概率专项训练-2027届高三数学一轮复习

高中数学人教A版必修二概率 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D C C C B C C ABD ABC 题号 11 答案 BC 1．B 【分析】逐个分析各选项中两骰子点数和的可能情况，判断是否必然成立即可求解. 【详解】选项A：和为5的可能组合有、、、，共4种，概率为，非必然事件． 选项B：两骰子最小点数为1，最小和为，因此和必定大于1，概率为1，是必然事件. 选项C：两骰子最大和为，无法超过12，概率为0，为不可能事件. 选项D：和为偶数的概率为，可能发生但不必然. 2．D 【分析】先由对立事件的概率关系计算，再利用互斥事件的概率加法公式求结论. 【详解】因为，， 所以. 因为、互斥，， 所以. 3．C 【详解】，， 若从集合，中各任取一个数，的样本空间 ，共有6个样本点. 则满足为整数的有共4个样本点，则概率为. 4．C 【分析】利用古典概型法求解即可. 【详解】由题意可得抽出的可能有：，，，，，， ，，，，，，，，， ，，，，，共20种可能； 要使两个数字和为正数的有：，，，，，， ，，，，，，共12种可能； 所以所求概率为. 5．C 【分析】利用事件相互独立的定义判断A项；利用随机事件的概率加法公式计算判断B项；根据互斥事件的概率公式判断C项；利用事件相互独立的性质计算判断D项. 【详解】对于A，由可得, 因,则事件与相互独立，故A正确； 对于B,因,故B正确； 对于C，因，故事件与不互斥，即C错误； 对于D，由A项可得事件相互独立，故,即D正确. 6．B 【分析】利用概率的加法公式，分别计算各概率后代入即可求解. 【详解】抛一枚均匀的骰子两次，样本空间共有个等可能的基本事件. 事件为两次点数均为偶数，第一次取偶数有3种结果，第二次取偶数也有3种结果， 故包含的基本事件数为，所以； 事件为第二次点数不小于3，则第二次可取3，4，5，6共4种结果，第一次任意取有6种结果， 故包含的基本事件数为，所以； 事件表示两次点数均为偶数且第二次点数不小于3， 则第一次取偶数有3种结果，第二次取不小于3的偶数有2种结果， 故包含的基本事件数为， 所以， 所以. 7．C 【分析】利用事件相互独立的定义判断A项；利用随机事件的概率加法公式计算判断B项；根据互斥事件的概率公式判断C项；利用事件相互独立的性质计算判断D项． 【详解】对于A，由可得， ，则事件与相互独立，故A正确； 对于B，因，故B正确； 对于C，因，故事件与不互斥，即C错误； 对于D，由A项可得事件，相互独立，故 ，即D正确． 8．C 【详解】有放回取次的样本空间共个等可能结果：{红红，红白，白红，白白}， 事件对应{红白，白红}，， 事件对应{红白，白红，白白}，； 对应{红白，白红}，， 显然，A错误. 事件对应{红红，红白，白红}，故； 对应{红白，白红}，， ，B错误； 有放回取次的样本空间共个等可能结果： 事件排除全红、全白种结果，， 事件对应红（全白）、红共种结果，； 对应红白的种结果，， 恰好满足， 故和相互独立，C正确； 事件对应白（全红）、白共种结果，； 无对应结果，，显然，D错误. 9．ABD 【分析】先列出个等可能基本事件，再根据古典概型计算事件，概率，再由互斥事件的定义判断C，由必然事件的定义判断D可得. 【详解】同时抛掷两枚均匀硬币， 共有个等可能基本事件：(正₁,正₂)、(正₁,反₂)、(反₁,正₂)、(反₁,反₂)， 选项A：因为事件“出现两个反面”，所以事件仅包含(反₁,反₂)共个基本事件， 故，A正确. 选项B：因为“出现一正一反”，所以事件包含(正₁,反₂)、(反₁,正₂) 共个基本事件， 故​，B正确. 选项C：事件“出现两个反面”满足事件“出现两个相同的面”的要求， 因此发生时也会一定发生，二者存在公共样本点， 不满足互斥事件“不能同时发生、交集为空”的定义， 因此与不是互斥事件，C错误. 选项D：事件“出现一正一反”，事件“出现两个相同的面”， 抛掷两枚硬币的所有结果都必然属于事件或，不存在其他情况， 因此是必然事件，D正确. 10．ABC 【详解】A选项，，所以A选项正确； B选项，，所以B选项正确； C选项，，所以C选项正确； D选项，，所以D选项错误. 11．BC 【分析】结合频率与概率的关系、概率的实际含义逐一判断各选项的正误. 【详解】选项A：中奖概率为指的是单次购买彩票的中奖可能性为，每次购买是否中奖相互独立， 即使买张也存在不中奖的可能，并非一定中奖，A错误； 选项B：根据频率的稳定性规律，试验次数越多，频率会越稳定在概率附近， 整体上频率偏离概率的幅度会缩小，B正确； 选项C：若骰子质地均匀，单次掷出点的概率为，连续次掷出点是概率极低的小概率事件， 该事件实际发生时，有理由认为骰子质地不均匀，C正确； 选项D：降水概率的含义是明天本市降水的可能性为，并非指支持降水的专家占比，D错误. 12． 【详解】将个白球分别记为、，个红球分别记为、， 从上述个小球中随机摸取个小球，记事件个小球都是白球， 则样本空间为，， 故，故两球都是白球的概率为. 13．/0.9 【分析】算出从5个数取2个的总组合数，找出两数不互质的组合，用古典概型求概率. 【详解】抽取的情况包含，共10种情况， 这两个数字互质的情况有9种，则这两个数字互质的概率为. 14． 【详解】箱子中共有个球，其中黄球有2个，从6个球中取一个球，取不到黄球的概率， 有放回地取三次，相当于三次独立重复试验， 所以三次都没有取到黄球的概率. 15．(1)，平均数为73 (2) 【分析】（1）根据小矩形的面积和为求出，利用求平均数公式即可求出平均数； （2）利用概率的乘法公式求出甲乙均没有满分的概率，再根据对立事件求出答案. 【详解】（1）由题意知， 解得， 估计这次体能测试成绩的平均数 . 即这次体能测试成绩的平均数为73. （2）记“至少有一人的体能测试成绩为满分”为事件A，所以， 所以， 即至少有一人的体能测试成绩为满分的概率为. 16．(1)， (2)①② 【分析】（1）利用枚举法列出全部等可能基本事件，再统计2人均为男队员的事件数，用古典概型公式求概率； （2）①甲乙发球相互独立，直接用独立事件乘法公式，求同时成功的概率； ②利用对立事件，先算出两人全都发球失败的概率，再用1减去该概率得到至少一人成功的概率． 【详解】（1）设3名男队员为，2名女队员为，采用不放回简单随机抽样抽取2人， 所有可能的基本事件为： ，共个， 其中抽取到的2人全是男队员，包含的基本事件为：，共3个， 故抽取到的2人全是男队员的概率为：． （2）设 “甲发球成功” 为事件M，“乙发球成功” 为事件N， 由题意知M与N相互独立，且． ①甲、乙两人全部发球成功的事件同时发生，由独立事件乘法公式得： ． ②甲、乙至少有一人发球成功的对立事件是“两人发球失败”， 两人都失败的概率：， 故至少一人发球成功的概率为：． 17．(1) (2)0.3． 【分析】（1）由题设结合表格数据可得答案； （2）用频率估计概率，据此可得答案. 【详解】（1）因这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占， 则，所以； （2）记一位顾客一次购物的结算时间超过2分钟． 该顾客一次购物的结算时间为2.5分钟． 该顾客一次购物的结算时间为3分钟． 将频率视为概率可得， 所以一位顾客一次购物的结算时间超过2分钟的概率为0.3． 18．(1)甲、乙、丙三个车间的工人中抽取的人数分别为人、人、人 (2)（ⅰ）所有可能结果为、、、、、、 、、、、、、、、、 、、、、、、、、、 、、、、、、、、、 、、，共种． （ⅱ）． 【分析】（1）利用分层抽样可求得从甲、乙、丙三个车间的工人中分别抽取的人数； （2）（i）利用列举法可列举出所有可能的结果； （ii）不妨设抽出的名工人中，来自甲车间的是、，来自乙车间的是、、，来自丙车间的是、、、，利用列举法结合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】（1）由已知，甲、乙、丙三个车间的工人人数之比为， 由于采用分层抽样的方法从中抽取名工人， 因此应从甲、乙、丙三个车间的工人中分别抽取人，人，人． （2）（i）从抽出的名工人中随机抽取名工人的所有可能结果为、、、、 、、、、、、、、、 、、、、、、、、、、 、、、、、、、、、、 、、，共种． （ii）不妨设抽出的名工人中，来自甲车间的是、，来自乙车间的是、、， 来自丙车间的是、、、， 则从抽出的名工人中随机抽取的名工人来自同一车间的所有可能结果为、、、、、、、、、，共种． 所以，事件发生的概率． 19．(1) (2) (3) 【分析】（1）应用独立事件概率乘积公式计算求解； （2）应用独立事件概率乘积公式计算求解； （3）应用独立事件概率乘积公式及对立事件概率公式计算求解. 【详解】（1）设这三人中只有甲乙两人在单位食堂就餐（丙在外边餐馆就餐）为事件， 所以； （2）设三人中恰有两人在单位食堂就餐为事件， 所以； （3）设三人中至少有一人在外边餐馆就餐为事件， 所以. 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学人教A版必修二概率 一、单选题 1．掷两个质地均匀的小正方体，小正方体的六个面上分别标有1到6的数字.下列事件是必然事件的是（   ） A．向上两面的数字和为5 B．向上两面的数字和大于1 C．向上两面的数字和大于12 D．向上两面的数字和为偶数 2．已知随机事件，互斥，且，，则（   ） A．0.4 B．0.5 C．0.7 D．0.8 3．已知，，若从集合，中各任取一个数，，则为整数的概率为（    ） A． B． C． D． 4．现有五张质地均匀，大小完全相同的卡片，在其正面分别标有数字，，0，2，3，把卡片背面朝上洗匀，从中随机抽出一张后，不放回，再从中随机抽出一张，则两次抽出的卡片所标数字之和为正数的概率为（    ） A． B． C． D． 5．若，，，则下列结论错误的是（   ） A．事件与相互独立 B． C．事件与互斥 D． 6．将一枚均匀的骰子抛掷两次，事件：两次点数均为偶数；：第二次点数不小于3；则概率（   ） A． B． C． D． 7．若，，，则下列结论错误的是（   ） A．事件与相互独立 B． C．事件与互斥 D． 8．一个盒子里有大小、质地相同的两个球，一个红球，一个白球，每次从中随机取出一个球，观察球的颜色后再放回盒中，设事件“取到的球既有红球又有白球”，事件“取到的球最多有一个红球”，事件“取到的球最多有一个白球”，则下列说法正确的是（   ） A．若取球两次，事件A和事件B相互独立 B．若取球两次，事件A和事件C相互独立 C．若取球三次，事件A和事件B相互独立 D．若取球三次，事件B和事件C相互独立 二、多选题 9．同时抛掷两枚均匀硬币，记事件“出现两个反面”，事件“出现一正一反”，事件“出现两个相同的面”，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．与为互斥事件 D．为必然事件 10．已知，，，则（     ） A． B． C． D． 11．下列说法正确的有（   ） A．某种福利彩票的中奖概率为，那么买张这种彩票一定能中奖； B．随着试验次数的增加，频率偏离概率的幅度会缩小； C．连续次掷一枚骰子，结果都是出现点，可以认为这枚骰子质地不均匀； D．某市气象台预报“明天本市降水概率为”，指的是：该市气象台专家中，有认为明天会降水，认为不降水． 三、填空题 12．一盒中有大小、形状完全相同的个红球和个白球，从盒中随机摸出个球，则两球都是白球的概率为______. 13．从1，2，3，4，5这5个数字中随机抽取2个不同的数字，这两个数字互质的概率为_________. 14．箱子里有一个红球，两个黄球，三个白球.有放回地取三次，每次取一个，三次都没取到黄球的概率是______. 四、解答题 15．某校为了解高一学生的体能情况，进行了一次体能测试，共2000人参加本次测试（测试成绩均在内），将所得数据分成5组：，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求a的值，并估计这次体能测试成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)在某项体能测试中，甲、乙两人各自体能测试成绩为满分的概率分别是和，求至少有一人的体能测试成绩为满分的概率. 16．校羽毛队有3名男队员、2名女队员，现采用不放回简单随机抽样从中抽取2人． (1)列举出所有等可能的基本事件，并求抽取到的2人全是男队员的概率； (2)若选出的两名选手分别为甲、乙，进行定点发球比拼，甲发球成功的概率为，乙发球成功的概率为，两人发球互不影响．求： ①甲、乙两人全部发球成功的概率； ②甲、乙至少有一人发球成功的概率． 17．某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如表所示． 一次购物量 1至4件 5至8件 9至12件 13至16件 17件及以上 顾客数（人） x 30 25 y 10 结算时间（分钟/人） 1 1.5 2 2.5 3 已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占． (1)求的值； (2)求顾客一次购物的结算时间超过2分钟的概率． 18．已知某工厂有甲、乙、丙三个车间的工人数量分别为、、，现采用分层抽样的方法从中抽取名工人组成技术攻关小组． (1)应从甲、乙、丙三个车间的工人中分别抽取多少人？ (2)设抽出的名工人分别用、、、、、、、、表示，现从中随机抽取名工人担任技术攻关小组的组长． （ⅰ）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果； （ⅱ）设为事件“抽取的名工人来自同一车间”，求事件发生的概率． 19．某单位有甲、乙、丙三位职工，某日中午计划在单位食堂就餐或在外边餐馆就餐.已知甲、乙、丙在单位食堂就餐的概率分别为，，，且这三人在单位食堂或在外边餐馆就餐相互独立. (1)求这三人中只有甲乙两人在单位食堂就餐（丙在外边餐馆就餐）的概率； (2)求这三人中恰有两人在单位食堂就餐的概率； (3)求这三人中至少有一人在外边餐馆就餐的概率. 学科网（北京）股份有限公司 $