10.4 分式的加减法（第3课时）课件 2026-2027学年北京版数学八年级上册

第10章 分式 10.4 分式的加减法 （第3课时）异分母加减与混合运算 八年级上册　数学（北京版） 学习目标 学习目标 认识 会用最简公分母完成异分母分式加减。 方法 掌握分式混合运算的顺序。 应用 用分式运算表示时间差与数量差。 复习引入 先通分再合并 旧知连接 同分母分式加减时，分母不变，分子相加减。 转化目标 异分母时先因式分解并通分，把问题转化为同分母计算。 知识讲授 异分母分式加减法则 异分母的分式相加减，先通分化为同分母分式，再进行加减运算。 通分后按同分母法则合并分子。 合并分子时仍需注意括号和符号。 随堂探究 示范　一个基本异分母和 计算。 答：。 解 通分为。 分母不变，分子相加。 方法：公分母先取最简。 注意：分母不能直接相加。 例题讲解 例 3 计算。 （1） （2） 解第（1）题 。 最简公分母为。 通分后的分子分别为与。 方法：先辨认结构，再按法则计算。 注意：结果化简，并保留原式有意义的条件。 例题讲解 例 3 计算。 （1） （2） 解第（2）题 。 两分母分解为与。 通分后分子为。 方法：先辨认结构，再按法则计算。 注意：结果化简，并保留原式有意义的条件。 随堂探究 变式　先提取公因式 计算。 答：。 解 第一分母为。 第二分式分子分母同乘后相加。 方法：先分解分母，再定缺少的因式。 注意：相加的运算符号保持不变。 例题讲解 例 4 计算。 答：。 解 分母。 分子为。 方法：通分后把减去的分子加括号。 注意：括号内去括号后变为。 随堂探究 变式　减法中的括号 计算。 答：。 解 第一式的分子、分母同乘。 分子。 方法：先写整体相减，再展开。 注意：外部减号作用于的全部项。 归纳总结 阶段归纳：异分母加减 通分 先因式分解，确定最简公分母，再让各式的分子、分母同乘缺因式。 合并 分母保持，分子整体相加减，最终检查是否可约分。 知识讲授 混合运算的顺序 与分数混合运算的运算顺序一样，分式的加、减、乘、除混合运算也是先进行乘除运算，再进行加减运算；遇有括号时，先进行括号内的运算。 先用括号或标记确定运算层次。 同一级的乘除或加减从左到右进行。 例题讲解 例 5 计算。 答：。 解 先算除法：。 再通分，分子。 方法：先乘除后加减，每步保留整体括号。 注意：原式排除。 随堂探究 变式　括号改变运算层次 计算。 答：。 解 括号内先通分为。 两个相同且非零的分式相除得到1。 方法：有括号先算括号内。 注意：还要求，除式不能为零。 知识讲授 乘法与加法的约分差别 乘法 分子、分母以因式形式出现时，可以约去共同因式。 加法 加减项不能跨项直接约去；先通分合并成一个分式。 课堂练习 练习　异分母与混合运算 计算。 （1） （2） （3） （4） 解第（1）题 。 最简公分母为，分子变为、。 方法：辨认运算层次，再按规则计算。 注意：化成最简式，保留原式的条件。 课堂练习 练习　异分母与混合运算 计算。 （1） （2） （3） （4） 解第（2）题 。 通分后分子为。展开得到。 方法：辨认运算层次，再按规则计算。 注意：化成最简式，保留原式的条件。 课堂练习 练习　异分母与混合运算 计算。 （1） （2） （3） （4） 解第（3）题 。 括号内分子为。再乘并约分。 方法：辨认运算层次，再按规则计算。 注意：化成最简式，保留原式的条件。 课堂练习 练习　异分母与混合运算 计算。 （1） （2） （3） （4） 解第（4）题 。 两括号分别为、。取除式倒数相乘并约去。 方法：辨认运算层次，再按规则计算。 注意：化成最简式，保留原式的条件。 随堂探究 探究　同一公分母的两种写法 计算。 答：。 解 最简公分母只保留一个。 通分后分子为。 方法：先检查分母的共同因式。 注意：不要重复乘已有的公因式。 随堂探究 探究　结果核对：代入一个数 用检查是否相符。 答：两边都等于。 解 左边为。 右边为。 方法：代入可用于发现计算错误。 注意：一次代入相符不能代替一般证明。 随堂探究 辨析　整式1的通分 计算。 答：。 解 把1写成。 分子。 方法：整式看作分母为1的分式。 注意：不能把1只放进分子而忽略公分母。 随堂探究 探究　运算顺序的对照 比较与。 答：依次为与。 解 第一式先算乘法。 第二式先在括号内合并为。 方法：用括号判断运算层次。 注意：相同数字和符号，括号不同结果可能不同。 课堂练习 辨析　混合运算检查 （1）有括号时可以先做括号外乘法。 × 理由：一般先算括号内，或使用正确分配律。 （2）通分后可以立即约去分子中的某一项。 × 理由：要约公因式，不能约加减项。 方法：按定义或法则逐条判断。 注意：错误结论要指出具体原因。 随堂探究 探究　分配律的简便计算 计算。 答：。 解 可先通分为再相乘。 也可用分配律分别相乘得到。 方法：结构允许时比较不同计算路径。 注意：两种方法都要保留。 随堂探究 探究　原式的完整条件 的有意义条件是什么？ 答：。 解 两个原分母排除和。 除式不能为零，额外排除。 方法：先列条件，再计算。 注意：化简后分母可能看不出全部禁值。 归纳总结 阶段归纳：完整计算链 顺序链 括号内优先，乘除优先，同级运算从左到右。 结构链 分解因式，乘除约分，加减通分，结果再化简。 课堂总结 分式混合运算 看顺序 括号、乘除、加减 看分母 先分解因式，找最简公分母 看分子 加减看整体，去括号查符号 看结果 约分并保留原式条件 特别提醒：乘除先做、加减后做；约分只约公因式。 针对训练 训练1　选择：运算先后 计算时，应先做什么？A.加法；B.除法；C.把三个分母相乘。 答：B。 解 乘除的优先级高于加减。 先把除法转化为乘法，化简后再相加。 方法：先确定运算层次。 注意：不必一开始就把所有项通分。 针对训练 训练2　基本异分母加法 计算。 答：。 解 通分后为。 同分母分子相加。 方法：先通分后合并。 注意：分母不直接相加。 针对训练 训练3　运算顺序判断 （1）分式混合运算也遵循先乘除后加减。 √ 理由：与分数混合运算一致。 （2）两个分式相减，通分后的分子可以不加括号。 × 理由：多项式分子应加括号防止符号错误。 （3）结果约分后原式禁值仍需保留。 √ 理由：化简不能扩大原式定义范围。 方法：按定义或法则逐条判断。 注意：错误结论要指出具体原因。 针对训练 训练4　异字母分母 计算。 答：。 解 公分母取。 两式的分子、分母分别同乘、。 方法：不同分母分别补缺因式。 注意：不要交换两个分子的扩乘因子。 针对训练 训练5　平方差分母 计算。 答：。 解 通分后分子为。 去括号合并为2。 方法：差式先给后一个分子加括号。 注意：原式。 针对训练 训练6　平方分母 计算。 答：。 解 通分后分子为。 展开合并为。 方法：分子是整体，减号不能漏。 注意：分子、分母需同乘所缺因式。 针对训练 训练7　整式与分式相减 计算。 答：。 解 把2写成。 分子。 方法：整式也要通分。 注意：常数2乘整个公分母。 针对训练 训练8　先乘后加 计算。 答：。 解 乘法部分约分为。 再与相加。 方法：先处理能约分的乘法。 注意：原式。 针对训练 训练9　括号内相减 计算。 答：。 解 括号内等于1。 除以分式等于乘它的倒数。 方法：先看括号内能否约成常数。 注意：原式排除。 针对训练 训练10　乘法分配律 计算。 答：。 解 用分配律分别乘。 各项约分后得到与。 方法：公分母在外部时可以利用分配律。 注意：必须乘到每一项。 针对训练 训练11　先化简再求值 求在时的值。 答：。 解 括号内为，原式化为。 代入。 方法：先化简，再检查取值并代入。 注意：不能把原式中的1漏乘公分母。 针对训练 训练12　错误去分母 小林化简，直接写成。请改正。 答：。 解 这是求式子的值，不能将它任意乘公分母。 应保持等值，用通分后相加。 方法：区分通分与方程去分母。 注意：式子不能无缘无故丢掉分母。 针对训练 训练13　实际应用：修路提效 一条路长千米，原来每天修千米，改进后每天修千米。提前多少天完成？ 答：天。 解 原时间与新时间分别为与。 两者相减通分，分子。 方法：提前时间=原计划时间−实际时间。 注意：实际条件。 针对训练 训练14　实际应用：两段骑行 某人骑行去程千米、速度千米/时，返程千米、速度千米/时。全程平均速度是多少？ 答：千米/时。 解 总时间为。 平均速度等于总路程12除以总时间。 方法：先求总时间，再用总路程相除。 注意：等路程的平均速度不是两速度直接平均。 方法总结 解题方法与检查 分层运算法 （1）先确定括号和乘除的运算层次。 （2）每一步只改变当前应计算的部分。 通分合并法 （1）分母先分解，按缺因式同步扩乘。 （2）分子整体相减，最后约分与验条件。 $