第二十六章 二次函数 小结第2课时课件 数学 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件系统梳理了二次函数解决实际问题的知识体系，通过知识结构图将实际问题、二次函数图像与性质、求解步骤及常见类型（抛物线运动、图形面积等）有机串联，构建“实际问题-函数模型-求解应用”的完整逻辑网络。 其特色在于采用“问题引领-例题精讲-追问拓展”模式，如例1抛物线运动问题建立坐标系求解析式，例3最大利润问题分析自变量取值范围，培养学生抽象能力、推理意识和模型观念。分层设计从基础步骤到综合应用，助力学生巩固知识，教师提升复习针对性。

第二十六章　二次函数 小结（第 2 课时） 数学人教版九年级上册 　　问题 1　综合本章所学的用二次函数解决实际应用问题的内容，尝试 自己画一画这一部分内容的知识结构图．　　 知识回顾 图象 性质 实际问题 实际问题 的答案 二次函数 y＝ax2＋bx＋c 利用二次函数的 图象与性质求解 归纳 抽象 目标 知识回顾 　　问题 2　二次函数解决实际问题的一般步骤是什么？ 　　 根据自变量的取值范围 求出最大值或最小值 根据实际意义确定自变量的取值范围，结合函 数的开口方向、对称轴和定义域，分析最值． 回归实际，作答 将函数最值转化为实际问题的答案，注意单位 和合理性． 　　 审清题意，设变量 明确自变量和因变量，用字母表示． 找等量关系，列函数式 根据题意列出二次函数表达式，整理为一般式 或顶点式． 知识回顾 　　追问　二次函数解决实际问题中为什么要注意变量的意义？ 　　 　　在实际问题中，各个量除了要满足一定的数量关系外，还必须要考 虑各个量的实际意义和已知条件的限制． 知识回顾 　　问题 3　利用二次函数解决实际问题有哪些常见的类型？ 抛物线形建筑问题 最大利润问题 图形面积问题 抛物运动问题 知识回顾 　　追问　二次函数解决抛物线形建筑问题的一般步骤是什么？ 　　建立平面直角坐标系的方法有多种，建立适当的平面直角坐标系能 简化函数解析式．通常应使已知点在坐标轴上． 　　建立适当的平面直角坐标系，将抛物线形的图形放在坐标系中． 　　设出函数解析式，结合图形和已知条件，用待定系数法求函数解析式． 　　利用二次函数的图象和性质解决问题． 知识回顾 　　问题 4　将实际问题抽象为求二次函数的最大值或最小值，最需要 注意的是什么？ 　　用二次函数模型解决实际问题时，要注意自变量和函数值的取值范围． 　　用二次函数知识解决实际问题，有时与方程（组）、不等式（组）、 一次函数等知识综合，在图形问题中，也常和三角形、四边形、圆等相 关知识联系． 例题精讲 　　例 1　实心球是一项以力量为基础，以动作速度为核心的投掷项目． 部分地区将“投掷实心球”的分数计入中考．如下图，体育课上，某同 学投掷实心球，出手（点 P 处）的高度 OP 是　 m，出手后实心球沿一 段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是 5 m，高度是 4 m．若实心球 落地点为 M，求 OM 的长度．　　 7 4 构造二次函数模型 点 M 的纵 坐标为 0 顶点 以直线 OM 为 x 轴 以点 O 为原点 以直线 OP 为 y 轴 求二次函数的解析式 解决实际问题 建立平面直角坐标系 点的坐标 8 例题精讲 　　解：以点 O 为原点，以直线 OM 为 x 轴，以直线 OP 为 y 轴，建立平面直角坐标系． 　　依题意可得，抛物线的顶点坐标为(5，4)，点 P 的坐标为 ． 　　设这条抛物线表示的二次函数为 y＝a(x－5)2＋4 ． 　　由抛物线经过点 ，可得 ＝a×(0－5)2＋4， 　　解得 a＝－ 　 ． 　　所以抛物线对应的二次函数为 y＝－ (x－5)2＋4． 　　当 y＝0 时，0＝－ (x－5)2＋4． 　　解得 x1＝－ ，x2＝ ． 　　因此 OM 的长度为 ． 7 4 0， 7 4 0， 7 4 9 100 9 100 9 100 5 3 35 3 35 3 例题精讲 　　例 2　如图 1，点 E，F，G，H 分别位于正方形 ABCD 的四条边上， 且满足 AE＝BF＝CG＝DH，设 AE＝x，四边形 EFGH 的面积为 y．若 y 关 于 x 的函数图象如图 2 所示，求正方形 ABCD 的边长．　　 四边形 EFGH 是 什么四边形？ y 关于 x 的函数是什么函数？ 观察 猜想 证明 y 关于 x 的函数图象是抛物线 四边形 EFGH 是正方形 y 关于 x 的函数是二次函数 图 1 图 2 10 例题精讲 　　解：∵　四边形 ABCD 为正方形， 　　∴　AB＝BC＝CD＝DA，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90º． 　　∵　AE＝BF＝CG＝DK ， 　　∴　BE＝CF＝DH＝AH． 　　∴　△AEH ≌△BFE ≌△CGF ≌△DHG． 　　∴　EF＝FG＝GH＝HE，∠AHE＝∠BEF． 　　∵　 ∠AHE＋∠AEH＝90º， 　　∴　∠BEF＋∠AEH＝90º． 　　∴　∠HEF＝90º． 　　∴　四边形 HEFG 是正方形． 设 AB＝BC＝CD＝DA＝a ． ∵　 AE＝BF＝CG＝DK＝x ， ∴　BE＝CF＝DH＝AH＝a－x． ∴　y＝HE2＝AE2＋AH2＝x2＋(a－x)2＝2x2－2ax＋a2． 其中 0<x<a． 当 x＝－ ＝ 时，S 有最小值为 . 因此　 ＝　 ，所以 a＝1 ，即正方形 ABCD 的边长为 1. －2a 2×2a a 2 a2 2 a2 2 1 2 图 1 图 2 例题精讲 　　例 3　某商品的进价为每件 35 元，售价为每件 50 元，每个月可卖出 210 件；如 果每件商品的售价每上涨 1 元，那么每个月少卖 7 件（每件售价不能高于 70 元）． 现对商品涨价，则每件商品的售价定为多少时，每个月可获得最大利润？最大月利润 是多少？ 设涨价后商品的售价为 x 元，每个月售出商品所得的利润为 y 元． 所得利润 y＝(x－35)[210－7(x－50)]＝－7x2＋805x－19 600 实际卖出 [210－7(x－50)]件 少卖 7(x－50)件 上涨了(x－50)元 其中 50<x≤70 设商品的售价上涨了 x 元，每个月售出商品所得的利润为 y 元． 所得利润 y＝(50＋x－35)(210－7x)＝－7x2＋105x＋3 150 实际卖出 (210－7x)件 少卖 7x 件 上涨了 x 元 其中 0<x≤20 12 例题精讲 　　例 3　某商品的进价为每件 35 元，售价为每件 50 元，每个月可卖出 210 件；如 果每件商品的售价每上涨 1 元，那么每个月少卖 7 件（每件售价不能高于 70 元）． 现对商品涨价，则每件商品的售价定为多少时，每个月可获得最大利润？最大月利润 是多少？ 　　解：设商品的售价上涨了 x 元，每个月售出商品所得的利润为 y 元． 　　所得利润 y＝(50＋x－35)(210－7x)＝－7x2＋105x＋3 150，其中 0<x≤20 ． 　　当 x＝－ ＝－　　 ＝7.5 时， 　　y 有最大值为(50＋7.5－35)(210－7×7.5) ＝ 3 543.75 ． 　　因此，当涨价 7.5 元，即售价定为 57.5 元时，利润最大．最大利润是 3 543.75 元 ． b 2a 105 2×(－7) 例题精讲 　　追问　每件商品的售价在什么范围时，每个月的利润不低于 3 500 元？ 　　解：设商品的售价上涨了 x 元，每个月售出商品后所得的利润为 　　y＝－7x2＋105x＋3 150，其中 0<x≤20． 　　对称轴为 x＝－ ＝－　　 ＝7.5． 　　当 y＝3 500 时，－7x2＋105x＋3 150＝3 500， 　　解得 x1＝10，x2＝5． 　　所以当 5≤x≤10 时，y≥3 500． 　　因此售价不低于 55 元且不高于 60 元时，每个月的利润不低于 3 500．　　 b 2a 105 2×(－7) 14 课堂小结 　　问题 5　本节课我们复习了哪些内容？涉及了哪些思想方法？　　 　　通过本节课，我们对本章知识和思想方法进行了梳理和知识回顾． 　　主要包括：（1）二次函数解决实际问题的一般步骤； 　　（2）二次函数解决实际问题的一般类型； 　　（3）建立适当的平面直角坐标系解决抛物线形建筑问题； 　　（4）将实际问题抽象二次函数的最大值或最小值问题一定要注意 自变量和函数值的取值范围． 　　涉及的思想主要有建模思想和数形结合思想． 15 课后任务 教科书复习题 26 第 1，7，8，10，12 题． 16 $