11.5 二次根式及其性质（第1课时） 课件 2026--2027学年北京版八年级数学上册

第11章 实数和二次根式 11.5 二次根式及其性质 （第1课时）二次根式与算术平方根的平方 八年级上册　数学（北京版） 学习目标 本课学习目标 概念 识别二次根式并明确被开方数非负。 条件 能求使根式有意义的字母取值范围。 性质 运用算术平方根的平方进行计算。 复习引入 算术平方根的符号 已有知识 表示非负数的算术平方根。 条件问题 若根号内含字母，需保证整个被开方数非负。 知识讲授 二次根式 一般地，式子（）叫作二次根式。 可以是一个数，也可以是一个代数式。 根号内的整个式子必须非负。 知识讲授 二次根式的例子 常数 、的被开方数非负。 字母式 、对任意实数字母都有意义。 随堂探究 探究　被开方数是整体 有意义时，是要求还是？ 答：要求，即。 解 整个才是被开方数。 仅还可能使为负。 方法：将整个被开方数列为非负。 注意：除以负数时，不等号改变方向。 例题讲解 例 1 实数在什么范围内取值时，下列各式表示二次根式？ （1） （2） 解第（1）题 。 移项再除以正数2。 方法：将整个被开方数列为非负。 注意：除以负数时，不等号改变方向。 例题讲解 例 1 实数在什么范围内取值时，下列各式表示二次根式？ （1） （2） 解第（2）题 ，所以。 除以负数−4，不等号改变方向。 方法：将整个被开方数列为非负。 注意：除以负数时，不等号改变方向。 随堂探究 探究　例题变式：分母条件 求有意义的条件。 答： 解 根号内。 分母不为零，故。 方法：把非负条件与分母条件合并。 注意：根式作分母时，被开方数须大于零。 知识讲授 算术平方根的平方 （）。非负数的算术平方根的平方，等于这个非负数。 开平方后再平方，还原被开方数。 必须保留的前提。 知识讲授 整体与系数 无系数 。 有系数 ，系数也要平方。 例题讲解 例 2 计算： （1） （2） （3） 解第（1）题 。 解第（2）题 。 方法：先按乘方规则处理，再用平方性质。 注意：系数与根式都要参与平方。 方法：先按乘方规则处理，再用平方性质。 注意：系数与根式都要参与平方。 例题讲解 例 2 计算： （1） （2） （3） 解第（3）题 ，性质适用。 方法：先按乘方规则处理，再用平方性质。 注意：系数与根式都要参与平方。 随堂探究 探究　例题变式：负系数 计算。 答： 解 。 再乘。 方法：先按乘方规则处理，再用平方性质。 注意：系数与根式都要参与平方。 随堂探究 探究　实数范围内分解因式 在实数范围内分解因式：（1）；（2）。 答：（1）；（2）。 解 ，应用平方差公式。 第二式先提取公因式，再用平方差。 方法：把正数写成算术平方根的平方。 注意：先检查公因式，再使用平方差。 课堂练习 练习1 下列各式中，哪些是二次根式？ （1） （2） （3） （4） 解第（1）题 是。 被开方数。 解第（2）题 不是。 被开方数为负，没有实数意义。 方法：先判断整个被开方数的符号。 注意：可用完全平方结构判断非负。 方法：先判断整个被开方数的符号。 注意：可用完全平方结构判断非负。 课堂练习 练习1 下列各式中，哪些是二次根式？ （1） （2） （3） （4） 解第（3）题 不是。 ，所以。 解第（4）题 是。 。 方法：先判断整个被开方数的符号。 注意：可用完全平方结构判断非负。 方法：先判断整个被开方数的符号。 注意：可用完全平方结构判断非负。 课堂练习 练习2 实数在什么范围内取值时，下列各式表示二次根式？ （1） （2） 解第（1）题 。 解第（2）题 ，化为。 方法：将整个被开方数列为非负。 注意：除以负数时，不等号改变方向。 方法：将整个被开方数列为非负。 注意：除以负数时，不等号改变方向。 课堂练习 练习3 计算： （1） （2） （3） （4） 解第（1）题 非负数算术平方根的平方等于原数。 解第（2）题 。 方法：先按乘方规则处理，再用平方性质。 注意：系数与根式都要参与平方。 方法：先按乘方规则处理，再用平方性质。 注意：系数与根式都要参与平方。 课堂练习 练习3 计算： （1） （2） （3） （4） 解第（3）题 。 解第（4）题 ，再平方得9。 方法：先按乘方规则处理，再用平方性质。 注意：系数与根式都要参与平方。 方法：先按乘方规则处理，再用平方性质。 注意：系数与根式都要参与平方。 归纳总结 阶段整理：两种非负 条件非负 被开方数非负，是根式有意义的要求。 结果非负 二次根式的值非负，是算术平方根的规定。 随堂探究 探究　两个根式同时有意义 求有意义的范围。 答： 解 同时要求与。 取两个条件的公共部分。 方法：分别列条件，再取公共部分。 注意：每个根式都必须同时有意义。 随堂探究 探究　恒有意义的根式 对什么有意义？ 答：所有实数。 解 ，故。 方法：先判断整个被开方数的符号。 注意：可用完全平方结构判断非负。 随堂探究 探究　等于零的根式 若，求。 答： 解 算术平方根为0时，被开方数为0。 解。 方法：等式两边平方，求出未知数。 注意：将结果代回原式检验。 课堂总结 二次根式与算术平方根的平方 概念 ，。 范围 被开方数非负。 性质 。 运用 计算平方、分解因式。 特别提醒：系数在根号外，也必须参与平方。 针对训练 训练1　选择：有意义 下列式子对所有实数都有意义的是？A.　B.　C.　D. 答：C 解 恒为正数。 方法：先判断整个被开方数的符号。 注意：可用完全平方结构判断非负。 针对训练 训练2　填空：直接平方 ____。 答： 解 13非负，直接使用性质。 方法：先按乘方规则处理，再用平方性质。 注意：系数与根式都要参与平方。 针对训练 训练3　范围一 求有意义的条件。 答： 解 。 方法：将整个被开方数列为非负。 注意：除以负数时，不等号改变方向。 针对训练 训练4　范围二 求有意义的条件。 答： 解 。 方法：将整个被开方数列为非负。 注意：除以负数时，不等号改变方向。 针对训练 训练5　带系数计算 计算。 答： 解 。 方法：先按乘方规则处理，再用平方性质。 注意：系数与根式都要参与平方。 针对训练 训练6　分数系数 计算。 答： 解 。 方法：先按乘方规则处理，再用平方性质。 注意：系数与根式都要参与平方。 针对训练 训练7　四次幂 计算。 答： 解 先平方得5，再平方。 方法：先按乘方规则处理，再用平方性质。 注意：系数与根式都要参与平方。 针对训练 训练8　概念判断 “二次根式的值一定大于0。”对吗？ 答：不对，也可能为0。 解 例如。 方法：用零这一边界值检验结论。 注意：非负包括零，不能只写正数。 针对训练 训练9　同时满足条件 求有意义的条件。 答： 解 且。 方法：分别列条件，再取公共部分。 注意：每个根式都必须同时有意义。 针对训练 训练10　分母中的根式 求有意义的条件。 答： 解 分母不能为0，所以。 方法：把非负条件与分母条件合并。 注意：根式作分母时，被开方数须大于零。 针对训练 训练11　整体平方 计算。 答： 解 被开方数恒正，性质适用。 方法：先按乘方规则处理，再用平方性质。 注意：系数与根式都要参与平方。 针对训练 训练12　逆向求值 已知，求。 答： 解 。 方法：等式两边平方，求出未知数。 注意：将结果代回原式检验。 针对训练 训练13　分解因式 在实数范围内分解。 答： 解 。 方法：把正数写成算术平方根的平方。 注意：先检查公因式，再使用平方差。 针对训练 训练14　非负和为零 若，求。 答： 解 两项非负，均须为0。 。 方法：把各个非负项分别令为零。 注意：只有每项都为零，和才为零。 针对训练 训练15　应用：正方形面积 正方形边长为厘米，面积是多少平方厘米？ 答：45平方厘米。 解 面积。 方法：将边长代入正方形面积公式。 注意：面积单位是平方厘米。 针对训练 训练16　应用：圆形花坛 半径为米的圆形花坛，按求面积。 答：平方米。 解 半径平方为。 面积为。 方法：将半径代入圆面积公式。 注意：半径的系数和根式均需平方。 方法总结 本课解题方法 条件列式法 （1）根号内整体列为非负。 （2）在分母中还须排除零。 整体平方与因式分解 （1）系数和根式都参与平方。 （2）实数范围可用根式配平方差。 $