第7讲 圆内接多边形及扇形 讲义 2026−2027学年浙教版九年级数学上册

第7讲 圆内接多边形及扇形 2026-2027 浙教版九年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 掌握圆内接四边形的性质并能灵活运用 · 理解正多边形的概念，掌握正多边形与圆的关系 · 会求正多边形的中心角、内角、边长、周长与面积 · 掌握弧长公式与扇形面积公式 · 能运用弧长与扇形面积解决实际生活中的计算问题 📚 知识梳理 ☆ 1.3.5 圆内接四边形 圆内接四边形：四个顶点都在同一个圆上的四边形 性质：圆内接四边形对角互补 推论：圆内接四边形的外角等于它的内对角 应用：已知部分角求其余角，或证明角相等 概念辨析例题：如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BCD=105°，求∠BOD的度数． 解析：由圆内接四边形对角互补得∠A+∠BCD=180°，再由圆周角与圆心角关系求∠BOD． ☆ 2.3.6 正多边形 正多边形：各边相等、各角也相等的多边形 正多边形与圆：正多边形的外接圆、内切圆，中心角=360°÷n 正n边形的内角和=(n-2)×180°，每个内角=(n-2)×180°÷n 正多边形边长、边心距、半径之间的关系：半径、边心距、半边长构成直角三角形 应用：求正多边形边长、周长、面积、中心角 概念辨析例题：一个正六边形的半径为4m，求它的周长和面积． 解析：正六边形半径等于边长，故边长为4m；把正六边形分成6个等边三角形求面积． ☆ 3.3.7 弧长及扇形的面积 弧长公式：l=（n为圆心角度数） 扇形面积公式：S=，或S=（l为弧长） 弓形面积=扇形面积±三角形面积 阴影部分面积常用割补法、整体减部分法 应用：钟表指针、滑轮、摩天轮等实际问题 概念辨析例题：在半径为6的圆中，120°的圆心角所对的弧长是多少？ 解析：由弧长公式l=，代入n=120，r=6计算即可． 📋 知识总结表 名称 定义 重要公式/性质 圆内接四边形 四个顶点都在圆上的四边形 对角互补；外角等于内对角 正多边形 各边相等、各角相等的多边形 中心角=360°÷n；内角和=(n-2)×180° 弧长 圆上两点间的部分长 l= 扇形面积 由圆心角与半径围成的图形面积 S== ⚠️ 核心考点 【考点1：圆内接四边形】 · 圆内接四边形对角互补。 · 外角等于内对角 · 已知对角求角、证明角相等 · 结合圆周角、圆心角定理综合求解 1．（2025秋•南通期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝130°，则∠C的度数为（　　） A．65° B．60° C．55° D．50° 2．（2026•泾川县校级模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠B＝60°，∠CAD＝20°，则∠ACD的度数为（　　） A．40° B．50° C．60° D．80° 3．（2026•大兴区二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点E是AB下方⊙O上一点．若∠C＝130°，则∠AED的大小为________ ． 4．（2026•朝阳区二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝60°，∠DAB＝90°，C为的中点，则∠ACD＝_______ °． 5．（2026•淮安区模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAC＝∠CAD＝45°，⊙O的半径是，连接DB，则弦BC长为_____ ． 6．（2026秋•同步）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点．若∠BOD＝130°，求∠ECD的度数． 7．（2026秋•同步）如图，在圆内接四边形ABCD中，AC垂直平分BD，∠BAD＝80°．求∠BCA的度数． 8．（2025秋•昌都市期末）已知：如图，A、B、C、D是⊙O上的点，∠1＝∠2，AC＝5cm． （1）求证：； （2）求BD的长． 9．（2026秋•同步）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，E为CB延长线上一点．若∠D＝110°，求∠ABE的度数． 10．（2026春•长丰县月考）如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E，F． （1）当∠B＝50°，∠E＝35°时，求∠F的度数． （2）若∠E＝α，∠F＝β，且α≠β．请用含有α，β的代数式表示∠B的大小． 【考点2：正多边形】 · 中心角=360°÷n。 · 半径、边心距、半边长构成直角三角形 · 正n边形内角=(n-2)×180°÷n · 正六边形半径=边长，便于计算 11．（2026•安徽模拟）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点F是的中点，连接BF，BD，BF交AE于点G，则∠BGE的度数为（　　） A．108° B．117° C．126° D．135° 12．（2025秋•常州期末）如图1，木质镂空花格常见于江南园林的门窗与屏风．图2是其示意图，正八边形ABCDEFGH的内部包含4个全等的正方形和1个正八边形（阴影部分），则正八边形ABCDEFGH与阴影部分的面积比是（　　） A． B． C． D． 13．（2026•渭滨区校级模拟）将六个全等的正五边形按照如图的方式摆放，则∠1的度数为________ ． 14．（2026•琅琊区校级一模）一枚圆形古钱币的正中间是一个正方形孔，它的部分尺寸（单位：mm）如图所示，这枚古钱币的直径为_______ mm． 15．（2026•温江区校级模拟）如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，点F是弧AE上一点，连接BF，DF，则∠BFD的度数是________ ． 16．（2026秋•同步）如图，等边三角形ABC和正方形ADEF内接于⊙O，DE，FE分别与BC相交于点G，H．若⊙O的半径为R，求GH的长． 17．（2026秋•同步）如图，用扳手拧开一个正六边形螺帽时，扳手张开的开口宽度b为48mm，求正六边形螺帽的边长． 18．（2026秋•同步）一个正六边形花坛的半径为4m，求花坛的周长和面积． 19．（2026秋•同步）一个正多边形的中心角是20°，求这个正多边形的每一个内角的度数． 20．（2026秋•同步）如图，有一个亭子，它的底部基座的形状是半径为4m的正六边形，求底部基座的周长和面积（结果保留小数点后一位）． 【考点3：弧长及扇形的面积】 · 弧长l=。 · 扇形面积S== · 弓形面积=扇形±三角形 · 阴影面积用割补法或整体减部分 21．（2025秋•钱塘区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，以底边BC为直径作⊙O，连结OA，⊙O分别与AB，AO相交于点D，E． （1）连结DE，直接写出∠AOB与∠BDE的度数． （2）若AD＝BD＝4，求的长． 22．（2026秋•同步）如图，△ABC为等边三角形，边长为1cm．将线段AC绕点A顺时针旋转120°至AP1，形成扇形D1；将线段BP1绕点B顺时针旋转120°至BP2，形成扇形D2；将线段CP2绕点C顺时针旋转120°至CP3，形成扇形D3；将线段AP3绕点A顺时针旋转120°至AP4，形成扇形D4…设ln为扇形Dn的弧长（n＝1，2，3，…），回答下列问题： （1）按要求填表： n 1 2 3 4 ln（cm） （2）按照上表所反映的规律，试估计n至少为何值时，扇形Dn的弧长能绕地球赤道一周？（设地球赤道半径为6400km） 23．（2026秋•同步）某个滑轮起重装置如图所示，滑轮的半径是10cm，当重物上升10cm时，滑轮的一条半径OA绕轴心O按逆时针方向旋转的角度约为多少度？（假设绳索与滑轮之间没有滑动，π取3.14，结果精确到1°） 24．（2026•樊城区开学）在边长为3厘米的正方形中，如图放置了两个直角扇形和一个半圆，那么两块阴影部分的面积差是多少平方厘米．（π取3）． 25．（2026•湖北模拟）如图，AB为⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点C作⊙O的切线，OD⊥AB与过点C的切线交于点D，与AC交于点E，AB的延长线与切线DC交于点F． （1）求证：DE＝DC； （2）若点E为OD的中点，⊙O的半径为1，求，BF，CF围成的阴影部分的面积． 26．（2025秋•随州期末）如图，菱形ABCD的边长为2，过点D作DH⊥BC，垂足为H，以点A为圆心，AD长为半径画弧，已知． （1）求证：BH＝CH； （2）求阴影部分的面积（结果保留π）． 27．（2026秋•同步）如图，有一把折扇和一把团扇．已知折扇的骨柄与团扇的直径一样长，折扇扇面的宽度是骨柄长的一半，折扇张开的角度为120°，哪一把扇子扇面的面积大？ 28．（2026•桑植县一模）如图①是岳麓书院屋顶的图片，屋顶由图②中的瓦片构成，瓦片横截面如图③所示，是以点O为圆心，OA为半径的弧，已知OA＝AB＝9cm，则AB的长是（　　） A．18πcm B．12πcm C．6πcm D．3πcm 29．（2026•洞头区模拟）如图，在△ABC中，以BC为直径的半圆分别与AB，AC交于点D，E．若BC＝8，∠A＝70°，则的长是（　　） A． B． C． D． 30．（2026•滨湖区二模）如图，AB是半圆的直径，AB＝2，∠B＝30°，则弧BC的长为（　　） A． B． C．π D． 31．（2026•诸暨市开学）从一张半径为3分米的圆形纸上剪去一个圆心角为90度的扇形，剩余部分的面积是（　　）平方分米． A． B．9π C． D． 32．（2026•龙华区校级三模）如图，在矩形ABCD中，，BC＝8．以BC的中点O为圆心，OB长为半径作，则阴影部分的面积为（　　） A．4π﹣8 B． C．4π﹣4 D．2π﹣4 33．（2026•石楼县二模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，BC＝1．以点C为圆心，AC的长为半径画弧交CB的延长线于点D，以点B为圆心，AB的长为半径画弧交CB的延长线于点E，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 34．（2026秋•同步）如图，小方格都是边长为1的正方形，则以格点为圆心，半径分别为1和2的两种弧围成的“叶状”阴影图案的面积为（　　） A．π﹣2 B．2π﹣4 C．4π﹣4 D．8π﹣8 35．（2026•运城三模）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，以AC为直径的半圆交BC于点D，若BC＝6，则图中阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 36．（2026秋•同步）150°的圆心角所对的弧长是5π，则此弧所在圆的半径是_____ ． 37．（2026秋•同步）在半径为6的圆中，120°的圆心角所对的弧长是_______ ． 38．（2026春•锦江区校级月考）如图，△ABC是直角三角形，以AB为直径作圆，∠BAC＝30°，，则阴影部分面积为____________________ ． 39．（2026•威县校级开学）一个钟表的分针长10厘米，经过半小时，分针的尖端走过了_________ 厘米．时针长6厘米，经过一昼夜，时针扫过的面积是___________ 平方厘米．（π取3.14） 40．（2026•沭阳县校级开学）一个直径为6cm的半圆（如图）绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点B′处，则图中阴影部分的面积是_______ ． 41．（2026•茂名一模）如图，AC为半圆O的直径，B为半圆O上的一点，连接AB，BC，以点A为圆心，AB的长为半径画弧，交AC于点D．若BC＝2，AC＝4，则阴影部分的面积为__________________ ．（结果保留π） 42．（2026•淮阳区校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，AB＝6，CD⊥OB交⊙O于C，D两点，∠BCD＝30°，则图中阴影部分的面积为___________________ ． 43．（2026•济南）如图，菱形ABCD的边长为4，∠DAB＝30°，以点A为圆心，以AB的长为半径作弧BD，则图中阴影部分的面积是____________________ （结果保留π）． 44．（2026•榆树市模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝3，将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转得到矩形GBEF，点A恰好落在CD边上的点G处．则图中阴影部分的面积等于_____ ． 45．（2026•厦门校级模拟）如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，其部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角∠O＝90°形成的扇面，若OA＝2m，OB＝1m，则阴影部分的面积为 ___________________ m2（结果保留π）． 💯 课后巩固 复习建议 · 圆内接四边形对角互补、外角等于内对角 · 正多边形中心角=360°÷n，半径边心距半边长成直角三角形 · 弧长公式l=，扇形面积S= · 弓形与阴影面积常用割补法 · 实际应用题先画图找准圆心角与半径 【作业1】（2026•礼县二模）如图，已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形．若∠BCD＝105°，则∠BOD的度数为（　　） A．150° B．120° C．105° D．75° 【作业2】（2025秋•通州区期末）如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，若∠D＝70°，则∠B的度数为（　　） A．100° B．110° C．70° D．109° 【作业3】（2026•葫芦岛校级模拟）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径，若∠ADC＝110°，则∠BEC的度数为________ ． 【作业4】（2026•沈河区校级三模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AD是⊙O的直径．点E是上一点，若∠AEB＝30°，则∠C的度数为_________ ． 【作业5】（2026秋•同步）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠BOD＝144°，求∠C的度数． 【作业6】（2026•南通）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，⊙O的直径为DM，连接AM，BM，CM，EM．小慧、小丽经过探索，分别得到以下结论．小慧：∠BMC＝36°；小丽：1．下列关于两人结论的判断中，正确的是（　　） A．小慧和小丽的结论都正确 B．小慧和小丽的结论都错误 C．小慧的结论正确，小丽的结论错误 D．小慧的结论错误，小丽的结论正确 【作业7】（2026春•城阳区期末）某校计算机小组的小张同学设计了一张卡通头像如图①所示，他的制作过程如下：如图②，首先以BC为边，在BC同侧作正五边形BCEFG和正方形ABCD，然后连接GA，DE，最后隐藏线段AB，DC，并添加眼睛和嘴巴，∠FGA的度数是（　　） A．18° B．27° C．30° D．81° 【作业8】（2026秋•同步）完成下表中有关正多边形的计算： 正多边形边数 内角 中心角 半径 边长 边心距 周长 面积 3 60° _________ _____ _____ ________________ ________________ 4 ________ ________ _____ _____ _____ _____ 6 _________ ________ _____ _____ _______ ________________ 【作业9】（2025秋•丰南区期末）圆的内接正五边形的中心角的度数为_______ °． 【作业10】（2026秋•同步）小彬求出一个正多边形的一个内角为145°，他的计算正确吗？如果正确，他求的是正几边形的内角？如果不正确，请说明理由． 【作业11】（2026•盂县三模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC是⊙O的直径，BA的延长线与CD的延长线交于点E．若点A是BE的中点，∠E＝65°，BC＝4，求的长． 【作业12】（2026•柳州二模）如图，北京市某处A位于北纬40°（即∠AOC＝40°），东经116°，三沙市海域某处B位于北纬15°（即∠BOC＝15°），东经116°；设地球的半径约为R千米，则在东经116°所在经线圈上的点A和点B之间的劣弧长约为（　　） A．（千米） B．240πcm2（千米） C．（千米） D．（千米） 【作业13】（2026•威远县校级一模）如图，以AB为直径作半圆O，C是半圆上一点，以点A为圆心，AC的长为半径画弧交直径AB于点D，若∠CAB＝45°，AB＝4，则图中阴影部分的面积为（　　） A．π﹣2 B．2π﹣4 C．2 D．4+π 【作业14】（2026•兰州校级模拟）“苏州之眼”摩天轮是亚洲最大的水上摩天轮，其示意图如图所示．该摩天轮的半径为60m，摩天轮匀速旋转一圈用时30min．某轿厢从点A出发，10min后到达点B，此过程中该轿厢所经过的路径（即弧AB）长度为________ m．（结果保留π） 【作业15】（2026•滨城区校级开学）若一个扇形的半径是18cm，此扇形的圆心角是60°，则它的弧长等于_________ ． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第7讲 圆内接多边形及扇形 2026-2027 浙教版九年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 掌握圆内接四边形的性质并能灵活运用 · 理解正多边形的概念，掌握正多边形与圆的关系 · 会求正多边形的中心角、内角、边长、周长与面积 · 掌握弧长公式与扇形面积公式 · 能运用弧长与扇形面积解决实际生活中的计算问题 📚 知识梳理 ☆ 1.3.5 圆内接四边形 圆内接四边形：四个顶点都在同一个圆上的四边形 性质：圆内接四边形对角互补 推论：圆内接四边形的外角等于它的内对角 应用：已知部分角求其余角，或证明角相等 概念辨析例题：如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BCD=105°，求∠BOD的度数． 解析：由圆内接四边形对角互补得∠A+∠BCD=180°，再由圆周角与圆心角关系求∠BOD． ☆ 2.3.6 正多边形 正多边形：各边相等、各角也相等的多边形 正多边形与圆：正多边形的外接圆、内切圆，中心角=360°÷n 正n边形的内角和=(n-2)×180°，每个内角=(n-2)×180°÷n 正多边形边长、边心距、半径之间的关系：半径、边心距、半边长构成直角三角形 应用：求正多边形边长、周长、面积、中心角 概念辨析例题：一个正六边形的半径为4m，求它的周长和面积． 解析：正六边形半径等于边长，故边长为4m；把正六边形分成6个等边三角形求面积． ☆ 3.3.7 弧长及扇形的面积 弧长公式：l=（n为圆心角度数） 扇形面积公式：S=，或S=（l为弧长） 弓形面积=扇形面积±三角形面积 阴影部分面积常用割补法、整体减部分法 应用：钟表指针、滑轮、摩天轮等实际问题 概念辨析例题：在半径为6的圆中，120°的圆心角所对的弧长是多少？ 解析：由弧长公式l=，代入n=120，r=6计算即可． 📋 知识总结表 名称 定义 重要公式/性质 圆内接四边形 四个顶点都在圆上的四边形 对角互补；外角等于内对角 正多边形 各边相等、各角相等的多边形 中心角=360°÷n；内角和=(n-2)×180° 弧长 圆上两点间的部分长 l= 扇形面积 由圆心角与半径围成的图形面积 S== ⚠️ 核心考点 【考点1：圆内接四边形】 · 圆内接四边形对角互补。 · 外角等于内对角 · 已知对角求角、证明角相等 · 结合圆周角、圆心角定理综合求解 1．（2025秋•南通期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝130°，则∠C的度数为（　　） A．65° B．60° C．55° D．50° 【考点】圆内接四边形的性质． 【分析】根据圆的内接四边形的性质求解即可． 【解答】解：∵∠A＝130°，四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠C＝180°﹣∠A＝180°﹣130°＝50°． 故选：D． 【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 2．（2026•泾川县校级模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠B＝60°，∠CAD＝20°，则∠ACD的度数为（　　） A．40° B．50° C．60° D．80° 【考点】圆内接四边形的性质；圆周角定理． 【分析】根据圆内接四边形对角互补及三角形内角和定理求解即可． 【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠B＝60°， ∴∠D＝180°﹣∠B＝180°﹣60°＝120°， ∵∠CAD＝20°， ∴∠ACD＝180°﹣∠CAD﹣∠D＝40°． 故选：A． 【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，圆周角定理，熟知圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 3．（2026•大兴区二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点E是AB下方⊙O上一点．若∠C＝130°，则∠AED的大小为　40°　 ． 【考点】圆内接四边形的性质；圆周角定理． 【分析】连接BD，根据圆内接四边形的性质求出∠BAD，再根据圆周角定理解答即可． 【解答】解：如图，连接BD， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠BAD+∠C＝180°， ∵∠C＝130°， ∴∠BAD＝50°， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴∠ABD＝90°﹣50°＝40°， 由圆周角定理得：∠AED＝∠ABD＝40°， 故答案为：40°． 【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 4．（2026•朝阳区二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝60°，∠DAB＝90°，C为的中点，则∠ACD＝　15　 °． 【考点】圆内接四边形的性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理． 【分析】连接BD，根据90°的圆周角所对的弦是直径得出BD为⊙O的直径，再根据直径所对的圆周角是直角得出∠BCD＝90°，再根据弧、弦、圆心角的关系定理得出DC＝BC，即可求出∠CBD的度数，于是得出∠ABD的度数，再根据同弧所对的圆周角相等即可求出∠ACD的度数． 【解答】解：如图，连接BD， ∵∠DAB＝90°， ∴BD为⊙O的直径， ∴∠BCD＝90°， ∵C为的中点， ∵， ∴DC＝BC， ∴△BCD是等腰直角三角形， ∴∠CDB＝∠CBD＝45°， ∵∠ABC＝60°， ∴∠ABD＝∠ABC﹣∠CBD＝60°﹣45°＝15°， ∴∠ACD＝∠ABD＝15°， 故答案为：15． 【点评】本题考查了圆内接四边形的性质，圆心角、弧、弦的关系定理，圆周角定理，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 5．（2026•淮安区模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAC＝∠CAD＝45°，⊙O的半径是，连接DB，则弦BC长为　2　 ． 【考点】圆内接四边形的性质；勾股定理；垂径定理；圆周角定理． 【分析】由圆周角定理得∠BDC＝∠BAC＝45°，∠CBD＝∠CAD＝45°，则∠BDC＝∠CBD，∠DCB＝90°，所以DC＝BC，DB是⊙O的直径，由⊙O的半径是，得DB＝2，由DBBC＝2，求得BC＝2，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵∠BAC＝∠CAD＝45°， ∴∠BDC＝∠BAC＝45°，∠CBD＝∠CAD＝45°， ∴∠BDC＝∠CBD，∠DCB＝180°﹣∠BDC﹣∠CBD＝90°， ∴DC＝BC，DB是⊙O的直径， ∵⊙O的半径是， ∴DB＝2， ∴DBBC＝2， ∴BC＝2， 故答案为：2． 【点评】此题重点考查圆周角定理、90°的圆周角所对的弦是直径、勾股定理等知识，推导出∠DCB＝90°，DC＝BC是解题的关键． 6．（2026秋•同步）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点．若∠BOD＝130°，求∠ECD的度数． 【考点】圆内接四边形的性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理． 【分析】先根据圆周角定理求出∠A，再根据圆内接四边形的性质、邻补角的定义解答． 【解答】解：由圆周角定理得：∠A∠BOD130°＝65°， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠A+∠BCD＝180°， ∵∠ECD+∠BCD＝180°， ∴∠ECD＝∠A＝65°． 【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 7．（2026秋•同步）如图，在圆内接四边形ABCD中，AC垂直平分BD，∠BAD＝80°．求∠BCA的度数． 【考点】圆内接四边形的性质；线段垂直平分线的性质；圆周角定理． 【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠BCD，再根据线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质求出∠BCA． 【解答】解：∵四边形ABCD为圆内接四边形， ∴∠BAD+∠BCD＝180°， ∵∠BAD＝80°， ∴∠BCD＝100°， ∵AC垂直平分BD， ∴CB＝CD，CA⊥BD， ∴∠BCA∠BCD＝50°． 【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 8．（2025秋•昌都市期末）已知：如图，A、B、C、D是⊙O上的点，∠1＝∠2，AC＝5cm． （1）求证：； （2）求BD的长． 【考点】圆内接四边形的性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理． 【分析】（1）先证明∠DOB＝∠COA即可得到结论； （2）由证明BD＝AC即可． 【解答】（1）证明：∵A、B、C、D是⊙O上的点，∠1＝∠2， ∴∠1+∠COB＝∠2+∠COB， ∴∠DOB＝∠COA． ∴； （2）由（1）知， ∴AC＝BD， ∵AC＝5cm， ∴BD＝AC＝5cm． 【点评】本题考查的是圆心角、弧，弦之间的关系，圆内接四边形的性质，圆周角定理，熟知以上知识是解题的关键． 9．（2026秋•同步）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，E为CB延长线上一点．若∠D＝110°，求∠ABE的度数． 【考点】圆内接四边形的性质；圆周角定理． 【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠ABC，再根据邻补角的定义求出∠ABE． 【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠ABC+∠D＝180°， ∵∠ABC+∠ABE＝180°， ∴∠ABE＝∠D＝110°． 【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 10．（2026春•长丰县月考）如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E，F． （1）当∠B＝50°，∠E＝35°时，求∠F的度数． （2）若∠E＝α，∠F＝β，且α≠β．请用含有α，β的代数式表示∠B的大小． 【考点】圆内接四边形的性质；圆周角定理． 【分析】（1）根据外角的性质可得∠DCF＝∠B+∠E＝85°，再根据圆内接四边形的性质即可得解； （2）根据圆内接四边形的性质和外角的性质可得∠B+∠E+∠B+∠F＝180°，进而可得． 【解答】解：（1）由条件可知∠DCF＝∠B+∠E＝85°， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠B+∠ADC＝180°， ∴∠ADC＝180°﹣∠B＝130°， ∴∠F＝∠ADC﹣∠DCF＝130°﹣85°＝45°； （2）由条件可知∠BAD+∠BCD＝180°， ∵∠DCF＝∠BAD，∠EAD＝∠BCD， ∴∠DCF+∠EAD＝180°， ∵∠DCF＝∠B+∠E，∠EAD＝∠B+∠F， ∴∠B+∠E+∠B+∠F＝180°， ∴2∠B+α+β＝180°， ∴． 【点评】本题考查圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形对角互补，外角等于内对角是解题的关键； 【考点2：正多边形】 · 中心角=360°÷n。 · 半径、边心距、半边长构成直角三角形 · 正n边形内角=(n-2)×180°÷n · 正六边形半径=边长，便于计算 11．（2026•安徽模拟）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点F是的中点，连接BF，BD，BF交AE于点G，则∠BGE的度数为（　　） A．108° B．117° C．126° D．135° 【考点】正多边形和圆；圆周角定理． 【分析】根据圆内接正五边形的性质，圆周角道理以及三角形内角和定理进行计算即可． 【解答】解：如图，连接OA，OE，OF， ∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形， ∴∠BAE108°，∠AOE72°， ∵点F是的中点， ∴∠AOF＝∠EOF∠AOE＝36°， ∴θABF∠AOF＝18°， ∴∠BGE＝∠ABF+∠BAE＝18°+108°＝126°， 故选：C． 【点评】本题考查正多边形和圆，圆周角道理，掌握正五边形的性质，圆周角道理以及三角形内角和定理是正确解答的关键． 12．（2025秋•常州期末）如图1，木质镂空花格常见于江南园林的门窗与屏风．图2是其示意图，正八边形ABCDEFGH的内部包含4个全等的正方形和1个正八边形（阴影部分），则正八边形ABCDEFGH与阴影部分的面积比是（　　） A． B． C． D． 【考点】正多边形和圆；全等图形；等腰直角三角形；矩形的判定与性质；正方形的性质． 【分析】由题意可知△OMN是等腰直角三角形，设OM＝ON＝PQ＝a，可得，，由相似多边形的面积比等于相似比的平方，即可得出结论． 【解答】解：如图2，正八边形ABCDEFGH的内部包含4个全等的正方形和1个正八边形（阴影部分）， ∴∠PBA＝∠OAB＝90°，AB∥CH∥DG∥EF，AF∥BE， ∴四边形ABPO是矩形， ∴AB＝OP， ∵内部阴影是正八边形， ∴MN＝QN， 由4个全等的正方形可知：△OMN是等腰直角三角形，PQ＝ON＝OM， 设OM＝ON＝PQ＝a，则， ∴， ∵阴影部分为正八边形，正八边形都相似， ∴正八边形ABCDEFGH与阴影部分的面积比为， 故选：B． 【点评】本题主要考查了正多边形和圆，全等图形，矩形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，正方形的性质，数形结合是解答本题的关键． 13．（2026•渭滨区校级模拟）将六个全等的正五边形按照如图的方式摆放，则∠1的度数为　36°　 ． 【考点】正多边形和圆． 【分析】先求出正五边形的一个内角度数为108°，然后求出结果即可． 【解答】解：∵正五边形每个内角的度数为（5﹣2）×180°＝108°， ∴∠1＝360°﹣3×108°＝36°， 故答案为：36°． 【点评】本题考查了正多边形和圆，熟练掌握多边形的内角和公式是解答本题的关键． 14．（2026•琅琊区校级一模）一枚圆形古钱币的正中间是一个正方形孔，它的部分尺寸（单位：mm）如图所示，这枚古钱币的直径为　13　 mm． 【考点】正多边形和圆；勾股定理；垂径定理的应用． 【分析】先根据题意，则AB是⊙O的直径，过O作OC⊥TE，连接OD，再结合正方形的性质以及垂径定理得CE＝5mm，CD＝12mm，由勾股定理列式计算，即可作答． 【解答】解：如图，一枚圆形古钱币的正中间是一个正方形孔，AB是⊙O的直径，连接OD，过O作OC⊥TE， 由图可知，TE＝10mm，ED＝7mm， ∵OC⊥TE， ∴，CD＝5+7＝12（mm）， ∴， 在Rt△OCD中，由勾股定理得：， 即这枚古钱币的直径为13×2＝26（mm）， 故答案为：26． 【点评】本题考查了正多边形和圆，勾股定理，垂径定理的应用，解答本题的关键是熟练运用勾股定理解决问题． 15．（2026•温江区校级模拟）如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，点F是弧AE上一点，连接BF，DF，则∠BFD的度数是　72°　 ． 【考点】正多边形和圆；圆周角定理． 【分析】连接OC，OD，OB，根据正五边形的性质得出∠COD和∠COB的度数，从而得出∠BFD的度数． 【解答】解：如图，连接OC，OD，OB， ∵五边形ABCDE是正五边形， ∴∠COD＝∠BOC72°， ∴∠BOD＝144°， ∴∠BFD∠BOD＝72°， 故答案为：72°． 【点评】本题考查了正多边形的性质，圆周角定理，根据正五边形的性质得出∠COD的度数是解题的关键． 16．（2026秋•同步）如图，等边三角形ABC和正方形ADEF内接于⊙O，DE，FE分别与BC相交于点G，H．若⊙O的半径为R，求GH的长． 【考点】正多边形和圆；等边三角形的性质；正方形的性质；圆周角定理；三角形的外接圆与外心． 【分析】连接AE交BC于点M，连接BE，CE，证明直线AE是线段BC的垂直平分线，求得AM ，GMR，据此求解即可． 【解答】解：如图，连接AE交BC于点M，连接BE，CE， ∵AE是⊙O的直径，△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°，AB＝AC， ∴∠ABE＝∠ACE＝90°，∠EBM＝∠ECM＝30°， ∴BE＝CE， ∴直线AE是线段BC的垂直平分线， ∴∠BME＝90°，∠EGM＝45°， ∴EM＝GM，∠BAE＝30°， ∴，， ∴， ∵△EGH是等腰直角三角形， ∴GH＝2GM＝R． 答：GH的长为R． 【点评】本题考查正多边形和圆，三角形的外接圆与外心，正确记忆相关知识点是解题关键． 17．（2026秋•同步）如图，用扳手拧开一个正六边形螺帽时，扳手张开的开口宽度b为48mm，求正六边形螺帽的边长． 【考点】正多边形和圆． 【分析】如图，连接OC、OD，过O作OH⊥CD于H．解直角三角形求出CD即可． 【解答】解：如图，连接OC、OD，过O作OH⊥CD于H． ∵∠COD60°，OC＝OD， ∴△COD是等边三角形， ∴∠COH＝90°﹣60°＝30°， ∵OH⊥CD， ∴CH＝DHCD，OHb， ∴CH＝24×tan30°＝248， ∴CD＝2CH＝16（mm）， 故正六边形螺帽的边长为16mm． 【点评】本题考查了正多边形和圆的知识，构造一个由半径、半边、边心距组成的直角三角形是解题的关键． 18．（2026秋•同步）一个正六边形花坛的半径为4m，求花坛的周长和面积． 【考点】正多边形和圆． 【分析】根据正六边形的周长、面积的计算方法进行计算即可． 【解答】解：边长为4m的正六边形的花坛的周长为4×6＝24（m）， 边长为4m的正六边形的花坛的面积为4×（4）×6＝24（m2）， 答：花坛的周长为24m，面积为24m2． 【点评】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形的周长、面积的计算方法是正确解答的关键． 19．（2026秋•同步）一个正多边形的中心角是20°，求这个正多边形的每一个内角的度数． 【考点】正多边形和圆． 【分析】根据中心角的计算方法求出正多边形的边数，再根据正多边形内角和的计算方法即可求出正多边形每一个内角的度数． 【解答】解：设这个正多边形为正n边形，由题意得， 20°， 解得n＝18， 经检验，n＝18是原方程的解， 即这个正多边形是正十八边形， 所以正十八边形的每一个内角的度数为160°， 答：这个正多边形的每一个内角的度数为160°． 【点评】本题考查正多边形和圆，掌握正十八边形的性质是正确解答的关键． 20．（2026秋•同步）如图，有一个亭子，它的底部基座的形状是半径为4m的正六边形，求底部基座的周长和面积（结果保留小数点后一位）． 【考点】正多边形和圆． 【分析】连接OB、OC求出圆心角∠BOC的度数，再由等边三角形的性质即可求出正六边形的周长；过O作△OBC的高OG，利用等边三角形及特殊角的三角函数值可求出OG的长，利用三角形的面积公式即可解答． 【解答】解：连接OB、OC； ∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴∠BOC＝60°， ∴△OBC是等边三角形， ∴BC＝OB＝4m， ∴正六边形ABCDEF的周长＝6×4＝24m． 过O作OG⊥BC于G， ∵△OBC是等边三角形，OB＝4m， ∴∠OBC＝60°， ∴OG＝OB•sin∠OBC＝42（m）， ∴S△OBCBC•OG4×24（m2）， ∴S六边形ABCDEF＝6S△OBC＝6×42441.6（m2）． 【点评】本题考查的是正六边形及等边三角形的性质、特殊角的三角函数值，作出辅助线构造出等边三角形是解答此题的关键． 【考点3：弧长及扇形的面积】 · 弧长l=。 · 扇形面积S== · 弓形面积=扇形±三角形 · 阴影面积用割补法或整体减部分 21．（2025秋•钱塘区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，以底边BC为直径作⊙O，连结OA，⊙O分别与AB，AO相交于点D，E． （1）连结DE，直接写出∠AOB与∠BDE的度数． （2）若AD＝BD＝4，求的长． 【考点】弧长的计算；等腰三角形的性质；圆周角定理． 【分析】（1）利用等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质，圆内接四边形的性质求解； （2）证明△OBD是等边三角形，利用弧长公式求解． 【解答】解：（1）如图，连接CE． ∵AB＝AC，OB＝OC， ∴AO⊥BC， ∴∠AOB＝90°， ∵OE＝OC， ∴∠OEC＝∠OCE＝45°， ∵∠BDE+∠BCE＝180°， ∴∠BDE＝135°； （2）连接OD． 在Rt△AOB中，AD＝DB＝4， ∴ODAB＝DA＝DB＝4， ∵OB＝OD， ∴BD＝OB＝OD＝4， ∴∠DOB＝60°， ∵∠AOB＝90°， ∴∠AOD＝30°， ∴的长． 【点评】本题考查弧长的计算，等腰三角形的性质，圆周角定理，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 22．（2026秋•同步）如图，△ABC为等边三角形，边长为1cm．将线段AC绕点A顺时针旋转120°至AP1，形成扇形D1；将线段BP1绕点B顺时针旋转120°至BP2，形成扇形D2；将线段CP2绕点C顺时针旋转120°至CP3，形成扇形D3；将线段AP3绕点A顺时针旋转120°至AP4，形成扇形D4…设ln为扇形Dn的弧长（n＝1，2，3，…），回答下列问题： （1）按要求填表： n 1 2 3 4 ln（cm） （2）按照上表所反映的规律，试估计n至少为何值时，扇形Dn的弧长能绕地球赤道一周？（设地球赤道半径为6400km） 【考点】弧长的计算；规律型：图形的变化类． 【分析】（1）根据弧长的计算公式进行计算即可； （2）结合（1）中发现的规律进行计算即可． 【解答】解：（1）由题知， 当n＝1时，（cm）， 当n＝2时，（cm）， 当n＝3时，（cm）， 当n＝4时，（cm）， …， 所以（cm）； （2）因为地球赤道半径为6400km， 所以地球赤道的周长为：2×π×6400×105＝1.28×109π（cm）， 由（1）知， ， 解得n≥1.92×109， 即n≥1920000000， 所以n至少为1920000000时，扇形Dn的弧长能绕地球赤道一周． 【点评】本题主要考查了弧长的计算及图形变化的规律，熟知弧长的计算公式及能通过计算得出弧长的变化规律是解题的关键． 23．（2026秋•同步）某个滑轮起重装置如图所示，滑轮的半径是10cm，当重物上升10cm时，滑轮的一条半径OA绕轴心O按逆时针方向旋转的角度约为多少度？（假设绳索与滑轮之间没有滑动，π取3.14，结果精确到1°） 【考点】弧长的计算；生活中的旋转现象；近似数和有效数字． 【分析】设OA旋转的角度为n，由于重物上升10 cm，则点A逆时针旋转的弧长为10 cm，根据弧长公式即可求出． 【解答】解：设OA旋转的角度为n，由于重物上升10 cm， 则点A逆时针旋转的弧长为10 cm， 由弧长公式l， 可求n57（度）． 【点评】此题是典型的跨学科综合题，将物理知识与数学问题有机地结合在一起． 24．（2026•樊城区开学）在边长为3厘米的正方形中，如图放置了两个直角扇形和一个半圆，那么两块阴影部分的面积差是多少平方厘米．（π取3）． 【考点】扇形面积的计算；正方形的性质． 【分析】根据题意S阴影ABE﹣S阴影CDE＝S扇形ABD+S扇形ABC﹣S正方形ABCD﹣S半圆AB，代入数值求解即可． 【解答】解：如图标注字母如下： 根据题意可得：S阴影ABE﹣S阴影CDE＝S扇形ABD+S扇形ABC﹣S正方形ABCD﹣S半圆AB ＝13.5﹣9﹣3.375 ＝1.125（平方厘米）． ∴两块阴影部分的面积差是1.125平方厘米． 【点评】本题主要考查了不规则图形的面积，熟练掌握以上知识是解题的关键． 25．（2026•湖北模拟）如图，AB为⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点C作⊙O的切线，OD⊥AB与过点C的切线交于点D，与AC交于点E，AB的延长线与切线DC交于点F． （1）求证：DE＝DC； （2）若点E为OD的中点，⊙O的半径为1，求，BF，CF围成的阴影部分的面积． 【考点】扇形面积的计算；三角形的面积；等边三角形的判定与性质；切线的性质． 【分析】（1）利用切线的性质及垂直的定义，证明∠CED＝∠DCE即可； （2）先证△CDE为等边三角形，得到∠F＝30°，∠COF＝60°，再利用三角形面积公式及扇形面积公式，结合S阴影＝S△OCF﹣S扇形OBC即可求解． 【解答】（1）证明：连接OC， ∴OC⊥CD，则∠DCE+∠OCA＝90°， ∵OD⊥AB， ∴∠OAE+∠AEO＝90°， 又OA＝OC， ∴∠OAE＝∠OCA， ∴∠DCE＝∠AEO， 又∠CED＝∠AEO， ∴∠CED＝∠DCE， ∴DE＝DC； （2）解：由条件可知， ∵DE＝DC， ∴△CDE为等边三角形， ∴∠D＝60°， ∴∠F＝90°﹣60°＝30°， ∴∠COF＝90°﹣30°＝60°， ∴， ， ， ∴． 【点评】本题考查了扇形面积的计算、切线的性质、等边三角形的性质，熟练掌握以上知识点是关键． 26．（2025秋•随州期末）如图，菱形ABCD的边长为2，过点D作DH⊥BC，垂足为H，以点A为圆心，AD长为半径画弧，已知． （1）求证：BH＝CH； （2）求阴影部分的面积（结果保留π）． 【考点】扇形面积的计算；菱形的性质． 【分析】（1）先根据菱形的性质可得AB＝BC＝CD＝AD＝2，再利用勾股定理可得CH＝1，则BH＝1，由此即可得证； （2）先求出菱形ABCD和△CDH的面积，再求出∠A＝60°，然后求出扇形ABD的面积，最后根据阴影部分的面积等于S菱形ABCD﹣S△CDH﹣S扇形ABD求解即可得． 【解答】（1）证明：∵菱形ABCD的边长为2， ∴AB＝BC＝CD＝AD＝2， ∵DH⊥BC，， ∴， ∴BH＝BC﹣CH＝1， ∴BH＝CH． （2）解：由条件可得，AB＝BC＝CD＝AD＝2， 由（1）已得：CH＝1， ∴， 如图，连接BD， 由条件可知DH垂直平分BC， ∴BD＝CD＝2， ∴AB＝AD＝BD， ∴△ABD是等边三角形， ∴∠A＝60°， ∴， ∴阴影部分的面积为． 【点评】本题考查了菱形的性质、勾股定理、扇形的面积、等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握扇形的面积公式是解题关键． 27．（2026秋•同步）如图，有一把折扇和一把团扇．已知折扇的骨柄与团扇的直径一样长，折扇扇面的宽度是骨柄长的一半，折扇张开的角度为120°，哪一把扇子扇面的面积大？ 【考点】扇形面积的计算． 【分析】折扇扇面的面积等于两个扇形的面积之差，利用扇形的面积公式：S即可得到折扇的面积，而团扇的面积即为圆的面积，然后比较它们的面积大小即可判断． 【解答】解：根据题意得：折扇的面积a2， 团扇的面积＝π×（）2＝πa2a2， ∴折扇的面积＝团扇的面积． 【点评】本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式即可得出结论． 28．（2026•桑植县一模）如图①是岳麓书院屋顶的图片，屋顶由图②中的瓦片构成，瓦片横截面如图③所示，是以点O为圆心，OA为半径的弧，已知OA＝AB＝9cm，则AB的长是（　　） A．18πcm B．12πcm C．6πcm D．3πcm 【考点】弧长的计算；等边三角形的判定与性质． 【分析】根据OA＝OB＝AB，得到△OAB为等边三角形，得到圆心角∠AOB＝60°，根据弧长公式计算即可． 【解答】解：∵OB＝OA＝AB， ∴△OAB为等边三角形， ∴∠AOB＝60°，OA＝9cm， ∴的长， 故选：D． 【点评】此题考查了弧长的计算，熟记弧长计算公式是解题的关键． 29．（2026•洞头区模拟）如图，在△ABC中，以BC为直径的半圆分别与AB，AC交于点D，E．若BC＝8，∠A＝70°，则的长是（　　） A． B． C． D． 【考点】弧长的计算；圆周角定理． 【分析】设半圆的圆心是O，连接OD，OE，BE，由圆周角定理得到∠BEC＝90°，∠DOE＝2∠ABE＝40°，由弧长公式即可的长． 【解答】解：设半圆的圆心是O，连接OD，OE，BE， ∵BC半圆的直径， ∴∠BEC＝90°， ∵∠A＝70°， ∴∠ABE＝∠BEC﹣∠A＝20°， ∴∠DOE＝2∠ABE＝40°， ∵BC＝8， ∴半圆的半径长是4， ∴的长π． 故选：B． 【点评】本题考查弧长的计算，圆周角定理，关键是由圆周角定理得到∠DOE＝2∠ABE，掌握弧长公式． 30．（2026•滨湖区二模）如图，AB是半圆的直径，AB＝2，∠B＝30°，则弧BC的长为（　　） A． B． C．π D． 【考点】弧长的计算；圆周角定理． 【分析】设半圆的圆心为O，连接OC，求出圆心角∠BOC，再利用圆的周长公式即可求解． 【解答】解：设半圆的圆心为O，连接OC， ∵OB＝OC， ∴∠OCB＝∠OBC＝30°， ∴∠BOC＝180°﹣30°×2＝180°﹣60°＝120°， ∴，即BC的长为π， 故选：B． 【点评】本题考查圆周角定理，弧长的计算，关键是相关公式的熟练掌握． 31．（2026•诸暨市开学）从一张半径为3分米的圆形纸上剪去一个圆心角为90度的扇形，剩余部分的面积是（　　）平方分米． A． B．9π C． D． 【考点】扇形面积的计算． 【分析】根据扇形面积的计算方法解答即可． 【解答】解：圆心角占整圆的比例为， 剩余部分的面积为（平方分米）． 故选：C． 【点评】本题考查了扇形面积的计算，熟练掌握该知识点是关键． 32．（2026•龙华区校级三模）如图，在矩形ABCD中，，BC＝8．以BC的中点O为圆心，OB长为半径作，则阴影部分的面积为（　　） A．4π﹣8 B． C．4π﹣4 D．2π﹣4 【考点】扇形面积的计算；矩形的性质． 【分析】过O作OH⊥AD于H，连接OM，ON，判定四边形ABOH是矩形，推出OH＝AB＝2，由cos∠MOH，求出∠MOH＝45°，由等腰三角形的性质推出∠MON＝2∠MOH＝90°，求出扇形OMN的面积4π，△OMN的面积OM•ON＝8，即可得到阴影部分的面积． 【解答】解：过O作OH⊥AD于H，连接OM，ON， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠B＝∠AHO＝90°， ∴四边形ABOH是矩形， ∴OH＝AB＝2， ∵BC＝8． ∴OM＝OBBC＝4， ∵cos∠MOH， ∴∠MOH＝45°， ∵OM＝ON，OH⊥MN， ∴∠MON＝2∠MOH＝90°， ∴扇形OMN的面积4π，△OMN的面积OM•ON4×4＝8， ∴阴影部分的面积＝扇形OMN的面积﹣△OMN的面积＝4π﹣8． 故选：A． 【点评】本题考查扇形面积的计算，矩形的性质，关键是掌握扇形的面积公式． 33．（2026•石楼县二模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，BC＝1．以点C为圆心，AC的长为半径画弧交CB的延长线于点D，以点B为圆心，AB的长为半径画弧交CB的延长线于点E，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【考点】扇形面积的计算；勾股定理． 【分析】先求得，∠B＝60°，进而根据阴影部分的面积为S扇形ABE+S△ABC﹣S扇形CAD，即可求解． 【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝2，BC＝1． ∴， ∴∠B＝60°， ∴∠ABD＝180°﹣60°＝120°， ∴S阴影＝S扇形ABE+S△ABC﹣S扇形CAD ． 故选：C． 【点评】本题考查的是扇形面积的计算，勾股定理，熟记扇形的面积公式是解题的关键． 34．（2026秋•同步）如图，小方格都是边长为1的正方形，则以格点为圆心，半径分别为1和2的两种弧围成的“叶状”阴影图案的面积为（　　） A．π﹣2 B．2π﹣4 C．4π﹣4 D．8π﹣8 【考点】扇形面积的计算． 【分析】连接AB，则阴影部分面积＝2（S扇形AOB﹣S△ABO），依此计算即可求解． 【解答】解：连接AB， 由题意得，阴影部分面积＝2（S扇形AOB﹣S△A0B）＝2（2×2）＝2π﹣4． 故选：B． 【点评】此题主要考查了扇形的面积公式，应用与设计作图，关键是需要同学们仔细观察图形，将不规则面积转化为规则图形的面积． 35．（2026•运城三模）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，以AC为直径的半圆交BC于点D，若BC＝6，则图中阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 【考点】扇形面积的计算；等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形． 【分析】将空白部分分成一个扇形与一个三角形，先计算空白部分面积，再利用S阴影＝S△ABC+S半圆﹣2（S扇形AOD+S△ODC）进行计算即可． 【解答】解：如图，记AC的中点为点O，过O点作OE⊥CD于E，连接OD和AD， 则OA＝OD＝OC， ∴∠OAD＝∠ODA，∠ODC＝∠OCD， ∵∠OAD+∠ODA+∠ODC+∠OCD＝180°， ∴∠ODA+∠ODC＝90°， ∴AD⊥BC， ∵AB＝AC，∠BAC＝120°，以AC为直径的半圆交BC于点D，BC＝6， ∴BD＝CD＝3，∠DAC＝60°， ∴∠ACD＝30°， ∴AC＝2AD， ∴（2AD）2＝AD2+32， ∴， ∴， ∴， ∴以AC为直径的半圆的面积为， ∵∠ACD＝30°， ∴， ∴， ∵OD＝OC，OE⊥CD， ∴， ∴CD＝3， ∴， ∵OA＝OD，∠DAC＝60°， ∴△OAD是等边三角形， ∴∠AOD＝60°，， ∴S扇形OAD， ∴S阴影＝S△ABC+S半圆﹣2（S扇形AOD+S△ODC） BC•AD2（） 62（） ＝3π ， 故选：A． 【点评】本题主要考查了扇形面积公式，解题的关键是熟练掌握扇形面积公式． 36．（2026秋•同步）150°的圆心角所对的弧长是5π，则此弧所在圆的半径是　6　 ． 【考点】弧长的计算． 【分析】根据弧长公式计算即可． 【解答】解：设圆的半径为r， 由题意得：， 解得：r＝6， 故答案为：6． 【点评】此题主要考查了弧长计算，关键是掌握弧长公式（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）． 37．（2026秋•同步）在半径为6的圆中，120°的圆心角所对的弧长是　4π　 ． 【考点】弧长的计算． 【分析】根据弧长公式进行计算即可． 【解答】解：由题知， 因为圆的半径为6， 所以120°的圆心角所对的弧长为：． 故答案为：4π． 【点评】本题主要考查了弧长的计算，熟知弧长的计算公式是解题的关键． 38．（2026春•锦江区校级月考）如图，△ABC是直角三角形，以AB为直径作圆，∠BAC＝30°，，则阴影部分面积为　52π﹣6　 ． 【考点】扇形面积的计算． 【分析】连接OD，BD，然后根据已知条件解直角三角形，求出BC，BD，OB的值，再求出三角形ABC，△ABD，△BOD以及扇形BOD的面积，再求阴影部分的面积． 【解答】解：如图所示：连接OD，BD， ∵△ABC是直角三角形，∠BAC＝30°，， ∴BC＝tan∠BAC•AB44， ∴S△ABCAB•BC44＝8； ∵AB是圆O直径， ∴∠ADB＝90°， ∵∠BAC＝30°， ∴BDAB＝2，ADAB6， ∴S△ADBAD•BD26＝6， ∵AB是圆O直径， ∴OA＝OB＝ODAB＝2， ∵∠BAC＝30°， ∴∠BOD＝60°， ∴S扇形OBD2π， S△BODOB•OB223， ∴S弓形BOD＝S扇形BOD﹣S△BOD＝2π﹣3， ∵∠BOD＝60°， ∴∠AOD＝120°， ∴S弓形AOD＝S扇形AOD﹣S△AOD22＝4π﹣6， ∴S阴影＝S△ABC﹣S△ABD﹣S弓形OBD+S弓形AOD＝862π+34π﹣6＝52π﹣6． 故答案为：52π﹣6． 【点评】本题考查的是扇形面积的计算，根据题意作出辅助线，构造出三角形及扇形是解答此题的关键． 39．（2026•威县校级开学）一个钟表的分针长10厘米，经过半小时，分针的尖端走过了　31.4　 厘米．时针长6厘米，经过一昼夜，时针扫过的面积是　226.08　 平方厘米．（π取3.14） 【考点】扇形面积的计算；弧长． 【分析】根据弧长的计算方法以及扇形面积的计算方法进行计算即可． 【解答】解：由题意得，分针长10厘米，经过半小时，分针的尖端所走过的路程为半径为10cm，圆周角为180°的弧长， 即10π≈31.4（cm）， 时针长6厘米，经过一昼夜，即时针旋转两周，时针扫过的面积是半径为6cm圆面积的2倍， 即π×62×2＝72π＝226.08（cm2）， 故答案为：31.4，226.08． 【点评】本题考查弧长的计算，扇形面积的计算，掌握弧长公式，扇形面积的计算公式是正确解答的关键． 40．（2026•沭阳县校级开学）一个直径为6cm的半圆（如图）绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点B′处，则图中阴影部分的面积是　6π　 ． 【考点】扇形面积的计算． 【分析】根据阴影部分的面积＝以AB′为直径的半圆的面积+扇形ABB′的面积﹣以AB为直径的半圆的面积，即可求解． 【解答】解：阴影部分的面积＝以AB′为直径的半圆的面积+扇形ABB′的面积﹣以AB为直径的半圆的面积＝扇形ABB′的面积， ， 则阴影部分的面积是6π， 故答案为：6π． 【点评】本题主要考查了扇形的面积的计算，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 41．（2026•茂名一模）如图，AC为半圆O的直径，B为半圆O上的一点，连接AB，BC，以点A为圆心，AB的长为半径画弧，交AC于点D．若BC＝2，AC＝4，则阴影部分的面积为　　 ．（结果保留π） 【考点】扇形面积的计算；特殊角的三角函数值；勾股定理；圆周角定理． 【分析】首先根据直径所对圆周角为直角，得到∠ABC＝90°，根据勾股定理求AB的长度，根据直角边是斜边的一半得到∠A＝30°，再计算△ABC的面积和扇形ABD的面积，继而得到阴影部分的面积． 【解答】解：在Rt△ABC中，， ∵在Rt△ABC中，BC＝2，AC＝4， ∴∠A＝30°， ∴， ∵扇形的圆心角为∠A＝30°，半径为， ∴， ∴阴影部分面积． ∴． 故答案为：2π． 【点评】本题考查圆周角定理，特殊角的直角三角形的性质，勾股定理解三角形，扇形的面积公式，割补法求阴影部分的面积．熟练掌握以上知识点是关键． 42．（2026•淮阳区校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，AB＝6，CD⊥OB交⊙O于C，D两点，∠BCD＝30°，则图中阴影部分的面积为　　 ． 【考点】扇形面积的计算；垂径定理． 【分析】连接BD，设CD与AB交于点E，根据圆周角定理求出∠BOD，根据垂径定理得到CE＝DE，证明△CEB≌△DEB，结合等边三角形性质得到S△CEB＝S△OED，从而将阴影部分面积转化为扇形OBD的面积计算即可； 【解答】解：连接BD，设CD与AB交于点E， 由条件可知∠BOD＝2∠BCD＝60°， ∵AB是⊙O的直径，CD⊥OB， ∴CE＝DE，∠CEB＝∠DEB＝90°， ∵OB＝OD，∠BOD＝60°， ∴△OBD是等边三角形， 由条件可知OE＝BE， ∴S△OED＝S△BED， 在△CEB和△DEB中， ， ∴△CEB≌△DEB（SAS）， ∴S△CEB＝S△DEB， ∴S△CEB＝S△OED， ∴S阴影部分＝S△CEB+S扇形BOD﹣S△OED＝S扇形BOD， ∴OB＝3， ∴． 故答案为：． 【点评】本题考查了扇形面积的计算，熟练掌握该知识点是关键． 43．（2026•济南）如图，菱形ABCD的边长为4，∠DAB＝30°，以点A为圆心，以AB的长为半径作弧BD，则图中阴影部分的面积是　8π　 （结果保留π）． 【考点】扇形面积的计算；含30度角的直角三角形；菱形的性质． 【分析】过D作DH⊥AB于H，由含30度角的直角三角形的性质得到DHAD＝2，求出菱形ABCD的面积＝8，扇形ADB的面积π，即可得到图中阴影部分的面积． 【解答】解：过D作DH⊥AB于H， ∵四边形ABCD是边长为4的菱形， ∴AB＝AD＝4， ∵∠DAB＝30°，∠AHD＝90°， ∴DHAD＝2， ∴菱形ABCD的面积＝AB•DH＝4×2＝8， ∵扇形ADB的面积π， ∴图中阴影部分的面积是8π． 故答案为：8π． 【点评】本题考查菱形的性质，扇形面积的计算，含30度角的直角三角形，关键是掌握扇形的面积公式，菱形的面积公式． 44．（2026•榆树市模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝3，将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转得到矩形GBEF，点A恰好落在CD边上的点G处．则图中阴影部分的面积等于　9　 ． 【考点】扇形面积的计算；旋转的性质；矩形的性质． 【分析】旋转得到BG＝AB＝5，勾股定理求出CG的长，利用矩形的面积减去直角三角形的面积求出阴影部分的面积即可． 【解答】解：由条件可知BG＝AB＝5，BE＝BC＝3，∠BCG＝90°， 在Rt△BCG中，， ∴S阴影； 故答案为：9． 【点评】本题考查旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是关键． 45．（2026•厦门校级模拟）如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，其部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角∠O＝90°形成的扇面，若OA＝2m，OB＝1m，则阴影部分的面积为 　　 m2（结果保留π）． 【考点】扇形面积的计算． 【分析】根据S阴影＝S扇形AOD﹣S扇形BOC，计算即可． 【解答】解：S阴影＝S扇形AOD﹣S扇形BOC ， 故答案为：． 【点评】本题考查的是扇形面积的计算，掌握扇形的面积公式是解题的关键． 💯 课后巩固 复习建议 · 圆内接四边形对角互补、外角等于内对角 · 正多边形中心角=360°÷n，半径边心距半边长成直角三角形 · 弧长公式l=，扇形面积S= · 弓形与阴影面积常用割补法 · 实际应用题先画图找准圆心角与半径 【作业1】（2026•礼县二模）如图，已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形．若∠BCD＝105°，则∠BOD的度数为（　　） A．150° B．120° C．105° D．75° 【考点】圆内接四边形的性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理． 【分析】根据原内接四边形性质推理即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠BCD＝105°， ∴∠A＝75°， ∴∠BOD＝2∠A＝150°． 故选：A． 【点评】本题考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握该知识点是关键． 【作业2】（2025秋•通州区期末）如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，若∠D＝70°，则∠B的度数为（　　） A．100° B．110° C．70° D．109° 【考点】圆内接四边形的性质；圆周角定理． 【分析】根据圆内接四边形的对角互补计算即可． 【解答】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形， ∴∠B+∠D＝180°， ∵∠D＝70°， ∴∠B＝180°﹣70°＝110°， 故选：B． 【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 【作业3】（2026•葫芦岛校级模拟）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径，若∠ADC＝110°，则∠BEC的度数为　20°　 ． 【考点】圆内接四边形的性质；等腰三角形的性质；圆周角定理． 【分析】连接OC，根据圆内接四边形的性质求出∠CBO＝70°，根据OB＝OC，可得∠BCO＝∠CBO＝70°，然后根据三角形的内角和定理求出∠BOC＝40°，最后根据圆周角定理即可求解． 【解答】解：如图，连接OC， ∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ADC＝110°， ∴∠CBO＝180°﹣∠ADC＝180°﹣110°＝70°， ∵OB＝OC， ∴∠BCO＝∠CBO＝70°， ∴∠BOC＝180°﹣∠BCO﹣∠CBO＝40°， ∵， ∴， 故答案为：20°． 【点评】本题考查了圆内接四边形，圆周角定理，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握圆内接四边形的性质． 【作业4】（2026•沈河区校级三模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AD是⊙O的直径．点E是上一点，若∠AEB＝30°，则∠C的度数为　120°　 ． 【考点】圆内接四边形的性质；圆周角定理． 【分析】连接BD，根据圆周角定理得到∠ABD＝90°，∠ADB＝∠AEB＝30°，进而求出∠DAB的度数，再根据圆内接四边形的性质，求出∠C的度数即可． 【解答】解：连接BD， ∵点E是上一点，∠AEB＝30°， ∴∠ADB＝∠AEB＝30°， ∵AD是⊙O的直径， ∴∠ABD＝90°， ∴∠DAB＝90°﹣∠ADB＝60°， ∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠C＝180°﹣∠BAD＝120°． 故答案为：120°． 【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，圆周角定理，熟知圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 【作业5】（2026秋•同步）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠BOD＝144°，求∠C的度数． 【考点】圆内接四边形的性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理． 【分析】先根据圆周角定理求出∠A，再根据圆内接四边形的性质求出∠C． 【解答】解：由圆周角定理得：∠A∠BOD144°＝72°， ∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠A+∠C＝180°， ∴∠C＝180°﹣72°＝108°． 【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 【作业6】（2026•南通）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，⊙O的直径为DM，连接AM，BM，CM，EM．小慧、小丽经过探索，分别得到以下结论．小慧：∠BMC＝36°；小丽：1．下列关于两人结论的判断中，正确的是（　　） A．小慧和小丽的结论都正确 B．小慧和小丽的结论都错误 C．小慧的结论正确，小丽的结论错误 D．小慧的结论错误，小丽的结论正确 【考点】正多边形和圆；圆周角定理． 【分析】连接OA、OB、OC、OE，OA交EM于P点，如图，根据正多边形的性质∠BOC＝72°，则根据圆周角定理得到∠BMC∠BOC＝36°，从而可对小慧的结论进行判断；利用DM为正五边形ABCDE对称轴得到EM＝CM，∠AME＝∠BMC＝36°，∠AOM＝∠BOM∠AOB＝36°，接着证明∠MPA＝∠MAP得到AM＝PM，证明∠EPO＝∠EOP得到EP＝OE＝OM，所以1，从而可对小丽的结论进行判断． 【解答】解：连接OA、OB、OC、OE，OA交EM于P点，如图， ∵正五边形ABCDE内接于⊙O， ∴∠BOC72°， ∴∠BMC∠BOC＝36°，所以小慧的结论正确； ∵O点和D点都在AB的垂直平分线上， ∴DM垂直平分AB， 即DM为正五边形ABCDE对称轴， ∴EM＝CM，∠AME＝∠BMC＝36°，∠AOM＝∠BOM∠AOB＝36°， ∵OA＝OB， ∴∠OAB＝∠OBA（180°﹣36°）＝72°， ∴∠MPA＝180°﹣∠AMP﹣∠MAP＝72°， ∴∠MPA＝∠MAP， ∴AM＝PM， ∵∠EPO＝∠MPA＝72°，∠AOE＝72°， ∴∠EPO＝∠EOP， ∴EP＝OE＝OM， ∴1，所以小丽的结论正确． 故选：A． 【点评】本题考查了正多边形与圆，把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆． 正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．外接圆的半径叫做正多边形的半径；正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．也考查了圆周角定理． 【作业7】（2026春•城阳区期末）某校计算机小组的小张同学设计了一张卡通头像如图①所示，他的制作过程如下：如图②，首先以BC为边，在BC同侧作正五边形BCEFG和正方形ABCD，然后连接GA，DE，最后隐藏线段AB，DC，并添加眼睛和嘴巴，∠FGA的度数是（　　） A．18° B．27° C．30° D．81° 【考点】正多边形和圆；三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；多边形内角与外角． 【分析】根据正五边形的每个内角都相等，每条边都相等得出BC＝BG，∠FGB＝∠GBC＝108°，再根据正方形的每个内角都相等，每条边都相等得出AB＝BC，∠ABC＝90°，即可得出AB＝BG，∠GBA＝18°，再根据等边对等角求出∠AGB＝∠GAB＝81°，即可求出∠FGA的度数． 【解答】解：∵五边形BCEFG是正五边形， ∴BC＝BG，∠FGB＝∠GBC108°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠ABC＝90°， ∴AB＝BG，∠GBA＝∠GBC﹣∠ABC＝108°﹣90°＝18°， ∴∠AGB＝∠GAB81°， ∴∠FGA＝∠FGB﹣∠AGB＝108°﹣81°＝27°， 故选：B． 【点评】本题考查了正多边形与圆，等腰三角形的判定与性质，多边形的内角与外角，三角形内角和定理，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 【作业8】（2026秋•同步）完成下表中有关正多边形的计算： 正多边形边数 内角 中心角 半径 边长 边心距 周长 面积 3 60° 　120°　 　2　 　1　 　6　 　3　 4 　90°　 　90°　 　2　 　1　 　8　 　4　 6 　120°　 　60°　 　2　 　2　 　12　 　6　 【考点】正多边形和圆． 【分析】根据正三角形、正方形、正六边形的性质以及直角三角形的边角关系进行计算即可． 【解答】解：如图1，正三角形ABC，因为内角∠ABC＝60°，AB＝2， 所以中心角∠BOC120°，BM＝CMBC， 所以半径OBBM×2＝2，边心距OMBM＝1， 周长为2，面积为21×3＝3； 如图2，正方形ABCD，半径OA， 所以内角∠ABC＝90°，中心角为90°，边长ABOA＝2，边心距OM＝AM＝BMAB＝1，周长为2×4＝8，面积为2×2＝4； 如图3，正六边形ABCDEF，边心距OM， 所以内角∠ABC120°，中心角∠AOB60°，半径OAOM×2＝2，边长AB＝OA＝2，周长为2×6＝12，面积为26； 故答案为：第一行：120°，2，1，6，3；第二行：90°，90°，2，1，8，4；第三行：120°，60°，2，2，12，6． 【点评】本题考查正多边形和圆，掌握正三角形、正方形，正六边形的性质以及直角三角形的边角关系是正确解答的关键． 【作业9】（2025秋•丰南区期末）圆的内接正五边形的中心角的度数为　72　 °． 【考点】正多边形和圆． 【分析】根据圆的内接正五边形的中心角的定义列式计算即可． 【解答】解：圆的内接正五边形的中心角的度数为． 故答案为：72． 【点评】本题主要考查正多边形与圆，掌握圆的内接正n边形的中心角的度数等于360°除以n是解题的关键． 【作业10】（2026秋•同步）小彬求出一个正多边形的一个内角为145°，他的计算正确吗？如果正确，他求的是正几边形的内角？如果不正确，请说明理由． 【考点】正多边形和圆；多边形内角与外角． 【分析】设这个正多边形的边数是n，根据题意列出（n﹣2）×180°＝145°n，然后求出n的值进行判断即可． 【解答】解：不正确， 理由：设这个正多边形的边数是n， 根据题意得（n﹣2）×180°＝145°n， 解得n，不是整数，即不适合题意， 所以一个正多边形的一个内角不可能为145°． 【点评】本题考查了正多边形与圆，多边形的内角与外角，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 【作业11】（2026•盂县三模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC是⊙O的直径，BA的延长线与CD的延长线交于点E．若点A是BE的中点，∠E＝65°，BC＝4，求的长． 【考点】弧长的计算；圆内接四边形的性质． 【分析】连接BD，OD．利用圆周角定理得到∠BDC＝90°，由点A为BE的中点，得到，推出∠ADE＝∠E＝65°，再根据圆的内接四边形的性质求出∠C＝180°﹣∠BAD＝50°，进而求出∠CBD＝90°﹣∠C＝40°，由圆周角定理可得∠DOC＝2∠CBD＝80°，再根据弧长公式计算即可解答． 【解答】解：连接BD，OD． ∵BC是⊙O的直径， ∴∠BDC＝90°（直径所对的圆周角是直角）． ∴∠BDE＝180°﹣∠BDC＝90°． ∵点A是BE的中点， ∴（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）． ∵∠E＝65°， ∴∠ADE＝∠E＝65°． ∴∠BAD＝∠ADE+∠E＝130°． ∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠C＝180°﹣∠BAD＝50°． ∴∠CBD＝90°﹣∠C＝40°． ∴∠DOC＝2∠CBD＝80°． ∵BC＝4， ∴OC＝2． ∴的长． 【点评】本题考查弧长的计算，掌握圆周角定理、圆的内接四边形的性质、弧长公式是解题的关键． 【作业12】（2026•柳州二模）如图，北京市某处A位于北纬40°（即∠AOC＝40°），东经116°，三沙市海域某处B位于北纬15°（即∠BOC＝15°），东经116°；设地球的半径约为R千米，则在东经116°所在经线圈上的点A和点B之间的劣弧长约为（　　） A．（千米） B．240πcm2（千米） C．（千米） D．（千米） 【考点】弧长的计算． 【分析】根据题意求出∠AOB的度数，再根据弧长公式求解即可． 【解答】解；根据题意求出∠AOB的度数可得： ∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC＝25°， 根据弧长公式求解可得： 劣弧AB的长为（千米）， 故选：C． 【点评】本题主要考查了求弧长，熟练掌握该知识点是关键． 【作业13】（2026•威远县校级一模）如图，以AB为直径作半圆O，C是半圆上一点，以点A为圆心，AC的长为半径画弧交直径AB于点D，若∠CAB＝45°，AB＝4，则图中阴影部分的面积为（　　） A．π﹣2 B．2π﹣4 C．2 D．4+π 【考点】扇形面积的计算；圆周角定理． 【分析】根据S阴影＝S扇形COB+S△AOC﹣S扇形CAD求解即可． 【解答】解：∵AB＝4， ∴OA＝OC＝OB＝2， ∵∠CAB＝45°， ∴∠COB＝2∠CAB＝2×45°＝90°， ∴∠AOC＝90°， ∴， ∴S阴影＝S扇形COB+S△AOC﹣S扇形CAD ＝π+2﹣π ＝2， 图中阴影部分的面积为2， 故选：C． 【点评】本题考查扇形面积的计算，圆周角定理，关键是相关定理和公式的熟练掌握． 【作业14】（2026•兰州校级模拟）“苏州之眼”摩天轮是亚洲最大的水上摩天轮，其示意图如图所示．该摩天轮的半径为60m，摩天轮匀速旋转一圈用时30min．某轿厢从点A出发，10min后到达点B，此过程中该轿厢所经过的路径（即弧AB）长度为　40π　 m．（结果保留π） 【考点】弧长的计算． 【分析】根据弧长公式计算即可． 【解答】解：此过程中该轿厢所经过的路径（即弧AB）长度为40π（m）． 故答案为：40π． 【点评】本题考查了弧长的计算，熟练掌握弧长公式是关键． 【作业15】（2026•滨城区校级开学）若一个扇形的半径是18cm，此扇形的圆心角是60°，则它的弧长等于　6πcm ． 【考点】弧长的计算． 【分析】将已知的半径和圆心角代入扇形弧长公式计算即可，其中n为圆心角度数，r为扇形半径． 【解答】解：将数值代入公式得． 故答案为：6πcm． 【点评】本题考查了弧长的计算，熟练掌握该知识点是关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $