第二十六章 二次函数 小结 (课件) 2026-2027学年人教版九年级数学上册

小结 第二十六章 二次函数 人教版九年级上册 一般地，形如　 　(a，b，c是常数，　 　)的函数，叫做二次函数． y＝ax2＋bx＋c a ≠0 [注意] (1)等号右边必须是整式；(2)自变量的最高次数是2；(3)当b＝0，c＝0时，y＝ax2是特殊的二次函数． 1.二次函数的概念 核心知识点 二次函数 y=a(x − h)2+k y＝ax2＋bx＋c 开口 方向 对称轴 顶点坐标 最值 a＞0 a＜0 增减性 a＞0 a＜0 2.二次函数的图象与性质： a＞0 开口向上 a ＜ 0 开口向下 x=h (h , k) y最小=k y最大=k 在对称轴左边 x↗y↘；在对称轴右边 x↗y↗ 在对称轴左边 x↗y↗；在对称轴右边 x↗y↘ y最小= y最大= 核心知识点 3.二次函数图象的平移 y＝ax2 左、右平移 左加右减 上、下平移 上加下减 y＝−ax2 写成一般形式 沿x轴翻折 核心知识点 4.二次函数与一元二次方程的关系 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴交点 一元二次方程 ax2＋bx＋c=0的根 一元二次方程 ax2＋bx＋c=0根的判别式（b2−4ac） 有两个交点 有两个相异的实数根 b2−4ac > 0 有两个重合的交点 有两个相等的实数根 b2−4ac = 0 没有交点 没有实数根 b2−4ac < 0 核心知识点 5.二次函数解析式的求法 (1)一般式法：y＝ax2＋bx＋c (a≠ 0) (2)顶点法：y＝a(x − h)2＋k(a≠0) (3)交点法：y＝a(x − x1)(x − x2)(a≠0) 核心知识点 6.二次函数的应用 1．二次函数的应用包括以下两个方面 (1)用二次函数表示实际问题变量之间的关系，解决最大化问题(即最值问题)； (2)利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解． 2．一般步骤：(1)找出问题中的变量和常量以及它们之间的函数关系；(2)列出函数关系式，并确定自变量的取值范围；(3)利用二次函数的图象及性质解决实际问题；(4)检验结果的合理性，是否符合实际意义． 核心知识点 例1 已知y=（m+2）x|m|+2是关于x的二次函数，那么m的值为（　　） A．−2 B．2 C．±2 D．0 B 1.已知函数：①y=2x−1；②y=−2x2−1；③y=3x3−2x2；④y=2x2−x−1；⑤y=ax2+bx+c，其中二次函数的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 B 考点一 二次函数的图象与性质 【练一练】 考点讲练 例2 对于y＝2(x−3)2＋2的图象下列叙述正确的是(　　) A．顶点坐标为(−3,2) B．对称轴为y＝3 C．当x≥3时，y随x的增大而增大 D．当x≥3时，y随x的增大而减小 C 考点一 二次函数的图象与性质 考点讲练 2. 关于抛物线y=−x2+2x−3的判断，下列说法正确的是 （　　） A．抛物线的开口方向向上 B．抛物线的对称轴是直线x=-1 C．抛物线对称轴左侧部分是下降的 D．抛物线顶点到x轴的距离是2 D 考点一 二次函数的图象与性质 【练一练】 考点讲练 方法指导：解决此类题目可以先把二次函数y＝ax2＋bx＋c配方为顶点式y＝a(x − h)2＋k的形式，得到：对称轴是直线x＝h，最值为y＝k，顶点坐标为(h，k)；也可以直接利用公式求解. 考点一 二次函数的图象与性质 考点讲练 例3 二次函数y＝−x2＋bx＋c的图象如图所示，若点A(x1，y1)，B(x2，y2)在此函数图象上，且x1<x2<1，则y1与y2的大小关系是(　　) A. y1≤y2 B．y1<y2 C．y1≥y2 D．y1>y2 解析：由图象看出，抛物线开口向下，对称轴是 x＝1，当x＜1时，y随x的增大而增大． ∵x1<x2<1，∴y1<y2 . B 考点一 二次函数的图象与性质 考点讲练 12 12 3.已知点（−1，y1），（1.5，y2），（2，y3）在函数y=ax2−2ax+a−2（a＞0）的图象上，则将y1、y2、y3按由大到小的顺序排列是（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y2＞y1＞y3 D．y3＞y2＞y1 B 考点一 二次函数的图象与性质 【练一练】 考点讲练 4.已知二次函数y=−x2＋2bx＋c，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，则实数b的取值范围是（ ） A．b≥−1 B．b≤−1 C．b≥1 D．b≤1 解析：∵二次项系数为−1＜0，∴抛物线开口向下，在对称轴右侧，y的值随x值的增大而减小，由题设可知，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，∴抛物线y=−x2＋2bx＋c的对称轴应在直线x=1的左侧，抛物线y=−x2＋2bx＋c的对称轴为 ，即b≤1. D 考点一 二次函数的图象与性质 考点讲练 例4 将抛物线y＝x2−6x＋5向上平移 2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线解析式是(　　) A．y＝(x−4)2−6 B．y＝(x−4)2-2 C．y＝(x−2)2-2 D．y＝(x−1)2−3 解析：因为y＝x2−6x＋5＝(x−3)2−4，所以向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的解析式为y＝(x−3−1)2 − 4＋2，即y＝ (x − 4)2−2. B 考点一 二次函数的图象与性质 考点讲练 5.若抛物线 y=−7(x+4)2−1平移得到 y=-7x2，则可能（ ） A.先向左平移4个单位，再向下平移1个单位 B.先向右平移4个单位，再向上平移1个单位 C.先向左平移1个单位，再向下平移4个单位 D.先向右平移1个单位，再向下平移4个单位 B 考点一 二次函数的图象与性质 【练一练】 考点讲练 例5 (1)已知关于x的二次函数，当x=−1时，函数值为10，当x=1时，函数值为4，当x=2时，函数值为7，求这个二次函数的解析式. 待定系数法 解：设所求的二次函数为y＝ax2+bx＋c，由题意得： 解得： a=2，b= −3，c=5. ∴ 所求的二次函数为y＝2x2−3x＋5. 一般式 考点一 二次函数的图象与性质 考点讲练 (2)已知关于x的二次函数，当x=−2或4时，y=−16，且函数的最大值为2．求二次函数的解析式． 解：∵当x=−2或4时，y=−16，且函数的最大值为2． ∴对称轴为直线 . ∴顶点为(1，2)， 设二次函数解析式为y=a(x−1)2+2， 把(−2，−16)代入得−16=9a+2，解得a=−2， ∴y=−2(x−1)2+2， ∴二次函数解析式为y=−2(x−1)2+2， 顶点式 考点一 二次函数的图象与性质 考点讲练 6.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（−1，0）、 B（3，0）两点，与y轴交于点C(0,−3)． （1）求抛物线的解析式； 解：设y=a(x+1)(x−3), 将点（0，−3）代入，得 −3=a(0+1)(0−3), 解得a=1. ∴y=(x+1)(x −3)=x2 −2x − 3. 交点式 考点一 二次函数的图象与性质 【练一练】 考点讲练 （2）点Q为抛物线上一点，若S△QAB=8，求出此时点Q的坐标． 解：设Q（x，y）， 则S△QAB= AB•|y|=2|y|=8， ∴y=±4． 解得 则Q的坐标为 ②当y=-4时，即x2−2x−3=−4， 解得x3=x4=1. 则Q点的坐标为（1，−4）. ①当y=4时， 即x2−2x−3=4. 综上所述，则点Q的坐标为 或（1，−4）. 考点一 二次函数的图象与性质 考点讲练 例6 已知二次函数y=x2−2mx+m2 −1（m为常数）． 求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点. 解析：函数的图象与x轴总有两个公共点，即方程x2−2mx+m2−1=0有两个不相等的实数根，根据根的判别式求解即可. 证明：Δ=b2−4ac=(−2m)2−4(m2−1)=4＞0， 故不论m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点. 考点二 二次函数与方程 考点讲练 7.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则方程ax2+bx+c−2=0的根的情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 B 考点二 二次函数与方程 【练一练】 考点讲练 B离地面O点的距离是1m，球落地点A到O点的距离是4m，那么这条抛物线的解析式是（　　） 例7 在比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛 物线 的一部分（如图），其中出球点 A 考点三 二次函数的实际应用 考点讲练 8.如图为一座抛物线型的拱桥，AB、CD分别表示两个不同位置的水面宽度，O为拱桥顶部，水面AB宽为10米，AB距桥顶O的高度为12.5米，水面上升2.5米到达警戒水位CD位置时，水面宽为（　　）米． C 方法指导：解决此类题目需运用建模思想，建立合适的平面直角坐标系，抽象出函数模型，解决相关问题 考点三 二次函数的实际应用 【练一练】 考点讲练 例8 某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y(件)与销售单价x(元)符合一次函数y＝kx＋b，且x＝65时，y＝55；x＝75时，y＝45. (1)求一次函数的表达式； (2)若该商场获得利润为w元，试写出利润w与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？ 考点三 二次函数的实际应用 考点讲练 解：(1)根据题意，得 解得k=-1，b=120.故所求一次函数的表达式为y=-x+120. (2)w=(x-60)•(−x+120)= − x2+180x-7200= −(x − 90)2+900, ∵抛物线的开口向下， ∴当x＜90时，w随x的增大而增大， 而60≤x≤60×(1+45%)，即60≤x≤87, ∴当x=87时，w有最大值，此时w=−(87− 90)2+900=891. 考点三 二次函数的实际应用 考点讲练 9.一家电脑公司推出一款新型电脑，投放市场以来3个月的利润情况如图所示，该图可以近似看作为抛物线的一部分，请结合图象，解答以下问题： (1)求该抛物线对应的二次函数解析式；(2)该公司在经营此款电脑过程中，第几月的利润最大？最大利润是多少？ (3)若照此经营下去，请你结合所学的知识，对公司在此款电脑的经营状况(是否亏损？何时亏损？)作预测分析． 考点三 二次函数的实际应用 【练一练】 考点讲练 解：(1)因图象过原点，则设函数解析式为y=ax2+bx，由图象的点的含义，得 解得a=−1，b=14. 故所求一次函数的表达式为y=−x2+14x. (2) y=−x2+14x=−(x−7)2+49.即当x=7时，利润最大，y=49. (3) 没有利润，即y=−x2+14x=0.解得x1=0(舍去），或x2=14，而这时利润为滑坡状态，所以第15个月，公司亏损. 考点三 二次函数的实际应用 考点讲练 例9 如图，梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC＝90°，∠A＝45°，AB＝30，BC＝x，其中15＜x＜30.作DE⊥AB于点E，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在F处，DF交BC于点G. (1)用含有x的代数式表示BF的长； (2)设四边形DEBG的面积为S，求S与x的函数关系式； (3)当x为何值时，S有最大值？并求出这个最大值． 考点三 二次函数的实际应用 考点讲练 解：（1）由题意，得EF=AE=DE=BC=x，AB=30. ∴BF=2x−30. （3）S= x2+60x-450= (x-20)2+150. ∵a= ＜0,15＜20＜30， ∴x=20时，S有最大值，最大值为150. （2）∵∠F=∠A=45°，∠CBF=∠ABC=90°， ∴∠BGF=∠F=45°，BG=BF=2x−30. 所以S△DEF-S△GBF= DE2 − BF2= x2− (2x−30)2= x2+60x-450. 考点三 二次函数的实际应用 考点讲练 10.张大伯准备用40m长的木栏围一个矩形的羊圈，为了节约材料同时要使矩形的面积最大，他利用了自家房屋一面长25m的墙，设计了如图一个矩形的羊圈. (1)请你求出张大伯矩形羊圈的面积； (2)请你判断他的设计方案是否合理？如果合理，直接答合理；如果不合理又该如何设计？并说明理由. 25m 考点三 二次函数的实际应用 【练一练】 考点讲练 解：（1）由题意，得 羊圈的长为25m，宽为(40-25)÷2=7.5(m). 故羊圈的面积为25×7.5=187.5(m2) （2）设羊圈与墙垂直的一边为xm,则与墙相对的一边长为(40-2x)m, 羊圈的面积S=x(40-2x)=-2x2+40x=-2(x-10)2+200，(7.5≤x＜20). ∵7.5≤10＜20，所以当x=10时，S有最大值，此时S=200. 故张大伯的设计不合理.羊圈与墙垂直的两边长为10m，而与墙相对的一边长为(40-2x)m=20m. 考点三 二次函数的实际应用 考点讲练 考点1 二次函数的图象和性质 1. 将抛物线y＝x2＋2x向下平移4个单位长度后，所得新抛物线对应的函数解析式为（　A　） A. y＝（x＋1）2－5 B. y＝（x＋1）2－4 C. y＝（x－1）2－5 D. y＝（x－1）2－4 A 考点练习 2. 下列关于二次函数y＝（x－2）2－3的说法正确的是（　D　） A. 图象是一条开口向下的抛物线 B. 图象与x轴没有交点 C. 当x＜2时，y随x的增大而增大 D. 图象的顶点坐标是（2，－3） D 3. 已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝x2－3上，且0＜x1＜x2，则y1 　＜　y2（填“＞”“＜”或“＝”）. ＜　 4. [2025山东]已知二次函数y＝x（x－a）＋（x－a）（x－b）＋x（x－b），其中a，b为两个不相等的实数. （1） 当a＝0，b＝3时，求此函数图象的对称轴. 解：（1） 当a＝0，b＝3时，二次函数y＝x（x－a）＋（x－a）（x－b）＋x（x－b）＝x（x－0）＋（x－0）（x－3）＋x（x－3）＝3x2－6x，∴ 此函数图象的对称轴为直线x＝－ ＝1　 （2） 当b＝2a时，若当0≤x≤1时，y随x的增大而减小；当3≤x≤4时，y随x的增大而增大.求a的取值范围. 解：（2） 当b＝2a时，二次函数y＝x（x－a）＋（x－a）（x－b）＋x（x－b）＝x（x－a）＋（x－a）（x－2a）＋x（x－2a）＝3x2－6ax＋2a2，∴ 此函数图象的对称轴为直线x＝－ ＝a.∵ 3＞0，∴ 图象开口向上.∵ 当0≤x≤1时，y随x的增大而减小，∴ a≥1.∵ 当3≤x≤4时，y随x的增大而增大，∴ a≤3.∴ 1≤a≤3 考点2 用待定系数法求二次函数的解析式 5. 已知一条抛物线的形状、开口方向均与抛物线y＝－2x2＋9x相同，且它的顶点坐标为（－1，6），则这条抛物线对应的函数解析式为 　y＝－2（x＋1）2＋6　. y＝－2（x＋1）2＋6　 6. [2025福建]在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx－2的图象过点A（1，t），B（2，t）. （1） 求 的值. 解：（1） ∵ 二次函数y＝ax2＋bx－2的图象的对称轴为直线x＝－ ，点A（1，t），B（2，t）在该函数的图象上，∴ 2－ ＝－ －1.∴ － ＝ .∴ ＝－3　 ① 求该二次函数的解析式； 解：（2） ① 由（1），易得b＝－3a，∴ 该函数的解析式为y＝ax2－3ax－2.∴ 函数图象的顶点坐标为 .∵ 函数的最大值为1－ a2，∴ a＜0，且－ a－2＝1－ a2，解得a＝－1或a＝4（舍去）.∴ 该二次函数的解析式为y＝－x2＋3x－2　 （2） 已知二次函数y＝ax2＋bx－2的最大值为1－ a2. 解：② ∵ 点M（x1，m）在函数y＝－x2＋3x－2的图象上，∴ m＝－ ＋3x1－2.由①知，点M（x1，m），N（x2，m）关于直线x＝ 对称，不妨设x1＜x2，则x2－ ＝ －x1，即x1＋x2＝3， ∴ － ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝0.∴ ＝ ② 若M（x1，m），N（x2，m）为该二次函数图象上的不同两点，且m≠0，求证： ＝ . 考点3 二次函数与一元二次方程的关系 7. 若关于x的二次函数y＝ mx2＋（m＋1）x＋m＋1的图象与x轴有两个公共点，则满足条件的m的值可以是下列四个数中的（　C　） A. －1 B. 0 C. 1 D. －2 C 8. 如果二次函数y＝ax2＋bx＋3的图象经过点A（－1，0）， B（3，0），那么一元二次方程ax2＋bx＝0的根为 　x1＝0，x2＝2. x1＝0，x2＝2　 考点4 二次函数的实际应用 9. 某水果店销售一批水果，平均每天可售出40千克，每千克盈利4元.经调查发现，每千克每降价0.5元，该水果店平均每天可多售出10千克，则该水果店销售这批水果平均每天的最高利润为 　180　元. 180　 10. [2024潍坊]某商场为了减少夏季降温和冬季供暖的能源消耗，计划在商场的屋顶和外墙建造隔热层，其建造成本P（万元）与隔热层厚度x（cm）满足函数解析式P＝10x.预计该商场每年的能源消耗费用T（万元）与隔热层厚度x（cm）满足函数解析式T＝21－ ，其中0≤x≤9.设该商场的隔热层建造费用与未来8年能源消耗费用之和为y万元. （1） 若y＝148，求该商场建造的隔热层厚度； 解：（1） 由题意，得y＝P＋8T＝10x＋8×［21－ ］＝－x2＋4x＋160.当y＝148时，－x2＋4x＋160＝148，解得x1＝6，x2＝－2.∵ 0≤x≤9，∴ x2＝－2不符合题意，舍去.∴ 该商场建造的隔热层厚度为6cm （2） 已知该商场未来8年的相关规划费用为t万元，且t＝y＋x2，当172≤t≤192时，求x的取值范围. 解：（2） 由（1），得y＝－x2＋4x＋160.∵ t＝y＋x2，∴ t＝－x2＋4x＋160＋x2＝4x＋160（172≤t≤192）.∵ 4＞0，∴ t随x的增大而增大.当t＝172时，4x＋160＝172，解得x＝3；当t＝192时，4x＋160＝192，解得x＝8.∴ x的取值范围是3≤x≤8 11. [2025德阳]已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，且a＞0）过点（1，0），（m，0），且2＜m＜3，该抛物线与直线y＝kx＋c（k，c是常数，且k≠0）相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点（点A在点B的左侧）.给出下列说法：① bc＜0；② 3a＋b＞0；③ 若A'是点A关于直线x＝－ 的对称点，则3＜AA'＜4；④ 当x2＝4时，不等式ax2＋（b－k）x＜0的解集为0＜x＜4.其中，正确的个数是（　B　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 B 12. 若二次函数y＝x2－2x－3的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于m，则m的值为 　4　. 13. [2024广西]如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点P处）的高度OP是 m，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是5m，高度是4m.若实心球落地点为M，则OM＝ 　 　m. 4　 　 14. [2024德州]已知抛物线y＝x2－4mx＋2m＋1，m为实数. （1） 如果该抛物线经过点（4，3），求此抛物线的顶点坐标； 解：（1） ∵ 抛物线y＝x2－4mx＋2m＋1经过点（4，3），∴ 16－16m＋2m＋1＝3，解得m＝1.∴ y＝x2－4x＋3＝（x－2）2－1.∴ 此抛物线的顶点坐标为（2，－1） （2） 若当2m－3≤x≤2m＋1时，y的最大值为4，求m的值； 解：（2） ∵ y＝x2－4mx＋2m＋1＝（x－2m）2－4m2＋2m＋1，∴ 抛物线开口向上，对称轴为直线x＝2m.∵ 当2m－3≤x≤2m＋1时，y的最大值为4，∴ 当x＝2m－3时，y＝4.∴ （2m－3－2m）2－4m2＋2m＋1＝4，整理，得2m2－m－3＝0.∴ m＝ 或m＝－1 （3） 已知点O（0，0），A（1，0），如果该抛物线与线段OA（不含端点）恰有一个交点，求m的取值范围. 解：（3） ∵ 抛物线y＝x2－4mx＋2m＋1与线段OA（不含端点）恰有一个交点，∴ 或 ∴ m＞1或m＜－ 实际问题 归纳 抽象 二次函数 y=ax2 + bx + c 实际问题的答案 利用二次函数的图象和性质求解 图象 目标 性质 课堂小结 $