3.5圆内接四边形与正多边形（讲义）数学新教材浙教版九年级上册

本讲义聚焦圆内接四边形与正多边形核心知识点，系统梳理圆内接四边形对角互补等性质，正多边形中心、半径等概念及计算，尺规作图特殊正多边形，衔接平面镶嵌应用，构建递进式学习支架。 资料通过分层知识点、分类题型设计，结合正多边形转化直角三角形模型培养几何直观，平面镶嵌问题强化应用意识，课中助力教师高效授课，课后随学随练帮助学生查漏补缺，提升推理与实践能力。

第3章 圆的基本性质 3.5 圆内接四边形与正多边形 课标要点 1. 掌握圆内接四边形性质：对角互补，任一外角等于内对角；能利用性质进行角度计算与简单证明。 2. 理解正多边形与圆的关系：正多边形有外接圆与内切圆，圆心为正多边形中心，分清半径、边心距、中心角概念。 3. 会计算正多边形中心角、边长、边心距、周长与面积，能结合圆的相关性质解决综合几何问题。 学习重难点 重点： 熟练运用圆内接四边形对角互补、外角等于内对角进行角度计算与证明。 掌握正多边形相关概念：中心、半径、边心距、中心角，熟记中心角计算公式。 能构造直角三角形，求解正多边形边长、边心距、周长与面积。 难点： 在复杂图形中识别圆内接四边形，灵活选用性质完成几何推理。 建立正多边形、外接圆、直角三角形三者之间的转化模型。 圆内接四边形与正多边形、圆周角知识结合的综合性题型分析。 知识点 圆内接四边形的核心性质 1. 对角互补：圆内接四边形的任意一组对角之和为180°，即若四边形ABCD内接于⊙O，则，。 2. 外角等于内对角：圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（和外角不相邻的对角），即延长圆内接四边形ABCD的AB边到点E，则。 3. 面积公式：若圆内接四边形四边长度分别为a,b,c,d，半周长，则面积，这个公式叫做布拉美古塔定理，仅适用于圆内接四边形。 4. 托勒密定理：圆内接四边形对边乘积的和等于对角线的乘积，即若四边形ABCD内接于⊙O，则。 特别提醒 1. 对角互补既是圆内接四边形的性质，也可作为四点共圆的判定依据。 2. 外角等于内对角，多用于图形存在延长线的角度推导。 3. 切勿混淆圆内接四边形与圆外切四边形的结论，二者性质不同。 4. 使用性质前，要先确认四个顶点在同一个圆上。 随学随练 1．如图，是半圆的直径，，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：四边形是圆的内接四边形， ， ， ． 2．如图，点A、B、C、D在上，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆内接四边形的性质可得，再根据圆周角定理可得，再结合题目已知进行列方程组求解即可． 【详解】解：在四边形中，， ∵， ∴， 由图可得，，且， ∴， 解得． 3．如图，已知四边形内接于，连接，，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据圆内接四边形的对角互补求出的度数，再根据圆周角定理求出的度数． 【详解】解：四边形内接于， ， ， ， 与是同弧所对的圆心角与圆周角， ． 4．如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，________． 【答案】 14 【分析】根据圆内接四边形的性质求出，根据直径所对的圆周角是直角得出，然后根据计算即可. 【详解】解：∵四边形是的内接四边形， ∴， 又， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴. 5．以为直径的半圆上，点，的位置如图所示，若，则_____． 【答案】 【分析】连接，由题意得，由直角三角形两个锐角互余可得出，再由圆内接四边形的性质即可求解． 【详解】解：连接， ∵为圆的直径， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为圆的内接四边形， ∴． 知识点 正多边形与圆 正多边形定义 各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。 特别提醒：菱形仅满足四边相等，矩形仅满足四角相等，都不是正多边形，只有正方形同时满足四边相等、四角相等，是正四边形。 正多边形与圆的关系 把一个圆n(n≥3的整数)等分，依次连接各等分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做正多边形的外接圆；反过来，正多边形都有唯一的外接圆。 正多边形的相关概念 概念名称 定义 中心 正多边形外接圆的圆心，叫做正多边形的中心 半径 正多边形外接圆的半径，叫做正多边形的半径，记为R 中心角 正多边形每一条边所对的外接圆的圆心角，叫做正多边形的中心角 边心距 中心到正多边形一条边的距离，叫做正多边形的边心距，记为r 正多边形的对称性 1. 轴对称性：正多边形都是轴对称图形，每条对称轴都经过正多边形的中心。当n为奇数时，对称轴为每个顶点与对边中点的连线，共n条；当n为偶数时，对称轴包括过相对两个顶点的直线，以及对边中点的连线，共n条。 2. 中心对称性：当正多边形的边数n为偶数时，正多边形是中心对称图形，对称中心为正多边形的中心；当n为奇数时，正多边形不是中心对称图形。 特别提醒 当n边数很大时，正多边形的周长会趋近于外接圆的周长，面积也会趋近于外接圆的面积，这也是古代割圆术计算圆周率的核心思想。 随学随练 1．若正六边形的边长为2，则它的外接圆的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题利用正六边形的性质，可得正六边形的边长等于其外接圆的半径，再结合圆的面积公式计算即可得到结果． 【详解】解：∵正六边形的中心角为， ∴外接圆的圆心与正六边形任意两个相邻顶点构成顶角为的等腰三角形，该三角形为等边三角形， ∴外接圆的半径等于正六边形的边长， ∵正六边形边长为， ∴， ∴外接圆的面积． 2．下列命题正确的是（     ） A．各边相等的多边形是正多边形 B．各边相等的圆外切多边形是正多边形 C．各内角相等的圆内接多边形是正多边形 D．各边相等的圆内接多边形是正多边形 【答案】D 【分析】本题考查正多边形的判定，需结合正多边形定义，圆内接、圆外切多边形的性质逐一判断选项. 【详解】正多边形的定义为：各边相等且各内角也相等的多边形. ∵菱形各边相等，但内角不一定相等，不是正多边形，∴A错误； ∵圆外切菱形各边相等，但内角不一定相等，不是正多边形，∴B错误； ∵圆内接矩形各内角相等，但边不一定相等，不是正多边形，∴C错误； ∵圆内接多边形各边相等，∴各边所对的弧相等，可推得各内角相等，同时满足各边相等，各内角相等，符合正多边形定义，∴D正确． 3．如图，正八边形内接于为上任意一点，连接，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正多边形与圆，涉及到正八边形的性质、圆周角定理，熟练掌握正八边形性质及圆周角定理作出辅助线是解决问题的关键． 连接、，根据正八边形性质得到，再结合圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可得到答案． 【详解】解：连接、，如图, 正八边形内接于， ， P是圆上任意一点，， 根据圆周角定理，， 故选：B． 4．如图，正七边形，连接对角线，交于点，则的度数为________． 【答案】 【分析】作正七边形的外接圆，证明得出，再证明，求出，然后根据求解即可． 【详解】解：如图，作正七边形的外接圆， ∵正七边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 5．如图，在中，弦，分别是的内接正三角形和内接正方形的一条边，连接，也是的内接正n边形的一条边，则n的值是________． 【答案】12 【分析】连接、、，如图，利用正多边形与圆，分别计算的内接正四边形与内接正三角形的中心角得到，，则，然后计算即可得到n的值． 【详解】解：连接、、，如图， ∵，分别为的内接正三角形和内接正方形的一条边， ∴，， ∴， ∵也是的内接正n边形的一条边， ∴． 知识点 尺规作图 1. 用量角器等分圆：先计算正n边形的中心角，在圆中依次画出圆心角为的扇形，各扇形半径与圆的交点即为等分点，依次连接等分点即可得到正n边形。 2. 尺规作图特殊正多边形：对于特殊等分，可以用尺规作图得到： · 四等分圆：作两条互相垂直的直径，连接四个交点即可得到正方形；再次平分各弧可以得到正八边形，重复操作可得正十六边形等。 · 六等分圆：用等于外接圆半径的长度依次截圆，即可得到六个等分点，连接后得到正六边形；间隔连接等分点可得正三角形，六等分后再次平分各弧可得正十二边形等。 特别提醒 1. 等分圆周是绘制正多边形的核心，等分份数决定正多边形边数。 2. 尺规作图仅能作出部分特殊正多边形，并非所有正多边形都可用尺规画出。 3. 依次连接各等分点，切忌交叉连线，保证顶点都落在圆上。 4. 作图时准确确定圆心与半径，等分不均匀会造成图形边长不相等。 随学随练 1．如图，已知直线，点是直线上一点，利用尺规作图法作正方形，使得点、在直线上，点在点右侧．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】 【分析】先过点作，再分别在上截取，即可得出，即可证明四边形是平行四边形，根据得出四边形是矩形，根据可得四边形是正方形． 【详解】略 2．如图，已知，点在圆上，请以为一顶点作圆内接正方形．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见详解 【分析】先作直径AC，再过O点作AC的垂线交⊙O于B、D，则四边形ABCD为正方形． 【详解】解：如图，正方形ABCD为所作． 【点睛】本题考查了作图——复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 3．请用圆规和直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：⊙O，点A在圆上． 求作：以A为一顶点作圆内接正方形ABCD． 【答案】 如图，四边形ABCD即为所求作． 【分析】作直径AC，过点O作BD⊥AC交⊙O于B，D，连接AB，BC，CD，AD即可． 【详解】略 【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 4．如图，已知AC为的直径．请用尺规作图法，作出的内接正方形ABCD．（保留作图痕迹．不写作法） 【答案】 如图，正方形ABCD为所作． ∵BD垂直平分AC，AC为的直径， ∴BD为的直径， ∴BD⊥AC，OB＝OD，OA＝OC，BD＝AC， ∴四边形ABCD是的内接正方形． 【分析】作AC的垂直平分线交⊙O于B、D，则四边形ABCD就是所求作的内接正方形． 【详解】略 【点睛】本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆的基本性质，正方形的判定． 拓展 圆内接四边形与正多边形的综合关联规律探究 圆内接四边形与正多边形都和圆密切相关，二者结合的综合题中，存在很多内在关联规律： 1. 正n边形中圆内接四边形的性质规律 比如正五边形内接于圆，任意四个顶点构成的四边形都是圆内接四边形，我们可以验证其满足托勒密定理，正五边形的边长为a，对角线长为d，连接不相邻的四个顶点可以得到圆内接四边形，代入托勒密定理得到ad + a² = d²，也就是黄金分割比，这个推导过程把托勒密定理、圆内接四边形、正五边形的性质完美结合，得到了黄金分割的几何推导，体现了数学的和谐美。 2. 圆内接四边形的四个顶点是正多边形顶点的条件探究 如果圆内接四边形的四个顶点都是同一个正n边形的顶点，当n是4的倍数时，四个间隔相等的顶点构成正方形，是特殊的矩形，也是圆内接四边形；当n是偶数，且四个顶点间隔均匀时，会得到矩形或等腰梯形，我们可以归纳：圆内接四边形内接于半径为R的圆，若四个顶点是正n边形的顶点，因此可以通过角度关系快速计算四边形的边长、对角线和面积，这个转化过程把正多边形的性质和圆内接四边形的计算结合起来，提升了综合应用能力。 1．如图，正五边形内接于，为上的一点（点不与点重合），则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求得中心角，进而根据圆周角定理，即可求解． 【详解】解：∵正五边形内接于， ∴， ∵与分别是所对的圆周角和圆心角， ∴． 2．如图，把（不完整）分成相等的n段弧，其中，，是其中的三个等分点，连接，．若，依次连接各等分点得到的图形为（     ） A．正十边形 B．正九边形 C．正八边形 D．正六边形 【答案】A 【分析】根据圆周角定理可得，即正多边形的中心角，进而求得边数，即可求解． 【详解】解：如图，连接 ∵ ∴ 依题意，依次连接各等分点得到的图形为正边形，其中，即正十边形 3．如图，圆内接正六边形的边长为6，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由正六边形的性质得出正六边形可以分成面积相等的6个等边三边形，过点O作，则，根据勾股定理求出，求出，进而可得出正六边形的面积，最后根据正六边形的面积加上六个小半圆的面积，再减去中间大圆的面积即可得到结果． 【详解】解：正六边形如下图： ，又， ∴是等边三角形， 同理可知：正六边形可以分成面积相等的6个等边三角形， 过点O作， 则， ∴， ∴， 正六边形的面积为：， 六个小半圆的面积为：，中间大圆的面积为：， 所以阴影部分的面积为：． 拓展 平面镶嵌 一、平面镶嵌的基本概念 平面镶嵌（也称为平面密铺）：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的平面镶嵌。 核心要素满足三个条件：1. 拼接后图形整体在一个平面内；2. 拼接处没有空隙；3. 拼接处没有重叠，符合这三点的拼接就是有效的平面镶嵌。 二、平面镶嵌的核心条件 拼接点处，所有拼接图形的内角之和恰好等于360°，这是平面镶嵌成立的核心数学条件，同时要求相邻拼接图形有公共边，保证边缘无缝衔接。 也就是说，设在同一个拼接点处有( n )个角，每个角的度数分别为，必须满足： 三、单一正多边形的平面镶嵌 正多边形每个内角都相等，因此设正多边形边数为( n )，其每个内角的度数为。设拼接点处需要( k )个这样的内角满足和为360°，则有： 整理得： 其中( k )和( n )都必须是大于等于3的正整数，因此我们可以得到所有可行的情况： 正多边形类型 每个内角度数 拼接点处所需个数 是否可以单独镶嵌 正三角形（） 60° (360÷60=6) 是 正方形（） 90° (360÷90=4) 是 正五边形（） 108° (360÷108≈3.33)，不是整数 否 正六边形（） 120° (360÷120=3) 是 边数( n≥7 ) 内角大于120°小于180°，(2<k<3)，不存在整数(k) 否 活学活用 1．小玲家计划装修房屋，已选定一种正八边形地砖，若要将地面铺满，小玲应再选用下列哪种形状的地砖（     ） A．正三角形 B．正五边形 C．正六边形 D．正方形 【答案】D 【分析】密铺要求拼接点处所有内角的和为，先计算正八边形的内角度数，再验证符合条件的正多边形即可． 【详解】解：∵正边形内角和为，正八边形边数， ∴正八边形每个内角度数为， ，， ∵正三角形每个内角为，正五边形每个内角为，正六边形每个内角为，正方形每个内角为， ∵，可以铺满地面， ∴应选用正方形地砖． 2．在学校花坛设计中，准备用边长相等的正方形和正三角形两种地砖镶嵌地面，在某个顶点的周围用两个正方形和个正三角形恰好可以进行平面镶嵌，则的值是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】平面镶嵌要求同一顶点处所有内角的和为，先确定正方形和正三角形的内角度数，再列方程求解即可． 【详解】 正方形每个内角为，正三角形每个内角为，平面镶嵌中同一顶点处各内角和为， 根据题意列方程得 ， 整理得 ， 解得 ． 3．如图是某广场地面的一部分，地面的中央是一块正六边形地砖，周围用正三角形和正方形地砖密铺，从里向外共10层（不包括中央的正六边形地砖）．每一层的外边界都围成一个多边形，若中央的正六边形地砖的边长为，则第10层边界所围成的多边形的周长是（     ） A．33 B．34 C．35 D．36 【答案】A 【分析】观察图形，分析每层外边界边数的变化规律，得出第层边数的通项公式，代入计算周长． 【详解】解：由图可知，正方形、正三角形和正六边形的边长相等，均为， 第层外边界共有条边，即条边， 第层外边界共有条边，即条边 ， ， 第层外边界共有条边， 当时，第层边界所围成的多边形边数为 ， 第层边界所围成的多边形的周长为． 4．公园的一段甬路是用型号相同的五边形地砖拼铺而成的，如图是拼铺图案的一部分，如果每个五边形有3个内角相等，那么这3个内角都等于（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由图中可以看出，这3个内角放在同一顶点处，可组成一个周角，由此即可求出答案． 【详解】解：∵3个内角放在同一顶点处，组成一个周角， ∴每个内角为：． 故这3个内角都等于． 题型利用圆内接四边形求角度 解题贴士 首 1. 看到四点共圆，优先使用对角互补快速推导等角、补角关系。 2. 2 . 出现四边形一边延长线时，运用“外角等于内对角”简化角度计算。 3. 3.善于结合圆周角定理，搭建已知角和待求角之间的联系。 4. 复杂图形先找准圆内接四边形，避免误将普通四边形套用相关性质。 ▌例1如图，在中，所对的圆心角为，点在上．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，连接并延长交于点E，连接，首先利用等边对等角得到，然后利用三角形内角和定理求出，然后结合圆周角定理和圆内接四边形对角互补求解即可． 【详解】解：如图，连接并延长交于点E，连接 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． ▌例2．如图，四边形内接于，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆内接四边形的外角等于内对角求出的度数，再利用圆周角定理求出的度数． 【详解】解：∵四边形内接于，是四边形的外角， ， ∵， ∴， ∵ 与是同弧所对的圆周角和圆心角， ∴． ▌对点练1-1如图，四边形内接于，连接，已知，且，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用圆内接四边形对角互补结合已知角度关系求出的度数，再根据等弧对等弦判定为等腰三角形，最后计算得到的度数． 【详解】∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ▌对点练1-2．如图，为的一条弦，且，C为劣弧上一点，连接，则的度数为_____． 【答案】/120度 【分析】在优弧上构造圆周角，利用同弧所对圆周角等于圆心角的一半求出该角，再利用圆内接四边形对角互补求出． 【详解】解：在优弧上任取一点，连接，． ， ． 四边形内接于 ， ， ． ▌对点练1-3．如图，四边形内接于，连接，，若，则的度数为________． 【答案】/60度 【分析】根据圆内接三角形的性质得到，由圆周角定理得到，据此求解即可． 【详解】解：四边形内接于， ， ， ， ， 解得：． 题型 利用圆内接多边形求边长 解题贴士 1. 圆内接多边形各顶点在圆上，可借助圆周角、圆心角转化，结合半径构建三角形。 2. 连接圆心与多边形顶点，分割出等腰三角形，利用垂径定理求解线段长度。 3. 遇到圆内接正多边形，转化为中心角、边心距与半径构成的直角三角形计算边长。 ▌例1．如图，为直径，点A，D在上，，若，则的半径长度为（    ） A．6 B．4 C．2 D．1 【答案】C 【分析】连接，根据圆内接四边形的性质得出，即可得出为等边三角形，从而求得的半径长度为2． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 故选：C． 【点睛】此题考查了圆周角定理，圆的内接四边形，熟记圆周角定理是解题的关键． ▌例2．如图，四边形内接于，，则的直径长为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆内接四边形，圆周角定理，勾股定理，连接，根据圆周角定理得到是的直径，求得，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：连接，   ， ∴是的直径， ， ， ， 即的直径长为， 故选：C． ▌对点练1-1．如图，四边形内接于，，交的延长线于点E．若平分，，，则的长度为___________． 【答案】 【分析】连接，根据平分，可得；根据四边形内接于，可得，进而可得，即有，则有，最后利用勾股定理即可作答． 【详解】解：连接，如图， ∵平分， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴在中，， 故答案为：． ▌对点练1-2．如图，四边形内接于，连接，，．    (1)求的大小； (2)若的半径为3，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接利用圆周角定理得出的度数，再利用等弧所对的圆周角相等得到求出答案； （2）连接，，首先求出的度数，得到为等边三角形，再根据等边三角形的性质求出答案． 【详解】（1）∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）连接，， 则， 又∵， ∴为等边三角形， ∴．    【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理的推论、等边三角形的判定和性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． ▌对点练1-3如图，四边形APBC内接于圆，，连接AB，PC，． (1)是_________三角形； (2)在PC上取一点E，使，若，，求PC的长． 【答案】(1)等边 (2)5 【分析】（1）根据圆周角定理和等边三角形的判定定理即可证出△ABC是等边三角形； （2）利用全等三角形的性质证明PC＝PA＋PB，可得结论． 【详解】（1）∵∠APB＝120°，四边形APBC内接于圆， ∴∠ACB＝60°， ∵AB＝AC， ∴△ABC是等边三角形， 故答案为：等边； （2）由（1）知，△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC，∠ABC＝∠BAC＝60°， ∴∠APC＝60°， ∴△APE是等边三角形， ∴AP＝AE，∠PAE＝60°， ∴∠PAB＝∠CAE， ∴△PAB≌△EAC（SAS）， ∴PB＝EC＝2， ∵PE＝PA＝3， ∴PC＝PE＋CE＝3＋2＝5． 【点睛】本题考查了圆周角定理，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质． 题型 正多边形相关概念计算（半径、边心距、边长、中心角） 解题贴士 1. 圆内接四边形优先考虑婆罗摩笈多公式，已知四条边长可直接计算面积。 2. 四边形可对角线分割成两个三角形，借助圆周角相等、对角互补求三角形面积再求和。 3. 若有特殊角度，利用对角互补得到两组三角形的夹角互补，简化面积运算。 4. 注意区分普通四边形与圆内接四边形面积公式，婆罗摩笈多公式仅适用于圆内接四边形。 ▌例1如图，圆是矩形的外接圆，若，，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了圆内接四边形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确做出辅助线． 连接，首先根据题意得到点O是的中点，然后利用勾股定理求出，，然后利用阴影部分的面积代数求解即可． 【详解】如图所示，连接， ∵圆是矩形的外接圆， ∴点O是的中点 ∵，，， ∴ ∴ ∴阴影部分的面积． 故选：B． ▌例2如图，正六边形内接于，的半径为3，则的长为（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】根据正多边形的中心角公式，得出，进而判定是等边三角形即可求解． 【详解】解：正六边形内接于，的半径为3， ，， 是等边三角形， ． ▌对点练1-1如图，正六边形内接于，正六边形的边长是2，则的半径的长是（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形和圆，以及正六边形的性质，根据题意画出图形，作出辅助线求出是解答此题的关键，根据题意画出图形，求出正六边形的边长，再求出即可求出的半径． 【详解】解：如图，连结， ∵六边形为正六边形， ∴， ∴是等边三角形， ∵正六边形的边长是2， ∴， 故选：B． ▌对点练1-2如图，正六边形内接于，的半径为6，则边心距的长为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查了正多边形和圆、勾股定理、等边三角形的判定与性质；熟练掌握正六边形的性质，证明三角形是等边三角形和运用垂径定理求出是解决问题的关键． 【详解】解：解：连接、，如图所示： ∵六边形为正六边形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 题型正多边形与圆综合 解题贴士 1. 遇到正多边形外接圆问题，优先连接圆心与顶点，得到等腰三角形，作出边心距构造直角三角形。 2. 利用中心角公式求出角度，借助勾股定理完成半径、边心距、边长之间的换算。 3. 善于结合圆周角、垂径定理，把正多边形问题转化为直角三角形计算。 4. 综合题型注意区分半径、边心距两个概念，避免线段混淆造成计算失误。 ▌例1如图，从边长为3的正六边形纸片上剪出一个扇形（阴影部分），则该扇形的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据正多边形的性质求出扇形的圆心角的度数，再根据扇形面积的计算方法进行计算即可． 【详解】解：∵六边形是正六边形， ∴， ∴扇形的面积是， 故选：C． ▌例2已知一个圆与一个角的两边各有两个公共点，且在两边上截得的两条弦正好是该圆的内接正多边形的两条边，则这个正多边形的边数为（    ） A．3或8 B．6或8 C．3或6 D．5或6 【答案】C 【分析】本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，设该圆内接正多边形的边数为，则每条边对应的圆心角为，通过分析弦对应的圆心角与已知角的关系，分情况计算正多边形的边数． 【详解】解：设该圆内接正多边形的边数为，则每条边对应的圆心角为， 当角的顶点在圆上时，如图， ∵， ∴圆的内接正多边形每个内角的度数为， ∴， ∴； 当角的顶点在圆外时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上，正多边形的边数为或． 故选：C． ▌对点练1-1如图，正五边形内接于中，P是劣弧上一点，则的度数为______． 【答案】 /36度 【分析】连接，，构造圆心角，利用正五边形的性质求得圆心角的度数，从而求得的度数． 【详解】解：如图，连接，， ∵正五边形内接于， ∴， ∴． ▌对点练1-2如图，正五边形内接于，则的度数为________． 【答案】 【分析】根据正多边形内角公式求出，根据三角形内角和及等边对等角得到，即可求出的度数． 【详解】解：∵正五边形内接于， ∴，， ∴， ∴． 题型 尺规作图-正多边形 解题贴士 1. 尺规作圆内接正多边形，核心是等分外接圆，先确定圆心与半径。 2. 仅正三、四、六、八、十二边形等特殊正多边形能用基础尺规作出。 3. 依次连接圆周上等分点，作图保证顶点均落在圆上，不要随意连线。 4. 作图完成规范标注，区分半径、边长，保留作图痕迹，不可擦除辅助线。 ▌例1如图，已知直线l和l外一点A，请用尺规作图法，求作一个正方形，使得顶点B和顶点D都在直线l上（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】 正方形如图所示： 【分析】此题考查了作图复杂作图，解题的关键是掌握作图的方法． 过点A作于点O，以O为圆心，为半径画弧交直线l于点B，D，交直线于点C，连接，，，，正方形即为所求． 【详解】略 ▌例2作图题： (1)尺规作图：如图，已知线段．求作线段的垂直平分线l，交于点C；（要求：保留作图痕迹，不写作法） (2)已知六边形是以O为中心的中心对称图形（如图），画出六边形的全部图形，并写出作法． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）分别以、为圆心，以任意长为半径，两圆相交于两点，连接此两点即可． （2）连接并延长到F，使得，连接BO并延长到E，使得，连接，，即可得出图形． 【详解】（1） （2）解：连接并延长到F，使得，连接BO并延长到E，使得，连接，，， 如图，六边形即为所求． 【点睛】本题考查了垂直平分线的作法，也考查了中心对称图形的性质，熟练掌握一般作图的步骤是解题的关键． ▌对点练1-1试用尺规作图，作出圆的内接正十二边形． 【答案】如图，十二边形即为所求． 【分析】在上任取一点，连接，以为圆心，为半径作弧交于，以为圆心，为半径作弧交于，以为圆心，为半径作弧交于，以为圆心，为半径作弧交于，以为圆心，为半径作弧交于，再分别作，，，，，的垂直平分线交于，，，，，，连接，，，，，，，，，，，，十二边形即为所求． 【详解】略 ▌对点练1-2如图，已知，请用尺规作图法，求作的一个内接正方形（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】如图，四边形即为所求， 【分析】本题考查了圆的性质，正方形的判定，以及用尺规作图的方法作线段的垂直平分线，正确作图是解题的关键．先作一条直径，再作该直径的垂直平分线，将直径以及垂直平分线与圆的四个交点顺次连接即可． 【详解】略 题型 平面镶嵌 解题贴士 1. 判断能否平面镶嵌，关键验证拼接点处各内角之和能否等于360°。 2. 单一正多边形密铺只需检验其内角能否整除360°，牢记仅正三、正四、正六边形可行。 3. 多种图形组合密铺，可列出内角和等式，寻找符合条件的正整数解。 4. 4. 审题区分普通多边形与正多边形密铺，任意三角形、四边形均可单独密铺。 ▌例1在①正三角形、②正方形、③正六边形中能密铺平面的是（     ） A．①②③ B．②③ C．①③ D．以上都不对 【答案】A 【分析】正多边形能密铺平面的条件是其一个内角度数能整除，据此计算验证即可． 【详解】解：正边形每个内角度数为； ①正三角形内角为，，能密铺； ②正方形内角为，，能密铺； ③正六边形内角为，，能密铺； 故①②③都能密铺平面． ▌例2下列正多边形组合能铺满地面的是（    ） A．正五边形与正方形 B．正三角形与正五边形 C．正方形与正八边形 D．正六边形与正八边形 【答案】C 【分析】正多边形铺满地面的条件是拼接点处所有内角的和恰好为，先计算各正多边形的内角度数，再判断哪个组合满足条件即可． 【详解】解：正方形每个内角为， 正五边形每个内角为， 正六边形每个内角为， 正八边形每个内角为． 选项C，，恰好满足铺满地面的条件， 其余选项均不存在正整数个内角和为． 即能铺满地面的是C． ▌对点练1-1如图所示，是工人师傅用边长均为的两块正方形和一块正三角形地砖绕着点进行的铺设．若一块边长为的正多边形地砖恰好能无空隙、不重叠地拼在处，则这块正多边形地砖的边数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】正多边形的组合进行平面镶嵌，位于同一顶点处的几个角之和为，从而可得的度数，计算正多边形的外角，由此可得边数． 【详解】解：正三角形和正方形的内角分别为与， ， 这块正多边形地砖的边数为， 故选：A． ▌对点练1-2用正三角形和正方形镶嵌平面，每一个顶点处有3个正三角形和__________个正方形． 【答案】2 【分析】平面镶嵌的条件是同一顶点处各内角的和为，先确定正三角形与正方形的内角度数,再根据内角和列方程求解. 【详解】解：正三角形每个内角为，正方形每个内角为， 设顶点处有个正方形， 根据题意得:， 整理得: ， 解得: ▌对点练1-3如图，用五边形可以铺满地面，若，则的度数是__________． 【答案】 【分析】根据题意得：3个拼成一个周角，即可求解． 【详解】解： 根据题意得：3个拼成一个周角，如图， ∴， ∴． 基础通关 1．如图，在中，点、、、分别在圆上，若，则 的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵在中，点、、、分别在圆上， ∴， ∵， ∴ 2．如图，四边形的顶点O是的圆心，顶点A，C，D均在上，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆周角，圆的内接四边形，掌握知识点是解题的关键． 在优弧上取点B，连接，推导出，得到，即可解答． 【详解】解：在优弧上取点B，连接，如图 ∵， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， 即． 故选B． 3．若四边形是的内接四边形，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补，即和，因此，角度比中对角之和的份数必须相等． 【详解】设，则需满足， 选项A：，故A不正确； 选项B：1 + 3 = 4 ≠ 2 + 4 = 6，故B不正确； 选项C：2 + 4 = 6 = 5 + 1 = 6，故C正确； 选项D：4 + 3 = 7 ≠ 3 + 2 = 5，故D不正确． 故选：C． 4．正方形的中心角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正多边形中心角的计算． 利用正n边形中心角的计算方法，代入正方形边数即可求出结果． 【详解】解：∵正边形所有中心角的和为，每个中心角的度数为， 又∵正方形是边数的正多边形， ∴正方形中心角的度数为． 5．下列图形旋转后可以与原图形重合的是（    ） A．正六边形 B．正五边形 C．正方形 D．正三角形 【答案】A 【分析】根据旋转对称图形的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、正六边形的中心角为：，绕它的中心旋转后可以和原图形重合，符合题意； B、正五边形的中心角为：，绕它的中心旋转后不能和原图形重合，不符合题意； C、正方形的中心角为：，绕它的中心旋转后不能和原图形重合，不符合题意； D、正三角形的中心角为：，绕它的中心旋转后不能和原图形重合，不符合题意； 6．如图，已知正六边形的外接圆半径为，则该正六边形的边长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形与圆，利用中心角和边的关系求解是解题的关键；根据中心角是，得到等边三角形即可求解． 【详解】解：连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， 故选：B ． 7．如图，是的内接正边形的一边，点在上，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形和圆，圆周角定理，求出中心角的度数是解题的关键．连接，，由圆周角定理得，再根据正边形的边数中心角，即可得解． 【详解】解：如图，连接，， ， ， 是的内接正边形的一边，   ． 故选：C． 8．如图，四边形是的内接四边形，若，，则______． 【答案】/18度 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质、三角形内角和定理，熟练掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 先利用圆内接四边形的性质求出的度数，再在中，根据三角形内角和定理计算的度数． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 9．如图，四边形内接于，如果它的一个外角，那么的度数为_______． 【答案】/128度 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，熟练掌握圆内接四边形的性质，圆周角定理是解题的关键．根据圆内接四边形的性质可得，结合，得，再利用圆周角定理求解． 【详解】四边形为圆内接四边形， ， 又， ， 在中，由圆周角定理，可得， 故答案为：． 10．在正十二边形中，顺次连接某几个顶点恰好构成一个正边形，则可以是____________（写出一个）． 【答案】 （答案不唯一，均正确） 【分析】要在正十二边形中顺次连接顶点构成正边形，必须是的不小于的正约数，据此解答即可． 【详解】解：要使得取出的顶点构成正多边形，顶点个数需要是的正因数且大于等于， 因为的正因数中大于等于的有，，，，所以，任取一个即可，这里取． 11．如果一个正多边形的中心角是，那么这个正多边形的边数为______． 【答案】10 【分析】用除以单个中心角的度数即可得到正多边形的边数． 【详解】解：根据正多边形中心角与边数的关系，得： 该正多边形的边数为：． 12．如图，正八边形内接于，连接，，则的度数为______． 【答案】/45度 【分析】本题考查正多边形与圆的关系，圆心角的计算，掌握圆心角的计算公式是解题关键． 利用正多边形内接于圆时顶点等分圆周的性质，用除以边数，即可求得圆心角 的度数． 【详解】解：正八边形内接于， 其个顶点将圆等分， 整个圆周角为， 每条边所对的圆心角为． 故答案为：． 13．各边相等的圆内接多边形是正多边形吗？各角相等的圆内接多边形呢？如果是，说明为什么；如果不是，举出反例． 【答案】解：各边相等的圆内接多边形是正多边形，理由如下： 设圆内接边形各边相等， 则边形的个顶点将圆分成了段相等的圆弧， ∵边形的每一个内角都对应了段相等的圆弧， ∴边形的每一个内角都相等， ∴边形各边和各角都相等，是正多边形， 即各边相等的圆内接多边形是正多边形； 各角相等的圆内接多边形不一定是正多边形， 反例：矩形是圆内接多边形，且四个角相等，但矩形不是正四边形． 【分析】设圆内接边形各边相等，由圆心角、弧、弦的关系定理得出边形的个顶点将圆分成了段相等的圆弧，再根据圆周角定理可知边形的每一个内角都相等，得出各边相等的圆内接多边形是正多边形；各角相等的圆内接多边形不一定是正多边形，例如矩形． 【详解】略 14．如图，有一个亭子，它的地基是半径为的正六边形，求地基的周长和面积（结果保留小数点后一位）．     【答案】亭子地基的周长为24m，地基的面积为41.6m2． 【分析】连接OB、OC求出中心角∠BOC的度数，再由等边三角形的性质即可求出正六边形的周长；过O作△OBC的高OP，利用等边三角形及勾股定理可求出OP的长，利用三角形的面积公式即可解答． 【详解】如图，连接．因为六边形是正六边形，所以它的中心角∠BOC等于是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径． 因此，亭子地基的周长． 作，垂足为P．在中，∠POC=90°-60°=30° ∴， 利用勾股定理，可得边心距． 亭子地基的面积． 【点睛】本题考查的是正六边形、勾股定理及等边三角形的性质，作出辅助线构造出等边三角形是解答此题的关键． 15．如图，四边形内接于，是的直径，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题关键．先根据圆内接四边形的性质可得，则可得，再根据圆周角定理求解即可得． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴． 素养提升 1．如图，四边形内接于，，连接．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先利用圆内接四边形的性质和的度数求得的度数，然后利用等边对等角及三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵四边形内接于，， ∴， ∵， ∴． 2．小明捡到一个量角器碎片，按如图的方式测量的度数，他让点落在量角器圆弧上，并将角的两边与量角器圆弧的交点分别记为，．若点，对应的刻度分别为、，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，连接设的直径为，根据角的和差关系求出的度数，根据圆周角定理求出的度数，再根据圆内接四边形的性质，求出的度数即可. 【详解】解：连接设的直径为，如图， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴． 3．如图，已知四边形是的内接四边形．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用圆内接四边形对角互补的性质求出的度数，再利用圆周角定理求出的度数． 【详解】解：四边形是的内接四边形， ， ， ， 和是同弧所对的圆心角与圆周角， ． 4．如图1为传统建筑中的一种窗格，图2为窗框的示意图，多边形为正六边形，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设正六边形的中心为，连接，由正多边形的性质，得到，，则，再根据三角形外角的性质求解即可. 【详解】解：设正六边形的中心为，连接， 则，， ∴， ∴. 5．如图，为弦，若，弦是圆内接正多边形的一边，则该正多边形为（   ） A．正五边形 B．正六边形 C．正七边形 D．正八边形 【答案】B 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴ ∵弦是圆内接正多边形的一边，则该正多边形的边数为， 即该正多边形为正六边形 6．如图，有一个亭子，它的地基是边长为的正六边形，则这个正六边形地基的面积是_________（计算结果保留根号）． 【答案】 【分析】连接正六边形的中心与各顶点，可将正六边形分割成个全等的等边三角形，求出其中一个等边三角形的面积，再乘以即可得到正六边形的面积． 【详解】解：如图，设正六边形的中心为， 连接、， 过点作于点 多边形是正六边形 ， 是等边三角形 在中，由勾股定理得： 正六边形的面积为： ． 7．如图，边长为2的正是的内接三角形，则阴影部分的面积为_________． 【答案】 【分析】连接、，连接并延长交于点，通过解求出圆的半径，以及圆与内接正多边形的性质求出圆心角的度数，再由阴影部分的面积求解即可． 【详解】解：连接、，连接并延长交于点，如下图，   等边是的内接三角形， ，， ∴， ∴， ， 图中阴影部分的面积． 8．如图，内接于，点M是弦的中点，连接．若，则的度数为________． 【答案】 【分析】连接，根据圆的内接四边形的性质，圆心角与圆周角关系，垂径定理推论，求解即可． 【详解】解：如图，在优弧上任取点F，连接， 则四边形是的内接四边形， ， ， ， ， ∵点M是弦的中点，， ． 9．如图，是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，且，，则_________________°． 【答案】68 【分析】由直径所对圆周角为直角结合题意可求出，再根据圆内接四边形的性质可求出，最后根据等腰三角形的性质结合三角形内角和定理即可求出答案． 【详解】解：∵是半圆的直径， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 10．如图，点、、、都在上，，． (1)求的度数； (2)求的度数； 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了圆内接四边形的性质，垂径定理和圆周角定理等知识； （1）根据垂径定理得出，再利用圆周角定理得出的度数: （2）连接，根据圆内接四边形的性质便可求得结果． 【详解】（1）解：∵点、、、都在上，， ∴， ∵， ∴， ∴的度数为 （2）解：连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ 迁移创新 1．探究以下问题： (1)问题提出 如图①，在四边形中，若，，，，，连接，求出的长度； (2)问题解决 如图②，，，，，现需要截取某种四边形的材料板，这个材料板的形状恰好符合如图②所示的四边形，为了尽可能节约成本，你能求出这种四边形面积的最小值吗？若能，请求出此四边形面积的最小值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)10 (2)能， 【分析】（1）连接，将绕点A顺时针旋转，得到，连接，证明出是等边三角形，求出，再结合勾股定理计算即可得出结果； （2）连接，将绕点A顺时针旋转，得到，连接，由（1）同理可得为等边三角形，，求出，表示出，证明的外接圆为定圆，构造的外接圆，G为优弧上一点（不与C、重合），求出，过点O作于点H，求出，过点O作，过点D作于点M，交于点P，证明四边形为矩形，得出，则．连接，那么，越大，越大，越大，则越小，当且仅当M，O重合时，点D位于弧中点时取等号，此时取最小值，由此计算即可得出结果． 【详解】（1）解：如图①，连接，将绕点A顺时针旋转，得到，连接， 则，，， ∴是等边三角形， ∴， 由旋转性质可知，， ∴， ∴． 在中，，， 由勾股定理得； （2）解：能． 如图②，连接，将绕点A顺时针旋转，得到，连接， 由（1）同理可得为等边三角形， ∴， 由旋转性质可知，， ∴， ∴． 作于，则， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴的外接圆为定圆． 如图③，构造的外接圆，G为优弧上一点（不与C、重合）， ∴，连接，， ∴， ∴． 如图④，过点O作于点H， ∴， ∴． 过点O作，过点D作于点M，交于点P， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴． 连接，那么，越大，越大，越大，则越小， 当且仅当M，O重合时，点D位于弧中点时取等号，如图⑤， 此时取最小值． ∴最大值为，则的最大值为， ∴， ∴， ∴此时四边形的面积的最小值为． 2．阅读与思考 尺规作图 一把直尺，一副圆规，就能开启奇妙的几何之旅．五种基本尺规作图，是构建万千图形的“钥匙”．不仅能完成严谨的几何证明与图形绘制，还能设计出对称精美的几何图案． 正方形内嵌正八边形，就是其中极具代表性的经典图案．如果一个正方形里面嵌套了一个正八边形，且正八边形至少有四个顶点分别在正方形的四条边上，那么我们称这个正八边形内嵌于这个正方形．你能用尺规作出图1或图2中正方形的内嵌正八边形吗？ 初步分析：从整体特征与元素特征两个角度回顾正八边形的性质． （1）整体特征：具有轴对称性和旋转对称性． （2）元素特征：各边相等，各角相等且都等于． 深入分析：以图2正方形内嵌正八边形为例，如图3，连接，，，，发现的结论如下： （1），，，分别是正方形各边的中点； （2）是顶角为，底角为的等腰三角形； （3）中，； （4）___________________________． 动手作图：利用作垂直平分线和角平分线的方法作图 （1）如图4，作边，的垂直平分线，分别交，，，于点，，，； （2）分别作和的角平分线，交于点；利用旋转对称性作出点，，； （3）顺次连接这八个点． ∴八边形为正方形的内嵌正八边形． 任务： (1)请根据“深入分析”中的条件，写出一条你发现的结论______________． (2)类比研究图2正方形内嵌正八边形的方法，如图5，连接，，交于点．线段是否与线段相等，请说明理由． (3)请根据你发现的几何结论，换一种尺规作图方式，在正方形中作出其内嵌正八边形（不写作图步骤，保留作图痕迹）． 【答案】(1)（答案不唯一，合理即可） (2)． 理由如下： ∵正八边形的内角和是， ∴， ∴，， ∴． ∵四边形是正方形， ∴． ∵八边形是正八边形， ∴． 在与中， ∴， ∴． 设． 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴，． 在中，， ∴， ∴． ∴． (3)如图，八边形即为所作．（答案不唯一，合理即可） 【分析】（1）根据点，由旋转对称性作图得到，得出，即可求解． （2）根据多边形内角和定理求得，进而可得，根据四边形是正方形，得出，根据正八边形得出，证明得出，设，解直角三角形得出，则在中，根据，得出，即可证明． （3）根据正方形的性质和正八边形的定义进行作图即可． 【详解】（1）解：（答案不唯一，合理即可） ∵，且点，由旋转对称性作图得到， ∴对角线经过正方形内嵌正八边形的顶点和， ∴． （2）略 （3）略 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 圆的基本性质 3.5 圆内接四边形与正多边形 课标要点 1. 掌握圆内接四边形性质：对角互补，任一外角等于内对角；能利用性质进行角度计算与简单证明。 2. 理解正多边形与圆的关系：正多边形有外接圆与内切圆，圆心为正多边形中心，分清半径、边心距、中心角概念。 3. 会计算正多边形中心角、边长、边心距、周长与面积，能结合圆的相关性质解决综合几何问题。 学习重难点 重点： 熟练运用圆内接四边形对角互补、外角等于内对角进行角度计算与证明。 掌握正多边形相关概念：中心、半径、边心距、中心角，熟记中心角计算公式。 能构造直角三角形，求解正多边形边长、边心距、周长与面积。 难点： 在复杂图形中识别圆内接四边形，灵活选用性质完成几何推理。 建立正多边形、外接圆、直角三角形三者之间的转化模型。 圆内接四边形与正多边形、圆周角知识结合的综合性题型分析。 知识点 圆内接四边形的核心性质 1. 对角互补：圆内接四边形的任意一组对角之和为180°，即若四边形ABCD内接于⊙O，则，。 2. 外角等于内对角：圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（和外角不相邻的对角），即延长圆内接四边形ABCD的AB边到点E，则。 3. 面积公式：若圆内接四边形四边长度分别为a,b,c,d，半周长，则面积，这个公式叫做布拉美古塔定理，仅适用于圆内接四边形。 4. 托勒密定理：圆内接四边形对边乘积的和等于对角线的乘积，即若四边形ABCD内接于⊙O，则。 特别提醒 1. 对角互补既是圆内接四边形的性质，也可作为四点共圆的判定依据。 2. 外角等于内对角，多用于图形存在延长线的角度推导。 3. 切勿混淆圆内接四边形与圆外切四边形的结论，二者性质不同。 4. 使用性质前，要先确认四个顶点在同一个圆上。 随学随练 1．如图，是半圆的直径，，则等于（     ） A． B． C． D． 2．如图，点A、B、C、D在上，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 3．如图，已知四边形内接于，连接，，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 4．如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，________． 5．以为直径的半圆上，点，的位置如图所示，若，则_____． 知识点 正多边形与圆 正多边形定义 各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。 特别提醒：菱形仅满足四边相等，矩形仅满足四角相等，都不是正多边形，只有正方形同时满足四边相等、四角相等，是正四边形。 正多边形与圆的关系 把一个圆n(n≥3的整数)等分，依次连接各等分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做正多边形的外接圆；反过来，正多边形都有唯一的外接圆。 正多边形的相关概念 概念名称 定义 中心 正多边形外接圆的圆心，叫做正多边形的中心 半径 正多边形外接圆的半径，叫做正多边形的半径，记为R 中心角 正多边形每一条边所对的外接圆的圆心角，叫做正多边形的中心角 边心距 中心到正多边形一条边的距离，叫做正多边形的边心距，记为r 正多边形的对称性 1. 轴对称性：正多边形都是轴对称图形，每条对称轴都经过正多边形的中心。当n为奇数时，对称轴为每个顶点与对边中点的连线，共n条；当n为偶数时，对称轴包括过相对两个顶点的直线，以及对边中点的连线，共n条。 2. 中心对称性：当正多边形的边数n为偶数时，正多边形是中心对称图形，对称中心为正多边形的中心；当n为奇数时，正多边形不是中心对称图形。 特别提醒 当n边数很大时，正多边形的周长会趋近于外接圆的周长，面积也会趋近于外接圆的面积，这也是古代割圆术计算圆周率的核心思想。 随学随练 1．若正六边形的边长为2，则它的外接圆的面积为（     ） A． B． C． D． 2．下列命题正确的是（     ） A．各边相等的多边形是正多边形 B．各边相等的圆外切多边形是正多边形 C．各内角相等的圆内接多边形是正多边形 D．各边相等的圆内接多边形是正多边形 3．如图，正八边形内接于为上任意一点，连接，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．如图，正七边形，连接对角线，交于点，则的度数为________． 5．如图，在中，弦，分别是的内接正三角形和内接正方形的一条边，连接，也是的内接正n边形的一条边，则n的值是________． 知识点 尺规作图 1. 用量角器等分圆：先计算正n边形的中心角，在圆中依次画出圆心角为的扇形，各扇形半径与圆的交点即为等分点，依次连接等分点即可得到正n边形。 2. 尺规作图特殊正多边形：对于特殊等分，可以用尺规作图得到： · 四等分圆：作两条互相垂直的直径，连接四个交点即可得到正方形；再次平分各弧可以得到正八边形，重复操作可得正十六边形等。 · 六等分圆：用等于外接圆半径的长度依次截圆，即可得到六个等分点，连接后得到正六边形；间隔连接等分点可得正三角形，六等分后再次平分各弧可得正十二边形等。 特别提醒 1. 等分圆周是绘制正多边形的核心，等分份数决定正多边形边数。 2. 尺规作图仅能作出部分特殊正多边形，并非所有正多边形都可用尺规画出。 3. 依次连接各等分点，切忌交叉连线，保证顶点都落在圆上。 4. 作图时准确确定圆心与半径，等分不均匀会造成图形边长不相等。 随学随练 1．如图，已知直线，点是直线上一点，利用尺规作图法作正方形，使得点、在直线上，点在点右侧．（不写作法，保留作图痕迹） 2．如图，已知，点在圆上，请以为一顶点作圆内接正方形．（保留作图痕迹，不写作法） 3．请用圆规和直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：⊙O，点A在圆上． 求作：以A为一顶点作圆内接正方形ABCD． 4．如图，已知AC为的直径．请用尺规作图法，作出的内接正方形ABCD．（保留作图痕迹．不写作法） 拓展 圆内接四边形与正多边形的综合关联规律探究 圆内接四边形与正多边形都和圆密切相关，二者结合的综合题中，存在很多内在关联规律： 1. 正n边形中圆内接四边形的性质规律 比如正五边形内接于圆，任意四个顶点构成的四边形都是圆内接四边形，我们可以验证其满足托勒密定理，正五边形的边长为a，对角线长为d，连接不相邻的四个顶点可以得到圆内接四边形，代入托勒密定理得到ad + a² = d²，也就是黄金分割比，这个推导过程把托勒密定理、圆内接四边形、正五边形的性质完美结合，得到了黄金分割的几何推导，体现了数学的和谐美。 2. 圆内接四边形的四个顶点是正多边形顶点的条件探究 如果圆内接四边形的四个顶点都是同一个正n边形的顶点，当n是4的倍数时，四个间隔相等的顶点构成正方形，是特殊的矩形，也是圆内接四边形；当n是偶数，且四个顶点间隔均匀时，会得到矩形或等腰梯形，我们可以归纳：圆内接四边形内接于半径为R的圆，若四个顶点是正n边形的顶点，因此可以通过角度关系快速计算四边形的边长、对角线和面积，这个转化过程把正多边形的性质和圆内接四边形的计算结合起来，提升了综合应用能力。 1．如图，正五边形内接于，为上的一点（点不与点重合），则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，把（不完整）分成相等的n段弧，其中，，是其中的三个等分点，连接，．若，依次连接各等分点得到的图形为（     ） A．正十边形 B．正九边形 C．正八边形 D．正六边形 3．如图，圆内接正六边形的边长为6，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积（     ） A． B． C． D． 拓展 平面镶嵌 一、平面镶嵌的基本概念 平面镶嵌（也称为平面密铺）：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的平面镶嵌。 核心要素满足三个条件：1. 拼接后图形整体在一个平面内；2. 拼接处没有空隙；3. 拼接处没有重叠，符合这三点的拼接就是有效的平面镶嵌。 二、平面镶嵌的核心条件 拼接点处，所有拼接图形的内角之和恰好等于360°，这是平面镶嵌成立的核心数学条件，同时要求相邻拼接图形有公共边，保证边缘无缝衔接。 也就是说，设在同一个拼接点处有( n )个角，每个角的度数分别为，必须满足： 三、单一正多边形的平面镶嵌 正多边形每个内角都相等，因此设正多边形边数为( n )，其每个内角的度数为。设拼接点处需要( k )个这样的内角满足和为360°，则有： 整理得： 其中( k )和( n )都必须是大于等于3的正整数，因此我们可以得到所有可行的情况： 正多边形类型 每个内角度数 拼接点处所需个数 是否可以单独镶嵌 正三角形（） 60° (360÷60=6) 是 正方形（） 90° (360÷90=4) 是 正五边形（） 108° (360÷108≈3.33)，不是整数 否 正六边形（） 120° (360÷120=3) 是 边数( n≥7 ) 内角大于120°小于180°，(2<k<3)，不存在整数(k) 否 活学活用 1．小玲家计划装修房屋，已选定一种正八边形地砖，若要将地面铺满，小玲应再选用下列哪种形状的地砖（     ） A．正三角形 B．正五边形 C．正六边形 D．正方形 2．在学校花坛设计中，准备用边长相等的正方形和正三角形两种地砖镶嵌地面，在某个顶点的周围用两个正方形和个正三角形恰好可以进行平面镶嵌，则的值是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．如图是某广场地面的一部分，地面的中央是一块正六边形地砖，周围用正三角形和正方形地砖密铺，从里向外共10层（不包括中央的正六边形地砖）．每一层的外边界都围成一个多边形，若中央的正六边形地砖的边长为，则第10层边界所围成的多边形的周长是（     ） A．33 B．34 C．35 D．36 4．公园的一段甬路是用型号相同的五边形地砖拼铺而成的，如图是拼铺图案的一部分，如果每个五边形有3个内角相等，那么这3个内角都等于（     ） A． B． C． D． 题型利用圆内接四边形求角度 解题贴士 首 1. 看到四点共圆，优先使用对角互补快速推导等角、补角关系。 2. 2 . 出现四边形一边延长线时，运用“外角等于内对角”简化角度计算。 3. 3.善于结合圆周角定理，搭建已知角和待求角之间的联系。 4. 复杂图形先找准圆内接四边形，避免误将普通四边形套用相关性质。 ▌例1如图，在中，所对的圆心角为，点在上．若，则（     ） A． B． C． D． ▌例2．如图，四边形内接于，，则（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-1如图，四边形内接于，连接，已知，且，则的度数为（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-2．如图，为的一条弦，且，C为劣弧上一点，连接，则的度数为_____． ▌对点练1-3．如图，四边形内接于，连接，，若，则的度数为________． 题型 利用圆内接多边形求边长 解题贴士 1. 圆内接多边形各顶点在圆上，可借助圆周角、圆心角转化，结合半径构建三角形。 2. 连接圆心与多边形顶点，分割出等腰三角形，利用垂径定理求解线段长度。 3. 遇到圆内接正多边形，转化为中心角、边心距与半径构成的直角三角形计算边长。 ▌例1．如图，为直径，点A，D在上，，若，则的半径长度为（    ） A．6 B．4 C．2 D．1 ▌例2．如图，四边形内接于，，则的直径长为（　　）    A． B． C． D． ▌对点练1-1．如图，四边形内接于，，交的延长线于点E．若平分，，，则的长度为___________． ▌对点练1-2．如图，四边形内接于，连接，，．    (1)求的大小； (2)若的半径为3，求的长． ▌对点练1-3如图，四边形APBC内接于圆，，连接AB，PC，． (1)是_________三角形； (2)在PC上取一点E，使，若，，求PC的长． 题型 正多边形相关概念计算（半径、边心距、边长、中心角） 解题贴士 1. 圆内接四边形优先考虑婆罗摩笈多公式，已知四条边长可直接计算面积。 2. 四边形可对角线分割成两个三角形，借助圆周角相等、对角互补求三角形面积再求和。 3. 若有特殊角度，利用对角互补得到两组三角形的夹角互补，简化面积运算。 4. 注意区分普通四边形与圆内接四边形面积公式，婆罗摩笈多公式仅适用于圆内接四边形。 ▌例1如图，圆是矩形的外接圆，若，，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． ▌例2如图，正六边形内接于，的半径为3，则的长为（   ） A．2 B．3 C． D． ▌对点练1-1如图，正六边形内接于，正六边形的边长是2，则的半径的长是（    ） A．3 B．2 C． D． ▌对点练1-2如图，正六边形内接于，的半径为6，则边心距的长为（    ） A． B． C．3 D． 题型正多边形与圆综合 解题贴士 1. 遇到正多边形外接圆问题，优先连接圆心与顶点，得到等腰三角形，作出边心距构造直角三角形。 2. 利用中心角公式求出角度，借助勾股定理完成半径、边心距、边长之间的换算。 3. 善于结合圆周角、垂径定理，把正多边形问题转化为直角三角形计算。 4. 综合题型注意区分半径、边心距两个概念，避免线段混淆造成计算失误。 ▌例1如图，从边长为3的正六边形纸片上剪出一个扇形（阴影部分），则该扇形的面积是（     ） A． B． C． D． ▌例2已知一个圆与一个角的两边各有两个公共点，且在两边上截得的两条弦正好是该圆的内接正多边形的两条边，则这个正多边形的边数为（    ） A．3或8 B．6或8 C．3或6 D．5或6 ▌对点练1-1如图，正五边形内接于中，P是劣弧上一点，则的度数为______． ▌对点练1-2如图，正五边形内接于，则的度数为________． 题型 尺规作图-正多边形 解题贴士 1. 尺规作圆内接正多边形，核心是等分外接圆，先确定圆心与半径。 2. 仅正三、四、六、八、十二边形等特殊正多边形能用基础尺规作出。 3. 依次连接圆周上等分点，作图保证顶点均落在圆上，不要随意连线。 4. 作图完成规范标注，区分半径、边长，保留作图痕迹，不可擦除辅助线。 ▌例1如图，已知直线l和l外一点A，请用尺规作图法，求作一个正方形，使得顶点B和顶点D都在直线l上（保留作图痕迹，不写作法）． ▌例2作图题： (1)尺规作图：如图，已知线段．求作线段的垂直平分线l，交于点C；（要求：保留作图痕迹，不写作法） (2)已知六边形是以O为中心的中心对称图形（如图），画出六边形的全部图形，并写出作法． ▌对点练1-1试用尺规作图，作出圆的内接正十二边形． ▌对点练1-2如图，已知，请用尺规作图法，求作的一个内接正方形（保留作图痕迹，不写作法）． 题型 平面镶嵌 解题贴士 1. 判断能否平面镶嵌，关键验证拼接点处各内角之和能否等于360°。 2. 单一正多边形密铺只需检验其内角能否整除360°，牢记仅正三、正四、正六边形可行。 3. 多种图形组合密铺，可列出内角和等式，寻找符合条件的正整数解。 4. 4. 审题区分普通多边形与正多边形密铺，任意三角形、四边形均可单独密铺。 ▌例1在①正三角形、②正方形、③正六边形中能密铺平面的是（     ） A．①②③ B．②③ C．①③ D．以上都不对 ▌例2下列正多边形组合能铺满地面的是（    ） A．正五边形与正方形 B．正三角形与正五边形 C．正方形与正八边形 D．正六边形与正八边形 ▌对点练1-1如图所示，是工人师傅用边长均为的两块正方形和一块正三角形地砖绕着点进行的铺设．若一块边长为的正多边形地砖恰好能无空隙、不重叠地拼在处，则这块正多边形地砖的边数是（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-2用正三角形和正方形镶嵌平面，每一个顶点处有3个正三角形和__________个正方形． ▌对点练1-3如图，用五边形可以铺满地面，若，则的度数是__________． 基础通关 1．如图，在中，点、、、分别在圆上，若，则 的度数为（     ） A． B． C． D． 2．如图，四边形的顶点O是的圆心，顶点A，C，D均在上，若，则（   ） A． B． C． D． 3．若四边形是的内接四边形，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 4．正方形的中心角的度数为（   ） A． B． C． D． 5．下列图形旋转后可以与原图形重合的是（    ） A．正六边形 B．正五边形 C．正方形 D．正三角形 6．如图，已知正六边形的外接圆半径为，则该正六边形的边长是（   ） A． B． C． D． 7．如图，是的内接正边形的一边，点在上，，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．如图，四边形是的内接四边形，若，，则______． 9．如图，四边形内接于，如果它的一个外角，那么的度数为_______． 10．在正十二边形中，顺次连接某几个顶点恰好构成一个正边形，则可以是____________（写出一个）． 11．如果一个正多边形的中心角是，那么这个正多边形的边数为______． 12．如图，正八边形内接于，连接，，则的度数为______． 13．各边相等的圆内接多边形是正多边形吗？各角相等的圆内接多边形呢？如果是，说明为什么；如果不是，举出反例． 14．如图，有一个亭子，它的地基是半径为的正六边形，求地基的周长和面积（结果保留小数点后一位）．     15．如图，四边形内接于，是的直径，，求的度数． 素养提升 1．如图，四边形内接于，，连接．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．小明捡到一个量角器碎片，按如图的方式测量的度数，他让点落在量角器圆弧上，并将角的两边与量角器圆弧的交点分别记为，．若点，对应的刻度分别为、，则的度数为（     ） A． B． C． D． 3．如图，已知四边形是的内接四边形．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 4．如图1为传统建筑中的一种窗格，图2为窗框的示意图，多边形为正六边形，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．如图，为弦，若，弦是圆内接正多边形的一边，则该正多边形为（   ） A．正五边形 B．正六边形 C．正七边形 D．正八边形 6．如图，有一个亭子，它的地基是边长为的正六边形，则这个正六边形地基的面积是_________（计算结果保留根号）． 7．如图，边长为2的正是的内接三角形，则阴影部分的面积为_________． 8．如图，内接于，点M是弦的中点，连接．若，则的度数为________． 9．如图，是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，且，，则_________________°． 10．如图，点、、、都在上，，． (1)求的度数； (2)求的度数； 迁移创新 1．探究以下问题： (1)问题提出 如图①，在四边形中，若，，，，，连接，求出的长度； (2)问题解决 如图②，，，，，现需要截取某种四边形的材料板，这个材料板的形状恰好符合如图②所示的四边形，为了尽可能节约成本，你能求出这种四边形面积的最小值吗？若能，请求出此四边形面积的最小值；若不能，请说明理由． 2．阅读与思考 尺规作图 一把直尺，一副圆规，就能开启奇妙的几何之旅．五种基本尺规作图，是构建万千图形的“钥匙”．不仅能完成严谨的几何证明与图形绘制，还能设计出对称精美的几何图案． 正方形内嵌正八边形，就是其中极具代表性的经典图案．如果一个正方形里面嵌套了一个正八边形，且正八边形至少有四个顶点分别在正方形的四条边上，那么我们称这个正八边形内嵌于这个正方形．你能用尺规作出图1或图2中正方形的内嵌正八边形吗？ 初步分析：从整体特征与元素特征两个角度回顾正八边形的性质． （1）整体特征：具有轴对称性和旋转对称性． （2）元素特征：各边相等，各角相等且都等于． 深入分析：以图2正方形内嵌正八边形为例，如图3，连接，，，，发现的结论如下： （1），，，分别是正方形各边的中点； （2）是顶角为，底角为的等腰三角形； （3）中，； （4）___________________________． 动手作图：利用作垂直平分线和角平分线的方法作图 （1）如图4，作边，的垂直平分线，分别交，，，于点，，，； （2）分别作和的角平分线，交于点；利用旋转对称性作出点，，； （3）顺次连接这八个点． ∴八边形为正方形的内嵌正八边形． 任务： (1)请根据“深入分析”中的条件，写出一条你发现的结论______________． (2)类比研究图2正方形内嵌正八边形的方法，如图5，连接，，交于点．线段是否与线段相等，请说明理由． (3)请根据你发现的几何结论，换一种尺规作图方式，在正方形中作出其内嵌正八边形（不写作图步骤，保留作图痕迹）． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $