11.4 无理数与实数（第2课时）课件 2026-2027学年北京版数学八年级上册

第11章 实数和二次根式 11.4 无理数与实数 （第2课时）实数及其运算 八年级上册　数学（北京版） 学习目标 本课学习目标 分类 认识实数的组成，能按类别和符号分类。 运算 求实数的相反数、绝对值，比较实数大小。 应用 把圆柱体积问题化为开方计算。 复习引入 数的范围再次扩充 已有数 整数、分数组成有理数。 新认识 无限不循环小数是无理数，如和π。 知识讲授 实数 有理数和无理数统称为实数。 实数包括有理数、无理数两类。 两类不重叠，也不遗漏。 知识讲授 按小数特征分类 有理数 整数、分数都可表示为有限小数或无限循环小数。 无理数 无限不循环小数，包括正无理数与负无理数。 知识讲授 按正负分类 正实数 包括正有理数和正无理数。 零 零单独一类。 负实数 包括负有理数和负无理数。 知识讲授 实数与数轴 每一个实数都可以用数轴上唯一的一个点表示；反过来，数轴上的每一个点都表示唯一的一个实数。这说明，实数和数轴上的点是一一对应的。 每个实数对应一个确定位置。 数轴上不会留下不对应实数的点。 知识讲授 实数的大小比较 任何两个实数都是可以比较大小的，数轴上右边的点表示的数比左边的点表示的数大。 正数大于零，零大于负数。 两个负数比较，绝对值大的反而小。 知识讲授 实数的运算 有理数的运算法则和运算律对实数同样适用。 相反数与绝对值的意义继续适用。 实数四则运算仍需注意除数不为零。 知识讲授 相反数与绝对值 相反数 数轴上关于原点对称的两个数互为相反数。 绝对值 表示到原点的距离，结果一定非负。 例题讲解 例 1 按要求完成下列问题： （1） 求实数的相反数和绝对值。 （2） 求绝对值等于的实数。 （3） 比较无理数和的大小。 解第（1）题 相反数为，绝对值为。 。 负数的绝对值是其相反数。 方法：先看正负，再比较绝对值。 注意：两个负数比较时，绝对值大的反而小。 例题讲解 例 1 按要求完成下列问题： （1） 求实数的相反数和绝对值。 （2） 求绝对值等于的实数。 （3） 比较无理数和的大小。 解第（2）题 数轴上距原点的点有左右两个。 方法：先看正负，再比较绝对值。 注意：两个负数比较时，绝对值大的反而小。 例题讲解 例 1 按要求完成下列问题： （1） 求实数的相反数和绝对值。 （2） 求绝对值等于的实数。 （3） 比较无理数和的大小。 解第（3）题 。 两个负数，绝对值大的反而小。 方法：先看正负，再比较绝对值。 注意：两个负数比较时，绝对值大的反而小。 随堂探究 探究　例题变式：先判断符号 求。 答： 解 ，所以绝对值号内为负数。 取相反数得。 方法：先看正负，再比较绝对值。 注意：两个负数比较时，绝对值大的反而小。 例题讲解 例 2 某易拉罐饮料的罐上标有“净含量240mL”字样，量得它的高为12cm。如果将它近似看成圆柱体，试求易拉罐的底面直径（结果精确到1cm，，圆柱体体积公式为）。 答：约5cm。 解 ，所以。 直径。 方法：由体积先求半径，再乘2求直径。 注意：近似值取到整数厘米。 随堂探究 探究　例题变式：半径与直径 圆柱容器体积为，高4cm，求底面直径。 答：10cm。 解 ，得。 半径为5cm，直径为10cm。 方法：由体积求半径，再乘2。 注意：所求是直径，不是半径。 课堂练习 练习1 求下列各实数的绝对值： （1） （2） 解第（1）题 原数为负数，绝对值取相反数。 解第（2）题 。 原式为负，去绝对值需变号。 方法：先看正负，再比较绝对值。 注意：两个负数比较时，绝对值大的反而小。 方法：先看正负，再比较绝对值。 注意：两个负数比较时，绝对值大的反而小。 课堂练习 练习2 比较下列各组数中两个数的大小： （1） 和。 （2） 和。 （3） 和。 解第（1）题 负数小于正数。 解第（2）题 ，非负数开平方后保持大小关系。 方法：先看正负，再比较绝对值。 注意：两个负数比较时，绝对值大的反而小。 方法：先看正负，再比较绝对值。 注意：两个负数比较时，绝对值大的反而小。 课堂练习 练习2 比较下列各组数中两个数的大小： （1） 和。 （2） 和。 （3） 和。 解第（3）题 ，。 绝对值小的负数大。 方法：先看正负，再比较绝对值。 注意：两个负数比较时，绝对值大的反而小。 课堂练习 练习3（1）　圆柱容器的高度 生物学研究表明，初中阶段的青少年每天（24h）应饮水约1300mL。（1）如果你用一个高和底面直径相等的圆柱形容器装这些水，那么这个容器的高约为多少（结果精确到1cm）？ 答：约12cm。 解 设高为cm，则半径为。 ，。 方法：把半径写成高的一半再代入体积。 注意：高等于直径，半径等于高的一半。 课堂练习 练习3（2）　水杯实测活动 生物学研究表明，初中阶段的青少年每天（24h）应饮水约1300mL。（2）找一个圆柱形的水杯，量量它的高和底面直径各是多少。如果用这个水杯喝水，一天大约应喝几杯？ 答：依实测而定。示例：内高10cm、内径6cm时约4.6杯。 解 示例杯容积。 ，以装满计约5杯。 方法：用内径与有效装水高度计算。 注意：所列尺寸是演示数据，实际结果据测量填写。 归纳总结 阶段整理：符号与数量 实数运算 相反数、绝对值、比较规则由数轴统一理解。 实际问题 先统一单位，再列式，最后按要求取近似。 随堂探究 探究　两种分类不可混用 “实数分为正数、负数和无理数”是否正确？ 答：不正确。 解 零被遗漏。 正无理数与负无理数分别已包含在正数、负数中，出现重叠。 方法：一次分类只采用同一标准。 注意：分类应不重叠、不遗漏。 随堂探究 探究　绝对值等于零 绝对值为0的实数有几个？ 答：只有一个，为0。 解 到原点的距离为0，只能是原点。 方法：用到原点的距离理解绝对值。 注意：零的绝对值只有一个原数。 课堂总结 实数及其运算 分类 有理数与无理数组成实数。 数轴 实数与数轴上的点一一对应。 运算 原有运算法则同样适用。 应用 列体积关系并开方。 特别提醒：两个负数比较时，绝对值大的反而小。 针对训练 训练1　选择：分类 下列属于负无理数的是？A.−4　B.　C.0　D. 答：B 解 −4有理，0非正非负，为正。 方法：同时检验符号与有理性。 注意：负数不一定是负无理数。 针对训练 训练2　填空：相反数 的相反数是____。 答： 解 互为相反数的两个数和为0。 方法：改变原数的符号。 注意：互为相反数的两数之和为零。 针对训练 训练3　绝对值 求。 答： 解 负数的绝对值是其相反数。 方法：先看正负，再比较绝对值。 注意：两个负数比较时，绝对值大的反而小。 针对训练 训练4　数轴比较 比较和0的大小。 答： 解 负数小于零。 方法：先看正负，再比较绝对值。 注意：两个负数比较时，绝对值大的反而小。 针对训练 训练5　负数比较 比较和。 答： 解 ，负数大小关系反向。 方法：先看正负，再比较绝对值。 注意：两个负数比较时，绝对值大的反而小。 针对训练 训练6　按定义求数 求绝对值等于的所有实数。 答： 解 距离为正，原点左右各有一个点。 方法：先看正负，再比较绝对值。 注意：两个负数比较时，绝对值大的反而小。 针对训练 训练7　先判断符号 求。 答： 解 ，所以原数为负。 方法：先看正负，再比较绝对值。 注意：两个负数比较时，绝对值大的反而小。 针对训练 训练8　类别与符号 将、、0、按符号分类。 答：正：、；零：0；负：。 解 按正、零、负分类互不重叠。 方法：按正、零、负依次归类。 注意：零既不是正数也不是负数。 针对训练 训练9　数轴距离 数轴上A表示，B表示，求AB。 答： 解 两点在原点两侧，距离相加。 方法：两点在原点两侧时把距离相加。 注意：距离不能写成负数。 针对训练 训练10　简便运算 求。 答： 解 互为相反数的根式抵消。 方法：先把互为相反数的项结合。 注意：减去一个数等于加它的相反数。 针对训练 训练11　取绝对值 求。 答： 解 。 原式。 方法：先看正负，再比较绝对值。 注意：两个负数比较时，绝对值大的反而小。 针对训练 训练12　比较混合类型 比较与，可用计算器。 答： 解 前者约3.1072，后者约3.1623。 方法：先看正负，再比较绝对值。 注意：两个负数比较时，绝对值大的反而小。 针对训练 训练13　反向思考 已知且，求。 答： 解 由绝对值先得±，再用负数条件筛选。 方法：先看正负，再比较绝对值。 注意：两个负数比较时，绝对值大的反而小。 针对训练 训练14　纠错：相反数 有人说对每个实数都成立，请给反例。 答：例如时，。 解 只有时等式成立。 方法：先看正负，再比较绝对值。 注意：两个负数比较时，绝对值大的反而小。 针对训练 训练15　应用：圆柱容器 某圆柱容器容积为，高4cm，求底面直径。 答：14cm。 解 。 半径7cm，直径14cm。 方法：由体积求半径，再乘2。 注意：圆柱体积使用半径的平方。 针对训练 训练16　应用：车站位置 一条直线步道上，甲站在原点西侧千米，乙站在东侧千米，两站相距多少千米？ 答：千米。 解 两站分居原点两侧。 距离为两段长度之和。 方法：先标出两站在原点两侧的位置。 注意：两侧距离相加，保留单位。 方法总结 本课解题方法 数轴与符号 （1）先看正负，再比较绝对值。 （2）去绝对值前判断内部符号。 几何数量建模 （1）统一体积和长度单位。 （2）分清半径、直径与高度。 $