10.2 分式的基本性质（第1课时） 课件 2026--2027学年北京版八年级数学上册

第10章 分式 10.2 分式的基本性质 （第1课时）分式的变形与约分 八年级上册　数学（北京版） 学习目标 学习目标 认识 理解分式的基本性质、约分与最简分式。 方法 通过因式分解寻找分子和分母的公因式。 应用 用约分简化数量关系，保留取值限制。 复习引入 分数中的等值变形 扩大 分数，分子与分母同时乘。 缩小 分数，分子与分母同时除以。 随堂探究 探究　字母表示同一变化 能否变为分母是、值不变的分式？ 答：。 解 分子。 分子、分母同时除以不为零的。 方法：把分子写成乘积，再找公共因子。 注意：原式要求且。 知识讲授 分式的基本性质（一） 分式的分子、分母都乘同一个不等于零的整式，分式的值不变。 用式子表示：（）。 “同一个”与“不等于零”缺一不可。 知识讲授 分式的基本性质（二） 分式的分子、分母都除以同一个不等于零的整式，分式的值不变。 用式子表示：（）。 必须对整个分子、整个分母作相同变形。 随堂探究 辨析　同时加一个数 能否把变为并认为值不变？ 答：不能保证值不变。 解 例如，时，原式为。 变形后的式子为，两值不同。 方法：用具体反例检查不正确的推广。 注意：基本性质说的是乘或除，不是加或减。 随堂探究 探究　同乘与字母翻倍 把中的换成，能保证分式值不变吗？ 答：不能。 解 代换后为，分子并未整体乘。 例如时原值为，代换后为。 方法：区分整式整体相乘与字母取值变化。 注意：分子的常数项也要参与整体乘法。 知识讲授 基本性质中的整体 分子整体 把乘，应为。 分母整体 同步把分母乘，所得才与原式等值。 例题讲解 例 1 在括号内填入适当的整式，使分式的值不变。 （1） （2） 解第（1）题 。 分母除以，分子也除以。 方法：先辨认结构，再按法则计算。 注意：结果化简，并保留原式有意义的条件。 例题讲解 例 1 在括号内填入适当的整式，使分式的值不变。 （1） （2） 解第（2）题 。 分子为，分母为。 方法：先辨认结构，再按法则计算。 注意：结果化简，并保留原式有意义的条件。 随堂探究 变式　逆向寻找缺失因子 ，括号中应填什么？ 答：。 解 分母从变为，乘了。 分子也乘：。 方法：先比较分母，再同步改变分子。 注意：乘的整式不能为零。 知识讲授 约分 把分式中分子与分母的公因式约去，叫作约分。 公因式是分子和分母的共同因子。 加减项不能直接约去，先化为乘积。 知识讲授 寻找公因式 单项式 比较数字系数、共同字母及各字母的指数。 多项式 先提公因式，或使用平方差、完全平方公式分解因式。 例题讲解 例 2 将下列分式约分。 （1） （2） （3） 解第（1）题 。 分子、分母都除以。 方法：先辨认结构，再按法则计算。 注意：结果化简，并保留原式有意义的条件。 例题讲解 例 2 将下列分式约分。 （1） （2） （3） 解第（2）题 。 。 约去。 方法：先辨认结构，再按法则计算。 注意：结果化简，并保留原式有意义的条件。 例题讲解 例 2 将下列分式约分。 （1） （2） （3） 解第（3）题 。 分子为，分母为。 约去，保留负号。 方法：先辨认结构，再按法则计算。 注意：结果化简，并保留原式有意义的条件。 知识讲授 最简分式 如果一个分式的分子与分母没有公因式，这个分式就叫作最简分式。 约分要进行到分子、分母不再有可约去的公因式。 不能只约去数字系数而漏掉字母因子。 随堂探究 变式　相反因式的符号 约分：。 答：。 解 。 约去，负号仍要保留。 方法：先把相反因式变成相同因式。 注意：奇数次幂变号，偶数次幂不变号。 归纳总结 阶段归纳：约分步骤 变成乘积 多项式先分解因式，辨认相反因式，统一符号。 约去公因式 分别约去数字和字母公因式，最后检查是否已最简。 课堂练习 练习1 在括号内填入适当的整式，使分式的值不变。 （1） （2） 解第（1）题 。 分母乘，分子也乘。 解第（2）题 。 分子应乘，即。 方法：先辨认结构，再按法则计算。 注意：结果化简，并保留原式有意义的条件。 方法：先辨认结构，再按法则计算。 注意：结果化简，并保留原式有意义的条件。 课堂练习 练习2 将下列分式约分。 （1） （2） （3） （4） 解第（1）题 。 约去。 解第（2）题 。 约去。 方法：先辨认结构，再按法则计算。 注意：结果化简，并保留原式有意义的条件。 方法：先辨认结构，再按法则计算。 注意：结果化简，并保留原式有意义的条件。 课堂练习 练习2 将下列分式约分。 （1） （2） （3） （4） 解第（3）题 。 分子。 解第（4）题 。 分子。 方法：先辨认结构，再按法则计算。 注意：结果化简，并保留原式有意义的条件。 方法：先辨认结构，再按法则计算。 注意：结果化简，并保留原式有意义的条件。 课堂练习 练习3 将下列分式约分。 （1） （2） （3） （4） 解第（1）题 。 分子为，分母为。 解第（2）题 。 分子为，分母为。 方法：先辨认结构，再按法则计算。 注意：结果化简，并保留原式有意义的条件。 方法：先辨认结构，再按法则计算。 注意：结果化简，并保留原式有意义的条件。 课堂练习 练习3 将下列分式约分。 （1） （2） （3） （4） 解第（3）题 。 分子为，分母为。 解第（4）题 。 分子为，分母为。 方法：先辨认结构，再按法则计算。 注意：结果化简，并保留原式有意义的条件。 方法：先辨认结构，再按法则计算。 注意：结果化简，并保留原式有意义的条件。 课堂练习 辨析　约项还是约因式 （1）。 × 理由：分子分母中的是加项，不是公因式。 （2）。 √ 理由：分子为，原式要求。 方法：按定义或法则逐条判断。 注意：错误结论要指出具体原因。 归纳总结 阶段归纳：形式与条件 形式 约分得到更简单的表达式，方便计算与比较。 条件 原式分母带来的限制仍然有效；约掉的因子也不能为零。 课堂总结 分式等值变形 基本性质 分子分母同乘或同除非零整式 约分 约去分子与分母的公因式 工具 因式分解与符号变换 结果 检查最简并保留原式条件 特别提醒：只能约公因式，不能直接约掉加减项。 针对训练 训练1　选择：正确变形 哪一项恒成立？A.；B.；C.。 答：B（各分式有意义）。 解 B中分子分母同除。 A、C把加减项直接消去，不符合基本性质。 方法：逐项核对变形依据。 注意：恒等变形是在原式有意义时讨论。 针对训练 训练2　填空：同步扩大 ，填空。 答：。 解 分母乘。 分子也乘。 方法：寻找分母的倍乘因子。 注意：把整个分子同步相乘。 针对训练 训练3　基本性质辨析 （1）分子分母同乘零，分式值不变。 × 理由：会得到分母为零的式子。 （2）约分前常需因式分解。 √ 理由：要先把多项式写为乘积。 （3）最简分式的分母一定是1。 × 理由：分子分母无公因式即可。 方法：按定义或法则逐条判断。 注意：错误结论要指出具体原因。 针对训练 训练4　约分：数字与字母 约分。 答：。 解 共同因式为。 分子分母同除这个公因式。 方法：分别处理系数与字母。 注意：指数相减要对应同一个字母。 针对训练 训练5　约分：负号 约分。 答：。 解 约去。 数字系数异号，式前保留负号。 方法：先定符号，再约公因式。 注意：负号只保留一次。 针对训练 训练6　平方差结构 约分。 答：。 解 分子为。 约去；原式。 方法：先因式分解。 注意：结果可以是整式。 针对训练 训练7　完全平方结构 约分。 答：。 解 分子为，分母为。 约去，原式要求。 方法：同时分解分子与分母。 注意：被约去因子的零点仍不可取。 针对训练 训练8　相反因式与平方 约分。 答：。 解 。 约去一个。 方法：统一相反因式再约分。 注意：相反因式的平方相等。 针对训练 训练9　是否最简 能否约成？ 答：不能，原式已是最简分式。 解 ，与分子不同。 平方和不能套用平方差公式分解。 方法：先验证所用因式分解是否正确。 注意：不要把平方和误当完全平方。 针对训练 训练10　系数化为整数 把化为分子、分母各项系数都是整数的分式。 答：。 解 分子分母都乘。 分子中的每一项都要乘。 方法：同乘各小数位数对应的10的幂。 注意：不能只改变分子中的一项。 针对训练 训练11　先化简再求值 求在时的值。 答：。 解 分子分解为，约分得。 原式在时有意义，代入得到。 方法：先化简可以减少计算量。 注意：先确认代入值不在禁值中。 针对训练 训练12　条件陷阱 化简，再讨论能否取。 答：化简为，但不能取。 解 原式分母要求。 分子为，约分没有取消原限制。 方法：化简与条件检查一起写。 注意：结果有定义，不代表原式也有定义。 针对训练 训练13　实际应用：圆环面积比 圆环外半径为、内半径为（）。求圆环面积与外圆面积之比。 答：。 解 圆环面积为。 外圆面积为，约分得到比值。 方法：先写两个面积，再约共同因式。 注意：面积比是无单位的数。 针对训练 训练14　实际应用：长方形花圃 花圃长为米，宽为米。草坪面积为平方米的三分之一。求草坪与花圃面积之比并约分。 答：。 解 花圃面积为。 比为，其中。 方法：面积先写成因式乘积。 注意：实际长度条件保证可约因式非零。 方法总结 解题方法与检查 公因式法 （1）先将多项式分解成因式乘积。 （2）约尽系数和字母的共同因式。 条件与符号检查 （1）相反因式变形时单独记录负号。 （2）保留原分母的全部非零条件。 $