直线与方程单元检测-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 本卷为高中数学直线与方程单元复习卷，以基础巩固、能力提升、创新应用为梯度，通过方程求解、几何性质分析等题型，培养数学推理与模型应用能力，适配单元知识整合与核心素养强化。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|倾斜角、平行垂直判定、直线方程求法|基础题型覆盖核心概念，如第4题结合两点求倾斜角，强化数学思维| |多选题|3|直线过定点、截距、对称问题|第9题综合考查直线过定点与垂直关系，培养批判性思维| |填空题|3|距离公式、对称点应用|第12题结合对称求距离最小值，体现几何直观| |解答题|5|方程综合、面积最值、对称问题|16题结合定点探究与面积优化，17题考查直线对称及面积最小化，强化模型意识与创新应用|

直线与方程专题测试卷 一、单选题 1．过点且倾斜角为的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出直线的斜率，再利用点斜式即可求出. 【详解】直线的斜率为， 又直线过点，，即. 故选：C. 2．若过点的直线与直线垂直，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设所求直线方程为，代入求解即可. 【详解】设所求直线方程为， 代入， 得， 解得， 所以所求直线方程为. 3．经过点，且与直线平行的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】直线可化为，斜率为. 所求直线与已知直线平行，故斜率也为. 又所求直线经过点，由点斜式得 ， 整理得，即. 4．已知直线经过，两点，则直线的倾斜角为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用两点求出斜率，再结合倾斜角及斜率关系求解. 【详解】直线经过，两点，直线斜率为， 设直线的倾斜角为，则，得， 即直线的倾斜角为. 5．两条直线和在同一直角坐标系中的图象可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线的截距式方程，可得直线的横、纵截距分别为，，直线的横、纵截距分别为，，逐项根据截距的正负判断即可． 【详解】由截距式方程可得直线的横、纵截距分别为，，直线的横、纵截距分别为，， 选项A，由的图象可得，即，则，可得直线的截距均为正数，故正确； 选项B，由的图象可得，即，则，可得直线的截距均为正数，由图象不对应，故错误； 选项C，由的图象可得，即，则，可得直线的横截距为负数，纵截距为正数，由图象不对应，故错误； 选项D，由的图象可得，即，则，可得直线的横截距为正数，纵截距为负数，由图象不对应，故错误． 6．点，，直线与线段有交点，则的值不可能是（   ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】D 【分析】求出直线恒过的定点的坐标，再求出的斜率，的斜率不存在，可得直线的斜率的范围，进而求出的范围． 【详解】直线整理可得， 联立，解得，， 即直线恒过定点， 可得，因为，的横坐标相同，所以直线斜率不存在， 所以直线与线段有交点，则直线的斜率， 而直线的斜率，解得． 所以选项D符合题意. 7．一条光线从点射出后，与轴相交于点，经轴反射，则反射光线所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】法一：可知反射光线所在直线的斜率为，且经过点，结合直线的点斜式方程运算求解；法二：根据对称性可知反射光线所在直线经过点和点，结合直线的两点式方程运算求解. 【详解】法一：由题可知：直线的斜率，则反射光线所在直线的斜率为， 且反射光线所在直线经过点，所以反射光线所在直线方程为，即； 法二：因为点关于轴的对称点在反射光线所在直线上，可知反射光线所在直线经过点和点， 所以反射光线所在直线方程为，即. 故选：D． 8．直线倾斜角的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由的斜率为，其范围是， 设倾斜角为，则，解得， 因为倾斜角的范围是，所以. 二、多选题 9．已知直线：，则下列结论正确的有（   ） A．直线恒过点 B．当时，直线的倾斜角为 C．直线与直线垂直 D．当时，直线在两坐标轴上的截距相等 【答案】ABC 【分析】整理直线方程后得到一个方程组，可得直线所过的定点，判断A；首先根据方程得到斜率，再求得其倾斜角，可判断B；由直线垂直的充要条件可判断C；根据直线的方程求得截距，进而判断D. 【详解】对于A，由得. 因为该方程对所有的恒成立，所以，所以直线恒过点，故A正确. 对于B，当时，直线的方程为，所以其斜率为，所以的倾斜角为，故B正确. 对于C，对于直线：与直线，当时，两条直线分别为和，满足垂直关系；当时，整理两条直线的方程得，，斜率之积为，满足垂直关系，所以C正确. 对于D，当时，直线的方程为，即，直线与坐标轴的交点为，因为，所以在两坐标轴上的截距不相等，故D错误. 故选：ABC. 10．（多选）已知直线，，则（    ） A．直线过定点 B．当时， C．当时， D．当时，两直线，之间的距离为1 【答案】ACD 【分析】逐一分析选项，核心是直线过定点、平行、垂直的判定及平行线间距离公式． 【详解】解：对于A，变形为，令，则 因此直线过定点，故A正确； 对于B，当时，，， 因为，所以两直线不垂直，故B错误； 对于C，当时，，， 因为，所以两直线平行，故C正确； 对于D，当时，则满足，得， 此时，，， 则两直线间的距离为，故D正确． 故答案为：ACD. 11．下列说法中错误的有（    ） A．点斜式 可以表示任何直线 B．直线在y轴上的截距为 C．直线关于对称的直线方程是 D．点到直线的最大距离为 【答案】ACD 【分析】根据直线点斜式方程，斜截式方程的适用范围，结合直线关于直线的对称直线的求法，以及直线恒过定点的处理方法，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】对A：当直线斜率不存在时，不能用该方程表示，故A错误； 对B：在轴上的截距为，故B正确； 对C：点关于的对称点为，故直线关于对称的直线方程是，故C错误； 对D：，即，其恒过定点， 又， 故点到直线的最大距离为，故D错误. 三、填空题 12．设点和，在直线：上找一点，使取到最小值，则这个最小值为__________ 【答案】 【分析】求出点关于直线：的对称点为，连结，则交直线于点，点即为所求的点，此时，. 【详解】解：    设点关于直线：的对称点为 线段的中点在上 则 又， 解得， 故答案为： 【点睛】本题考查线段和的最小值的求法，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用， 属于中档题. 13．已知直线与平行，则与的距离为______． 【答案】 【分析】先根据两直线平行求出，然后求出平行直线间的距离即可. 【详解】因为直线与平行， 所以，解得. 所以直线变为，即. 则与的距离为. 故答案为：. 14．与直线相交于且与直线l夹角为的直线方程为________． 【答案】或 【分析】先求得直线l的倾斜角，根据条件，可得所求直线的倾斜角，代入公式，即可得答案. 【详解】由题意：直线l整理可得， 所以直线的斜率，为直线l的倾斜角，且， 所以， 因为所求直线与直线l夹角为， 所以所求直线的倾斜角为或， 因为所求直线过点， 所以所求直线的方程为或，即或. 故答案为：或 四、解答题 15．已知直线，. (1)若，求a； (2)若在x轴上的截距与在y轴上的截距相等，求a； (3)若，求与之间的距离. 【答案】(1) (2). (3). 【分析】（1）由垂直的充要条件列出关于a的方程即可求解； （2）由截距定义求出两截距即可求解； （3）先由平行充要条件求出a，再由平行线距离公式计算求解. 【详解】（1）由题意得，得. （2）易得.对，令，则，得. 对，令，则，得. 所以由题意得，得. （3）由题意得，解得， 则：，可化为， 所以与之间的距离为. 16．已知直线. (1)求证：直线过定点； (2)若当时，直线上的点都在轴下方，求的取值范围； (3)若直线与轴的负半轴交于点，与轴的负半轴交于点，点是坐标原点，设三角形的面积为S，求S的最小值及此时直线的方程. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)最小值为2，直线的方程为. 【分析】（1）变形得，求出直线过定点； （2）根据题意，只需保证区间端点和对应的函数值不大于0，列出不等式组求解即可； （3）求出直线与两坐标轴负半轴的交点的坐标，用表示的面积，再利用基本不等式求出最小值. 【详解】（1）由，得. 由直线方程的点斜式可知，直线过定点； （2）若当时，直线上的点都在轴下方，则 解得，所以k的取值范围是； （3）由题意直线过定点，且与轴的负半轴交于点､与轴的负半轴交于点， 则直线的斜率， 当时，得，当时，得，则，且， 所以 ， 当且仅当，即时，又，所以当时取“”， S的最小值为2，此时直线的方程为. 17．已知，，直线． (1)求直线关于直线对称的直线的方程； (2)直线过线段的中点且分别交轴与轴的正半轴于点、，坐标原点为，求使面积最小时直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出点关于的对称点，应用斜率公式结合点斜式方程即可求出直线方程； （2）设直线方程，可得，代入面积，利用基本不等式可得. 【详解】（1）设点关于直线的对称点为， 则，解得，即， 设点关于直线的对称点为， 则，解得，即， 又由，直线的方程， 整理得， 即直线关于直线对称的直线的方程为. （2）设直线的方程为：， 又直线过点，所以，即， 则的面积， 当且仅当即，时等号成立. 所以使面积最小时直线的方程为：，即. 18．已知直线方程为，其中. (1)当m变化时，求点到直线的距离的最大值； (2)若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A，B两点，求面积的最小值. 【答案】(1) (2)4. 【分析】（1）把直线方程整理成关于的方程，可得定点坐标，点到直线的距离最大时，一定有与该直线垂直，可得结论． （2）求出直线与两坐标轴交点坐标，得三角形面积，然后由基本不等式得最小值． 【详解】（1）直线方程为即为， 由可得则已知直线恒过定点， 所以到直线的最大距离为. （2）设直线的斜率为，则其方程为， 可得，， 则. 由，可得，所以， 当且仅当， 即时取等号. 所以的面积的最小值是4. 19．在平面直角坐标系中，已知的顶点，边上中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，求： (1)顶点的坐标； (2)求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出直线的方程，与直线联立，即可求出A的坐标； （2）先求出点C的坐标，进而可求解. 【详解】（1）因为边上的高所在直线方程为， 所以,解得：. 所以直线的方程为，即. 由解得：，即. （2）因为点C在直线上，所以可设，则中点为. 把代入直线：， 有，解得：，所以. 又∵，∴，即， 所以BC所在直线方程为：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 直线与方程专题测试卷 一、单选题 1．过点且倾斜角为的直线方程为（   ） A． B． C． D． 2．若过点的直线与直线垂直，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 3．经过点，且与直线平行的直线方程为（    ） A． B． C． D． 4．已知直线经过，两点，则直线的倾斜角为（     ） A． B． C． D． 5．两条直线和在同一直角坐标系中的图象可以是（ ） A． B． C． D． 6．点，，直线与线段有交点，则的值不可能是（   ） A．3 B．2 C．1 D． 7．一条光线从点射出后，与轴相交于点，经轴反射，则反射光线所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 8．直线倾斜角的范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知直线：，则下列结论正确的有（   ） A．直线恒过点 B．当时，直线的倾斜角为 C．直线与直线垂直 D．当时，直线在两坐标轴上的截距相等 10．（多选）已知直线，，则（    ） A．直线过定点 B．当时， C．当时， D．当时，两直线，之间的距离为1 11．下列说法中错误的有（    ） A．点斜式 可以表示任何直线 B．直线在y轴上的截距为 C．直线关于对称的直线方程是 D．点到直线的最大距离为 三、填空题 12．设点和，在直线：上找一点，使取到最小值，则这个最小值为__________ 13．已知直线与平行，则与的距离为______． 14．与直线相交于且与直线l夹角为的直线方程为________． 四、解答题 15．已知直线，. (1)若，求a； (2)若在x轴上的截距与在y轴上的截距相等，求a； (3)若，求与之间的距离. 16．已知直线. (1)求证：直线过定点； (2)若当时，直线上的点都在轴下方，求的取值范围； (3)若直线与轴的负半轴交于点，与轴的负半轴交于点，点是坐标原点，设三角形的面积为S，求S的最小值及此时直线的方程. 17．已知，，直线． (1)求直线关于直线对称的直线的方程； (2)直线过线段的中点且分别交轴与轴的正半轴于点、，坐标原点为，求使面积最小时直线的方程． 18．已知直线方程为，其中. (1)当m变化时，求点到直线的距离的最大值； (2)若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A，B两点，求面积的最小值. 19．在平面直角坐标系中，已知的顶点，边上中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，求： (1)顶点的坐标； (2)求直线的方程． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $