3.4 相似三角形的性质 课后拓展练 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

3.4 相似三角形的性质 课后拓展练2026-2027学年 北师大版九年级数学上册 一、单选题 1．两个相似三角形的周长比是，那么对应高的比是（   ） A． B． C． D． 2．若与的相似比是，则它们对应中线的比是（　　） A． B． C． D． 3．如图，在中，若，，，则的值为（　　） A． B． C． D． 4．如图，与相交于，，，则的面积与的面积比是（   ） A． B． C． D． 5．如图，在中，分别为边上的点，且满足．根据上述信息，嘉嘉和淇淇给出了下列结论： 嘉嘉说：连接，则． 淇淇说：． 对于嘉嘉和淇淇的结论，下列判断正确的是（     ） A．两人都正确 B．两人都错误 C．嘉嘉正确，淇淇错误 D．嘉嘉错误，淇淇正确 6．如图，身高米的小慧同学从一盏路灯下的B处向前走了12米到达点C处时，发现自己在地面上的影子的长是3米，则路灯的高为（   ） A．5米 B．米 C．8米 D．10米 7．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有这样一个问题：“今有邑方不知大小，各中开门，出北门一百步立一表，出西门二百二十五步适可见之，问邑方几何？”它的意思是：如图，M，N分别是正方形的边，的中点，，，过点A，且步，步，那么该正方形城邑边长约为（    ）步． A．300 B．250 C．225 D．150 8．据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔，物体在幕布上形成倒立的实像（点，的对应点分别是，）．若物体的高为，实像的高为，则小孔到的距离为（    ）    A． B． C． D． 9．把一个三角形的三边中点顺次连接起来的一个新三角形就是原三角形的中点三角形，如图，是等边三角形的中点三角形，是的中点三角形，…依此类推，当时，的面积为（     ） A． B． C． D． 10．如图1，正方形中，动点从点出发，沿折线运动到点停止，过点作交于点，设点的运动路程为，，与对应关系的图象如图2，那么在运动过程中，下列结论不一定正确的是（    ） A． B．图2中 C．图2中 D．当点运动到中点时， 二、填空题 11．如图，在△PAB中，M、N是AB上两点，且△PMN是等边三角形，△BPM∽△PAN，则∠APB的度数是________． 12．如图，在中，， M、N两点分别在边上，将沿所在直线折叠，使点B的对应点D恰好落在边上，当为直角三角形时，折痕的长为______ 13．如图，在中，，，，点P从A点出发沿向C点运动，速度为每秒，同时点Q从C点出发沿向B点运动，速度为每秒，当点P到达顶点C时，P、Q同时停止运动，设P点运动时间为t秒，当t为_________时，与相似． 14．如图是凸透镜成像示意图，是蜡烛通过凸透镜所成的虚像，已知蜡烛的高度是，蜡烛与凸透镜的水平距离，该凸透镜的焦距，且，则的长是_________． 15．如图，已知中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径画弧，分别交边，于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点；③作射线交于点；④分别以，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点，；⑤作直线，分别交，于点，，若，，则的面积是________． 三、解答题 16．请在如图所示的网格中，运用无刻度直尺作图（保留作图痕迹）． (1)在图①中画出线段的垂直平分线． (2)在图②中的线段上找一点C，使． 17．正方形边长为4，M、N分别是，上的两个动点，当M点在上运动时，保持和垂直，设． (1)求证：； (2)当M点运动到什么位置时，求此时x的值． 18．【模型建立】 （1）如图1，正方形中，E为边上一点，连接，过点作交边于点，将沿直线折叠后，点落在点处，连接，当点恰好落在上时，求的值； 【模型应用】 （2）如图2，在（1）的条件下，若把正方形改成矩形，且，其他条件不变，求的值（用含的式子表示）． 19．淇淇和嘉嘉在学习了利用相似三角形测高之后分别测量两个旗杆的高度． (1)如图①所示，淇淇采用镜面反射法．将镜子放在地面点处，此时淇淇恰好能从镜子中看到旗杆顶端，已知淇淇眼睛到地面的距离，且，旗杆．，，求旗杆的高度． (2)嘉嘉利用自制的直角三角形硬纸板来测量旗杆的高度，他通过调整测量位置，使斜边与地面保持平行，并使一直角边与旗杆顶点在同一直线上．已知米，米，目测点到地面的距离为1.6米，到旗杆的水平距离为18米，求旗杆的高度． 20．如图1，在锐角中，是边上的高，，动点P沿线段从点A向点D运动，过点P作，交于E，交于F，以为边向下作正方形． (1)设长为x，利用相似三角形的性质，可用含x的代数式表示正方形的边长为___________；如图2，当_________时，恰好落在边上，此时长为_________； (2)如图3，当在外部，且正方形与公共部分的面积为6时，求点P的位置（即求的值）． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A C B D C A A D A 1．【答案】A 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的周长比等于相似比，相似三角形的对应高的比等于相似比是解题的关键．先利用“相似三角形的周长比等于相似比”，求出相似比，再利用“相似三角形的对应高的比等于相似比”，即可求解． 【详解】解：∵两个相似三角形的周长比是， ∴两个相似三角形的相似比是， ∴两个相似三角形的对应高的比是， 故选：A． 2．【答案】A 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查相似三角形的性质，若两个三角形相似，则它们对应中线的比等于相似比，根据题意即可得到答案，熟记相似三角形性质是解决问题的关键． 【详解】解： 与的相似比是， 它们对应中线的比等于相似比为， 故选：A． 3．【答案】C 【知识点】比例的性质、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查相似三角形的判定及性质，比例的性质．根据，得到，从而，再根据比例的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 4．【答案】B 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，可证明，再由相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：B． 5．【答案】D 【知识点】利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似、利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查了三角形相似和平行线的判定方法，解题的关键是能够根据对应边成比例的条件判断出三角形相似，并确定对应角．由及可得，从而得到，无法得出． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， ∴， 无法推出． 从而嘉嘉错误，淇淇正确． 故选： ． 6．【答案】C 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，得出∽是解决问题的关键．根据，得出∽，进而得出比例式求出即可． 【详解】解：由题意知，米，米，米，， 则米， ， ∽ ，即， 解得， 即路灯的高为8米； 故选：C． 7．【答案】A 【知识点】相似三角形实际应用、根据正方形的性质证明 【分析】本题考查相似三角形解实际应用题，读懂题意，熟练应用相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．由题意可知，根据相似三角形性质得到，设，由分别是正方形的边的中点可知，则，解得，从而得到正方形城邑边长步． 【详解】解： ，， ， 正方形中，，过点， ，则， ， ， 分别是正方形的边的中点，设， ， 步，步， ，即，解得负舍去值， 正方形城邑边长步， 故选：A． 8．【答案】A 【知识点】相似三角形实际应用、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查相似三角形的应用，先证明得到，再证明得到，再把①和②相加变形得到，然后代入数据计算即可．解题的关键是利用平行线构建相似三角形，然后用相似三角形对应边的比相等的性质求相应线段的长或表示线段之间的关系． 【详解】解：由题意知：，，， ∴ 由， ∴， ∴， 由， ∴， ∴， ①+②，得：， ∵，， ∴， ∴， ∴小孔到的距离为． 故选：A． 9．【答案】D 【知识点】图形类规律探索、利用相似三角形的性质求解、根据三角形中线求面积、等边三角形的性质 【分析】先求原等边三角形面积，根据三角形中位线定理得到，相似比为，归纳得出第个三角形面积公式． 【详解】解：如图，过点作， ∵是边长为的等边三角形， ∴， ∴ ∴， ∵点、、分别为等边的边、、的中点， ∴，，， ∴，相似比为， 面积比为相似比的平方，即， ∴每个新三角形的面积是前一个三角形面积的 时， 时， 依此类推，可得的面积为：． 10．【答案】A 【知识点】根据矩形的性质求线段长、动点问题的函数图象、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了动点问题的函数图象下，从图中获取信息是解题的关键． 根据点的运动位置，判断出的运动路程及运动时间的关系，结合函数图象逐个判断即可． 【详解】当点运动在上时，四边形为矩形， ∴， 当点运动在上时，的长呈先变短再变长的变化，故不一定等于，故A不一定正确，符合题意； 当点运动到点处时，， ，故B正确，不符合题意； 当点运动到点处时，点运动路程为8，、、三点重合， ∴， ∴，故C正确，不符合题意； 当点运动到中点时，如图， ，此时， ∴， ∴， ∴，故D正确，不符合题意； 故选：A． 11．【答案】120° 【知识点】利用相似三角形的性质求解、等边三角形的性质 【分析】由△BPM∽△PAN，可得出∠BPM=∠A，进而再由等边三角形的性质以及角之间的转化，即可得出结论． 【详解】解：∵ △BPM∽△PAN， ∴ ∠BPM＝∠A， ∵ △PMN是等边三角形， ∴ ∠A+∠APN＝60°，即∠APN+∠BPM＝60°， ∴ ∠APB＝∠BPM+∠MPN+∠APN＝60°+60°=120°． 故答案为：120°． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质问题，能够利用其性质求解一些简单的计算问题． 12．【答案】或 【知识点】勾股定理与折叠问题、相似三角形的判定与性质综合、折叠问题、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理、图形折叠的性质、相似三角形的判定与性质，利用勾股定理求出的长，依据折叠性质，得到 是解题的关键．先根据勾股定理求出的长，再分和两种情况，利用折叠的性质、相似三角形的判定与性质来求解的长． 【详解】解：当为直角三角形时，分两种情况： ①， 在中，， ，， 由折叠知， ，即， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ， ， ， 设， ， ，解得， 过点M作于E，则， ， ， ， ， 在中，， ； ②， ， ， ，即， 设， 由折叠知， 过点N作于F，则， ， ， 又， ，解得， ， ， ， 令， ， 在中，， ， ， 解得，， 在中，． 故答案为：或． 13．【答案】或 【知识点】相似三角形——动点问题、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理，相似三角形的性质，利用勾股定理求出的长，用含t的式子表示出的长，根据题意只存在和这两种情况，据此利用相似三角形对应边成比例列式求解即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 由题意得，， ∴， ∵， ∴当与相似时，只存在和这两种情况， 当时，则，即， 解得， 当时，则，即， 解得， ∵， ∴， ∴和都符合题意， 故答案为：或． 14．【答案】20 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题主要考查了相似三角形的实际应用，可证明得到，则；再证明得到，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，，， ∵， ∴（点F为点O右边的那个点，下面的点F一样）， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：20． 15．【答案】 【知识点】作垂线(尺规作图)、相似三角形的判定与性质综合、作角平分线(尺规作图)、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了垂线和角平分线的尺规作图，线段垂直平分线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握尺规作图的方法和步骤是解题的关键． 由作图方法得平分，垂直平分，先证明，得到，再由线段垂直平分线的性质得到，根据勾股定理可得的长，证明，可得，求出，进而可以解决问题． 【详解】解：连接，设交于O，如图所示， 由作图方法得平分，垂直平分， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 16．【答案】(1)如图，直线即为所求， (2)如图，点C即为所求， 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、作已知线段的垂直平分线 【分析】（1）根据图形可以确定中点，再利用旋转的性质作图即可； （2）利用相似三角形的判定和性质解答即可． 【详解】（1）略 （2）略． 17．【答案】(1) 证明：在正方形中，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴； (2)当点M运动到的中点时，，此时。 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、根据正方形的性质证明 【分析】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定： （1）由正方形的性质得出，根据得出，根据直角三角形两锐角互余得出进而得出，从而得出三角形相似； （2）根据要使三角形相似则需要满足，结合(1)中的条件得出，即M为的中点．即可求出x的值． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴要使，必须有， ∵ ∴， ∴ ∴， ∴当点M运动到的中点时，，此时． 18．【答案】（1）2；（2） 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、根据正方形的性质证明、折叠问题 【分析】本题属于四边形的综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的性质，折叠的性质，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，合理构造相似三角形是解决本题的关键． （1）根据翻折的性质，全等三角形的性质，平角的概念得到，再根据相似三角形的性质，得出与的关系即可求解； （2）根据（1）中三角形的全等与相似条件不变，得出不变，再根据与的关系，与的关系即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴，， 由翻折的性质可知，， ∴， 由正方形的性质和折叠的性质可得，， ∴, 在与中， ， ∴， ∴， 由翻折的性质可得，，， ∴， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即； （2）由（1）知，，， ∵， ∴， ∴，即． 19．【答案】(1)旗杆的高度为 (2)旗杆的高度米 【知识点】相似三角形实际应用、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】（1）根据题意得出，进而利用相似三角形的性质得出答案． （2）证明四边形为矩形，则和，进一步证明，则，即可求得，结合即可． 【详解】（1）解：根据光的反射的性质，， 又∵， ∴， ∴， 将，，，代入上式， 得， 解得， 故旗杆的高度为； （2）解：∵， ∴四边形为矩形， ∵目测点到地面的距离为1.6米，到旗杆的水平距离为18米， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵米，米， ∴， 解得， ∴， 答：旗杆的高度米． 20．【答案】(1)，， (2)2 【知识点】正方形性质理解、相似三角形——动点问题、解一元二次方程——配方法 【分析】（1）证明，根据相似三角形的对应高之比等于相似比求解即可；证明四边形是矩形，得出，根据列出关于x的方程，求解即可； （2）设，由（1）同理可求，，根据正方形与公共部分的面积为6，得出四边形的面积为6，则可列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，，， ∴ ∴， 又，， ∴， ∴； ∵正方形， ∴，， 又， ∴四边形是矩形， ∴， 又， ∴， 解得， ∴； （2）解：设， 由（1）同理可求，， ∵在外部， ∴， ∵正方形与公共部分的面积为6， ∴四边形的面积为6， ∴， 解得， 即的值为2． 学科网（北京）股份有限公司 $