3.1.2函数的表达式讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教版A版必修第一册

3.1.2 函数的表示法 讲义 目录 教学目标 1 知识点 1 知识点1 函数的三种表示法 1 知识点2 求函数解析式常用方法 1 知识点3 分段函数 2 随学随练 2 典型题型 2 题型1：解析式表示函数 2 题型2：已知函数类型求解析式 3 题型3：已知求 3 题型4：方程组法求函数解析式 4 题型5：分段函数定义域、值域求解 4 题型6：分段函数求值、已知分段函数函数值求自变量 5 题型7：已知分段函数函数值求参数 5 课后练习 6 答案与详细解析 7 本章复习小结 9 教学目标 课标要点 · 掌握函数三种表示方法：解析法、列表法、图象法； · 掌握求函数解析式常见方法：待定系数法、换元法、配凑法、方程组法； · 会已知复合形式求解析式； · 理解分段函数概念，求分段函数定义域、值域； · 会分段函数求值，已知分段函数函数值求自变量、参数； · 能处理分段函数简单性质与应用问题。 重难点 重点：求函数解析式（待定系数、换元配凑、方程组法）；分段函数求值。 难点：换元法求解析式注意新元范围；分段函数已知函数值求参；方程组法构造等式。 知识点 知识点1 函数的三种表示法 · 解析法：用数学表达式表示两个变量之间对应关系；优点便于计算研究。 · 列表法：列出表格表示自变量与函数值对应；优点直接读取函数值。 · 图象法：用图象表示函数；优点直观看到函数变化趋势。 知识点2 求函数解析式常用方法 1. 待定系数法：已知函数类型（一次、二次等），设出解析式，代入条件求解系数。 1. 换元法（配凑法）：已知求；令，解出用表达，代入原式得到；必须标注取值范围，即定义域。 1. 配凑法：对表达式变形，凑出整体形式，直接写出。 1. 方程组法（赋值法）：对含有或者等式，构造另外一个方程，联立方程组解出。 知识点3 分段函数 在定义域不同部分，有不同对应关系的函数叫做分段函数。 · 分段函数是一个函数，不是多个函数； · 定义域：各段自变量取值集合的并集；值域：各段函数值集合的并集； · 求值时先判断自变量落在哪一段区间，再代入对应段解析式； · 分段点要注意归属，不能重复、不能遗漏。 随学随练 1. 已知是一次函数，，则 。 1. 已知，则 。 1. 分段函数，则 。 1. 若，则 。 典型题型 题型1：解析式表示函数 解题贴士：解析法、列表法、图像法都可以表示函数；图像用竖线判别，任意仅有唯一。 例1（24‑25高一·广州月考）下列方式可以表示函数的是（ ） A. ， B. 表格： C. ​ D. 圆心在原点的圆图像 解析：A一对多；B同一个对应两个；D存在对应两个；C解析法表示函数。答案C。 对点练（举一反三） 1. （24‑25高一·石家庄期中）下列可以作为函数的表示的是（ ） A. ​ B. ​ C. ​ D. ​ 1. （24‑25高一·南京阶段检测）已知下表为函数，求的值。 1. （25‑26高一·武汉月考）判断：一个函数只能用解析法表示？说明理由。 题型2：已知函数类型求解析式 解题贴士：已知一次：；二次：，代入条件列方程求解参数。 例2（24‑25高一·济南期中）已知二次函数，，，，求。 解析：设； 。 对点练（举一反三） 1. （24‑25高一·长沙月考）已知为一次函数，，求。 1. （24‑25高一·福州期中）二次函数过点，求。 1. （25‑26高一·成都阶段检测）已知是二次函数，，求。 题型3：已知求 解题贴士：换元一定要注意换元之后新变量取值范围，即为定义域；配凑法观察整体结构。 例3（24‑25高一·武汉联考）已知，求。 解析：配凑法：，把整体替换成，得，故，定义域。 换元法验证：令， ，，。 对点练（举一反三） 1. （24‑25高一·天津月考）已知，求。 1. （24‑25高一·沈阳期中）已知，求。 1. （25‑26高一·哈尔滨阶段）已知，求，标注定义域。 题型4：方程组法求函数解析式 解题贴士：看到同时含有与或者与，构造另外一个等式联立消元求解。 例4（24‑25高一·太原期中）已知，求。 解析： ： 。 对点练（举一反三） 1. （24‑25高一·贵阳月考）已知，求。 1. （24‑25高一·西安联考）已知，，求。 1. （25‑26高一·重庆阶段）已知，求。 题型5：分段函数定义域、值域求解 解题贴士：定义域取各段自变量范围的并集；值域取每一段函数输出集合的并集；分段函数是一个函数。 例5（24‑25高一·郑州期中）求分段函数 的定义域和值域。 解析： 定义域：。 当，； 当，； 值域取并集：。 对点练（举一反三） 1. （24‑25高一·南宁月考）已知，求定义域、值域。 1. （24‑25高一·呼和浩特期中）已知，求值域。 1. （25‑26高一·福州阶段）已知，求定义域、值域。 题型6：分段函数求值、已知分段函数函数值求自变量 解题贴士：已知自变量，先判断在哪一段，代入对应解析式；已知函数值求自变量，分段列方程，解完必须检验解是否落在本段自变量区间，舍去不在区间内的解。 例6（24‑25高一·济南联考）已知 (1)求；(2)若，求的值。 解析： (1)；。 (2)分两种情况： ①当：，不满足，舍去； ②当：或；只有满足。 综上：。 对点练（举一反三） 1. （24‑25高一·合肥月考） ，求。 1. （24‑25高一·石家庄期中） ，若，求的值。 1. （25‑26高一·成都月考） ，若，求的值。 题型7：已知分段函数函数值求参数 解题贴士：自变量含参数，确定自变量落在哪一段；或者已知某函数值，反求分段表达式里面的参数，注意分段点。 例7（24‑25高一·天津联考）已知 ，求实数的值。 解析：属于第一段，代入第一段解析式： 。 对点练（举一反三） 1. （24‑25高一·长沙期中） ，，求的值。 1. （24‑25高一·哈尔滨月考） ，已知，求取值范围。 1. （25‑26高一·太原阶段） ，且在分段点处函数连续，求的值。 课后练习 1. 已知是一次函数，，求的解析式。 1. 已知，求的解析式。 1. 已知，求的解析式。 1. 分段函数，求定义域与值域。 1. ，求；若，求的值。 1. 二次函数，，，，求的解析式。 1. 已知，求（提示：配凑，注意定义域）。 1. ，，求参数的值。 答案与详细解析 随学随练解析 1. ；解析：设，。 1. ；解析：令代入。 1. ；，代入第一段。 1. ；联立方程组解得。 题型1解析 对点练 1. B；A同一个对应两个值；C、D一对多，不是函数。 1. 。 1. 错误；函数可以解析法、列表法、图象法多种方式表示。 题型2解析 对点练 1. 设，，解得；。 1. 零点，设，代入：；。 1. 零点；设，代入：；。 题型3解析 对点练 1. 令； ；。 1. 令，； ；。 1. 令，则，； ； 。 题型4解析 对点练 1. ，消元解得。 1. ，消元：； 。 1. ，解得。 题型5解析 对点练 1. 定义域；，；，；值域。 1. ，；，；值域。 1. 定义域；，；，；值域。 题型6解析 对点练 1. ，。 1. ①，，符合；②，，符合；解或。 1. 分段讨论： ：舍去； ：，都不在区间，舍去； ：符合。得。 题型7解析 对点练 1. 代入第一段：。 1. ，说明落在第二段，故。 1. 处两段函数值相等：。 课后练习解析 1. 设，，解得；。 1. 令，，；。 1. ，消元解得。 1. 定义域； ，；，；值域。 1. ；； ： ：舍去； ：（舍去）； ：舍去；综上。 1. 零点；，代入，； 。 1. ；值域； 。 1. 属于第一段：。 本章复习小结 · 函数三种表示法：解析法、列表法、图象法；一个函数可以用多种形式表达。 · 求解析式方法总结： · 已知函数类型用待定系数法； · 已知求使用换元法或者配凑法，换元务必标注新元取值范围； · 同时含有或者，用方程组法联立消元。 · 分段函数是一个函数；定义域各段取并集，值域各段取并集。 · 分段函数求值：先判断自变量属于哪一段；已知函数值求自变量，分段列方程，解完一定要检验解是否落在对应区间，舍去无效解。 · 已知分段函数函数值求参数，注意自变量落在哪一段，注意分段点归属。 学科网（北京）股份有限公司 $