11.1 平方根（第2课时）课件 2026-2027学年北京版数学八年级上册

第11章 实数和二次根式 11.1 平方根 （第2课时）算术平方根 八年级上册　数学（北京版） 学习目标 本课学习目标 辨别 区分平方根、正的平方根和算术平方根。 读写 理解根号、被开方数及根号前的正负号。 计算 根据算术平方根意义求式子的值。 复习引入 同一个数的不同提问 平方根 16的平方根有4和−4。 正的平方根 16的正的平方根只有4。 实际引入 面积为16的正方形，其边长选正的平方根4。 随堂探究 探究　选择正的平方根 49的平方根是什么？正的平方根又是什么？ 答：平方根为±7，正的平方根为7。 解 ，。 正的平方根只取大于零的那个。 方法：先区分平方根和算术平方根。 注意：算术平方根只能是非负数。 知识讲授 算术平方根 正数的正的平方根叫作的算术平方根，记作（读作“二次根号”）；另一个负的平方根是的相反数，即。因此正数的平方根可以记作，叫作被开方数。 只表示非负的一个数。 正数的平方根用表示。 知识讲授 零的算术平方根 规定：0的算术平方根是0。 。 算术平方根可能为零。 知识讲授 根号与符号的分工 根号内 先看被开方数，必须非负。 根号外 取非负值；在其基础上取相反数。 正负号 表示两个相反数，零时重合。 例题讲解 例 2 按要求完成下列问题： （1） 求49的正的平方根。 （2） 求的负的平方根。 （3） 求0.04的算术平方根。 解第（1）题 。 取正的平方根7。 解第（2）题 。 取负的平方根。 方法：先区分平方根和算术平方根。 注意：算术平方根只能是非负数。 方法：先区分平方根和算术平方根。 注意：算术平方根只能是非负数。 例题讲解 例 2 按要求完成下列问题： （1） 求49的正的平方根。 （2） 求的负的平方根。 （3） 求0.04的算术平方根。 解第（3）题 ，且。 方法：先区分平方根和算术平方根。 注意：算术平方根只能是非负数。 随堂探究 探究　例题变式：三个问法 分别求0.36的平方根、负的平方根、算术平方根。 答：依次为±0.6、−0.6、0.6。 解 。 按问法选择两个根、负根或非负根。 方法：先区分平方根和算术平方根。 注意：算术平方根只能是非负数。 例题讲解 例 3 求下列各式的值： （1） （2） （3） 解第（1）题 ，且。 解第（2）题 。 保留根号外的±。 方法：先区分平方根和算术平方根。 注意：算术平方根只能是非负数。 方法：先区分平方根和算术平方根。 注意：算术平方根只能是非负数。 例题讲解 例 3 求下列各式的值： （1） （2） （3） 解第（3）题 先算。 再算。 方法：先区分平方根和算术平方根。 注意：算术平方根只能是非负数。 随堂探究 探究　例题变式：连续开方 求的值。 答： 解 内层。 外层。 方法：由内向外依次求算术平方根。 注意：不能把双层根号直接去掉。 随堂探究 辨析　三个常见误解 （1）。 × 理由：只表示算术平方根5。 （2）算术平方根都是正数。 × 理由：零的算术平方根为零。 （3）没有意义。 × 理由：被开方数9非负，式子的值为−3。 方法：逐句判断，再用定义或反例说明。 注意：判断结论同时检查取值条件。 课堂练习 练习1 平方根与算术平方根判断 （1）−3是9的平方根。 √ 理由：。 （2）9的平方根是−3。 × 理由：还包括3。 （3）。 × 理由：。 （4）。 × 理由：算术平方根为17。 方法：逐句判断，再用定义或反例说明。 注意：判断结论同时检查取值条件。 课堂练习 练习2 求下列各数的算术平方根： （1） （2） （3） （4） 解第（1）题 且4非负。 解第（2）题 。 方法：先区分平方根和算术平方根。 注意：算术平方根只能是非负数。 方法：先区分平方根和算术平方根。 注意：算术平方根只能是非负数。 课堂练习 练习2 求下列各数的算术平方根： （1） （2） （3） （4） 解第（3）题 。 解第（4）题 先算。 再求4的算术平方根2。 方法：先区分平方根和算术平方根。 注意：算术平方根只能是非负数。 方法：先区分平方根和算术平方根。 注意：算术平方根只能是非负数。 课堂练习 练习3 求下列各式的值： （1） （2） （3） （4） 解第（1）题 。 解第（2）题 ，。 方法：先区分平方根和算术平方根。 注意：算术平方根只能是非负数。 方法：先区分平方根和算术平方根。 注意：算术平方根只能是非负数。 课堂练习 练习3 求下列各式的值： （1） （2） （3） （4） 解第（3）题 先求根号部分的值5，再取相反数。 解第（4）题 。 根号外的负号保留。 方法：先区分平方根和算术平方根。 注意：算术平方根只能是非负数。 方法：先区分平方根和算术平方根。 注意：算术平方根只能是非负数。 归纳总结 阶段整理：先辨意义再计算 根号内外 被开方数的负号影响有无意义；根号外负号影响最终符号。 结果检查 算术平方根必须非负，平方应等于原数。 随堂探究 探究　反求被开方数 已知，求。 答： 解 按算术平方根定义，。 方法：先区分平方根和算术平方根。 注意：算术平方根只能是非负数。 随堂探究 探究　反向可行性 存在实数使吗？ 答：不存在。 解 算术平方根不可能为负。 方法：先区分平方根和算术平方根。 注意：算术平方根只能是非负数。 随堂探究 探究　根号中的整体 求。 答： 解 先算被开方数。 再求。 方法：先区分平方根和算术平方根。 注意：算术平方根只能是非负数。 知识讲授 根号不能逐项分开 计算 根号下是和时，先算和，如。 反例 ，所以不能把一个根号随意拆开。 课堂总结 算术平方根 定义 正数的正的平方根叫算术平方根。 零 。 符号 、、意义不同。 计算 先被开方数，再根号，再外部符号。 特别提醒：算术平方根只能是非负数。 针对训练 训练1　选择：算术平方根 64的算术平方根是？A.±8　B.−8　C.8　D.32 答：C 解 算术平方根取非负值8。 方法：先区分平方根和算术平方根。 注意：算术平方根只能是非负数。 针对训练 训练2　填空：负的平方根 ____。 答： 解 ，再取相反数。 方法：先区分平方根和算术平方根。 注意：算术平方根只能是非负数。 针对训练 训练3　计算：分数根式 求。 答： 解 。 方法：先区分平方根和算术平方根。 注意：算术平方根只能是非负数。 针对训练 训练4　计算：小数根式 求。 答： 解 。 方法：先区分平方根和算术平方根。 注意：算术平方根只能是非负数。 针对训练 训练5　概念辨析 “−0.7是0.49的算术平方根。”对吗？ 答：不对，算术平方根为0.7。 解 −0.7虽是平方根，但不是非负根。 方法：先区分平方根和算术平方根。 注意：算术平方根只能是非负数。 针对训练 训练6　保留外部符号 求。 答： 解 根号部分等于1.2。 ±表示这两个相反数。 方法：先区分平方根和算术平方根。 注意：算术平方根只能是非负数。 针对训练 训练7　先算平方 求。 答： 解 先得0.36，再开方得0.6。 方法：先区分平方根和算术平方根。 注意：算术平方根只能是非负数。 针对训练 训练8　嵌套算术平方根 求。 答： 解 内层为25，外层为5。 方法：先区分平方根和算术平方根。 注意：算术平方根只能是非负数。 针对训练 训练9　逆向求数 一个数的算术平方根为0.12，求这个数。 答： 解 。 方法：先区分平方根和算术平方根。 注意：算术平方根只能是非负数。 针对训练 训练10　条件筛选 若，在0、1、4中哪些符合？ 答：0与1。 解 ，，。 方法：先区分平方根和算术平方根。 注意：算术平方根只能是非负数。 针对训练 训练11　计算组合 求。 答： 解 分别开方得14和。 相减得。 方法：先区分平方根和算术平方根。 注意：算术平方根只能是非负数。 针对训练 训练12　纠错：根号拆分 有人算，请纠正。 答：正确值为10。 解 先求和100，再取算术平方根。 方法：先区分平方根和算术平方根。 注意：算术平方根只能是非负数。 针对训练 训练13　建立平方关系 若，求。 答： 解 。 检验被开方数36非负。 方法：先区分平方根和算术平方根。 注意：算术平方根只能是非负数。 针对训练 训练14　符号推理 已知的平方根为±0.4，求。 答： 解 ，。 相加得0.56。 方法：先区分平方根和算术平方根。 注意：算术平方根只能是非负数。 针对训练 训练15　应用：方形镜面 一面正方形镜子的面积为0.81平方米，边长多少米？ 答：0.9米。 解 边长为面积的算术平方根。 。 方法：先区分平方根和算术平方根。 注意：算术平方根只能是非负数。 针对训练 训练16　应用：方形花坛边框 面积为6.25平方米的正方形花坛需一圈边框，至少需要多少米？ 答：10米。 解 边长米。 周长米。 方法：先区分平方根和算术平方根。 注意：算术平方根只能是非负数。 方法总结 本课解题方法 意义辨认法 （1）先区分平方根和算术平方根。 （2）根号外的符号最后处理。 整体计算法 （1）根号内先完成运算。 （2）结果平方检验并检查非负性。 $