第9章 核心素养系列（6）概率与统计高考中档大题的规范答题策略（配套练习Word版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮课时作业（人教B版）

**基本信息** 聚焦概率统计中档大题，以现实情境为载体，系统覆盖统计推断、概率模型及综合应用，强化数据意识与模型观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |统计推断|2题（大运会调查/航展得分）|2×2列联表分析、频率分布直方图均值估计|从数据收集到统计推断，体现用数学眼光观察现实世界| |概率模型|3题（3人调查/比赛局数/药物检测）|二项分布、超几何分布、正态分布应用|从概率计算到分布列构建，培养逻辑推理与模型意识| |综合应用|1题（公司车辆限行）|多变量概率综合、期望计算|知识交叉融合，提升用数学语言表达现实问题的能力|

核心素养系列(六) 课时冲关76　概率与统计高考中档大题的规范答题策略 学生用书　P406 1．第31届世界大学生夏季运动会于2023年7月28日至8月8日在中国四川省成都市举行．某体育博主为调查大学生对成都大运会的了解情况，在某大学随机抽取了200名大学生(其中男生和女生各100名)提问他们有关大运会的问题，完全答对的认为了解大运会，否则认为不了解大运会，得到如下2×2列联表： 男生 女生 合计 了解大运会 70 50 120 不了解大运会 30 50 80 合计 100 100 200 (1)根据2×2列联表，判断能否有90%的把握认为大学生是否了解大运会与性别有关； (2)将频率视为概率，用样本估计总体，若从该校大学生中随机抽取3人调查他们对大运会的了解情况，记抽取的3人中了解大运会的人数为X，求X的分布列和数学期望． 附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. α＝P(χ2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 解：(1)由题，χ2＝＝≈8.333>6.635. 所以有90%的把握认为大学生是否了解大运会与性别有关． (2)从该校大学生中随机抽取1人，其了解大运会的概率为＝， 所以X～B， P(X＝0)＝C×3＝， P(X＝1)＝C××2＝， P(X＝2)＝C×2×＝， P(X＝3)＝C×3＝， 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 P E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝，或E(X)＝3×＝. 2．某国家网球队为了预选2024年奥运会的参赛选手，预计在国家队选拔一批队员做特训．选拔过程中，记录了某队员的40局接球成绩，每局发100个球，该队员每接球成功得1分，否则得0分，且每局结果相互独立，得到如图所示的频率分布直方图． (1)结合直方图，估算该队员40局接球成绩的平均分(同一组数据用该组区间的中点值作代表)； (2)若该队员的接球训练成绩X近似服从正态分布N(μ，100)，其中μ近似为样本平均数，求P(64≤X≤94)的值； (3)为了营造竞技氛围，队员间相互比赛．一局比赛中发球方连续发100个球，若接球方得分达到80分，则接球方获胜，否则发球方获胜．若有人获胜达3局，则比赛结束，记比赛的局数为Y.以频率分布直方图中该队员获胜的频率作为概率，求均值E(Y)． 参考数据：若随机变量X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3. 解：(1)由频率分布直方图可得队员甲的平均分 ＝55×0.10＋65×0.20＋75×0.45＋85×0.20＋95×0.05＝74. (2)由题意可知μ＝74，σ＝10，则94＝μ＋2σ，64＝μ－σ， 所以P(64≤X≤94)＝P(μ－σ≤X≤μ＋2σ) ＝[P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)＋P(μ－σ≤X≤μ＋σ)]≈0.818 6. (3)由频率分布直方图可知，在一局中，某队员得分达到80分的概率为(0.02＋0.005)×10＝， 由题意可知，随机变量Y的所有可能取值为3,4,5， P(Y＝3)＝3＋3＝， P(Y＝4)＝C2×＋C2×＝， P(Y＝5)＝C2×2＋C2×2＝， 所以随机变量Y的分布列为 Y 3 4 5 P 因此，E(Y)＝3×＋4×＋5×＝. 3．第33届夏季奥林匹克运动会即于2024年在巴黎举办，其中游泳比赛分为预赛、半决赛和决赛三个阶段，只有预赛、半决赛都获胜才有资格进入决赛．已知甲在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和，乙在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和，丙在预赛和半决赛中获胜的概率分别为p和－p，其中<p<. (1)甲、乙、丙三人中，哪个人进入决赛的可能性更大？ (2)如果甲、乙、丙三人中恰有两人进入决赛的概率为，求p的值； (3)在(2)的条件下，设甲、乙、丙三人中进入决赛的人数为ξ，求ξ的分布列． 解：(1)甲进入决赛的概率为×＝，乙进入决赛的概率为×＝， 丙进入决赛的概率为p· ＝－2＋， 因为<p<，所以－2＋<， 显然，乙进入决赛的概率最大，所以乙进入决赛的可能性最大． (2)因为甲、乙、丙三人中恰有两队进入决赛的概率为， 则××＋××＋××＝， 整理得12p2－16p＋5＝0，解得p＝或p＝， 因为<p<，所以p＝. (3)由(2)知，丙进入决赛的概率为·＝， 所以甲、乙、丙三人进入决赛的概率分布为，，， 根据题意，得到随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3， 可得P(ξ＝0)＝＝； P(ξ＝2)＝××＋××＋××＝， P(ξ＝3)＝××＝， 则P(ξ＝1)＝1－－－＝. 所以随机变量ξ的分布列为： ξ 0 1 2 3 P 4.(2024·龙岩市模拟)某公司有A，B，C，D，E五辆汽车，其中A、B两辆汽车的车牌尾号均为1，C、D两辆汽车的车牌尾号均为2，E车的车牌尾号为6，已知在非限行日，每辆车可能出车或不出车，A、B、E三辆汽车每天出车的概率均为，C、D两辆汽车每天出车的概率均为，且五辆汽车是否出车相互独立，该公司所在地区汽车限行规定如下： 车牌尾号 0和5 1和6 2和7 3和8 4和9 限行日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 (1)求该公司在星期一至少有2辆汽车出车的概率； (2)设X表示该公司在星期二和星期三两天出车的车辆数之和，求X的分布列及数学期望． 解：(1)记事件A“该公司在星期一至少有2辆车出车”， 则P(A)＝1－32－C32－C3＝1－－－＝. (2)X的可能取值为0,1,2,3,4,5， P(X＝0)＝2·3＝； P(X＝1)＝C···3＋2·C·3＝； P(X＝2)＝2·3＋C···C3＋2·C·3＝； P(X＝3)＝2·C·3＋C···C·3＋2·3＝； P(X＝4)＝2·C·3＋C···3＝；P(X＝5)＝2·3＝； ∴X的分布列为 X 0 1 2 3 4 5 P E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝. 5．2023年空军航空开放活动·长春航空展于7月26日至30日在长春举行．某机构为了了解网民对本届航展的关注度，对网民进行关注度的问卷调查，从调查问卷中随机抽取60份对得分(问卷得分均在[60,100]内)情况进行统计分析，并得到频率分布直方图如图所示． (1)估计网民关注度得分的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)； (2)利用分层抽样的方法从关注度得分在[60,68)和[92,100]的样本中随机抽取9个样本，再从这9个样本中随机抽取4个样本，记这4个样本中关注度得分在[60,68)的样本数为X，求X的分布列与数学期望． 解：(1)由题知，(0.012 5＋a＋0.025＋0.031 25＋0.037 5)×8＝1， 解得a＝0.018 75， 所以，网民关注度得分的平均值为64×0.012 5×8＋72×0.018 75×8＋80×0.031 25×8＋88×0.037 5×8＋96×0.025×8＝82.8. (2)由题知，得分在[60,68)的样本数为0.012 5×8×60＝6，在[92,100]的样本数为0.025×8×60＝12， 所以在[60,68)的样本中随机抽取3个，在[92,100]的样本中随机抽取6个， 所以x的所有可能取值为0,1,2,3， P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝. 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 P ∴E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 6．(2024·聊城模拟)贝诺酯为对乙酰氨基酚与阿司匹林的酯化产物，是一种新型的抗炎、抗风湿、解热镇痛药，主要用于类风湿关节炎、急慢性风湿性关节炎、神经痛及术后疼痛．药监部门要利用小白鼠扭体实验，对某厂生产的该药品的镇痛效果进行检测，若用药后的小白鼠扭体次数没有减少，扭体时间间隔没有变长，则认定镇痛效果不明显． (1)若该药品对雌性小白鼠镇痛效果明显的概率为，对雄性小白鼠镇痛效果明显的概率为，药监部门要利用两只雌性和两只雄性小白鼠检测该药药效，对4只小白鼠逐一检测．若在检测过程中，一只小白鼠用药后镇痛效果明显，记录积分为1，镇痛效果不明显，则记录积分为－1.用随机变量X表示检测4只小白鼠后的总积分，求随机变量X的分布列和数学期望E(X)； (2)若该药品对每只雌性小白鼠镇痛效果明显的概率均为p，现对6只雌性小白鼠逐一进行检测，当检测到镇痛效果不明显的小白鼠时，停止检测．设至少检测5只雌性小白鼠才能发现镇痛效果不明显的概率为f(p)，求f(p)最大时p的值． 解：(1)由题意，随机变量X的可能取值为－4，－2,0，2,4. P(X＝－4)＝2×2＝， P(X＝－2)＝2×C×＋ C××2＝， P(X＝0)＝C××C×＋2×2＋22＝， P(X＝2)＝2×C×＋C××2＝， P(X＝4)＝2×2＝. X的分布列为： X －4 －2 0 2 4 P E(X)＝(－4)×＋(－2)×＋0×＋2×＋4×＝＝. (2)由题意知f(p)＝p4(1－p)＋p5(1－p)＝p4－p6，(0＜p＜1)， f′(p)＝4p3－6p5＝2p3(2－3p2)． 令f′(p)＝2p3(2－3p2)＝0，得p＝. ∴当0＜p＜时，f′(p)＞0，f(p)单调递增； 当＜p＜1时，f′(p)＜0，f(p)单调递减， ∴当p＝，f(p)取得最大值． 7 学科网（北京）股份有限公司 $