精品解析：山东省临沂第三十五中学2025-2026学年上学期12月月考九年级数学试卷

6学科网 命组卷网 九年级数学 (满分：100分时间：60分钟) 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.如图，在△ABC中，∠C=90°，设∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,则() B e b b A.sinA=b B.a=sinB×c C.cosA=c D.tanA=a 【答案】C 【解析】 【分析】根据锐角三角函数的定义逐项进行判断即可. 【详解】解：在△ABC中，∠C=90°，设∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c, a b b a 因此有：sinA=c,sinB=c,cosA=c,tanA=b, 故A不符合题意；故C符合题意；故D不符合题意； b 由sinB=c可得b=-sinBxc,故B不符合题意： 故选：C 【点睛】本题考查锐角三角函数的定义，掌握锐角三角函数的意义是正确判断的前提 AC=100,sin 2.在△ABC中，∠ABC=90°，若 5,则AB的长是() 500 503 A.3 B.5 C.60 D.80 第1页/共23页 命学科网 命组卷网 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数的定义得到BC和AC的比值，求出BC,然后利用勾股定理即可求解. Bc 3 【详解】解：，∠ABC=90°，sin∠A=AC=5,AC-100, .BC=100×3÷5=60, .AB=AC2-BC2 =80, 故选D. 【点睛】本题主要考查的是解直角三角形，掌握勾股定理和正弦函数的定义是解题的关键， 3.在△ABC中，∠C=90°，∠B=26°，AC=4,若用科学计算器求边AB的长，则下列按键顺序正确 的是() 4÷tan26= 4÷sim26= B. 4L×☐co阏26□=☐ 4L×tam2幻6幻=☐ C D 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查计算器求锐角三角函数，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键； Rt△AB 【详解】解：在 C中，∠B=26°AC=4 .sin B=4C AB, 即AB=4÷sin26° 故选：B 4.双坡式屋顶在建筑中应用广泛，其优点之一就是有利于排水.如图是某双坡式屋顶钢架外框，经测量， 钢架的跨度BC=6m,∠B=36°，AB=AC,则中柱AD(D为底边中点)的长是() 第2页/共23页 6学科网组卷网 3sin36°m 3c0s36°m 3tan36°m 6tan36°m B. C. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形，等腰三角形三线合一的应用，用三角函数即可；根据题意得 ∠ADB=90°， BD=DC=IBC=3m tan B=AD 2 ,可得 DB,即可求解 【详解】解：：AB=AC,则中柱AD(D为底边中点)的长 ∠ADB=90°， BD=DC=1BC=3m 2 在Rt△ABD中，∠B=36°，BD=3m, .tan B=4D DB,即AD=3tan36m, 故选：C 5.式子2cos30°-tan45°-V1-tan60)'的值是() A.0 B.2V5 C.2 D.-2 【答案】A 【解析】 【分析】根据特殊角的三角函数值计算即可. 【1解.片武=2×51--可 2 第3页/共23页 6学科网 列组卷网 =V5-1-(3-1) =3-1-V3+1 =0 故选：A 【点睛】本题考查特殊角的三角函数值及二次根式的混合运算，解题关键是熟练掌握特殊角的三角函数值， 6.如图，在平面直角坐标系内有一点P(3,4),连接OP,则OP与x轴正方向所夹锐角α的正弦值是( ) y P(3,4) 3 A.4 c.5 4-5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】作PM⊥x轴于点M,构造直角三角形，根据三角函数的定义求解 【详解】解：作PMLx轴于点M, .P(3,4), ∴.PM-4,OE3 由勾股定理得：OP=5, PM 4 sina= 0p=5, 故选：D 第4页/共23页 命学科网 命组卷网 【点睛】本题考查了勾股定理和锐角三角函数的定义，一个角的正弦值等于它所在直角三角形的对边与斜 边之比 7.某停车场入口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置AB绕点O旋转到A'B'的位置，已知OA=a米，若栏 杆的旋转角∠AOA'=α，则栏杆最外点A升高的高度为() A A --OB B a A.atana米 B.acos米 C.sina米 D.asin米 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的基本要领是解题的关键. 过点A作AD⊥OA于点D,解直角三角形即可. 【详解】解：过点A'作A'D⊥OA于点D, A A OB D B 则AD=A'Osina=A0sina=asina(米). 故选D。 8.如图，在7X7网格中，每个小正方形的边长为1，△ABC的顶点都在格点上，则sin∠ABC的值为( 第5页/共23页 命学科网命组卷网 B 23W26 23W26 23V29 23V29 A. 260 B.130 C.145 D.290 【答案】B 【解析】 【分析】如图，过点A作AD⊥BC于点D,在R△ABD中求出sin∠ABC即可. 【详解】解：如图，过点A作AD⊥BC于点D, AB2=32+42=25BC2=12+52=26AC2=22+52=29 设BD=x,则DC=V26-x RIMBD AD-AB'-BD AB-5. 在 中， 在RM4CD,AD2=AC2-DC2. .AB2-BD2=AC2-DC2 即：25-x2=29-(V26-x月 11 xX= 解得，√26， BD=11 V26 第6页/共23页 6学科网 命组卷网 AD2=25 26, 529 .AD= 26, 529 23√26 ∴.sin∠ABC= AD =26=26 23V26 AB 5 130 故选：B B 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，在网格中利用勾股定理求线段的长，求角的正弦值，作BC上 的高是解决本题的关键 9如图，台风在某海岛（设为点0）的南偏东45°方向的B点生成，测得OB=1006km 台风中心从点 B.,40m/h 5h C C 的速度向正北方向移动，经后到达海面上的点处.因受气旋影响，台风中心从点开 始以30kW的速度向北偏西60°方向继续移动，以O为原点建立如图所示的直角坐标系.已知距台风中心 20km 的范围内均会受到台风的侵袭.如果某城市（设为点）位于点的正北方向且处于台风中心的移 动路线上，那么台风从生成到最初侵袭该城要经过的时间为() 第7页/共23页 6学科网 组卷网 y/km 60° 东 x/ki 450 B A.8小时 B.9小时 C.10小时 D.11小时 【答案】D 【解析】 【分析】首先利用解直角三角形求出AC的长度，进而求出台风从点C到最初侵袭该城要经过的时间，最 后再加上从台风形成到点C的5小时即可. 【详解】过点C作CD⊥OA于点D, y A D B ∠E0B=90°-45°=45°，∠ACD=90°-60°=30° 由题意可知 .OB=100v6km :0B=50B=10N3km 2 .DC=OE =100v3km 第8页/共23页 学科网命组卷网 DC 100W3 ..AC=- =200km 0s30° V3 2 ,台风中心从点C开始以30kh的速度向北偏西60°方向继续移动， 200-20=6h ∴.台风从点C到最初侵袭该城要经过的时间为30 ,台风中心从点B以4Okmh的速度向正北方向移动，经5h后到达海面上的点C处， ∴.台风从生成到最初侵袭该城要经过的时间为6+5=11h, 故选：D 【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，构造出直角三角形是关键。 1Q如图，轮钉子的工具是一个杠轩，根据杠杆原理，×=Ba×L,对方时L=L-c0sa,阻力 腾-1cosB 如果动力F的用力方向始终保持竖直向下，当阻力不变时，则杠杆向下运动时的动力变 化情况是() F阻 7771T7117 A.越来越小 B.不变 C.越来越大 D.无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角函数的应用，根据等式得 F×-cosB=F动×L?cosa 然后可得杠杆向下运动 时“变小，B变大，cos安大，cos 变小，即可求解. 【详解】解：·×L=×L 第9页/共23页 6学科网6组卷网 .a×1cosB=FxLosa 杠杆向下运动时“变小，B变大，osa变大，cos 变小， :F越米越小， 故选：A 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=17,BC=8,则sinB=一 15 【答案】17 【解析】 【分析】首先利用勾股定理求出AC的长，再利用锐角三角函数关系得出siB的值. 【详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=17,BC=8, 4=VAB2-BC2=V172-82=15 AC 15 :.sinB=AB 17' 15 故答案为：17. 【点睛】此题主要考查了锐角三角函数关系以及勾股定理，正确掌握锐角三角函数关系是解题关键. sinA、v +(tanB-1)=0 12.在△ABC中，若2 ,则∠C的度数为一 【答案】75 【解析】 【分析】本题主要考查特殊角三角函数值的问题，绝对值和平方的非负性。 根据题意得 sin 4-3 2 =0,(amB-=0,进而得出∠A=60,∠B=450,根韬三角形的内角和定 第10页/共23页 6学科网命组卷网 理，即可解答. 【详解】解： mA-(am8-=0 2 :m4-=0(emB-=0, 2 则sinA=3 ,tan B=1 :∠A=60,∠B=450 ∴.∠C=180°-60°-45°=75° 故答案为：75°」 1 13.如图，己知菱形ABCD,对角线AC,BD相交于点O.若tan∠BAC3,AC=6,则BD的长是 D 【答案】2 【解析】 【详解】分析：根据菱形的对角线互相垂直平分可得AC⊥BD,OA=2AC-3,BD-2OB.再解Rt△OAB, OB 1 根据tan∠BAC-OA3,求出OB=1,那么BD=2. 详解：，四边形ABCD是菱形，AC=6, ∴.AC⊥BD,OA=2AC=3,BD=2OB. 在Rt△OAB中，.∠AOD-90°， 第11页/共23页 6学科网 命组卷网 OB 1 ∴.tan∠BAC=OA3, .OB=1, BD=2. 故答案为2。 点睛：本题考查了菱形的性质，解直角三角形，锐角三角函数的定义，掌握菱形的对角线互相垂直平分是 解题的关键， 14.如图，⊙O的直径AB经过弦CD的中点H,若cos∠CDB=5,BD=5,则⊙O的半径为 B H 25 【答案】6 【解析】 【分析】先由垂径定理求得BC=BD=5,再由直径所对圆周角是直角∠ACB=90°，由余弦定义可推出sA= 3 BC 53 5,即可求得sinA=AB,然后由圆周角定理得∠A=∠D,即可得AB5,则半径可求. 【详解】解：连接AC,如图， :⊙O的直径AB经过弦CD的中点H, 第12页/共23页 命学科网命组卷网 ∴.CH=DH,AB⊥CD, ∴.BC=BD=5, ,AB是⊙O的直径， .∴.∠ACB=90° BC .∴.sinA= AB ∠A=∠D, 4 ∴.c0sA=cosD=5, 3 ∴.sinA=sinD=5 53 .AB5, 25 ∴.AB=3 25 .半径为6 25 故答案为：6 【点睛】本题考查解直角三角形，圆周角定理，垂径定理的推论，求得∠ACB=90°、∠ALD是解题的关 键. 15.如图是高铁站自动检票口的双翼闸机，检票后双翼收起，通过闸机的物体的最大宽度为70cm,检票前 双翼展开呈扇形CAP和扇形DBQ,若AC=BD=55CL,∠PCA=∠BDQ=30°，则A、B之间的距离为 cn. 第13页/共23页 命学科网命组卷网 B 309 闸机箱 闸机箱 【答案】15 【解析】 【分析】如图，连接AB,CD,过点A作AE LCD于E,过点B作BF⊥CD于F.求出CE,DF即可解决 问题. 【详解】解：如图，连接AB,CD,过点A作AE⊥CD于E,过点B作BF⊥CD于F. B 30 309 闸机箱 闸机箱 .AB∥EF,AE∥BF, ∴.四边形ABFE是平行四边形， ,∠AEF=90°， ∴，四边形AEFB是矩形， ∴，EF=AB AE∥PC, ∴.∠PCA=∠CAE=30° .'CE=AC-sin30-27.5 (cm), 同法可得DF=27.5(cm), ∴.EF=CD-CE-DF-70-27.5-27.5=15(cm), ∴.AB=15(cm), 故答案为15， 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造直角三角形解决问题. 第14页/供23页 命学科网组卷网 三、解答题（本大题共5小题，共50分） 16.计算： (1)4cos30°-3tan60°+2sin45°.cos45°： 22+5-2y°+g+i2+am60 【答案】(1)1-V3 (2)6+3V5 【解析】 【分析】本题考查特殊角三角函数的混合运算和实数的混合运算，解题关键在于熟练掌握其解题方法： (1)根据特殊角的三角函数值代入，并按照运算顺序计算， (2)绝对值、零指数幂、负整数指数幂、二次根式化简再合并即可求解. 【小问1详解】 2.原=4x333+2x2×=23-33+1=13 2 22 【小问2详解】 解：原式=2+1+3+2V3+3=6+35 17.如图，在△ABC中，∠C=90°，taA=3,∠ABC的平分线BD交AC于点D,CD=√5，则AB的 长为 第15页/共23页 命学科网 组卷网 【答案】6 【解析】 【分析】根据已知可得∠A=30°，从而得∠ABC=60°，然后利用角平分线的性质求出∠DBC=30°，进而 在Rt△BDC中，求出BC,最后求出AB即可. 【详解】解：在△ABC中，∠C=90,taA=3, .∠A=30°， ∴.∠ABC=90°-∠A=60°， BD平分∠ABC, 1 ∴.∠DBC2∠ABC=30°， 在Rt△BDC中，CD=V5 CD .tan30°CB, CD .'.BC tan30° 3 3, .'.AB=2BC-6. ∴AB的长为6， 故答案为：6. 【点睛】本题考查了解直角三角形，角平分线的性质，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键 18.如图，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线分别交边AB、BC于点D、E,连结AE. D (1)如果∠B=25°，求∠CAE的度数； 第16页/共23页 6学科网 命组卷网 2 (2)如果CE=2, sin∠CAE= ,求tanB的值. √5 【答案】(1)∠CAE=40°：(2)5 【解析】 【分析】(I)由题意DE垂直平分AB,∠EAB=∠B,从而求出∠CAE的度数： (2)根据题干可知利用余弦以及勾股定理求出tanB的值. 【详解】解：(1)DE垂直平分AB, ∴EA=EB, ∴.∠EAB=∠B=25°. ∴.∠CAE=40°. D A (2).∠C=90°， :sin∠CAE=CE2 AE 3. ∵CE=2, ∴.AE=3」 ..AC=V5 .EA=EB-3, ∴.BC=5 AC2+CE2=AE2 第17页/共23页 学科网命组卷网 .tan B=4C5 BC5· 【点睛】本题主要应用三角函数定义来解直角三角形，关键要运用锐角 D 三角函数的概念及比正弦和余弦的基本关系进行解题， 19.图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是安装该热水器的侧面示意图.已知屋面AE的倾斜角 4 1: ∠EAD为22°，长为1.8m的真空管AB的坡度为3，安装该热水器的铁架竖直管CE的长度为0.4m -122 图1 图2 (I)求真空管上端B到水平线AD的距离： (2)求安装该热水器的铁架水平横管BC的长度（结果精确到0.1m).(参考数据： sin22°≈3 cos22°≈0.927tan22°≈0.4 ) 27 m 【答案】(1)25 (2)0.3m 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，勾股定理，矩形的性质与判定，熟记锐角三角函数的定 义是解题的关键。 (1)过点B作BF⊥AD,根据坡度的定义利用勾股定理计算，得到答案； 第18页/共23页 命学科网命组卷网 (2)求出AF,再根据正切的定义求出AD,计算即可. 【小问1详解】 解：过点B作BF⊥AD交AD于点F, B 229 ----- y BF 1 3 AF 44 得：AB=1.8m' 3 设BF=3xm,AF=4xm, 在RISAB 中，由勾殷定理可知AB=AF2+BF2 1.82=(3x)2+(4x)2 解得：25或x=25（会大、 BF=3x=3x9=27 2525m 27 m 故真空管上端B到水平线AD的距离为25. 【小问2详解】 解：由题可知，BC∥AD,CD⊥AD」 B 122° A 第19页/共23页 6学科网 组卷网 ..BF CD 四边形 DCBF 为矩形， ∴.BC=DFBF=CD ·DE=CD-CE=27 0.4=0.68m 25 在RIAADE中，AD-tan22°=DE, ∴.AD≈0.68÷0.4=1.7m :AF= 36 25×4=23m, -m BC=AD-AF=1.7-36=0.26≈0.3m 25 故安装该热水器的铁架水平横管BC的长度为0.3m. 20.(1)结论探究：如图1，在△ABC中，∠A=a,∠B=30°，AC=1.求证： 2sin(30+a)=v3sina+cosa y B30 图1 (2)问题解决：如图2，将两块分别含有45°和30°的直角三角尺摆放在同一平面内， ∠BAD=∠BCD=90°，∠ABD=45°，∠BDC=60°，BD=8V2,连接4C.利用()中的结论 第20页/供23页 6学科网命组卷网 B 图2 【答案】 (I)证明：作AM⊥BC,交BC延长线于点M,过C作CE⊥AB, ay 1309 B M .∠AMB=90?,∠B=30?, .AB=2AM, 在Rt4CM中，MM=ACsin∠ACM=sin(30?+a) :4B=2sin(30?+a) 在RtAAEC中，EC=ACsina=sina，,AE=ACcosa=cosa, 在RtABEC中，BE=V3sina. AB=BE+AE=3sina+cosa :2sin(30+a)=3sina+cosa (2)24+8V5 【解析】 【分析】本题考查了三角函数解直角三角形，解题关键熟悉各个知识点的相关内容； 第21页/供23页 6学科网列组卷网 (1)作AM⊥BC,交BC延长线于点M,过C作CE⊥AB,在RtAACM中， AM=ACsin∠ACM=sin(30?+a）,，推出 4B=2sin(30?+),最后得 AB=BE+AE=V3sina+cosa,即可求证； (2)根据思意得2sin(30?+45?)=V5sin45?+cos45?=V6+V2 2,过A作AE⊥BC,可得 E=2N6+22.推出BC=BD:cos☑DBC=BD:cos30?=8V2×=4V6,可求 2 SAW =1BCx AE 2 ,代入即可求解 【详解】(1)略 (2)解：·∠ABD=45?,∠CBD=30?. :2sin(302+45?）=V3sin452+cos452=V6+V2 2, :sin75?=v6+V2 4, 过A作AE⊥BC, :△ABD为等腰直角三角形， BD=8√2 第22页/供23页 6学科网6组卷网 .'AB=AD=8. 在Rt△ABE中，AB·sin∠ABC=AB·sin75?=AE, A4E=8x645=26+22 4 在Rt△BCD中，BD=8V2,∠DBC=30?,∠BCD=90? BC-BD.cos/DBC-BD.cos30=8x4 AMC两Se方nCxAE x46×26+2 =24+8V3 故△ABC面积SAc=24+8V3 第23页供23页 九年级数学 （满分：100分 时间：60分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则（ ） A. sinA＝ B. a＝sinB×c C. cosA＝ D. tanA＝ 2. 在中，，若，则的长是（ ） A. B. C. 60 D. 80 3. 在中，，，，若用科学计算器求边的长，则下列按键顺序正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 双坡式屋顶在建筑中应用广泛，其优点之一就是有利于排水．如图是某双坡式屋顶钢架外框，经测量，钢架的跨度，，，则中柱（D为底边中点）的长是（ ） A. B. C. D. 5. 式子的值是（ ） A. 0 B. C. 2 D. 6. 如图，在平面直角坐标系内有一点P（3，4），连接OP，则OP与x轴正方向所夹锐角α的正弦值是（　　） A. B. C. D. 7. 某停车场入口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置绕点O旋转到的位置，已知米，若栏杆的旋转角，则栏杆最外点A升高的高度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 8. 如图，在7×7网格中，每个小正方形的边长为1，的顶点都在格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，台风在某海岛（设为点）的南偏东45°方向的点生成，测得．台风中心从点以的速度向正北方向移动，经后到达海面上的点处．因受气旋影响，台风中心从点开始以30km/h的速度向北偏西60°方向继续移动，以为原点建立如图所示的直角坐标系．已知距台风中心的范围内均会受到台风的侵袭．如果某城市（设为点）位于点的正北方向且处于台风中心的移动路线上，那么台风从生成到最初侵袭该城要经过的时间为（ ） A. 8小时 B. 9小时 C. 10小时 D. 11小时 10. 如图，撬钉子的工具是一个杠杆，根据杠杆原理，，动力臂，阻力臂，如果动力F的用力方向始终保持竖直向下，当阻力不变时，则杠杆向下运动时的动力变化情况是（ ） A. 越来越小 B. 不变 C. 越来越大 D. 无法确定 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝17，BC＝8，则sinB＝_____． 12. 在中，若，则的度数为______． 13. 如图，已知菱形ABCD，对角线AC，BD相交于点O．若tan∠BAC=，AC=6，则BD的长是_____． 14. 如图，⊙O的直径AB经过弦CD的中点H，若cos∠CDB＝，BD＝5，则⊙O的半径为_______． 15. 如图是高铁站自动检票口的双翼闸机，检票后双翼收起，通过闸机的物体的最大宽度为70cm，检票前双翼展开呈扇形CAP和扇形DBQ，若AC＝BD＝55cm，∠PCA＝∠BDQ＝30°，则A、B之间的距离为_____cm． 三、解答题（本大题共5小题，共50分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，tanA，∠ABC的平分线BD交AC于点D，CD，则AB的长为_______． 18. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线分别交边AB、BC于点D、E，连结AE． （1）如果∠B=25°，求∠CAE的度数； （2）如果CE=2，，求的值． 19. 图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是安装该热水器的侧面示意图．已知屋面的倾斜角为，长为的真空管的坡度为，安装该热水器的铁架竖直管的长度为． （1）求真空管上端B到水平线的距离； （2）求安装该热水器的铁架水平横管的长度（结果精确到）．（参考数据：，，） 20. （1）结论探究：如图1，在中，，，．求证：． （2）问题解决：如图2，将两块分别含有和的直角三角尺摆放在同一平面内，，，，，连接．利用（1）中的结论求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $