第二章 直线和圆的方程单元卷-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

高中数学单元测试 —— 第二章　直线和圆的方程 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）某直线的斜率为，则此直线的倾斜角为（   ） A．0 B． C． D． 2．（本题5分）直线经过圆的圆心，则的值为（    ） A．-1 B．-2 C．-3 D．-4 3．（本题5分）已知直线与平行，则实数的值为（    ） A． B． C． D．2 4．（本题5分）点到直线的距离（    ） A． B． C． D．2 5．（本题5分）直线（是任意实数）恒过定点（   ） A． B． C． D． 6．（本题5分）若直线与圆相交于两点，则（   ） A． B．4 C． D．2 7．（本题5分）“或”是“定点在圆的外部”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（本题5分）过直线上一动点作圆的切线，切点为，则线段的最小值为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 二、多选题 9．（本题6分）直线的图象可能是（　　） A． B． C． D． 10．（本题6分）已知直线l：（），圆C：，则下列说法正确的有（   ） A．时，圆C关于直线l对称 B．时，直线l与圆C有两个交点 C．存在，使得直线l与圆C没有交点 D．若直线l被圆C截得的弦长为，则 11．（本题6分）过点的直线l与圆交于A，B两点，O为坐标原点，M是线段的中点，则下列说法正确的是（   ） A．的最大值为4 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 三、填空题 12．（本题5分）已知直线与直线平行，则直线与间的距离为______． 13．（本题5分）已知圆，点，则经过点且与圆 相切的直线方程为_____. 14．（本题5分）已知直线和两点，若上存在点使得最小，则点坐标为______． 四、解答题 15．（本题13分）已知直线过点且与直线：垂直． (1)求直线的方程； (2)若直线l经过，且过直线与的交点，求直线l的方程． 16．（本题15分）求下列圆的方程 (1)圆经过坐标原点，和； (2)圆的圆心在x轴上，并且过和两点． 17．（本题15分）已知圆C1：，圆C2：，其中－1<m<5. （1）若m=1，判断圆与的位置关系，并求两圆公切线方程； （2）设圆C1与圆C2的公共弦所在直线为l，且圆C2的圆心到直线l的距离为，求直线l的方程以及公共弦长. 18．某个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为20千米的圆形区域内．已知小岛中心位于轮船正西40千米处，港口位于小岛中心正北30千米处. (1)如图，小岛中心在原点O处，取10千米为单位长度，在图中标出轮船和港口的位置； (2)如果轮船沿直线返港，用坐标法判断该轮船是否会有触礁危险，并说明理由. 19．（本题17分）已知圆，线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，且点满足线段，记点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)过点斜率为的直线与曲线交于，两点，试探究： ①设为坐标原点，若，这样的直线是否存在，若存在求出；若不存在说明理由； ②求线段的中点的轨迹方程. 第1页（共4页） ◎ 第2页（共4页） 第1页（共4页） ◎ 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 《高中数学单元测试 —— 第二章　直线和圆的方程》参考答案 1．C 【分析】根据直线斜率与倾斜角的关系求解. 【详解】设该直线的倾斜角为，则. 因为，所以. 故选：C. 2．B 【分析】根据圆的一般方程求出圆心坐标，代入直线方程计算即可. 【详解】由题意知，，代入直线方程， 得，解得. 故选：B 3．B 【分析】利用两直线平行时，斜率间的关系可求答案. 【详解】因为直线与平行， 所以，解得. 故选：B 4．A 【分析】利用点到直线的距离公式求解即可. 【详解】点到直线的距离 故选：A. 5．B 【分析】根据直线系过定点求解. 【详解】当时，， 所以直线（是任意实数）恒过定点， 故选：B 6．A 【分析】根据圆的弦长的求法求得正确答案. 【详解】由，得， 则圆的圆心到直线的距离为， 则． 故选：A 7．B 【分析】由定点在圆的外部得，求得k的取值范围，结合充分,必要条件的意义可得结论. 【详解】定点在圆的外部， ，化简得， k的取值范围：或， 所以或”是“定点在圆的外部”的必要不充分条件. 故选：B. 8．B 【分析】根据题意可知圆心和半径，利用勾股定理结合圆的性质分析求解. 【详解】圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离， 可知直线与圆相离， 由题意可知：， 当且仅当与直线垂直时，等号成立， 所以线段的最小值为5. 故选：B. 9．BC 【分析】将两直线的方程均化为斜截式，先固定，判断另外一条是否与之相符. 【详解】对于A，由可知，，此时与图象不符，故A错误； 对于B，由可知，，此时图象可能，故B正确； 对于C，由可知，，此时图象可能，故C正确； 对于D，由可知，，此时与图象不符，故D错误. 故选：BC. 10．AD 【分析】利用直线与圆的位置关系和点到直线的距离公式，逐一根据选项内容计算即可判断. 【详解】对于A，当时，直线为， 而圆的方程，可知圆心为， 此时点在直线上，所以圆C关于直线l对称，故A正确； 对于B，当时，直线为，此时圆心到直线的距离为， 由于圆C的半径为，所以直线l与圆C相切，只有一个公共点，故B错误； 对于C，要使得直线l与圆C没有交点，则圆心到直线的距离为， 此时不等式无解，所以不存在，使得直线l与圆C没有交点，故C错误； 对于D，由直线l被圆C截得的弦长为，圆心到直线的距离为， 所以，化简得：， 解得，故D正确. 故选：AD 11．ACD 【分析】根据直线和圆的位置关系可知，当直线过圆心时弦长最大为直径，当直线l与直线垂直时弦长最小，即可知A正确，B错误，求出点的轨迹方程，利用定点到圆上点距离的最值问题即可得出CD正确. 【详解】对于A，当直线l经过圆心时，取得最大值，最大值为直径4，故A正确； 对于B，易知点在圆内，当直线l与直线垂直时，取得最小值， 此时，故B错误； 对于C，D，因为M是线段的中点，所以， 所以点M在以为直径的圆上，所以点M的轨迹方程为， 所以的最大值为， 的最小值为，故C，D正确. 故选：ACD. 12． 【分析】根据平移直线间的距离公式直接计算即可． 【详解】根据平移直线间的距离公式为． 故答案为：． 13． 【分析】将点坐标代入圆方程，验证点在圆上，由切线垂直于圆心和切点直线，求出直线斜率后写出直线方程. 【详解】，即，， ∵，即点在圆上， 设切线为，则，， ∴， ∴切线，即. 故答案为：. 14． 【分析】求点关于直线的对称点，则当三点共线时最小，将直线与直线的方程联立即可. 【详解】设点关于直线的对称点， 则，，得，即， 则， 将代入中得，，则. 故答案为： 15．(1) (2) 【分析】（1）根据已知设出的方程为，代入点的坐标，求出的值，即可得出答案； （2）联立直线与的方程，求解方程组得出交点坐标，然后即可根据两点式方程，求出答案. 【详解】（1）由已知可设直线的方程为. 又直线过点，所以有，解得， 所以，直线的方程为. （2）联立直线与的方程， 可得， 所以，直线与的交点. 又直线l经过， 代入直线的两点式方程可得，， 整理可得. 16．(1) (2) 【分析】（1）设圆的方程为，依题意得到方程组，解得即可； （2）设圆心坐标为，半径为，则其标准方程为，根据圆过和两点得到方程组，解得、，即可得解. 【详解】（1）解：设圆的方程为， 依题意可得，解得， 所以圆的方程为，即. （2）解：根据题意，设圆心坐标为，半径为， 则其标准方程为， 由于点和在圆上，则有①， ②， 解可得，， 故圆的标准方程为； 17．（1）两圆内切，；（2），. 【分析】（1）由，分别得到圆和圆的圆心，半径，然后利用圆圆的位置关系判断，再由两圆方程相减得到公切线； （2）先得到两圆公共弦所在直线l的方程，再利用弦长公式求解. 【详解】（1）当时，由得， 由得， ∴圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， ∴圆心距，所以两圆内切； 因为两圆内切，所以公切线只有一条， 两圆的公切线方程可由两圆方程相减得到：； （2）两圆公共弦所在直线l的方程为：， 圆的圆心到直线l的距离， 于是，或舍， 所以直线l的方程为； 因为圆半径，弦心距， 由勾股定理可得半弦长为， 所以公共弦长为. 18．(1) (2)不会有触礁危险，理由如下： 以小岛中心为原点，东西方向为轴，建立上图所示的直角坐标系， 为了运算的简便，取10千米为单位长度，则港口所在位置的坐标为， 轮船所在位置坐标为， 则受暗礁影响的圆形区域的边缘所对应的圆的方程为， 轮船航线所在直线的方程为即， 由，得， 由，可知方程组无解． 所以直线与圆相离，轮船沿直线返港不会有触礁危险. 【分析】（1）根据方位角的概念直接在图中标出即可. （2）建立平面直角坐标系，求出航线的直线方程及圆的方程，利用判别式法判断直线与圆的位置关系，即可判断. 【详解】（1） （2）略 19．(1) (2) ①设存在满足条件的直线l，设直线l方程为， 则 设，直线与圆交于两点，则， 由韦达定理得：， ，则 即，与不符，所以满足条件的直线不存在； ② 【分析】（1）运用相关点代入法求解轨迹方程即可； （2）根据向量等式，求解直线的斜率k,结合联立方程组法确定k的取值范围，进而确定直线是否存在；根据中点坐标公式，再运用参数法求解点 D的轨迹方程. 【详解】（1）设，则， 设，，， 即. （2）①略 ②MN中点坐标为： ，设MN中点D为 则，即 所以中点的轨迹方程为：. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $