2.4 一元二次方程的应用 周末学情自检2026-2027学年北师大版九年级数学上册

2.4 一元二次方程的应用 周末学情自检2026-2027学年 北师大版九年级数学上册 一、单选题 1．中考在即，同学们要注意加强锻炼，保证睡眠，增强体质，抵抗病毒．据市疾控中心调查：有一种病毒，一人患病，经过两轮传染后共有144人患病，请你帮忙计算每轮平均一人传染（）人． A．人 B．人 C．人 D．人 2．某公司自主研发并生产的仿生蝴蝶飞行器，能高度还原蝴蝶飞行动作．今年3月份此款飞行器产量为1200台，5月份的产量为1600台．若设该公司此款飞行器这两个月产量的月平均增长率为，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 3．天府国际会议中心坐落于四川天府新区，它有中国最长连续瓦屋面——“天府之檐”，是目前亚洲最大单体木结构建筑．某活动方计划在会议中心前方一块长20米，宽10米的矩形空地上布置一个矩形的表演区，表演区四周铺设宽度相等的草坪带（如图阴影部分）．若要求表演区的面积为144平方米，设草坪带的宽度为米，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 4．两个相邻奇数的积是，求这两个奇数，设较小的奇数为，则可列方程（    ） A． B． C． D． 5．由于春季气温回暖，某服装店从3月份开始对冬装进行“折上折”（两次打折数相同）优惠活动，已知一件原价1000元的冬装，优惠后实际仅需490元，设该店冬装原本打x折，则有（   ） A． B． C． D． 6．元代数学著作《四元玉鉴》中有题为：今有一匹锦，先卖掉三尺，剩下的卖了二贯九百七十五文（1贯文）．已知这匹锦的长度数比一尺锦的价格数少四十七，求这匹锦的长和每尺锦的价格．设这匹锦的长为x尺，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，同时另一个点从点开始沿以的速度移动，当的面积等于时，经过的时间是(    ) A．或 B． C． D． 8．某地规划了充电桩单循环组网模式（即每两个充电桩之间都要铺设1条专用通信电路），实际铺设50条线路后发现，一个充电桩点位仅完成了5条电路连接．则原规划建设的充电桩个数为（     ） A．10 B．11 C．12 D．13 二、填空题 9．某校“自然之美”研究小组在野外考察时发现一种植物的生长规律，即植物的1个主干上长出x个枝干，每个枝干又长出x个小分支，现在一株植物上有主干、枝干、小分支数量之和为，根据题意，请列出方程为______． 10．小王家今年月份的用电量情况如图所示，则月到月之间月用电量的增长率为______． 11．一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手，经统计所有人一共握了55次手，这次会议到会的人数是____人． 12．某旅行社的一则广告如下： 我社组团去井冈山红色研学活动，收费标准：如果人数不超过30，那么人均旅游费用为800元；如果人数多于30，那么每增加1人，人均旅游费用降低10元，但人均旅游费用不得低于500元． 现该旅行社组织了一批学生去井冈山红色研学活动，共计收到费用27500元，设这次旅游可以安排x人参加，根据题意建立方程为________． 13．如图所示，有一块三角形余料，它的边长，高．要用它加工一个矩形零件（其中点Q，M在边上，点P，N分别在，边上）．若矩形的面积为，则其长和宽分别为________． 三、解答题 14．某中学团委爱心社组织学生为高三学生进行献爱心捐款活动．初三年级第一天收到捐款1000元，第三天收到1440元． (1)求这两天收到捐款的平均增长率． (2)按照（1）中的增长速度，第四天初三年级能收到多少捐款？ 15．如图，某部门举办广场舞比赛，在一块正方形绿地的两侧分别搭建宽度为的临时舞台矩形和矩形（阴影部分）．若舞台中间矩形（空白部分）的面积为，求正方形绿地的边长． 16．如图是一个三角点阵，从上向下数有无数行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，，第n行有n个点． (1)请你直接回答15是三角点阵中前几行的点数和？ (2)你能发现78是前几行的点数的和吗？用试验的方法，由上而下地逐行相加其点数，可以得到答案．但是这样寻找答案需要花费较多时间．你能用一元二次方程解决这个问题吗？（提示： ） 17．如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以2cm/s的速度移动． (1)经过ts，线段的长为__________cm，线段的长为__________cm． (2)如果P，Q分别从A，B同时出发那么几秒后，的长度等于？ (3)的面积能否等于？请说明理由 18．为保护人类赖以生存的生态环境，中国植树节定于每年的3月12日，通过立法确定的节日．今年3月某县举办了大型植树活动，现有相邻的、两个社区计划共种树78棵，已知社区每天可以种植6棵树，社区每天可以种植12棵树． （1）由于人员调动，要求社区种植天数至少是社区种植天数的倍，当种植结束时，社区至多种植多少天？ （2）、两个社区种植一棵树的所需费用分别为500元和750元，在（1）问社区最多种植天数基础上，社区最少种植了5天．在实际种植过程中，社区决定加大投入，种更多的树，总费用共投入67500元，社区每天种植棵数不变，种植天数比（1）问中社区最多天数多；社区每为种植棵数下降，种植天数比（1）问中社区最少种植天数多，求的值． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C C A C A B B 1．【答案】B 【知识点】传播问题(一元二次方程的应用) 【分析】设每轮平均一人传染的人数为未知数，根据两轮传染后的总患病人数列一元二次方程，舍去不符合实际意义的负根后得到结果． 【详解】解：设每轮平均一人传染人， ∵最初有人患病， ∴第一轮传染后患病总人数为， 第二轮中每个现有患者再传染人，第二轮新增患病人， ∴两轮传染后患病总人数为， 根据题意列方程得：， 解得或， ∵传染人数为正整数， ∴舍去， ∴， 即每轮平均一人传染人． 2．【答案】C 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】根据月平均增长率依次表示出各月产量，结合5月份实际产量列出等式即可． 【详解】解：∵3月份产量为台，月平均增长率为 ， ∴4月份产量为台 ， ∴5月份产量为台 ， 又∵5月份实际产量为台 ， ∴可列方程为． 3．【答案】C 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】设草坪带的宽度为米，则表演区的长和宽分别为和，再根据长方形面积公式建立方程． 【详解】解：设草坪带的宽度为米， 由题意得， 故选：C． 4．【答案】A 【知识点】数字问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，由两个连续的奇数相差，得到较大的数为，再根据两数的积为即可列出方程，根据题意，找到等量关系列出方程是解题的关键． 【详解】解：依题意得，较大的数为， 则有：， 故选：． 5．【答案】C 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】设该店冬装原本打x折，根据折上折的优惠规则，结合原价和最终实际售价，找出等量关系列出方程即可． 【详解】解：设该店冬装原本打x折． ∵打折时，打x折表示现价为原价的． 又∵本题为两次折扣相同的“折上折”，需要连续两次按计算价格． ∴原价1000元经过两次打折后价格为． ∵优惠后实际价格为490元， ∴可得方程． 6．【答案】A 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】根据题意，用x分别表示出剩下锦的长度和每尺锦的价格，再根据“总售价长度单价”列方程即可． 【详解】解：∵设这匹锦的长为尺，且这匹锦的长度数比一尺锦的价格数少四十七， ∴每尺锦的价格为文； ∵先卖掉三尺， ∴剩下的锦长度为尺； ∵剩下的锦总售价为文，总售价长度单价， ∴列方程得． 7．【答案】B 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了列一元二次方程来解决现实生活中的动点运动问题；本题已知了 、的速度，设秒后，的面积等于，根据路程 速度时间，可用时间 表示出 和的长，然后根据直角三角形的面积公式，得出方程，求出未知数，然后看看解是否符合题意，将不合题意的舍去即可得出时间的值． 【详解】解：在中，，，， 设秒后，的面积等于， ， ， 当时，，即不合题意，舍去． 所以秒后，的面积等于． 故选：B． 8．【答案】B 【知识点】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【分析】原规划个充电桩，根据题意得出个充电桩已完成全部连接，仅一个充电桩只完成5条连接，实际铺设50条线路，列出方程求解即可． 【详解】解：设原规划建设的充电桩个数为， ∵ 原计划为单循环连接，原总线路数为， 又∵ 其余个充电桩已完成全部连接，仅一个充电桩只完成5条连接，实际铺设50条线路， ∴ 实际总线路满足方程：， 解得 （负值舍去）， 所以原规划建设的充电桩个数为11． 9．【答案】 【知识点】传播问题(一元二次方程的应用) 【分析】根据在1个主干上的主干为1、枝干为和小分支的数量之和是个，即可得出关于x的一元二次方程． 【详解】解：依题意得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，写出相应的方程． 10．【答案】 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设月到月之间月用电量的增长率为，由折线统计图可知月份用电量为千瓦时，月份用电量为千瓦时，可列方程，解方程求出值即为增长率． 【详解】解：设月到月之间月用电量的增长率为， 根据题意得：， 解得：， ， 答：月到月之间月用电量的增长率为． 故答案为：． 11．【答案】11 【知识点】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，找到等量关系． 设到会人数为x人，根据握手问题公式，总握手次数为，据此列一元二次方程求解． 【详解】解：设这次会议到会的人数为人，根据题意得， 整理得， 解得，（舍去）， 故答案为：11． 12．【答案】 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，正确得出等量关系是解题关键．根据题意得，可以得出人数大于人；设这次旅游可以安排人参加，可得人均旅游费为：，根据题意建立方程求解即可． 【详解】解：根据题意得， 所以该公司的人数大于人， 设这次旅游可以安排人参加，则人均旅游费为元， 由题意得：， 故答案为：． 13．【答案】和 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了等面积法，解一元二次方程． 设，则，根据等面积法计算即可． 【详解】解：设， ∵矩形的面积为， ∴， ∴，， ∵ ∴ 整理得：， 解得：，， 故答案为：和． 14．【答案】(1) (2)1728元 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查一元二次方程的应用，关键是读懂题意，找出题目中的等量关系，列出方程，注意把不合题意的解舍去． （1）设捐款的增长率为x，则第三天的捐款数量为元，根据第三天的捐款数量为1440元建立方程求出其解即可． （2）根据（1）求出的增长率列式计算即可． 【详解】（1）解：设捐款增长率为x，根据题意得： ， 解得：（舍去）． 答：捐款的平均增长率为． （2）根据题意得：（元）． 答：第四天初三年级能收到的捐款是元． 15．【答案】 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、根据正方形的性质求线段长 【分析】本题考查了正方形的性质，矩形的面积，解一元二次方程，掌握正方形的四边相等是解题的关键，设正方形的边长为，根据正方形的性质可知，再求出矩形的边长，根据矩形的面积列方程求解即可． 【详解】解：设正方形的边长为，则， ， 舞台中间矩形（空白部分）的面积为， ， 解得：（舍）， 正方形绿地的边长． 16．【答案】(1) 是三角点阵中前行的点数和 (2) 是三角点阵中前行的点数和 【知识点】图形类规律探索、数字问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查一元二次方程的应用，图形变化的规律，能根据所给图形，用含的代数式表示出前行点数和是解题的关键． （1）依次求出前几行点数的和，根据发现的规律即可解决问题． （2）由（1）的发现即可解决问题． 【详解】（1）解：由题知，第一行点的个数为：； 前两行点数和是：； 前三行点数和是：； … 所以前行的点数和是 当时， 解得或（舍去）， ∴15 是三角点阵中前行的点数和． （2）解：依题意，， 解得：或（舍去） ∴ 是三角点阵中前行的点数和． 17．【答案】(1) (2)3 (3)不能， 理由如下： ， ， ∵ ∴该方程无解． 所以的面积不能等于7． 【知识点】列代数式、动态几何问题(一元二次方程的应用)、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解一元二次方程，对于（1），根据速度乘以时间得出，进而表示； 对于（2），根据勾股定理列出方程，求出解即可； 对于（3），根据面积公式方程，求解即可判断． 【详解】（1）根据题意可知，则． 故答案为：； （2）由（1）知，，根据勾股定理，得 ， 即， 解得或（舍去）， 所以同时出发3秒后，的长度等于； （3）略 18．【答案】（1）A社区至多种植3天；（2）a的值为40 【知识点】工程问题(一元二次方程的应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】（1）设A社区种植x棵树，则B社区种植（78-x）棵树，根据B社区种植天数至少是A社区种植天数的倍，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，进而可得出的取值范围，取其中的最大值即可得出结论； （2）根据投入的总费用=种植每棵树所需费用×植树棵树，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：（1）设A社区种植x棵树，则B社区种植（78-x）棵树， 依题意得：， 解得：x≤18， ∴≤3． 答：A社区至多种植3天； （2）依题意得：500×6×3（1+5a%）+750×12（1-a%）×5[1+（a+30）%]=67500， 整理得：2.25-90a=0， 解得：=0（不合题意，舍去），=40． 答：a的值为40． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $