10.5 分式方程（第1课时）课件 2026-2027学年北京版数学八年级上册

第10章 分式 10.5 分式方程 （第1课时）分式方程及其解法 八年级上册　数学（北京版） 学习目标 学习目标 认识 认识分母中含未知数的分式方程。 方法 通过去分母转化为整式方程，并完成检验。 应用 解释无解的原因，初步列分式方程描述数量关系。 复习引入 方程中的分母 整式方程 整式方程中可以出现分数，但分母中不含未知数。 新的情况 当用总量除以含未知数的量表示数量时，会得到分母中含未知数的方程。 随堂探究 探究　花坛长宽的关系 长方形花坛面积保持平方米不变，原长延长米后，宽变为原来的。设原长为米，列方程。 答：。 解 原宽为米，新宽为米。 按“新宽是原宽的五分之四”列等式。 方法：同一个量用两种方式表示。 注意：实际条件。 知识讲授 分式方程 这种分母里含有未知数的方程叫作分式方程。 判断关键在分母是否含有未知数。 分母是数字常量的方程不属于这一类。 随堂探究 探究　方程类型的比较 与有什么不同？ 答：前者是整式方程，后者是分式方程。 解 前者分母2、3均为常数。 后者分母与含未知数。 方法：看未知数的位置。 注意：不能只凭出现分数线分类。 随堂探究 探索（1）　熟悉的去分母 解方程。 答：。 解 两边同乘6，得。 整理得。 方法：两边各项同乘公分母。 注意：右边的1也要乘6。 随堂探究 探索（2）　含字母公分母 解方程。 答：。 解 两边同乘，得。 整理得；代入原方程，两边都为1。 方法：去分母转为整式方程，再检验。 注意：原式要求。 随堂探究 探究　禁值先列出 方程中，未知数先要满足什么条件？ 答：且。 解 分别令两个原分母不为零。 后面去分母得到的候选值也必须满足这两项限制。 方法：先建立原方程的禁值清单。 注意：这里只列条件，不要求解本方程。 知识讲授 去分母与等式性质 条件范围 在原方程有意义的取值范围内，最简公分母不为零。 候选值检验 转化后若忘记这个范围，可能多得到无效值，所以最终必须回查。 知识讲授 为什么必须检验 去分母的差别 这次乘的公分母含有未知数，它可能在求出的值处等于零。 检验的作用 整式方程的解未必使原方程有意义，必须排除不合条件的值。 例题讲解 例 1 解下列方程。 （1） （2） 解第（1）题 。 两边同乘，得。 解得，代入原方程两边相等。 方法：各项同乘公分母，求候选值。 注意：代入原方程检验，排除无效值。 例题讲解 例 1 解下列方程。 （1） （2） 解第（2）题 原方程无解。 去分母得，解得。 此时最简公分母为零，原方程无意义。 方法：各项同乘公分母，求候选值。 注意：代入原方程检验，排除无效值。 随堂探究 变式　解出来的数不一定是解 解方程。 答：原方程无解。 解 去分母得，候选值。 原分母，候选值不能取。 方法：先求候选值，再验原式。 注意：不能把“整式方程有解”等同于“原方程有解”。 归纳总结 解分式方程的步骤 转化与求解 确定最简公分母，两边每一项同乘它，再解所得整式方程。 检验与结论 检查候选值是否使公分母为零，再确认原方程是否成立。 随堂探究 示范　去分母不能漏项 方程两边乘后应得到什么？ 答：。 解 左边分式项乘得3。 整式项也乘，成为。 方法：两边每一项都乘公分母。 注意：去分母不是只删除分数线。 随堂探究 示范　相反分母先统一 解方程。 答：。 解 第二项为，合并得。 解得，代入检验成立。 方法：先统一相反分母再去分母。 注意：变号后方程仍应等值。 课堂练习 练习1 解下列方程。 （1） （2） 解第（1）题 。 去分母得，即。 候选值不为4或，检验成立。 方法：各项同乘公分母，求候选值。 注意：代入原方程检验，排除无效值。 课堂练习 练习1 解下列方程。 （1） （2） 解第（2）题 。 两边同乘，得。 解得，代入原方程成立。 方法：各项同乘公分母，求候选值。 注意：代入原方程检验，排除无效值。 课堂练习 练习2 解下列方程。 （1） （2） 解第（1）题 。 去分母得。 化简得，原分母均非零，代入成立。 方法：各项同乘公分母，求候选值。 注意：代入原方程检验，排除无效值。 课堂练习 练习2 解下列方程。 （1） （2） 解第（2）题 原方程无解。 去分母得，解得。 原分母为零，候选值无效。 方法：各项同乘公分母，求候选值。 注意：代入原方程检验，排除无效值。 随堂探究 探究　用最简公分母检验 方程的最简公分母为，解整式方程得。能否作为原方程的解？ 答：不能。 解 代入最简公分母得0。 至少有一个原分母为零，原方程无意义。 方法：检验原分母的共同限制。 注意：最简公分母为零的候选值必须排除。 随堂探究 探究　无解的另一种情况 解方程。 答：原方程无解。 解 当时，去分母得。 整理得到，不成立。 方法：检查所得整式方程是否有解。 注意：无解不只有“候选值使分母为零”一种原因。 课堂练习 辨析　解方程的检查 （1）去分母后求出的数一定是原方程的解。 × 理由：必须检验原分母和原等式。 （2）检验时可把候选值代入原方程。 √ 理由：应确保两边有意义且相等。 方法：按定义或法则逐条判断。 注意：错误结论要指出具体原因。 知识讲授 方程与分式化简 化简式子 每一步保持式子的值不变，不能任意去掉分母。 解方程 按等式性质在两边进行运算；含未知数的乘数可能带来无效候选值。 随堂探究 探究　用代入检查错误答案 有人说的解为，请直接检验。 答：不是，正确解为。 解 代入，左边为3，右边为2。 去分母得，解得。 方法：代入原方程核对左右两边。 注意：公分母非零还不足以证明计算完全正确。 归纳总结 阶段归纳：两道关卡 第一关 候选值必须使原方程中的每个分母不为零。 第二关 代入后原方程左右两边相等，才能写出最终解。 课堂总结 分式方程 识别 未知数出现在分母 去分母 两边每项同乘最简公分母 求候选值 解所得整式方程 检验 排除禁值并检查原等式 特别提醒：去分母不能漏项，求出候选值后必须检验。 针对训练 训练1　选择：分式方程 哪个是分式方程？A.；B.；C.。 答：B。 解 B的分母含未知数。 A虽然有分数线，但分母是常数3。 方法：根据未知数是否在分母判断。 注意：看结构，不看分数线数量。 针对训练 训练2　基本方程 解。 答：。 解 两边同乘，得。 解得，检验原方程成立。 方法：去分母后解一元一次方程。 注意：检验。 针对训练 训练3　检验辨析 （1）方程中可取。 × 理由：会使原分母为零。 （2）分式方程一定无解。 × 理由：例如有解。 （3）去分母要乘等号两边的每一项。 √ 理由：等式的两边必须作相同运算。 方法：按定义或法则逐条判断。 注意：错误结论要指出具体原因。 针对训练 训练4　交叉相乘 解。 答：。 解 去分母得。 解得，两原分母非零，代入成立。 方法：相乘后先去括号。 注意：排除。 针对训练 训练5　含整式项 解。 答：。 解 去分母得。 解得7，代入原式左边为1。 方法：整式1也乘公分母。 注意：不能忘记分母中的常数。 针对训练 训练6　相反分母 解。 答：。 解 统一分母后为。 去分母得，检验成立。 方法：先处理相反因式。 注意：第二项变为减法。 针对训练 训练7　无效候选值 解。 答：原方程无解。 解 去分母得，候选值为。 它使分母。 方法：候选值必须回到原方程检查。 注意：不能把写成原方程的解。 针对训练 训练8　差式方程 解。 答：原方程无解。 解 去分母得。 化简为，矛盾。 方法：去分母后也要判断方程是否有解。 注意：无解可能来自恒不成立的等式。 针对训练 训练9　平方差分母 解。 答：被排除，原方程无解。 解 去分母得，即。 候选值1使原分母为零。 方法：先分解平方差分母。 注意：原方程禁值为。 针对训练 训练10　求非整数解 解。 答：。 解 去分母得。 解得，检验成立。 方法：按整式方程步骤求解。 注意：解不一定是整数。 针对训练 训练11　含参数的已知解 已知是的解，求。 答：。 解 代入，分母为1。 方程成为。 方法：把已知解代入原方程。 注意：先确认已知解不是禁值。 针对训练 训练12　订正漏乘错误 解时，小明写。请改正并求解。 答：应为，解得。 解 常数项1乘后成为。 代入原方程，左右均为。 方法：圈出每一项，逐项乘公分母。 注意：整式项不能漏乘。 针对训练 训练13　实际应用：平均费用 租车费用为元，若增加人，平均每人费用为原来的。原来有多少人？ 答：人。 解 设原来人，列。 解得，原方程与人数条件均成立。 方法：同一总费用除以不同人数。 注意：人数必须是正整数。 针对训练 训练14　实际应用：注水时间 容积升的水箱，水流量增加升/分后，注满时间为原来的。原流量是多少？ 答：升/分。 解 设原流量，列。 解得，检验为正且等式成立。 方法：按时间等于总量除以流量列式。 注意：检验要包含实际量为正。 方法总结 解题方法与检查 转化求解 （1）找最简公分母，两边每项同乘。 （2）解所得整式方程得到候选值。 回到原式检验 （1）排除使任一原分母为零的候选值。 （2）再检查等式与实际条件，写最终结论。 $