10.4 分式的加减法（第2课时）课件 2026-2027学年北京版数学八年级上册

第10章 分式 10.4 分式的加减法 （第2课时）通分与最简公分母 八年级上册　数学（北京版） 学习目标 学习目标 认识 理解公分母与最简公分母的作用。 方法 能用因式分解确定最简公分母并完成通分。 应用 比较不同表示方法，检查通分是否保持等值。 复习引入 异分母需要统一 分数经验 与可通分为与。 分式问题 分母含字母时，也要找出各分母都能整除的整式。 知识讲授 通分的含义 在不改变分式值的情况下，把几个异分母的分式化为同分母的分式的变形，叫作通分。 通分只改变形式，不改变各分式的值。 得到的几个分式应有完全相同的分母。 随堂探究 探究　公分母不唯一 与可以用作公分母吗？可以用吗？ 答：都可以（），更简单。 解 分别是和的整数倍。 也包含两个分母的全部因子，但有多余因子。 方法：分别检查公分母除以每个分母。 注意：公分母可以不止一个。 随堂探究 探究　所有分母的乘积 两个分式与，可否用作公分母？ 答：可以，前提是原分式有意义。 解 第一式分子分母同乘。 第二式分子分母同乘。 方法：分母乘积总包含每个分母。 注意：乘积未必是最简公分母。 知识讲授 最简公分母的组成 数字系数 取各分母数字系数的最小公倍数。 字母因式 每个不同因式都要出现，同一因式取最高次数。 例题讲解 例 2 通分。 （1） ， （2） ， （3） ， 解第（1）题 ，。 公分母可取。 两式的分子、分母分别同乘、。 方法：先定公分母，再找扩乘因式。 注意：分子分母同乘，保持各式等值。 例题讲解 例 2 通分。 （1） ， （2） ， （3） ， 解第（2）题 ，。 公分母取。 两式的分子、分母分别同乘、。 方法：先定公分母，再找扩乘因式。 注意：分子分母同乘，保持各式等值。 例题讲解 例 2 通分。 （1） ， （2） ， （3） ， 解第（3）题 ，。 公分母取。 两式的分子、分母分别同乘与。 方法：先定公分母，再找扩乘因式。 注意：分子分母同乘，保持各式等值。 知识讲授 最简公分母 像上面，，这样的公分母，叫作最简公分母。 通分的关键步骤是确定最简公分母。 写成因式乘积便于检查每个因式的最高次数。 随堂探究 变式　同一因式取最高次数 求与的最简公分母。 答：。 解 数字4和6的最小公倍数为12。 取二次，取三次。 方法：系数与字母分别确定。 注意：不是把同一字母的指数相加。 随堂探究 示范　多项式分母先分解 求与的最简公分母。 答：。 解 分母分别为和。 对取二次，对取一次。 方法：把每个多项式因式分解。 注意：复合因式应看作整体。 知识讲授 通分的执行顺序 找扩乘因式 用最简公分母除以原分母，得到分子、分母需同乘的因式。 同步相乘 原分子和原分母都乘这个因式，分子为多项式时先加括号。 课堂练习 练习1 通分。 （1） ， （2） ， （3） ， （4） ， 解第（1）题 ，。 最简公分母为。 方法：先定公分母，再找扩乘因式。 注意：分子分母同乘，保持各式等值。 课堂练习 练习1 通分。 （1） ， （2） ， （3） ， （4） ， 解第（2）题 ，。 最简公分母为。 方法：先定公分母，再找扩乘因式。 注意：分子分母同乘，保持各式等值。 课堂练习 练习1 通分。 （1） ， （2） ， （3） ， （4） ， 解第（3）题 ，。 两个不同因式与都保留。 方法：先定公分母，再找扩乘因式。 注意：分子分母同乘，保持各式等值。 课堂练习 练习1 通分。 （1） ， （2） ， （3） ， （4） ， 解第（4）题 ，。 ，最简公分母为。 方法：先定公分母，再找扩乘因式。 注意：分子分母同乘，保持各式等值。 课堂练习 练习2 通分。 （1） ， （2） ， 解第（1）题 ，。 两分母分别为与。 方法：先定公分母，再找扩乘因式。 注意：分子分母同乘，保持各式等值。 课堂练习 练习2 通分。 （1） ， （2） ， 解第（2）题 ，。 两分母为与；分子、分母分别同乘、。 方法：先定公分母，再找扩乘因式。 注意：分子分母同乘，保持各式等值。 随堂探究 变式　分子整体也要扩大 把通分为分母的分式。 答：。 解 分母需乘。 整个分子也要乘同一个因式。 方法：先求缺少的因式。 注意：新增分母还要求。 随堂探究 辨析　通分不能只改分母 小华把，通分为，，对吗？ 答：不对，应为，。 解 分母扩大时，分子也必须同步扩大。 只改变分母会改变各分式的值。 方法：逐个检查是否使用基本性质。 注意：通分后分子一般会变化。 随堂探究 探究　系数不能简单相乘 求、和的最简公分母。 答：。 解 6、8、12的最小公倍数为24。 同一字母取出现过的最高次数3。 方法：先用数字最小公倍数，再补字母。 注意：不要误取。 随堂探究 探究　因式次数不能取低 和的最简公分母为何是？ 答：它包含两个分母所需的全部因式。 解 次数较低的分母需补乘。 次数较高的分母无需改变。 方法：将复合因式当作一个字母看。 注意：取最低次数会遗漏分母中的因式。 课堂练习 辨析　通分自检 （1）通分后，所有分母必须相同。 √ 理由：这是通分的目标。 （2）通分后分子不应变化。 × 理由：分子必须与分母同步变形。 方法：按定义或法则逐条判断。 注意：错误结论要指出具体原因。 归纳总结 阶段归纳：双向检查 向下检查 最简公分母必须包含原来每一个分母的全部因式。 向上检查 新分子与新分母同时除去扩乘因式，应回到原分式。 课堂总结 通分 分解 分母写成因式乘积 定公分母 系数最小公倍数、因式最高次 补因式 公分母除以各原分母 同乘 分子分母同步扩大并检查 特别提醒：复合因式看作整体，分子、分母必须同步变形。 针对训练 训练1　选择：最简公分母 和的最简公分母是？A.；B.；C.。 答：B。 解 系数取3与5的最小公倍数15。 取二次，取一次。 方法：逐因子确定次数。 注意：相同字母的指数不相加。 针对训练 训练2　填空：补乘因式 将分母变为，应乘什么整式？ 答：。 解 系数。 字母部分。 方法：用新分母除以原分母。 注意：分子也要乘同一整式。 针对训练 训练3　最简公分母辨析 （1）所有分母之积一定可作公分母。 √ 理由：乘积包含每个分母。 （2）所有分母之积一定最简。 × 理由：公共因式可能重复出现。 （3）通分依据是分式基本性质。 √ 理由：同乘非零整式保证值不变。 方法：按定义或法则逐条判断。 注意：错误结论要指出具体原因。 针对训练 训练4　单项式通分 通分：，。 答：，。 解 公分母取。 两式的分子、分母分别同乘、。 方法：按原分母确定公分母。 注意：也可先约分第二式后选更简的公分母。 针对训练 训练5　指数不同的通分 通分：，。 答：，。 解 最简公分母为。 两式的分子、分母分别同乘、。 方法：对每个分式分别求扩乘因子。 注意：分子乘法也要合并指数。 针对训练 训练6　不同一次因式 通分：，。 答：，。 解 两个分母没有共同因式。 各式的分子、分母同乘另一个分母。 方法：公分母保留因式形式。 注意：不必急着展开平方差。 针对训练 训练7　平方差与一次式 通分：，。 答：，。 解 第一分母分解为。 第二式的分子、分母同乘。 方法：先看是否已有分母包含其他分母。 注意：不必重复乘。 针对训练 训练8　完全平方与一次式 通分：，。 答：，。 解 第二分母为。 第一式的分子、分母同乘。 方法：复合因式取最高次。 注意：完全平方要辨认准确。 针对训练 训练9　相反因式 通分：，。 答：，。 解 两个分母互为相反式。 第二式分子分母同乘。 方法：先统一相反因式。 注意：可选任一方向作公分母。 针对训练 训练10　三个分式通分 通分：，，。 答：，，。 解 最简公分母为。 各式的分子、分母分别同乘、和1。 方法：把所有分母因式一次列齐。 注意：最后一个分式可以保持原式。 针对训练 训练11　反向检查 通分后分母为，小林写分子为，请改正。 答：分子应为。 解 扩乘因式为。 原分子整体乘，不能只乘首项和末项。 方法：乘多项式时每项都参与。 注意：新增因式要求。 针对训练 训练12　先约分再通分 将与先约分再通分。 答：，。 解 第一式约分为。 两式以通分。 方法：先化简可显露真实结构。 注意：原式仍要求。 针对训练 训练13　实际应用：两种工作效率 甲完成一项工作需天，乙需天。把两人的日工作效率写成同分母形式。 答：与。 解 效率分别为与。 公分母取；分子、分母分别同乘和。 方法：工作总量视作单位1。 注意：，效率表示每日完成的部分。 针对训练 训练14　实际应用：同程时间 同一条长为千米的路线，两人速度分别为和千米/时。将两人的行走时间通分。 答：与小时。 解 时间分别为和。 以为公分母；两式的分子、分母分别同乘、。 方法：先列时间，再进行等值变形。 注意：实际条件、。 方法总结 解题方法与检查 因式清单法 （1）分母先分解，列出所有不同因式。 （2）系数取最小公倍数，因式取最高次。 缺因式补乘法 （1）用公分母除以原分母。 （2）所得因式同时乘分子与分母。 $