第一章《特殊平行四边形》期中考点总结与练习——考点5《特殊平行四边形的应用——面积与等积转化、斜边中线、折叠与动点》2026-2027学年北师大版数学九年级上册

北师大版九上数学 · 考点讲义系列 北师大版新版数学 · 九年级上册 · 期中知识点及考点讲义系列 第一章 考点 5｜特殊平行四边形的应用——面积与等积转化、斜边中线、折叠与动点 ——第 1 章〈特殊平行四边形〉考点 5—— 讲义定位 内容构成 难度层级 建议使用 期中必考·面积·中线·折叠·动点 知识点总结 → 考点分析 → 例题 6 · 变式 10 · 拔高 8 ★☆☆★★★ 阶梯递进 课前预习 / 课后精练 / 考前逐一过关 使用说明 本资料共 24 题，全部选自网络试卷原题（期中、期末、月考、单元测试等）；个别原题的配图不随卷呈现，图中点、线的位置关系已改写为括号内文字说明，数值与设问未作改动； 每题按【答案】【解析】【详解】三段式编排，【详解】按学生卷面解题格式逐行分步书写，便于对照板书、模仿格式； 题目空格中的红色文字即为该空答案（含解答题中补充证明的空格），学生自测时可先遮住红色部分再核对； 建议用法：例题教师精讲、学生模仿方法；变式学生限时独立完成；拔高供学有余力者挑战，也可作考前第二轮素材。 本考点与考点速览考点 5 对齐（★★☆~★★★），三条主线：一线面积与等积转化——菱形面积＝对角线乘积的一半＝底×高，等积法一步到位；二线斜边中线——直角＋中点→斜边中线＝斜边一半，矩形对角线交点是四个直角三角形斜边公共中点；三线折叠与动点——折叠三件套（对应边相等、对应角相等、折痕两旁全等），动点最值用等距转化、垂线段最短、中位线＋斜边中线——例题学方法，变式练同法，拔高串综合。 PART 01 本考点知识点总结（与考点速览考点 5 保持一致） 考点范围：面积与等积转化（菱形面积公式：S＝AC·BD 的一半＝底×高；等积法求高一步到位；面积与勾股联动求边长与对角线）、斜边中线（直角三角形斜边中线＝斜边一半；矩形对角线交点是四个直角三角形斜边公共中点；双直角共斜边模型）、折叠与动点（折叠三件套：对应边相等、对应角相等、折痕两旁全等；动点最值：等距转化、垂线段最短、中位线＋斜边中线、等积法求最小值）——与考点速览考点 5 三条主线一致。 一、面积与等积转化——菱形面积与求高 ◆ 菱形面积＝AC·BD 的一半（对角线互相垂直）；菱形面积＝底×高（任意平行四边形通用）。面积与等积法：已知面积和底可求高，已知面积和高可求底；面积与勾股联动：由对角线求面积→由面积求高→由高和勾股求边。 ◆ 等积转化一步到位：菱形面积公式 S＝d₁·d₂ 的一半（d₁、d₂为对角线），由此可知对角线乘积；又 S＝底×高，故已知面积和底可求高。矩形、平行四边形面积均可用底×高。面积与勾股联动：由菱形对角线求面积→由面积和底边求高→在含高的直角三角形中用勾股求边长。 二、斜边中线——直角三角形的核心性质 ◆ 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半：Rt△ABC 中，∠C=90°，D 是 AB 中点 → CD=AB 的一半。矩形对角线相等且互相平分 → 对角线交点 O 是四个直角三角形斜边公共中点 → OA=OB=OC=OD。 ◆ 双直角共斜边模型：两个直角三角形共斜边 AB（∠ACB=∠ADB=90°），取 AB 中点 M → MA=MB=MC=MD（四个点到中点距离相等）；这是矩形对角线交点性质的推广。易错点：把斜边中线当成「中位线」（中位线平行于第三边，斜边中线垂直关系不存在）。 三、折叠与动点——压轴综合形态 ◆ 折叠三件套：对应边相等、对应角相等、折痕两旁的图形全等——翻折后先在折痕两侧找全等，再转移线段与角度。沿对角线折叠、把一个顶点翻折到对边上是最常见的两种操作。 面积·斜边中线·折叠动点速记表 主线 核心公式/性质 典型应用 易错点 面积与等积转化 菱形 S＝d₁·d₂ 的一半＝底×高；矩形 S＝长×宽 已知面积求高、已知对角线求面积、面积与勾股联动 面积公式混淆（菱形用对角线、矩形用边长） 斜边中线 Rt△斜边中线＝斜边的一半；矩形对角线交点 O 满足 OA=OB=OC=OD 双直角共斜边、矩形中点四边形、动点定值 斜边中线≠中位线（中位线平行第三边） 折叠 对应边相等、对应角相等、折痕两旁全等 折叠后先找全等转移线段，再勾股列方程 折叠后遗漏对应关系、折痕不是对称轴 动点最值 ①等距转化（对称点）②垂线段最短 ③中位线＋斜边中线 将军饮马型、点到直线距离型、中点型 动点未设未知数、转化路径选错 计算联动 面积→高→边→对角线，知一可求其余（勾股定理串联） 菱形周长面积互求、矩形对角线与边互求 开方化简错误、单位遗漏 易混警示 「垂直且相等」不「互相平分」不能判定任何特殊四边形 斜边中线前提是「直角三角形」 等积法求高时混淆底与高的对应关系 ◆ 折叠常配 HL：折叠后出现直角三角形时，优先用 HL 证全等（斜边与一条直角边对应相等）；求线段长再设未知数，在直角三角形中用勾股定理列方程——正方形折叠是本章压轴主形态。 四、计算模型——面积·对角线·边长联动 ◆ 菱形计算链：已知对角线 AC、BD → S=AC·BD 的一半；已知面积 S 和底 BC → 高 AE＝S÷BC；已知高 AE 和边 AB → 勾股求对角线半长。矩形面积＝长×宽，斜边中线把矩形分成四个等腰三角形。计算核心：等积法＋勾股定理。 PART 02 考点分析：特点 · 答题方法 · 注意事项 考点特点 面积与等积法必考：菱形面积公式 S＝AC·BD 的一半 与 S＝底×高是高频考点，等积法求高、面积与勾股联动是核心计算链； 斜边中线必考：直角＋中点信号出现时，斜边中线＝斜边一半是首选工具；矩形对角线交点 O 是四个直角三角形斜边公共中点（OA=OB=OC=OD）； 折叠与动点是压轴主形态：折叠三件套（对应边相等、对应角相等、折痕两旁全等）先转移线段与角度，动点最值用等距转化、垂线段最短、中位线＋斜边中线三步走；计算题以等积法＋勾股定理为核心。 答题方法（三步法） 第一步·写公式：看到菱形先写 S＝AC·BD 的一半，看到矩形先写 S＝长×宽，再看已知量与未知量的关系——面积已知时用等积法求高； 第二步·找中点：看到直角＋中点立即连斜边中线（斜边中线＝斜边一半）；矩形中点四边形问题先找对角线交点 O，证 OA=OB=OC=OD； 第三步·拆折叠与动点：折叠先找三件套转移线段与角度，动点先设未知数再用全等/勾股/等积法列方程；最值问题优先等距转化或垂线段最短。 注意事项（易错警示） 面积公式混淆：菱形面积用对角线（S＝d₁·d₂ 的一半），矩形面积用边长（S＝长×宽），平行四边形面积通用（S＝底×高）； 折叠别忘三件套：对应边相等、对应角相等、折痕两旁全等——翻折后先在折痕两侧找全等转移线段，再设未知数用勾股定理列方程； 动点最值三步：①等距转化（找对称点）②垂线段最短（点到直线距离）③中位线＋斜边中线（把动点距离转化为定长的一半）； 计算核心仍是等积法＋勾股定理：菱形面积＝对角线乘积的一半＝底×高，知面积可求高，知高和边可用勾股求对角线。 期中常见考法速览 题型 考什么 常见设问 难度 面积与等积转化 菱形/矩形面积公式、等积法求高、面积与勾股联动 「AE 的长为____」「面积为____」 ★★☆ 斜边中线 直角三角形斜边中线、双直角共斜边、矩形对角线性质 「CD=____」「周长为____」 ★★☆ 折叠 折叠三件套＋全等＋勾股列方程 「求证全等」「求 DE 的长」 ★★★ 动点最值 等距转化、垂线段最短、中位线＋斜边中线 「最小值为____」「PO=____」 ★★★ 综合探究 面积+斜边中线+折叠/动点多知识点综合 「求证」「求值」「探究」 ★★★ 命题边界：本考点考菱形/矩形/平行四边形的面积与等积转化、直角三角形斜边中线、折叠与动点最值；素材选自期中、期末、月考、单元测试等网络试卷原题；推理工具均为九年级上册第一章及之前所学内容（平行四边形与特殊平行四边形的性质判定、全等三角形、勾股定理、等腰三角形、直角三角形斜边上的中线、含30°角的直角三角形、中位线、角平分线定义、轴对称与折叠），未使用相似、三角比、圆等后续内容。 PART 03 例题精讲（6 题） 例题覆盖：菱形对角线+等边求对角线 → 菱形等积法求高 → 直角三角形斜边中线求斜边 → 斜边中线+等边联动求边 → 矩形折叠勾股+角链证明 → 菱形动点等距转化求最小值。变式覆盖：等积法求高（填空）→ 等积转化+斜边中线综合 → 斜边中线定值（木棍）→ 双直角共斜边求周长 → 斜边中线+中位线链 → 平行四边形折叠周长 → 菱形动点最值（垂线段）→ 菱形动点最值（等距转化）→ 菱形动点+斜边中线 → 平行四边形面积（垂直平分线，填空）。拔高覆盖：双直角共斜边+等腰直角 → 全等转移线段+菱形判定+面积 → 尺规作图+菱形面积 → 矩形折出正方形+折叠勾股 → 折叠对称+等腰直角勾股 → 矩形折叠菱形判定 → 折叠角链验证+勾股应用（嵌空）→ 平行四边形动点最值（中位线+垂线段）。 例题组方法提要（先读再做） ◆ 例 1、例 2 教面积与等积转化：菱形面积＝对角线乘积的一半＝底×高——已知面积求高用等积法一步到位； ◆ 例 3、例 4 教斜边中线：直角＋中点→斜边中线＝斜边一半；双直角共斜边→四个顶点到中点距离相等； ◆ 例 5、例 6 教折叠与动点：折叠三件套转移线段，动点最值用等距转化或垂线段最短； ◆ 计算三步：写面积公式 → 等积转化求未知量 → 勾股定理求边长或对角线。 例 1　选择题 （26-27·四川月考）如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接．若，菱形的面积为，则的长为（     ） A. B. C. D. 例 2　选择题 （26-27同步）如图，矩形中，对角线，相交于点O，点E在上，平分，，则的度数是（        ） A. B. C. D. 例 3　填空题 （26-27·广东开学）如图，在正方形中，，E，F分别为边的中点，连接，点G，H分别为的中点，连接，则的长为________ 例 4　填空题 （26-27·四川月考）如图，四边形是正方形，四边形是菱形，四边形是矩形，其中点E在边上，在边上，点G是菱形对角线的交点，若，则________． 例 5　解答题 （26-27·四川开学）如图，在中，为的中点，为延长线上一点，连接，，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：； （2）已知____（从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），请判断四边形的形状，并证明你的结论． 条件①：； 条件②：． 例 6　选择题 （26-27·浙江开学）如图1，在四边形中，，，相交于点O，且O为的中点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）如图2，延长至点E，使得，若，， ①求四边形的面积； ②设G为上一动点，连结并延长交于F，若，求的长． PART 04 变式练习（10 题） 与例题同考点、同方法，换数字换情境，供学生独立限时完成；填空题答案已嵌在空格中，建议先遮住答案自测 变式组训练要点 ◆ 变 1~变 3 对应例 2、例 3：等积法求高与斜边中线——面积公式记牢、中线条件识别准； ◆ 变 4~变 6 对应例 4、例 5：双直角共斜边与折叠周长——共斜边模型优先连中点，折叠先转移对应边再整体求和； ◆ 变 7~变 9 对应例 6、例 3：动点最值与斜边中线——对称点转化等距、垂线段最短定最小值； ◆ 变 10 对应例 2：平行四边形面积与垂直平分线——垂直平分线性质+等积法联动。 变式 1　选择题 （26-27·宁夏月考）如图，在菱形中，对角线，交于点，点为的中点，连接．当，时，菱形的面积为（        ） A. B. C. D. 变式 2　选择题 （26-27·安徽月考）如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，重叠部分的面积为（        ） A.14 B.20 C.15 D.10 变式 3　选择题 （25-26·河北月考）如图，点在正方形的对角线上，且，的两直角边，分别交于点，若正方形的边长为，则重叠部分四边形的面积为（       ） A. B. C. D. 变式 4　填空题 （25-26·广东期末）如图，在菱形中，对角线与相交于点O，过点A作，垂足为点H，连接．若，则的长为________． 变式 5　填空题 （26-27·湖南开学）如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，P为线段上的一个动点，过点P分别作轴于点F，轴于点E，连接． （1）的长为________；（2）长的最小值为________． 变式 6　选择题 （25-26·北京月考）如图，四边形是边长为9的正方形纸片，将其沿折叠，使点落在边上的点处，点的对应点为点，且，则的长为________． 变式 7　解答题 （26-27·河南月考）下面是小明设计的“在一个平行四边形内作菱形”的尺规作图过程． 已知：四边形是平行四边形． 求作：菱形（点在上，点在上）． 作法：①以为圆心，长为半径作弧，交于点； ②以为圆心，长为半径作弧，交于点； ③连接． 所以四边形为所求作的菱形． （1）根据小明的做法，使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）证明：四边形是菱形． 变式 8　解答题 （2026·四川模拟）如图，在平行四边形中，连接，为线段的中点，延长与的延长线交于点，连接，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求四边形的面积． 变式 9　解答题 （25-26·河南期中）如图，在中，对角线相交于点O，点E是的延长线上一点，且是等边三角形． （1）求证：四边形是菱形． （2）若，求证：四边形是正方形． 变式 10　填空题 （2026·广东模拟）如图，在平行四边形中，点是对角线上的一点，过点作且，连接、、． （1）求证：； （2）请从以下三个条件中选择一个作为已知，判断四边形ABFE的形状，并证明你的结论． 条件①：； 条件②：； 条件③：连接AF，． （注：如果选择条件①、条件②、条件③分别进行了解答，按第一个解答计分） 已知：________（填写序号） PART 05 拔高巩固（8 题） 特殊平行四边形的应用——面积与等积转化、斜边中线、折叠与动点 拔高组闯关要点 ◆ 拔高 1 的台阶在双直角共斜边+等腰直角：先连中点得等腰，再算角度证等腰直角； ◆ 拔高 2 的台阶在全等转移线段+菱形判定+面积：ASA 证全等得 AD=BE，斜边中线证邻边相等，等积法拆分面积求和； ◆ 拔高 3 的台阶在尺规作图+菱形面积：垂直平分线性质→对角线互相垂直平分→面积公式； ◆ 拔高 4 的台阶在矩形折出正方形+折叠勾股：设未知数，折叠对应边转移，Rt△中用勾股列方程； ◆ 拔高 5 的台阶在折叠对称+等腰直角勾股：找对称点转化折线段，等腰直角求高再勾股； ◆ 拔高 6 的台阶在矩形折叠菱形判定：折叠→垂直平分→邻边相等+平行→菱形； ◆ 拔高 7 的台阶在折叠角链验证+勾股应用：内错角+折叠角→等角对等边→设元勾股求值； ◆ 拔高 8 的台阶在平行四边形动点最值：中位线把动点距离转化为定长的一半，垂线段最短求最小值。 拔高 1　选择题 （25·四川达州·一模）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，∠DAB=45°，M、N分别是AC、BD的中点。若AC=10，则MN的长为（　　） A.5　B.　C.5　D.10 拔高 2　解答题 （25-26·云南期末）四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AC，E是BC的中点，AE与BD交于点F，且F是AE的中点。 （1）求证：四边形AECD是菱形； （2）若AC=4，AB=5，求四边形ABCD的面积。 拔高 3　选择题 （26-27·四川月考）如图，在矩形中，为中点，过点且分别交于，交于，点是中点且，则下列结论正确的个数为（     ） ①；②；③；④． A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 拔高 4　填空题 （26-27·四川月考）如图，菱形的对角线相交于点O，P为边上一动点（不与点A，B重合），于点E，于点F，若，则的最小值为 ________．     拔高 5　填空题 （26-27·广东月考）如图，矩形中，，根据尺规作图痕迹，计算的大小为_______． 拔高 6　解答题 （26-27·湖南开学）如图，在四边形中，，对角线BD的垂直平分线与边、分别相交于点M、N． （1）求证：四边形是菱形； （2）若菱形的周长为68，，求菱形的面积． 拔高 7　解答题 （25-26·上海期末）在正方形中，为边上一点（不与点，重合），将线段沿直线翻折，得到线段，连接并延长，与线段的延长线相交于点，连接． （1）依题意补全图形； （2）求的度数； （3）用等式表示线段与的数量关系，并证明． 拔高 8　填空题 （2026·甘肃中考） 在一次数学兴趣小组活动中，同学们围绕等腰三角形进行探究，下面是部分探究内容，请你思考并解答． 【初步尝试】 （1）如图1，在中，，过点作，，连接．点在线段上，满足，求的长． 【类比探究】 （2）如图，在中，，以为对角线的矩形的顶点在上，，分别是线段，上的动点（不含端点），．当时，用等式表示出和的数量关系，并说明理由． 【拓展迁移】 （3）如图，在矩形中，，分别是线段，上的动点（不含端点），．当时，用等式表示出和的数量关系，并说明理由． 附录 过关自查表（学生逐题归因，教师复核用） 题号 考点细目 若错，写出错误原因 订正完成 例 1 利用菱形性质求线段长 例 2 利用矩形性质求角度 例 3 利用正方形性质求线段长 例 4 特殊平行四边形综合应用 例 5 平行四边形与矩形、菱形综合应用 例 6 四边形综合应用 变式 1 利用菱形性质求面积 变式 2 矩形折叠问题的应用 变式 3 正方形的性质与判定的应用 变式 4 菱形的性质、直角三角形斜边上的中线的应用 变式 5 矩形性质与判定、一次函数与坐标轴交点的应用 变式 6 正方形折叠应用 变式 7 利用菱形性质作图 变式 8 利用矩形性质其余面积 变式 9 正方形与菱形综合应用 变式 10 平行四边形与特殊平行四边形综合 拔高 1 双直角共斜边+等腰直角 拔高 2 全等转移线段+菱形判定+面积 拔高 3 矩形性质、直角三角形斜边中线、全等 拔高 4 菱形性质、最值问题 拔高 5 矩形性质、尺规作图 拔高 6 菱形性质与判定、勾股定理的应用 拔高 7 正方形折叠问题 拔高 8 综合应用 使用建议：订正后让学生在订正完成栏打勾，并保留本表至考前——期中前只重做打不了勾的题。例题教师精讲、变式限时独立完成、拔高供学有余力者挑战；题目空格中的红色文字即为该空答案（含解答题补充证明的空格），自测时先遮住再核对。 1 学科网（北京）股份有限公司 $北师大版九上数学 · 考点讲义系列 北师大版新版数学 · 九年级上册 · 期中知识点及考点讲义系列 第一章 考点 5｜特殊平行四边形的应用——面积与等积转化、斜边中线、折叠与动点 ——第 1 章〈特殊平行四边形〉考点 5—— 讲义定位 内容构成 难度层级 建议使用 期中必考·面积·中线·折叠·动点 知识点总结 → 考点分析 → 例题 6 · 变式 10 · 拔高 8 ★☆☆★★★ 阶梯递进 课前预习 / 课后精练 / 考前逐一过关 使用说明 本资料共 24 题，全部选自网络试卷原题（期中、期末、月考、单元测试等）；个别原题的配图不随卷呈现，图中点、线的位置关系已改写为括号内文字说明，数值与设问未作改动； 每题按【答案】【解析】【详解】三段式编排，【详解】按学生卷面解题格式逐行分步书写，便于对照板书、模仿格式； 题目空格中的红色文字即为该空答案（含解答题中补充证明的空格），学生自测时可先遮住红色部分再核对； 建议用法：例题教师精讲、学生模仿方法；变式学生限时独立完成；拔高供学有余力者挑战，也可作考前第二轮素材。 本考点与考点速览考点 5 对齐（★★☆~★★★），三条主线：一线面积与等积转化——菱形面积＝对角线乘积的一半＝底×高，等积法一步到位；二线斜边中线——直角＋中点→斜边中线＝斜边一半，矩形对角线交点是四个直角三角形斜边公共中点；三线折叠与动点——折叠三件套（对应边相等、对应角相等、折痕两旁全等），动点最值用等距转化、垂线段最短、中位线＋斜边中线——例题学方法，变式练同法，拔高串综合。 PART 01 本考点知识点总结（与考点速览考点 5 保持一致） 考点范围：面积与等积转化（菱形面积公式：S＝AC·BD 的一半＝底×高；等积法求高一步到位；面积与勾股联动求边长与对角线）、斜边中线（直角三角形斜边中线＝斜边一半；矩形对角线交点是四个直角三角形斜边公共中点；双直角共斜边模型）、折叠与动点（折叠三件套：对应边相等、对应角相等、折痕两旁全等；动点最值：等距转化、垂线段最短、中位线＋斜边中线、等积法求最小值）——与考点速览考点 5 三条主线一致。 一、面积与等积转化——菱形面积与求高 ◆ 菱形面积＝AC·BD 的一半（对角线互相垂直）；菱形面积＝底×高（任意平行四边形通用）。面积与等积法：已知面积和底可求高，已知面积和高可求底；面积与勾股联动：由对角线求面积→由面积求高→由高和勾股求边。 ◆ 等积转化一步到位：菱形面积公式 S＝d₁·d₂ 的一半（d₁、d₂为对角线），由此可知对角线乘积；又 S＝底×高，故已知面积和底可求高。矩形、平行四边形面积均可用底×高。面积与勾股联动：由菱形对角线求面积→由面积和底边求高→在含高的直角三角形中用勾股求边长。 二、斜边中线——直角三角形的核心性质 ◆ 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半：Rt△ABC 中，∠C=90°，D 是 AB 中点 → CD=AB 的一半。矩形对角线相等且互相平分 → 对角线交点 O 是四个直角三角形斜边公共中点 → OA=OB=OC=OD。 ◆ 双直角共斜边模型：两个直角三角形共斜边 AB（∠ACB=∠ADB=90°），取 AB 中点 M → MA=MB=MC=MD（四个点到中点距离相等）；这是矩形对角线交点性质的推广。易错点：把斜边中线当成「中位线」（中位线平行于第三边，斜边中线垂直关系不存在）。 三、折叠与动点——压轴综合形态 ◆ 折叠三件套：对应边相等、对应角相等、折痕两旁的图形全等——翻折后先在折痕两侧找全等，再转移线段与角度。沿对角线折叠、把一个顶点翻折到对边上是最常见的两种操作。 面积·斜边中线·折叠动点速记表 主线 核心公式/性质 典型应用 易错点 面积与等积转化 菱形 S＝d₁·d₂ 的一半＝底×高；矩形 S＝长×宽 已知面积求高、已知对角线求面积、面积与勾股联动 面积公式混淆（菱形用对角线、矩形用边长） 斜边中线 Rt△斜边中线＝斜边的一半；矩形对角线交点 O 满足 OA=OB=OC=OD 双直角共斜边、矩形中点四边形、动点定值 斜边中线≠中位线（中位线平行第三边） 折叠 对应边相等、对应角相等、折痕两旁全等 折叠后先找全等转移线段，再勾股列方程 折叠后遗漏对应关系、折痕不是对称轴 动点最值 ①等距转化（对称点）②垂线段最短 ③中位线＋斜边中线 将军饮马型、点到直线距离型、中点型 动点未设未知数、转化路径选错 计算联动 面积→高→边→对角线，知一可求其余（勾股定理串联） 菱形周长面积互求、矩形对角线与边互求 开方化简错误、单位遗漏 易混警示 「垂直且相等」不「互相平分」不能判定任何特殊四边形 斜边中线前提是「直角三角形」 等积法求高时混淆底与高的对应关系 ◆ 折叠常配 HL：折叠后出现直角三角形时，优先用 HL 证全等（斜边与一条直角边对应相等）；求线段长再设未知数，在直角三角形中用勾股定理列方程——正方形折叠是本章压轴主形态。 四、计算模型——面积·对角线·边长联动 ◆ 菱形计算链：已知对角线 AC、BD → S=AC·BD 的一半；已知面积 S 和底 BC → 高 AE＝S÷BC；已知高 AE 和边 AB → 勾股求对角线半长。矩形面积＝长×宽，斜边中线把矩形分成四个等腰三角形。计算核心：等积法＋勾股定理。 PART 02 考点分析：特点 · 答题方法 · 注意事项 考点特点 面积与等积法必考：菱形面积公式 S＝AC·BD 的一半 与 S＝底×高是高频考点，等积法求高、面积与勾股联动是核心计算链； 斜边中线必考：直角＋中点信号出现时，斜边中线＝斜边一半是首选工具；矩形对角线交点 O 是四个直角三角形斜边公共中点（OA=OB=OC=OD）； 折叠与动点是压轴主形态：折叠三件套（对应边相等、对应角相等、折痕两旁全等）先转移线段与角度，动点最值用等距转化、垂线段最短、中位线＋斜边中线三步走；计算题以等积法＋勾股定理为核心。 答题方法（三步法） 第一步·写公式：看到菱形先写 S＝AC·BD 的一半，看到矩形先写 S＝长×宽，再看已知量与未知量的关系——面积已知时用等积法求高； 第二步·找中点：看到直角＋中点立即连斜边中线（斜边中线＝斜边一半）；矩形中点四边形问题先找对角线交点 O，证 OA=OB=OC=OD； 第三步·拆折叠与动点：折叠先找三件套转移线段与角度，动点先设未知数再用全等/勾股/等积法列方程；最值问题优先等距转化或垂线段最短。 注意事项（易错警示） 面积公式混淆：菱形面积用对角线（S＝d₁·d₂ 的一半），矩形面积用边长（S＝长×宽），平行四边形面积通用（S＝底×高）； 折叠别忘三件套：对应边相等、对应角相等、折痕两旁全等——翻折后先在折痕两侧找全等转移线段，再设未知数用勾股定理列方程； 动点最值三步：①等距转化（找对称点）②垂线段最短（点到直线距离）③中位线＋斜边中线（把动点距离转化为定长的一半）； 计算核心仍是等积法＋勾股定理：菱形面积＝对角线乘积的一半＝底×高，知面积可求高，知高和边可用勾股求对角线。 期中常见考法速览 题型 考什么 常见设问 难度 面积与等积转化 菱形/矩形面积公式、等积法求高、面积与勾股联动 「AE 的长为____」「面积为____」 ★★☆ 斜边中线 直角三角形斜边中线、双直角共斜边、矩形对角线性质 「CD=____」「周长为____」 ★★☆ 折叠 折叠三件套＋全等＋勾股列方程 「求证全等」「求 DE 的长」 ★★★ 动点最值 等距转化、垂线段最短、中位线＋斜边中线 「最小值为____」「PO=____」 ★★★ 综合探究 面积+斜边中线+折叠/动点多知识点综合 「求证」「求值」「探究」 ★★★ 命题边界：本考点考菱形/矩形/平行四边形的面积与等积转化、直角三角形斜边中线、折叠与动点最值；素材选自期中、期末、月考、单元测试等网络试卷原题；推理工具均为九年级上册第一章及之前所学内容（平行四边形与特殊平行四边形的性质判定、全等三角形、勾股定理、等腰三角形、直角三角形斜边上的中线、含30°角的直角三角形、中位线、角平分线定义、轴对称与折叠），未使用相似、三角比、圆等后续内容。 PART 03 例题精讲（6 题） 例题覆盖：菱形对角线+等边求对角线 → 菱形等积法求高 → 直角三角形斜边中线求斜边 → 斜边中线+等边联动求边 → 矩形折叠勾股+角链证明 → 菱形动点等距转化求最小值。变式覆盖：等积法求高（填空）→ 等积转化+斜边中线综合 → 斜边中线定值（木棍）→ 双直角共斜边求周长 → 斜边中线+中位线链 → 平行四边形折叠周长 → 菱形动点最值（垂线段）→ 菱形动点最值（等距转化）→ 菱形动点+斜边中线 → 平行四边形面积（垂直平分线，填空）。拔高覆盖：双直角共斜边+等腰直角 → 全等转移线段+菱形判定+面积 → 尺规作图+菱形面积 → 矩形折出正方形+折叠勾股 → 折叠对称+等腰直角勾股 → 矩形折叠菱形判定 → 折叠角链验证+勾股应用（嵌空）→ 平行四边形动点最值（中位线+垂线段）。 例题组方法提要（先读再做） ◆ 例 1、例 2 教面积与等积转化：菱形面积＝对角线乘积的一半＝底×高——已知面积求高用等积法一步到位； ◆ 例 3、例 4 教斜边中线：直角＋中点→斜边中线＝斜边一半；双直角共斜边→四个顶点到中点距离相等； ◆ 例 5、例 6 教折叠与动点：折叠三件套转移线段，动点最值用等距转化或垂线段最短； ◆ 计算三步：写面积公式 → 等积转化求未知量 → 勾股定理求边长或对角线。 例 1　选择题 （26-27·四川月考）如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接．若，菱形的面积为，则的长为（     ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 根据菱形的对角线互相平分得到BD=2OB=12，点O为AC的中点，根据菱形的面积公式可求出AC的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案. 【解答】 解： 菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O， ，点O为AC的中点， 菱形ABCD的面积为54， BC， . 故选B 例 2　选择题 （26-27同步）如图，矩形中，对角线，相交于点O，点E在上，平分，，则的度数是（        ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 由矩形的性质可得 , ， ， ， ，从而可得 ， ，由等边对等角并结合题意可得 ，再由角平分线的定义计算即可得出结果. 【解答】 解：四边形ABCD为矩形， ， ， ， ， ， , ， ， 平分 , ， ， . 故选A 例 3　填空题 （26-27·广东开学）如图，在正方形中，，E，F分别为边的中点，连接，点G，H分别为的中点，连接，则的长为________ 【答案】 【解析】 连接AG并延长AG交CD于点P，连接PF，由正方形的性质，即可证得 （ASA），可得 AG=PG,DP=AE=2，再由勾股定可理可求得PF的长，根据三角形中位线定理即可求解. 【解答】 解：连接AG并延长AG交CD于点P，连接PF，如图所示， 四边形ABCD是正方形， 四边形ABCD是正方形， 在 在Rt 故答案为： 例 4　填空题 （26-27·四川月考）如图，四边形是正方形，四边形是菱形，四边形是矩形，其中点E在边上，在边上，点G是菱形对角线的交点，若，则________． 【答案】 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：四边形是菱形， ，， 四边形是正方形， ， 四边形是矩形， ， 则， 根据勾股定理可得：， 四边形是矩形， ， ， ， 解得：， . 例 5　解答题 （26-27·四川开学）如图，在中，为的中点，为延长线上一点，连接，，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：； （2）已知____（从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），请判断四边形的形状，并证明你的结论． 条件①：； 条件②：． 【答案】 证明见解析 条件①, 四边形AGBF为矩形; 条件②, 四边形AGBF为菱形, 证明见解析 【解析】 （1）根据平行得到, , 再由EA=EB, 即可由AAS证明全等; （2）先证明四边形AGBF为平行四边形, 再根据选择的条件结合菱形和矩形判定证明即可. 【解答】 （1）证明: , , , 为AB的中点, , (AAS) （2）解: 选择条件①, 四边形AGBF为矩形, 理由如下: , , 四边形AGBF为平行四边形, 四边形ABCD是平行四边形, , , , , , , 四边形AGBF为矩形; 选择条件②, 四边形AGBF为菱形, 理由如下: , , , 四边形AGBF为平行四边形, 四边形ABCD是平行四边形, , , , 四边形AGBF为菱形. 例 6　选择题 （26-27·浙江开学）如图1，在四边形中，，，相交于点O，且O为的中点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）如图2，延长至点E，使得，若，， ①求四边形的面积； ②设G为上一动点，连结并延长交于F，若，求的长． 【答案】 见解答 ①12； ②1或3 【解析】 （1）根据已知条件证明 ，得到AD ，从而证得结论； （2）①利用等腰三角形三线合一的性质得出 ， ，通过勾股定理求出AB的长，再由（1）的结论证得四边形 ABCD是矩形，从而求得结果； ②先证明 (ASA)，得出 ，过点O作OH 交CD于点H，利用勾股定理求出GH的长，最后根据题意得出DG不同情况下的长度. 【解答】 （1）证明： 相交于点O，且O为BD的中点， 在 和 中， 四边形ABCD是平行四边形. (2) 解： ① ， 在Rt 中， 由（1）知，四边形ABCD是平行四边形， 四边形ABCD是矩形， ② 四边形ABCD是矩形， 在 和 中， (ASA), 即点H为CD的中点， 又 点O为四边形ABCD对角线BD的中点， 是 的中位线， 在Rt 中， 又 为CD上一动点， 当点G靠近点C时， 综上所述，DG的长为1或3. PART 04 变式练习（10 题） 与例题同考点、同方法，换数字换情境，供学生独立限时完成；填空题答案已嵌在空格中，建议先遮住答案自测 变式组训练要点 ◆ 变 1~变 3 对应例 2、例 3：等积法求高与斜边中线——面积公式记牢、中线条件识别准； ◆ 变 4~变 6 对应例 4、例 5：双直角共斜边与折叠周长——共斜边模型优先连中点，折叠先转移对应边再整体求和； ◆ 变 7~变 9 对应例 6、例 3：动点最值与斜边中线——对称点转化等距、垂线段最短定最小值； ◆ 变 10 对应例 2：平行四边形面积与垂直平分线——垂直平分线性质+等积法联动。 变式 1　选择题 （26-27·宁夏月考）如图，在菱形中，对角线，交于点，点为的中点，连接．当，时，菱形的面积为（        ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 根据菱形的性质得出 ，由线段垂直平分线的性质得出 ，从而证得 是等边三角形，利用勾股定理求出 的长，最后根据菱形的面积公式计算即可. 【解答】 解： 四边形 是菱形， ，点E为CD的中点， 垂直平分CD， 即 是等边三角形， 在Rt 中， 菱形 的面积为 变式 2　选择题 （26-27·安徽月考）如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，重叠部分的面积为（        ） A.14 B.20 C.15 D.10 【答案】 D 【解析】 先利用矩形的性质和折叠的性质，得出 ，进一步得出 ，再设 ，再根据勾股定理得出 ， ，最后利用三角形的面积公式即可解答. 【解答】 解：∵ 四边形ABCD为矩形， ，，. 由折叠可知，，， ，. 又， ， . 设 ，则， 在Rt中，， 即， 解得：， ， 变式 3　选择题 （25-26·河北月考）如图，点在正方形的对角线上，且，的两直角边，分别交于点，若正方形的边长为，则重叠部分四边形的面积为（       ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】本题考查正方形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，正确作出辅助线，运用转化思想是解题的关键． 过点作于点，于点，由正方形的性质得到，，，根据勾股定理求得，从而得到，证明四边形是正方形，得到，，，进而证得，得到，从而，根据勾股定理求出，即可解答． 【解答】解：过点作于点，于点， 正方形的边长为， ，，， 在中，， ， ， ， ，，， ， 四边形是矩形， ，， ， ， 矩形是正方形， ，，， ， ， ， ， ， ． 在中，，， 又， ， 解得（负值舍去）， ， ． 故选：． 变式 4　填空题 （25-26·广东期末）如图，在菱形中，对角线与相交于点O，过点A作，垂足为点H，连接．若，则的长为________． 【答案】 【解析】 本题考查了菱形的性质, 直角三角形斜边中线的性质及勾股定理, 掌握这些性质与定理是解题的关键; 由菱形的性质, 直角三角形斜边中线的性质求得 的长, 再由勾股定理求得菱形的边长, 利用面积关系即可求解. 【解答】 解：在菱形ABCD中， ， ， 在Rt OBC中，由勾股定理得 故答案为: . 变式 5　填空题 （26-27·湖南开学）如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，P为线段上的一个动点，过点P分别作轴于点F，轴于点E，连接． （1）的长为____5____；（2）长的最小值为___2.4_____． 【答案】 5,2.4 【解析】 分别令 和 求出点A、B的坐标，利用勾股定理即可求出AB的长； (2) 连接OP，证明四边形PFOE是矩形，得出EF=OP，根据垂线段最短可知当 OP AB时OP最短，利用等面积法求出OP的最小值即可. 【解答】 解：对于直线 当 时， 点B的坐标为(0，4）， 当 时， 解得： 点A的坐标为（-3，0）， 在 中，由勾股定理得： (2) 连接 OP，如图所示. 轴，PE 轴， 四边形PFOE是矩形， 当OP最小时，EF最小， 根据垂线段最短可知，当OP AB时，OP最小，此时利用等面积法可得： 长的最小值为2.4. 变式 6　选择题 （25-26·北京月考）如图，四边形是边长为9的正方形纸片，将其沿折叠，使点落在边上的点处，点的对应点为点，且，则的长为____2____． 【答案】2 【解析】设 ，连接BM，MB'，求出 ，然后在Rt 和Rt 中，由勾股定理得出方程，解方程即可，熟练掌握翻折变换的性质和正方形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键. 【解答】解：设 连接BM，MB'，如图所示： 四边形ABCD是正方形， , AB=AD=CD=9, 在Rt 中， 在Rt 中， 由折叠的性质得： 即 解得： 即 故答案为：2. 变式 7　解答题 （26-27·河南月考）下面是小明设计的“在一个平行四边形内作菱形”的尺规作图过程． 已知：四边形是平行四边形． 求作：菱形（点在上，点在上）． 作法：①以为圆心，长为半径作弧，交于点； ②以为圆心，长为半径作弧，交于点； ③连接． 所以四边形为所求作的菱形． （1）根据小明的做法，使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）证明：四边形是菱形． 【答案】 见解答 见解答 【解析】 （1）根据要求作出图形； （2）根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可. 【解答】 （1）如图所示： （2）略证明： 四边形ABCD是平行四边形， 四边形ABEF是平行四边形， 四边形ABEF是菱形. 变式 8　解答题 （2026·四川模拟）如图，在平行四边形中，连接，为线段的中点，延长与的延长线交于点，连接，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求四边形的面积． 【答案】 见详解 72 【解析】 （1）通过证明 ，得到 ，得证四边形 是平行四边形，根据 ，得证结论. （2）根据矩形的性质得到 ，继而根据勾股定理得到 ，根据平行四边形的性质得到 ，根据割补法计算四边形 的面积. 【解答】 （1）解：四边形 是平行四边形， 又 为 中点， (ASA) 又 四边形 是平行四边形， ， 四边形 是矩形； （2）解：由(1)可知，四边形 是矩形， 由勾股定理可得： 四边形 是平行四边形， 四边形 的面积为 . 变式 9　解答题 （25-26·河南期中）如图，在中，对角线相交于点O，点E是的延长线上一点，且是等边三角形． （1）求证：四边形是菱形． （2）若，求证：四边形是正方形． 【答案】 见解析 见解析 【解析】 （1）根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形．进而利用菱形的判定证明即可； （2）根据有一个角是的菱形是正方形，进而根据菱形和正方形的判定证明即可. 【解答】 （1）证明：四边形是平行四边形， ，即是的中点，是的中线， 是等边三角形， ， 即 ， 是菱形，即四边形是菱形； （2）是等边三角形， 由(1)知， ，是直角三角形， ， ， ， ， 是菱形， ， 菱形是正方形，即四边形是正方形. 变式 10　填空题 （2026·广东模拟）如图，在平行四边形中，点是对角线上的一点，过点作且，连接、、． （1）求证：； （2）请从以下三个条件中选择一个作为已知，判断四边形ABFE的形状，并证明你的结论． 条件①：； 条件②：； 条件③：连接AF，． （注：如果选择条件①、条件②、条件③分别进行了解答，按第一个解答计分） 已知：________（填写序号） 【答案】 见解答 【解析】 （1）由平行四边形ABCD，可得BC=AD，AB CD，再由CF BD证明 ，结合DE=CF，证明 （SAS）即可； （2）四边形ABFE是平行四边形，条件 ①证明 ，进而可得平行四边形ABFE是矩形；条件 ②：邻边相等的平行四边形即可判定平行四边形ABFE是菱形，条件 ③由对角线互相平分的平行四边形是菱形即可得出结论. 【解答】 （1）证明：平行四边形ABCD， ， 又 （2）解： 且 四边形CDEF是平行四边形， 又 在平行四边形ABCD中， 四边形ABFE是平行四边形， 已知： ①结论：四边形ABFE是矩形. 证明： 故 是矩形； 已知： ②； ；结论：四边形ABFE是菱形. 证明： ，四边形ABFE是平行四边形， 是菱形. 已知： ③结论：四边形ABFE是菱形. 证明：连接AF， ，四边形ABFE是平行四边形， 是菱形. PART 05 拔高巩固（8 题） 特殊平行四边形的应用——面积与等积转化、斜边中线、折叠与动点 拔高组闯关要点 ◆ 拔高 1 的台阶在双直角共斜边+等腰直角：先连中点得等腰，再算角度证等腰直角； ◆ 拔高 2 的台阶在全等转移线段+菱形判定+面积：ASA 证全等得 AD=BE，斜边中线证邻边相等，等积法拆分面积求和； ◆ 拔高 3 的台阶在尺规作图+菱形面积：垂直平分线性质→对角线互相垂直平分→面积公式； ◆ 拔高 4 的台阶在矩形折出正方形+折叠勾股：设未知数，折叠对应边转移，Rt△中用勾股列方程； ◆ 拔高 5 的台阶在折叠对称+等腰直角勾股：找对称点转化折线段，等腰直角求高再勾股； ◆ 拔高 6 的台阶在矩形折叠菱形判定：折叠→垂直平分→邻边相等+平行→菱形； ◆ 拔高 7 的台阶在折叠角链验证+勾股应用：内错角+折叠角→等角对等边→设元勾股求值； ◆ 拔高 8 的台阶在平行四边形动点最值：中位线把动点距离转化为定长的一半，垂线段最短求最小值。 拔高 1　选择题 （25·四川达州·一模）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，∠DAB=45°，M、N分别是AC、BD的中点。若AC=10，则MN的长为（　　） A.5　B.　C.5　D.10 【答案】B 【解析】双直角共斜边→MB=MD=5；∠BMD=180°−2×45°=90°→△BMD等腰直角→MN=BD 的一半=。 【详解】 ∵ ∠ABC=90°，M是AC的中点 ∴ MB=AC=×10=5 ∵ ∠ADC=90°，M是AC的中点 ∴ MD=AC=5 ∴ MB=MD=5，△BMD是等腰三角形 ∵ ∠DAB=45° ∴ ∠BMD=180°−2∠DAB=90° ∴ △BMD是等腰直角三角形 ∵ N是BD的中点 ∴ MN=BD ∴ BD===5 ∴ MN=×5= 故选B 拔高 2　解答题 （25-26·云南期末）四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AC，E是BC的中点，AE与BD交于点F，且F是AE的中点。 （1）求证：四边形AECD是菱形； （2）若AC=4，AB=5，求四边形ABCD的面积。 【答案】（1）证明见【详解】；（2）S四边形ABCD=15。 【解析】（1）AD∥BE→∠ADF=∠EBF（内错角）；AF=EF、∠AFD=∠EFB（对顶角）→△ADF≌△EBF（ASA）→AD=BE=CE→平四AECD；AB⊥AC且E是BC中点→AE=CE（斜边中线）→菱形。（2）S△ABC=10；BE=CE→S△AEC=S△ABC=5（等底同高）；菱形→△AEC≌△ADC（SSS）→S△ADC=5→S四边形ABCD=15。 【详解】 （1） ∵ AD∥BC ∴ AD∥BE，∠ADF=∠EBF（两直线平行，内错角相等） ∵ F是AE的中点 ∴ AF=EF 在△ADF和△EBF中：∠ADF=∠EBF，AF=EF，∠AFD=∠EFB（对顶角相等） ∴ △ADF≌△EBF（ASA） ∴ AD=BE ∵ E是BC的中点 ∴ BE=CE ∴ AD=CE 又 AD∥CE ∴ 四边形AECD是平行四边形 ∵ AB⊥AC，E是BC的中点 ∴ AE=CE（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半） ∴ 四边形AECD是菱形 （2） ∵ AB⊥AC ∴ S△ABC=×AC×AB=×4×5=10 ∵ E是BC的中点 ∴ BE=CE ∴ S△AEC=S△ABE（等底同高） ∴ S△AEC=S△ABC=5 ∵ 四边形AECD是菱形 ∴ AE=AD，EC=DC 在△AEC和△ADC中：AE=AD，EC=DC，AC=AC ∴ △AEC≌△ADC（SSS） ∴ S△ADC=S△AEC=5 ∴ S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC=10+5=15 拔高 3　选择题 （26-27·四川月考）如图，在矩形中，为中点，过点且分别交于，交于，点是中点且，则下列结论正确的个数为（     ） ①；②；③；④． A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】 C 【解析】 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得 ，再根据等边对等角可得 ，根据直角三角形两锐角互余求出 ，，故①正确；设 ，表示出 ，利用勾股定理求出 ，得到 ，再求出 ，得到 ，故③错误；求出 ，证明出 （ASA），得到 ，求出 ，故②正确；再根据三角形的面积和矩形的面积列式求出判断出④正确。 【解答】 解：，点G是AE中点， ，，故①正确； 是等边三角形， 设 ，则 ， 由勾股定理得， ， 为AC中点， ，故③错误； 在Rt 中，由勾股定理得， ； 四边形 是矩形， 又， （ASA） ，故②正确； ， ， ，故④正确； 综上所述，结论正确的是①②④. 故选：C. 拔高 4　填空题 （26-27·四川月考）如图，菱形的对角线相交于点O，P为边上一动点（不与点A，B重合），于点E，于点F，若，则的最小值为 ________．     【答案】 【解析】 连接 OP，根据菱形的性质得到 AC BD， ，根据矩形的判定定理得到四边形OEPF是矩形，求得EF=OP，当 OP AB时，OP最小，利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求解即可. 【解答】 解：连接OP，如图所示， 四边形ABCD是菱形， 于点E，PF 于点F， 四边形OEPF是矩形， 当OP取最小值时，EF的值最小， 当OP AB时，OP最小，即EF的值最小， 的最小值为 故答案为： 拔高 5　填空题 （26-27·广东月考）如图，矩形中，，根据尺规作图痕迹，计算的大小为____ ____． 【答案】 【解析】 本题考查了矩形的性质、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理，由矩形的性质可得 ，求出 ，再由角平分线的定义可得 ，由线段垂直平分线的性质可得 ，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键. 【解答】 解：如图： 四边形ABCD为矩形， 由作图可得，BE平分 由作图可得，直线l垂直平分线段BD， 故答案为： 拔高 6　解答题 （26-27·湖南开学）如图，在四边形中，，对角线BD的垂直平分线与边、分别相交于点M、N． （1）求证：四边形是菱形； （2）若菱形的周长为68，，求菱形的面积． 【答案】 见解析 240 【解析】 （1）证明 ，得到 ，再由 证出四边形 是平行四边形，再由 得到四边形 是菱形。 （2）由菱形的性质得到 ，再由勾股定理求出 的长，然由菱形面积计算公式得出答案。 【解答】 （1）证明： ， ， 是对角线 的垂直平分线， ， 在 和 中， ， ， ， 四边形 是平行四边形， 又 ， 平行四边形 是菱形； （2）解：由 (1) 可知，， 四边形 是菱形，周长为 52， ， ， ， ， ， . 拔高 7　解答题 （25-26·上海期末）在正方形中，为边上一点（不与点，重合），将线段沿直线翻折，得到线段，连接并延长，与线段的延长线相交于点，连接． （1）依题意补全图形； （2）求的度数； （3）用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】 见解析 ，证明见解析 【解析】 （1）依题意补全图形即可； （2）设，利用正方形和翻折的性质得到，，再利用等腰三角形的性质即可求出的度数； （3）作，交的延长线于点，连接，利用正方形和翻折的性质证明，得到，，推出是等腰直角三角形，则有，等量代换即可得出结论． 【解答】 （1）解：补全图形如图所示： （2）解：设． 四边形是正方形， ，， ， 将线段沿直线翻折，得到线段， ，， ， ， ． （3）解：，证明如下： 如图，作，交的延长线于点，连接． ， ， 四边形是正方形， ，， ，即， 将线段沿直线翻折，得到线段， ，， ，， ， ， ，， 是等腰直角三角形，， ， ， ． 拔高 8　填空题 （2026·甘肃中考） 在一次数学兴趣小组活动中，同学们围绕等腰三角形进行探究，下面是部分探究内容，请你思考并解答． 【初步尝试】 （1）如图1，在中，，过点作，，连接．点在线段上，满足，求的长． 【类比探究】 （2）如图，在中，，以为对角线的矩形的顶点在上，，分别是线段，上的动点（不含端点），．当时，用等式表示出和的数量关系，并说明理由． 【拓展迁移】 （3）如图，在矩形中，，分别是线段，上的动点（不含端点），．当时，用等式表示出和的数量关系，并说明理由． 【答案】 见解答 见解答 【解析】 （1）由平行线的性质得到 . 由 得到 ，从而证明 ，根据全等三角形的性质即可解答； （2）连接AQ. 证明 ，得到 ，因此 ，从而 ，进而证明 ，即可得出CD=QE. （3）延长AD至点F，使得AF=AB，连接BF，PF. 由等边对等角得到 ，由 得到FD=QE，根据线段的和差得出AP+BP=AD+QE，根据矩形的性质有AD=BE，因此AP+BP=BQ+2QE，从而可得BP=2QE. 【解答】 （1）解： （2）解：CD=QE，理由如下： 如图1，连接AQ. 图1 四边形 AEBD为矩形， AP=BQ, 即 四边形AEBD为矩形， （3）解：BP=2QE，理由如下： 如图2，延长AD至点F，使得 ，连接BF，PF. 图2 由（2）同理可得， (AAS) 四边形AEBD为矩形， 附录 过关自查表（学生逐题归因，教师复核用） 题号 考点细目 若错，写出错误原因 订正完成 例 1 利用菱形性质求线段长 例 2 利用矩形性质求角度 例 3 利用正方形性质求线段长 例 4 特殊平行四边形综合应用 例 5 平行四边形与矩形、菱形综合应用 例 6 四边形综合应用 变式 1 利用菱形性质求面积 变式 2 矩形折叠问题的应用 变式 3 正方形的性质与判定的应用 变式 4 菱形的性质、直角三角形斜边上的中线的应用 变式 5 矩形性质与判定、一次函数与坐标轴交点的应用 变式 6 正方形折叠应用 变式 7 利用菱形性质作图 变式 8 利用矩形性质其余面积 变式 9 正方形与菱形综合应用 变式 10 平行四边形与特殊平行四边形综合 拔高 1 双直角共斜边+等腰直角 拔高 2 全等转移线段+菱形判定+面积 拔高 3 矩形性质、直角三角形斜边中线、全等 拔高 4 菱形性质、最值问题 拔高 5 矩形性质、尺规作图 拔高 6 菱形性质与判定、勾股定理的应用 拔高 7 正方形折叠问题 拔高 8 综合应用 使用建议：订正后让学生在订正完成栏打勾，并保留本表至考前——期中前只重做打不了勾的题。例题教师精讲、变式限时独立完成、拔高供学有余力者挑战；题目空格中的红色文字即为该空答案（含解答题补充证明的空格），自测时先遮住再核对。 1 学科网（北京）股份有限公司 $