10.1 分式 第1课时 课件 2026-2027学年北京版八年级数学上册

第10章 分式 10.1 分式 （第1课时）分式的概念、意义与零值 八年级上册　数学（北京版） 学习目标 学习目标 认识 辨认分式与整式，理解分子、分母的作用。 方法 用分母不为零确定意义，用分子为零筛选零值。 应用 把工程、行程和面积关系表示为分式。 复习引入 从除法到分式 熟悉的数 分数可以表示两个整数相除；除数不能为零。 新的式 用字母表示数量后，两个整式相除也可以写成分数形式。 随堂探究 探究　花坛的宽 长方形花坛面积为平方米。原长为米，延长米后面积不变。现在的宽是多少米？ 答：米。 解 长方形的宽等于面积除以长。 现在的长为米，宽为米。 方法：按面积、长、宽的关系列式。 注意：实际问题中。 知识讲授 分式的结构 共同点 都有类似分数的形式，分子、分母都是整式。 关键点 分母中含有字母。分数线兼有除号和括号的作用。 知识讲授 分式 一般地，用，表示两个整式，（）可以表示为的形式。如果中含有字母，那么式子（）叫作分式。其中，叫作分式的分子，叫作分式的分母。 判断分式时要看分母中是否含有字母。 分子可以是常数，也可以含字母。 知识讲授 有理式 整式和分式统称为有理式。 单项式和多项式都是整式。 带分数线的式子也可能是整式。 知识讲授 分式有意义的条件 除数限制 只有分母不等于零，分式才有意义。 检查顺序 先找分母，再列出分母不等于零的条件；与分子是否为零无关。 例题讲解 例1（1）　工程效率 列代数式，并判断它是不是分式：一项工程，由某建筑公司单独完成需要天，那么该建筑公司每天完成全部工程的多少？ 答：，是分式。 解 把全部工程看作单位。 每天完成的部分为；，分母含有字母。 方法：工作效率=工作总量÷工作时间。 注意：单位1表示整个工程。 例题讲解 例1（2）　行驶时间 列代数式，并判断它是不是分式：北京到上海的路程约为千米。如果火车行驶的速度为千米/时，那么从北京到上海需要多少小时？ 答：小时，是分式。 解 时间=路程÷速度。 由于，分母含有字母且不为零。 方法：先确定要求的量，再代入关系式。 注意：路程与速度的单位要配套。 例题讲解 例1（3）　弦图中的面积比 第24届国际数学家大会会标取材于赵爽《勾股圆方图》。图中四个相同的直角三角形与中间小正方形拼成大正方形。若两直角边为，（），列出四个三角形面积和与小正方形面积之比，并判断是不是分式。 答：，是分式。 解 四个三角形面积和为。 小正方形边长为，且。 方法：分别求两个面积，再求比。 注意：分母是整个小正方形的面积。 随堂探究 变式　分数线与整式 判断和是否为分式，并说明依据。 答：前者是整式，后者是分式。 解 前者等于，分母中没有字母。 后者的分母含字母。 方法：以分母是否含字母为判断依据。 注意：不要只看有没有分数线。 归纳总结 阶段归纳：识别与列式 识别 分母含字母是分式结构的重要特征；数字常量不算字母未知量。 列式 先用文字写出数量关系，再用含字母的整式表示相关量。 例题讲解 例 2 当取何值时，下列各式有意义？ （1） （2） 解第（1）题 。 令，得。 因此应排除。 方法：令分母不等于零。 注意：分子为零仍可能有意义。 例题讲解 例 2 当取何值时，下列各式有意义？ （1） （2） 解第（2）题 。 令，得。 排除这一值后，分母都不为零。 方法：解分母不为零的条件。 注意：不要把分子的零点排除。 随堂探究 变式　分母中的平方 当取何值时，有意义？ 答：。 解 平方等于零，当且仅当底数等于零。 所以等价于。 方法：先找使分母为零的值。 注意：平方分母仍可能等于零。 知识讲授 分式的值等于零 必要条件 分子要等于零，但必须先保证分式有意义。 联合检查 分子等于零与分母不等于零，两个条件要同时满足。 随堂探究 探究　零值与禁值冲突 如果，怎样确定的取值？ 答：。 解 由，得或。 分母要求，因此只留下。 方法：先找分子零点，再筛去分母零点。 注意：不能遗漏绝对值方程的另一种情况。 例题讲解 例 3 当取何值时，分式的值等于零？ 答：。 解 由，得。 代入分母，。 方法：求出分子的零点并检验分母。 注意：分母不为零的条件不能省略检查。 归纳总结 零值题的检查方式 候选值 解分子等于零，得到可能的取值。 有效值 把每个候选值代入分母，排除使分母为零的值。 课堂练习 练习1 指出下列有理式中，哪些是整式，哪些是分式。 （1） （2） （3） （4） 解第（1）题 整式。 分母是常数。 解第（2）题 分式。 分母含字母。 方法：判断分母中是否含有字母。 注意：不能只凭分数线判断分式。 方法：判断分母中是否含有字母。 注意：不能只凭分数线判断分式。 课堂练习 练习1 指出下列有理式中，哪些是整式，哪些是分式。 （1） （2） （3） （4） 解第（3）题 分式。 分母含字母。 解第（4）题 整式。 可写成。 方法：判断分母中是否含有字母。 注意：不能只凭分数线判断分式。 方法：判断分母中是否含有字母。 注意：不能只凭分数线判断分式。 课堂练习 练习2 当取何值时，下列各式有意义？ （1） （2） 解第（1）题 。 由得到。 解第（2）题 。 由得到。 方法：令分母不为零，确定条件。 注意：分子为零仍可能有意义。 方法：令分母不为零，确定条件。 注意：分子为零仍可能有意义。 课堂练习 练习3 当取何值时，下列各式的值等于零？ （1） （2） （3） （4） 解第（1）题 。 分子为零时分母为，不为零。 解第（2）题 。 分子为零时分母为，不为零。 方法：令分子为零，再检查分母。 注意：排除使原分母为零的候选值。 方法：令分子为零，再检查分母。 注意：排除使原分母为零的候选值。 课堂练习 练习3 当取何值时，下列各式的值等于零？ （1） （2） （3） （4） 解第（3）题 。 候选值为，排除分母为零的。 解第（4）题 。 此时分母为，不为零。 方法：令分子为零，再检查分母。 注意：排除使原分母为零的候选值。 方法：令分子为零，再检查分母。 注意：排除使原分母为零的候选值。 课堂练习 辨析　有意义不等于非零 （1）一定无意义。 × 理由：当时有意义，值为零。 （2）在时值为1。 × 理由：原分母为零，无意义。 方法：按定义或法则逐条判断。 注意：错误结论要指出具体原因。 归纳总结 阶段归纳：两类条件 有意义 只需研究分母不等于零。分子可以为任何有定义的数值。 值为零 分子为零且分母不为零。写出候选值后仍要检验。 课堂总结 认识分式 结构 分子、分母是整式；分母含字母 意义 分母不等于零 零值 分子为零且分母不为零 建模 按工程、行程、面积关系列式 特别提醒：先看原分母，再判断是否能取值。 针对训练 训练1　选择：判断分式 下列式子中，分式是哪一个？A.；B.；C.；D.。 答：B。 解 分式的分母中含有字母未知量。 表示圆周率，是常数。 方法：抓住定义的关键特征。 注意：分母中出现符号不一定是变量。 针对训练 训练2　填空：意义条件 有意义时，不能等于多少？ 答：不能等于。 解 分母不能为零。 的解为。 方法：找出分母零点。 注意：分子零点可以取。 针对训练 训练3　判断与改正 （1）分子中含有字母的式子都是分式。 × 理由：还要看分母，整式也可含字母。 （2）分式的分母不能为零。 √ 理由：除数不能为零。 （3）分式值为零时分子一定为零。 √ 理由：前提是分式有意义。 方法：按定义或法则逐条判断。 注意：错误结论要指出具体原因。 针对训练 训练4　计算分式的值 当时，求的值。 答：。 解 先检查。 代入得到。 方法：先检查分母，再代入。 注意：负数代入要加括号。 针对训练 训练5　全部实数均可取 分式在哪些实数下有意义？ 答：所有实数。 解 任意实数的平方非负。 所以，分母不会为零。 方法：利用平方的非负性。 注意：不要把分子为零当成无意义。 针对训练 训练6　零值筛选 当为何值时，的值为零？ 答：。 解 分子为零给出或。 分母要求，故排除。 方法：逐个检验分子零点。 注意：从原分母判断禁值。 针对训练 训练7　绝对值与零值 当为何值时，的值为零？ 答：。 解 的解为和。 取时分母为零，不能取。 方法：候选值全部列出后筛选。 注意：绝对值方程通常有两个候选值。 针对训练 训练8　没有零值 分式的值能等于零吗？ 答：不能。 解 分子，永远不为零。 即使分母有意义，也不能得到零值。 方法：先看分子是否可能为零。 注意：无零值与无意义是不同结论。 针对训练 训练9　同时有意义 若和同时有意义，求的取值条件。 答：且。 解 第一个式子排除。 第二个式子排除，两项限制同时成立。 方法：合并所有分母限制。 注意：“同时”表示条件的交集。 针对训练 训练10　由无意义确定参数 当时，无意义，求。 答：。 解 无意义说明分母为零。 代入得。 方法：把给定取值代入分母。 注意：本题不需要令分子为零。 针对训练 训练11　由零值确定参数 当时，的值为零，求。 答：。 解 分母为，满足有意义条件。 由得到。 方法：先验分母，再列分子等于零。 注意：参数求出后再回代检查。 针对训练 训练12　原式条件不能丢 小华说在时值为。他的说法正确吗？ 答：不正确，原式在时无意义。 解 原分母为，要求。 即使形式上消去，也不能扩大原式的取值范围。 方法：把原分母条件保留在旁边。 注意：化简形式不改变原问题条件。 针对训练 训练13　实际应用：平均费用 班级租车总费用为元，参加人数为。若又增加人且总费用不变，平均每人费用是多少元？ 答：元。 解 平均费用=总费用÷参加人数。 实际人数为，其中为正整数。 方法：列出总量与平均量的关系。 注意：人数不能取负数或任意小数。 针对训练 训练14　实际应用：长方形展板 长方形展板面积为平方分米，长比宽多分米。若宽为分米，用长表示宽的式子是什么？该式有何实际限制？ 答：宽为分米，且。 解 由面积=长×宽，宽等于面积除以长。 长为；实际长度必须为正。 方法：先列数量关系，再补实际条件。 注意：实际条件可能比分母不为零更严格。 方法总结 解题方法与检查 分母优先 （1）辨认分式先看分母中的变量。 （2）有意义时排除使原分母为零的值。 候选值筛选 （1）零值题先令分子等于零。 （2）逐一检查分母，保留有效候选值。 $