答：平方米。 解 新边长。 面积用完全平方公式。 方法：先求新边长，再代入面积公式。 注意：和的平方必须保留中间项。 针对训练 训练16　应用：长方形标牌 长方形标牌长分米，宽分米，求面积和周长。 答：面积17平方分米，周长分米。 解 面积用平方差。 长宽和，再乘2。 方法：面积用平方差，周长先求长宽和。 注意：面积与周长使用不同的单位。 方法总结 本课解题方法 结构优先法 （1）识别平方差或完全平方公式。 （2）无公式时用分配律逐项相乘。 整理与检验 （1）根式先化简，再合并同类项。 （2）检查中间项、负号与结果符号。 $