第4讲 二次函数的应用 优等生讲义 (知识梳理＋典例＋压轴＋练习) 2026−2027学年浙教版九年级数学上册

第4讲 二次函数的应用 优等生讲义 2026-2027 浙教版九年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 会用二次函数解决营销利润问题 · 会用二次函数求最大面积（周长）问题 · 能建立二次函数模型解决轨迹类问题 · 会用二次函数解决拱桥（抛物线形）问题 · 会用二次函数解决几何、行程等综合应用问题 📚 知识梳理 ☆ 1.1.1 二次函数的应用_营销问题 利润=单件利润×销量，销量随售价变动 设售价为x，用二次函数表示总利润y 利用顶点坐标求最大利润，注意自变量取值范围（x的限定区间） 对称轴在限定区间外时，用区间端点比较最值 概念辨析例题：某商品进价40元，售价60元，每星期卖出300件；零售价每降价1元多卖出20件，求每星期利润最大时的售价与最大利润． 解析：设降价x元，销量300+20x件，单件利润(20-x)元，y=(20-x)(300+20x)=-20x²+100x+6000，对称轴x=2.5，最大利润y=6125元，售价57.5元． ☆ 2.1.2 二次函数的应用_最大面积 用篱笆/栅栏围矩形：一边靠墙时设另一边为x表示面积 面积S是x的二次函数，配方求最大值 注意墙长、总长度等限制条件确定自变量范围 当对称轴在取值范围内时取顶点最值，否则取端点最值 概念辨析例题：用总长80m的栅栏围矩形实验田，一边靠墙（墙长42m），求最大面积． 解析：设垂直于墙的边为x，平行于墙的边为(80-2x)，S=x(80-2x)=-2x²+80x，对称轴x=20，S最大=800m²（此时平行边40m<42m可行）． ☆ 3.1.3 二次函数的应用_轨迹问题 抛球、投篮、喷泉等运动轨迹可近似看作抛物线 建立平面直角坐标系，用已知点求解析式 由解析式求特定高度对应的水平距离或落地时间 注意定义域：时间t≥0、距离x≥0等实际限制 概念辨析例题：小球飞行高度h=20t-5t²，求飞行时间范围及最高点． 解析：h=-5(t-2)²+20，顶点(2,20)，最高20m在t=2s；令h=0得t=0或4，飞行时间0≤t≤4． ☆ 4.1.4 二次函数的应用_拱桥问题 拱桥、隧道截面常为抛物线形，以拱顶为原点建系 已知拱高、跨度等条件设y=ax²求解析式 求水面宽度：由高度确定水位对应点的横坐标差 注意坐标系选取不同会改变解析式形式 概念辨析例题：抛物线形拱桥，拱顶离水面2m，跨度4m，求水面下降1m后水面宽度． 解析：建系使拱顶在原点，设y=-ax²，过(2,-2)得a=1/2，y=-x²/2；水位下降1m时y=-3，x=±，水面宽2． ☆ 5.1.5 二次函数的应用_几何问题 几何图形中动点产生线段长度、面积的变化关系 设运动时间为t或某线段长为x，建立二次函数关系 结合几何性质（勾股、相似、面积公式）列式 求最值时注意变量的实际取值范围 概念辨析例题：正方形边长4截去一角成五边形，P在AB边上运动，求某面积S与AP长x的函数关系及最值． 解析：根据截角图形分割面积，S可表示为x的二次函数，配方后结合x范围(0≤x≤4)求最值． ☆ 6.1.6 二次函数的应用_行程问题 刹车距离与速度（时间）常呈二次函数关系 根据实验数据用待定系数法求解析式 由实际情境（限速、安全距离）求变量范围 综合实际意义判断解是否合理 概念辨析例题：汽车刹车距离s与车速v满足s=av²+bv，已知两组数据求解析式并判断超速． 解析：代入两组数据建立方程组求a、b，得到s关于v的二次函数，再代入限速值检验刹车距离是否超限． ☆ 7.1.7 二次函数的应用_其他问题 将实际问题抽象为二次函数模型 确定自变量与实际意义对应的取值范围 利用图象与性质求最优解 验证解的合理性并作答 概念辨析例题：某情境中变量y与x满足二次函数关系，求y取最大值时x的值． 解析：把解析式配方成顶点式，结合x的实际范围确定最大值对应的x． 📋 知识总结表 类型 建模要点 注意点 营销利润 利润=单件利润×销量 自变量区间限制 最大面积 面积S=边长×边长 靠墙与墙长限制 轨迹问题 抛物线顶点式建系 定义域限制 拱桥问题 以拱顶为原点建系 坐标系选取 几何问题 动点关系列式 变量取值范围 行程问题 刹车距离二次关系 实际意义验证 ⚠️ 核心考点 【考点1：营销问题】 · 利润=单件利润×销量，销量随售价变化。 · 设售价（或降价）为自变量，建立总利润的二次函数 · 配方求最大利润，注意售价的限定范围 · 对称轴不在范围内时比较端点值 1．（2026•甘肃校级模拟）便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周的利润y（单位：元）与每件销售价x（单位：元）之间的关系满足y＝﹣2（x﹣20）2+1558，由于某种原因，价格需满足15≤x≤18，那么一周可获得的最大利润是（　　） A．1508元 B．1550元 C．1554元 D．1558元 【考点】二次函数的应用_营销问题． 【分析】根据顶点式得到二次函数的开口方向和对称轴，结合二次函数的增减性即可在给定范围内求出最大值． 【解答】解：发现一周的利润y（单位：元）与每件销售价x（单位：元）之间的关系满足y＝﹣2（x﹣20）2+1558， ∵y＝﹣2（x﹣20）2+1558，且﹣2＜0， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝20， ∴当x＜20时，y随x的增大而增大， ∵15≤x≤18＜20， ∴当x＝18时，y取得最大值， 将x＝18代入解析式得y＝﹣2×（18﹣20）2+1558＝1550， 即一周可获得的最大利润是1550元． 故选：B． 【点评】本题考查二次函数的应用，正确进行计算是解题关键． 2．（2025秋•埇桥区校级期末）某公司销售一种藜麦，成本价为30元/千克，若以35元/千克的价格销售，每天可售出450千克．当售价每涨0.5元/千克时，日销售量就会减少15千克．若使日销售利润最大，则销售价格应定为（　　）元/千克． A．42 B．40 C．38 D．35 【考点】二次函数的应用_营销问题． 【分析】通过设变量建立利润与销售价格的二次函数关系式，利用二次函数开口向下的性质，求顶点对应的销售价格即为利润最大时的价格． 【解答】解：设销售价格定为m元/千克，日销售利润为W元， ∵每千克利润为（m﹣30）元， 售价较35元上涨了（m﹣35）元，每涨0.5元日销量减少15千克，故日销量减少千克， ∴实际日销售量为450﹣30（m﹣35）＝（1500﹣30m）千克， 则W＝（m﹣30）（1500﹣30m）， 展开整理得W＝﹣30m2+2400m﹣45000， ∵二次项系数﹣30＜0，函数图象开口向下，存在最大值， ∴当时，W取得最大值． 即销售价格应定为40元/千克． 故选：B． 【点评】本题考查二次函数在实际销售问题中的最值应用，掌握其相关知识点是解题的关键． 3．（2026•和平区校级开学）已知某商品每件的进价为40元，售价为每件60元，每星期可卖出该商品300件．根据市场调查反映：商品的零售价每降价1元，则每星期可多卖出该商品20件．有下列结论： ①当售价为57元时，每星期可卖360件； ②每星期的利润为5850元时，可以将该商品的零售价定为55元或59元； ③每星期的最大利润为6125元． 其中，正确结论的个数是（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 【考点】二次函数的应用_营销问题；一元二次方程的应用． 【分析】设降价x元，可得每件利润为（20﹣x）元，销售量为（300+20x）件，依次验证三个结论，利用一元二次方程和二次函数的性质即可判断． 【解答】解：设商品降价x元，则售价为（60﹣x）元．，每件利润为（60﹣x﹣40）＝（20﹣x）元，每星期销售量为（300+20x）件． ①：∵售价为57元， ∴60﹣x＝57，得x＝3， ∴销售量＝300+20×3＝360（件），故①正确； ②：当利润为5850元时，根据题意，得（20﹣x）（300+20x）＝5850， 整理得x2﹣5x﹣7.5＝0， 若零售价为55元，即60﹣x＝55，则x＝5，代入方程左边得52﹣5×5﹣7.5＝﹣7.5≠0， 若零售价为59元，即60﹣x＝59，则x＝1，代入方程左边得12﹣5×1﹣7.5＝﹣11.5≠0，故②错误； ③：设每星期利润为y元，则y＝（20﹣x）（300+20x）， 整理得y＝﹣20x2+100x+6000， 配方得y＝﹣20（x﹣2.5）2+6125， ∵﹣20＜0， ∴当x＝2.5，y取得最大值6125，故③正确； 综上所述，正确结论共2个， 故选：B． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用等，掌握其相关知识点是解题的关键． 4．（2026•南海区模拟）某商店销售一种玩具，每件的进货价为40元，经市场调研，当该玩具每件的销售价为50元时，每天可销售200件；当每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件，现该商店决定涨价销售，若该玩具每件销售价不低于57元，则销售该玩具每天获得的利润w最大为　2210　 元． 【考点】二次函数的应用_营销问题． 【分析】根据每件利润乘以总销售量得到利润的二次函数解析式，再结合二次函数的性质和给定的自变量取值范围求解最大利润． 【解答】解：设每件玩具涨价x元，当该玩具每件的销售价为50元时，每天可销售200件；当每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件， 则利润w＝（50+x﹣40）（200﹣10x）＝﹣10x2+100x+2000＝﹣10（x﹣5）2+2250， ∵每件销售价不低于57元销售， ∴50+x≥57，解得x≥7， ∵﹣10＜0，抛物线开口向下，当x＞5时，w随x的增大而减小， ∴当x＝7时，w有最大值，为w＝﹣10×（7﹣5）2+2250＝2210， ∴最大利润w为2210元． 故答案为：2210元． 【点评】本题考查二次函数的应用，正确进行计算是解题关键． 5．（2026•德州）某水果店单件水果售价y1（元）与销售月份x满足一次函数关系y1＝﹣2x+21，单件水果进价y2（元）与销售月份x满足二次函数关系，二次函数的图象如图所示，抛物线顶点为（6，3）并且经过（3，12），则这个水果店在一年中的最高单件水果利润为　7　 元． 【考点】二次函数的应用_营销问题． 【分析】依据题意，先求解，设单件水果利润为：W元，可得w＝y1﹣y2再进一步求解即可． 【解答】解：由题意，设， 把（3，12）代入得：9a+3＝12， ∴a＝1， ∴抛物线为， 设单件水果利润为W元， ∴W＝y1﹣y2＝﹣2x+21﹣x2+12x﹣39 ＝﹣x2+10x﹣18 ＝﹣（x﹣5）2+7， ∵a＝﹣1＜0， ∴当x＝5时，单件利润W的最大值为7元． 故答案为：7． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 6．（2026•鼓楼区校级模拟）已知某商品的月利润是其涨价额的二次函数，且存在最大值．商家先将该物品涨价8元，月利润增多；又涨价4元，发现月利润更多了，于是商家想知道涨价多少元时利润最大．记涨价t元时，利润最大，则t的取值范围是t＞10　 ． 【考点】二次函数的应用_营销问题． 【分析】依据题意，设月利润为y元，涨价额为x元，由商品的月利润是其涨价额的二次函数，且存在最大值，可得其函数图象是抛物线，且开口向下，从而抛物线上的点离对称轴越近函数值越大，结合商家先将该物品涨价8元，月利润增多；又涨价4元，发现月利润更多了，从而若令x＝8，y＝y1；令x＝12，y＝y2，则y1＜y2，又记涨价t元时，利润最大，故|12﹣t|＜|8﹣t|，最后计算可以得解． 【解答】解：由题意，设月利润为y元，涨价额为x元， ∵商品的月利润是其涨价额的二次函数，且存在最大值， ∴其函数图象是抛物线，且开口向下， ∴抛物线上的点离对称轴越近函数值越大． 又∵商家先将该物品涨价8元，月利润增多；又涨价4元，发现月利润更多了， ∴若令x＝8，y＝y1；令x＝12，y＝y2，则y1＜y2． ∵记涨价t元时，利润最大， ∴|12﹣t|＜|8﹣t|． ∴t＞10． 故答案为：t＞10． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 7．（2026•南京一模）某超市销售一种书包，平均每天可销售100件，每件盈利30元．试营销阶段发现：该商品每件降价1元，超市平均每天可多售出10件．设每件商品降价x元时，日盈利为w元．据此规律，在上述条件不变的情况下，求每件商品降价x＝　10　 元时，超市的日盈利最大． 【考点】二次函数的应用_营销问题． 【分析】根据每件商品的盈利×可卖出商品的件数＝利润w，化为一般式后，配方可得结论． 【解答】解：设每件商品降价x元时，利润为w元． 根据题意得：w＝（30﹣x）（100+10x）＝﹣10x2+200x+3000＝﹣10（x﹣10）2+4000， ∵﹣10＜0， ∴w有最大值， 当x＝10时，商场日盈利最大，最大值是4000元； 答：每件商品降价10元时，超市日盈利最大，最大值是4000元， 故答案为：10． 【点评】本题考查了二次函数的应用；得到可卖出商品数量是解决本题的易错点；得到总盈利的等量关系是解决本题的关键． 【考点2：最大面积问题】 · 用总长度表示两邻边，面积化为二次函数。 · 配方求最大值 · 墙长限制平行边长度，决定自变量范围 · 范围端点需代入比较 8．（2025秋•章贡区期末）如图，要围一个矩形菜园ABCD，其中一边AD是墙，且AD的长不能超过26m，其余的三边AB，BC，CD用篱笆，且这三边的和为40m．有下列结论： ①AB的长可以为6m； ②AB的长有两个不同的值满足菜园ABCD面积为192m2； ③菜园ABCD面积可以达到220m2． 其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【考点】二次函数的应用_最大面积；一元二次方程的应用． 【分析】设AD边长为xm，则AB边长为长为，根据AB＝6列出方程，解方程求出x的值，根据x取值范围判断①；根据矩形的面积＝192，解方程求出x的值可以判断②；设矩形菜园的面积为ym2，根据矩形的面积公式列出函数解析式，再根据函数的性质求函数的最值可以判断③． 【解答】解：矩形菜园ABCD中，AD的长不能超过26m，其余的三边AB，BC，CD的和为40m，设AD边长为xm，则AB边长为长为， 当AB＝6时，， 解得：x＝28， ∵AD的长不能超过26m， ∴x≤26， 故①的结论不正确，不符合题意； ∵菜园ABCD面积为192m2， ∴， 整理得：x2﹣40x+384＝0， 解得：x＝24或x＝16， ∴AB的长有两个不同的值满足菜园ABCD面积为192m2， 故②结论正确，符合题意； 设矩形菜园的面积为ym2， 根据题意得：， ∵， ∴当x＝20时，y有最大值，最大值为200， 故③的结论不正确，不符合题意． ∴正确结论的个数是1个， 故选：B． 【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用、二次函数的应用，找到等量关系，准确地列出函数解析式和方程是解题的关键． 9．（2025秋•鞍山期末）如图，利用一面墙，用40米长的篱笆围成一块矩形场地，如果墙长为25米，那么围成矩形场地的最大面积是（　　） A．150m2 B．200m2 C．250m2 D．400m2 【考点】二次函数的应用_最大面积． 【分析】设AB＝x米，则BC＝（40﹣2x）米，表示出矩形场地的面积，利用二次函数的性质即可解答． 【解答】解：如图，用40米长的篱笆围成一块矩形场地，如果墙长为25米， 设AB＝x米，则BC＝（40﹣2x）米， ∴40﹣2x≤25， 解得：， 令矩形场地的面积为y＝x（40﹣2x）＝﹣2（x﹣10）2+200， ∴当x＝10时，y有最大值200， ∴围成矩形场地的最大面积是200m2， 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数的应用，熟练利用二次函数的性质是解题的关键． 10．（2025秋•上城区校级期中）某农场拟建两间矩形饲养室，其中一面靠现有墙（墙的长度为16米），另外三面及中间用围栏隔开，并在如图所示的三处各留1米宽的门，已知计划中的围栏材料（不包括门）总长为33米，则能建成的饲养室面积最大为（　　）平方米． A．54 B． C．108 D． 【考点】二次函数的应用_最大面积． 【分析】根据题意，设中间隔开的墙长为xm，能建成的饲养室总占地的面积为S，先根据墙的长度为16米，求出，再求出S＝﹣3（x﹣6）2+108，利用二次函数的性质即可求解． 【解答】解：设中间隔开的墙长为xm，能建成的饲养室总占地的面积为Sm2， ∵33+3﹣3x≤16， ∴， 根据题意得，S＝x（33+3﹣3x）＝﹣3x2+36x＝﹣3（x﹣6）2+108， ∵﹣3＜0，且， ∴当时，S取得最大值，最大值为， 则能建成的饲养室面积最大为平方米． 故选：D． 【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键． 11．（2026秋•南开区校级月考）如图，某矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成面积为1：2的两个矩形，已知栅栏的总长度为24m，当较小矩形的宽为xm时，矩形养殖场的总面积最大为ym2，则x，y的值为 x，y　 ． 【考点】二次函数的应用_最大面积． 【分析】根据题意可得：y＝3•x＝﹣3（x﹣4）2+48，即可求解． 【解答】解：根据题意可得：y＝3•x＝﹣3（x﹣4）2+48， 又∵3x≤10，且x＞0， ∴0＜x， ∴当x时，y有最大值为：， 故答案为：x，y． 【点评】本题主要考查二次函数的实际应用，解题的关键是要注意自变量的范围． 12．（2026•衡东县自主招生）用长为L米的铁丝围成一个矩形或正方形，则其所围成的最大面积为　　 平方米． 【考点】二次函数的应用_最大面积． 【分析】根据周长先表示出图形的边长再利用面积公式写出S与l的关系，再根据二次函数的性质讨论最值． 【解答】解：设矩形的一边长是x米，面积为S平方米，则邻边长是（）米， ∴S， ， ∵﹣1＜0， ∴当时， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查了矩形的面积公式，二次函数的性质． 13．（2026•泰州模拟）数学兴趣小组的同学在“综合与实践”活动中，用总长为60m的栅栏围一个一边靠墙的矩形花圃．设与墙垂直的边的长为xm，花圃的面积为Sm2．则S关于x的函数表达式为S＝﹣2x2+60x ，当x＝　15　 时，S可以取得最大值． 【考点】二次函数的应用_最大面积． 【分析】设与墙垂直的边的长为xm，根据题意列出方程即可． 【解答】解：设与墙垂直的边的长为xm， ∴与墙平行的一边长为（60﹣2x）， ∴S＝（60﹣2x）x＝﹣2x2+60x， ∵S＝﹣2（x﹣15）2+450， ∴x＝15时，S可取最大值，为450． 故答案为：S＝﹣2x2+60x，15． 【点评】本题考查二次函数的应用，正确进行计算是解题关键． 14．（2024秋•北川县期末）用一根长60cm的铁丝围成一个矩形，则矩形的最大面积为 　225　 cm2． 【考点】二次函数的应用_最大面积． 【分析】先设出矩形的长，即可得到宽，然后即可表示表示出面积，再化为二次函数的顶点式，即可求得该矩形的最大面积． 【解答】解：设矩形的长为xcm，则宽为（30﹣x）cm，面积为Scm2， S＝x（30﹣x）＝﹣x2+30x＝﹣（x﹣15）2+225， ∴该函数图象开口向下，当x＝15时，该函数取得最大值225， 故答案为：225． 【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是用二次函数表示出面积与矩形的长的函数关系式． 【考点3：轨迹问题】 · 抛体运动轨迹视为抛物线。 · 建立坐标系后用已知点求解析式 · 由解析式求高度、距离、时间等量 · 注意实际意义确定取值范围 15．（2026•甘州区模拟）如图，体育课上，小强某次掷出的实心球的飞行高度h（m）与水平距离x（m）之间的关系大致为抛物线，则小强本次投掷实心球的成绩为（　　） A．8m B．9m C．10m D．3m 【考点】二次函数的应用_轨迹问题． 【分析】根据实心球落地时，高度h＝0，即可求x的值． 【解答】解：令h＝0，则， 解得x＝8或x＝﹣2（舍）， ∴小强本次投掷实心球的成绩为8m， 故选：A． 【点评】本题考查了二次函数的应用，掌握其相关知识点是解题的关键． 16．（2026•阜阳二模）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示．则下列结论不正确的是（　　） A．小球在空中经过的路程是40m B．小球运动的时间为6s C．小球抛出3s时，速度为0 D．当t＝1.5s时，小球的高度h＝30m 【考点】二次函数的应用_轨迹问题． 【分析】根据二次函数图象和性质求解． 【解答】解：A：由图象知小球在空中经过的路程是40×2＝80m；故A是错误的； B：当t＝6时，高度为0，则运动时间是6s，或由图象可知，小球6s时落地，故小球运动的时间为6s，故B是正确的； C：小球抛出3秒时达到最高点，即速度为0，故C是正确的； D：设函数解析式为：h＝a（t﹣3）2+40， 由题意得：a（0﹣3）2+40＝0， 解得：a， ∴h（t﹣3）2+40， 当t＝1.5时，h（1.5﹣3）2+40＝30，故D是正确的； 故选：A． 【点评】本题考查了二次函数图象应用，待定系数法求函数解析式和数形结合思想是解题的关键． 17．（2026•钦州校级一模）市民广场有一个直径16m的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头（喷水头高度忽略不计），各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物OA的顶端A处汇合，水柱离中心3m处达最高5m，如图所示建立直角坐标系．王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8m的他站立时必须在离水池中心O　7　 m以内． 【考点】二次函数的应用_轨迹问题． 【分析】根据题意可得第一象限内抛物线的最高点为（3，5），且经过（8，0），用待定系数法可求出，当y＝1.8时，即可求解． 【解答】解：第一象限内抛物线的最高点为（3，5），且经过（8，0）， ∴可设y＝a（x﹣3）2+5， ∴a（8﹣3）2+5＝0， 解得：， ∴， 当y＝1.8时， ， 解得：x1＝7，x2＝﹣1（舍去）， 当x＝0时， ， 第二象限的抛物线同理可求， ∵不被淋湿， ∴为了不被淋湿，身高1.8m的他站立时必须在离水池中心O7m以内； 故答案为：7． 【点评】本题考查了二次函数的应用，能从实际意义中找出顶点坐标，会用待定系数法求出解析式，理解不被淋湿的条件是解题的关键． 18．（2025秋•番禺区期末）在2025年第十五届全运会10米跳台比赛中，某运动员从起跳到入水的运动轨迹可以近似看作是抛物线的一部分．如图所示，跳台宽度为3m，水池边与跳台支柱之间的宽度为1m（见图中标注）．该运动员的起跳点A距离水面10m，运动过程中的最高点B距离水面11.25m，此时与点A的水平距离为0.5m．根据上述信息，可估计入水点C与池边的水平距离为　4　 m． 【考点】二次函数的应用_轨迹问题． 【分析】建立平面直角坐标系，确定点A、B的坐标和抛物线对称轴，设出抛物线顶点式解析式，代入坐标求解出解析式，进而得到点C的横坐标，即点C与池边的水平距离． 【解答】解：如图，以水面所在的直线为x轴，以跳台支柱所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，并绘制函数图象． 运动员的起跳点A距离水面10m，运动过程中的最高点B距离水面11.25m，此时与点A的水平距离为0.5m． 由题意，得A（3，10），B（3.5，11.25），对称轴为直线x＝3.5． 设抛物线的表达式为y＝a（x﹣3.5）2+k， 则， 解得， ∴y＝﹣5（x﹣3.5）2+11.25， 当y＝0时，﹣5（x﹣3.5）2+11.25＝0， 解得：x＝2（舍去）或x＝5， ∴C（5，0）， ∴OC＝5，5﹣1＝4m． 故答案为：4． 【点评】本题考查二次函数的应用，正确进行计算是解题关键． 19．（2026•秦州区校级模拟）某广场上有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管OA喷出，OA的长为1.5m，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点B到点O的距离为3m．建立平面直角坐标系，水流喷出的高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间近似满足函数关系式y＝ax2+x+c（a≠0），则水流喷出的最大高度为　2m ． 【考点】二次函数的应用_轨迹问题． 【分析】由题意可得，抛物线经过点（0，1.5）和（3，0），把上述两个点的坐标代入二次函数表达式，可求出a和c的值，则抛物线的解析式可求出，再把抛物线解析式化为顶点式即可求出水流喷出的最大高度． 【解答】解：由题意可得，抛物线经过点（0，1.5）和（3，0）， 把上述两个点坐标代入二次函数表达式得： ， 解得：， ∴函数表达式为：， ∵a＜0，故函数有最大值， ∴当x＝1时，y取得最大值，此时y＝2， 答：水流喷出的最大高度为2m， 故答案为：2m． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，掌握其相关知识点是解题的关键． 20．（2026春•海曙区校级期末）一个小球从水平面开始竖直向上发射，小球的高度h（m）关于运动时间t（s）的函数表达式为h＝at2+bt，其图象如图所示．若小球在发射后第2s与第6s时的高度相等，则小球从发射到回到水平面共需时间　8　 （s）． 【考点】二次函数的应用_轨迹问题． 【分析】根据题中已知条件求出函数h＝at2+bt的对称轴t＝4，于是得到结论． 【解答】解：由题意可知：小球在发射后第2s与第6s时的高度相等， 则函数h＝at2+bt的对称轴t4， 故小球从发射到回到水平面共需时间8秒， 故答案为：8． 【点评】本题主要考查了二次函数的实际应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 21．（2026•高新区校级三模）2025—2026赛季中国排球超级联赛是由中国排球协会主办的中国最高级别排球职业联赛，于2025年12月至2026年4月举行．根据国际排球联合会的规定，排球比赛场地为长方形，其长度为18m，宽度为9m，女子排球比赛球网的高度为2.24m．如图，某女子排球运动员在场地边缘的O处训练发球，MN为球网（球网位于球场的中间），AB为球场护栏，且MN，AB均与地面垂直，球场的边界为点K，以点O为原点，垂直于球网的直线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，排球（看作点）从点O的正上方点P（0，2）处发出，排球经过的路径是抛物线L的一部分，其最高点为G（7，3），落地点为点H．（点O，M，H，K，A在同一直线上，图中所有的点均在同一平面内） （1）求抛物线L对应的函数解析式； （2）通过计算判断排球能否越过球网； （3）由于运动员改变了发球点P的位置，使得排球在点K落地后立刻弹起，又形成了一条与L形状相同的抛物线L′，且最大高度为1m．若排球沿L′下落时（包含最高点）能碰到球场护栏，求m的取值范围． 【考点】二次函数的应用_轨迹问题． 【分析】（1）根据待定系数法求解抛物线L对应的函数解析式即可； （2）计算当x＝9时的高度是否高于球网即可； （3）先求出抛物线L′对应的解析式，得出其顶点坐标以及与x轴的交点，即可得出m的取值范围． 【解答】解：（1）由题意可得：设抛物线L对应的函数解析式为y＝a（x﹣7）2+3， 将P（0，2）代入y＝a（x﹣7）2+3， 得2＝a（0﹣7）2+3， 解得， ∴抛物线L对应的函数解析式为． （2）由题可得OM＝18÷2＝9（m）， ∴当x＝9时，， ∵， ∴排球能越过球网． （3）∵抛物线L′的形状与抛物线L相同，且最大高度为1m， ∴设抛物线L′对应的解析式为， ∵抛物线L′过点K（18，0）， ∴， 解得k1＝25，k2＝11（不合题意，舍去）， ∴， ∴抛物线L′的最高点坐标为（25，1）， ∵排球从最高处开始下落，护栏在距离原点25m处，就可能被排球砸到， ∴m≥25， 当排球落地砸到点A时， 把y＝0代入抛物线L′的解析式得， 解得x1＝32，x2＝18（不合题意，舍去）， ∴m≤32， ∴m的取值范围为25≤m≤32． 【点评】本题考查二次函数的应用，正确进行计算是解题关键． 【考点4：拱桥问题】 · 拱桥截面为抛物线，合理建系。 · 用拱高、跨度确定解析式 · 水位变化转化为纵坐标变化求水面宽 · 坐标系列式要准确 22．（2026•龙岗区校级模拟）某湖面上有一座抛物线型拱桥，按如图所示的方式建立平面直角坐标系，得到抛物线的函数解析式为，正常水位时，水面宽AB为16m，此时拱顶O到水面AB的距离为（　　） A．4m B．3m C．2m D．1m 【考点】二次函数的应用_拱桥问题． 【分析】根据题意可得：把x＝8代入为中进行计算，即可解答． 【解答】解：由题意得： 把x＝8代入为中得：y82＝﹣4， ∴B（8，﹣4）， ∴此时拱顶O到水面AB的距离为4m， 故选：A． 【点评】本题考查了二次函数的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键． 23．（2025秋•社旗县期末）图1是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为了一体，最大程度地传承了中国的历史文化．“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图2已知其底部宽度AB为80m，高度为200m，则离地面150m处的水平宽度（即CD的长）为（　　） A．40m B．45m C．50m D．55m 【考点】二次函数的应用_拱桥问题． 【分析】先建立直角坐标系，再根据题意设抛物线的解析式，然后根据点A（﹣40，0）在抛物线上，可求出抛物线的解析式，最后将y＝150代入求出x的值，即可得CD的长． 【解答】解：已知其底部宽度AB为80m，高度为200m， 以底部所在的直线为x轴，以线段AB的垂直平分线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系， ∴A（﹣40，0），E（0，200）， 设y＝ax2+200， 将A（﹣40，0）代入y＝ax2+200， 得0＝a×（﹣40）2+200， ∴， ∴， 将y＝150代入， 得：， ∴x＝±20， ∴C（﹣20，150），D（20，150）， ∴离地面150m处的水平宽度（即CD的长）： CD＝20﹣（﹣20）＝40（m）． 故选：A． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，正确地求出函数解析式是解题的关键． 24．（2025秋•蒙城县期末）如图所示，某建筑物有一抛物线形的大门，小强想知道这道门的高度，他先测出门的宽度AB＝8m，然后用一根长为4m的小竹竿CD竖直地接触地面和门的内壁，并测得AC＝1m，则门高OE为（　　） A．9m B．m C．8.7m D．9.3m 【考点】二次函数的应用_拱桥问题． 【分析】根据所建坐标系，易求A、B、D的坐标，因它们都在抛物线上，所以代入解析式得方程组求解，再求顶点坐标得高度OE长． 【解答】解：由题意得，抛物线过点A（﹣4，0）、B（4，0）、D（﹣3，4）， 设y＝a（x+4）（x﹣4）， 把D（﹣3，4）代入y＝a（x+4）（x﹣4）， 得4＝a（﹣3+4）（﹣3﹣4）， 解得a， ∴y（x+4）（x﹣4）． 令x＝0得y，即（0，）， ∴OE ∴门的高度约为m． 故选：B． 【点评】此题主要考查了二次函数的应用，根据所建坐标系及图形特点，选择合适的函数表达式形式，有利于减小计算量．本题选取交点式较简便． 25．（2026•漳州模拟）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，则水面下降1m时，水面宽度增加　（24）　 m． 【考点】二次函数的应用_拱桥问题． 【分析】根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把y＝﹣1代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案． 【解答】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点， 抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，可求出OA和OB为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2）， 设顶点式y＝ax2+2，代入A点坐标（﹣2，0）， 得：a＝﹣0.5， 所以抛物线解析式为y＝﹣0.5x2+2， 把y＝﹣1代入抛物线解析式得出： ﹣1＝﹣0.5x2+2， 解得：x＝±， 所以水面宽度增加到2米，比原先的宽度当然是增加了24， 故答案为：（24）． 【点评】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键． 26．（2025秋•冷水江市期末）某拱桥的主桥拱近似地看作抛物线，桥拱在水面的跨度OA约为20米，若按如图所示方式建立平面直角坐标系，则主桥拱所在抛物线可以表示为y＝a（x﹣10）2+10，则主桥拱最高点P与其在水中倒影点P′之间的距离为　20　 米． 【考点】二次函数的应用_拱桥问题；镜面对称． 【分析】根据顶点坐标公式求出P点的坐标，进而求出P′的坐标，即可得出结果． 【解答】解：由抛物线解析式可知点P的坐标为（10，10）， 由条件可知点P′的坐标为（10，﹣10）， ∴主桥拱最高点P与其在水中倒影点P′之间的距离为10﹣（﹣10）＝20（米）； 故答案为：20． 【点评】本题考查二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数性质是关键． 27．（2025秋•龙岗区期末）校动会期间，某学校在运动场入口安装了一座充气拱门，拱门呈抛物线状．数学小组想了解拱门的高度，先测量拱门底端距离AB＝8m，再用两根长度为2m的标杆CE、DF垂直于地面且让标杆端点C、D在拱门上，再测量出两标杆间的距离EF＝6m，则此拱门（不考虑拱门自身的粗细大小）的高度为　　 ． 【考点】二次函数的应用_拱桥问题． 【分析】以AB的中点O为原点，以直线AB为x轴，以过点O且与直线AB垂直的直线为y轴建立坐标系，求出经过A、B、D三点的抛物线解析式，再求出该抛物线的顶点纵坐标即可得到答案． 【解答】解：如图，以AB的中点O为原点，以直线AB为x轴，以过点O且与直线AB垂直的直线为y轴建立坐标系， ∵AB＝8m，DF＝2m，EF＝6m， ∴A（﹣4，0），B（4，0），D（3，2）， 设经过A、B、D三点的抛物线解析式为y＝a（x+4）（x﹣4）（a≠0）， ∴2＝a（3+4）（3﹣4）， ∴a， ∴经过A、B、D三点的抛物线解析式为， 当x＝0时，， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了二次函数的实际应用， 28．（2026•封开县一模）如图1，是某景区的一个标志性建筑物——拱门观光台，拱门的形状近似于抛物线，已知拱门的地面宽度为200米，两侧距地面高150米处各有一个观光窗，两窗的水平距离为100米，图2是从实际拱门中得出的抛物线，请你结合数据，求出拱门的高度． 【考点】二次函数的应用_拱桥问题． 【分析】以CD的中垂线为y轴，CD所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，求出A，B，C，D坐标，设出抛物线解析式，用待定系数法求出函数解析式，再令x＝0，求出y的值即可． 【解答】解：解法一：如图所示建立平面直角坐标系， 此时，抛物线与x轴的交点为C（﹣100，0），D（100，0）． 设这条抛物线的解析式为y＝a（x﹣100）（x+100）， ∵抛物线经过点B（50，150）， 可得150＝a（50﹣100）（50+100）， 解得a， ∴抛物线的解析式为y（x﹣100）（x+100）， 当x＝0时，y＝200， ∴拱门的最大高度为200米． 【点评】本题考查的二次函数在实际生活中的应用，根据题意正确的建立坐标轴可使问题简单化，数形结合，很基础的二次函数问题． 【考点5：几何问题】 · 动点问题中设变量表示相关线段。 · 结合勾股、相似、面积公式建立二次函数 · 配方求最值 · 注意自变量实际范围 29．（2026春•永寿县期末）如图，将一张长为20cm，宽为15cm的长方形纸片剪去四个边长为xcm的正方形，制作出一个底面积为ycm2的无盖长方体盒子，则y与x之间的关系式为（　　） A．y＝（20﹣2x）（15﹣2x） B．y＝（20﹣x）（15﹣x） C．y＝x（20﹣2x） D．y＝x（15﹣2x） 【考点】二次函数的应用_几何问题． 【分析】根据题意，无盖长方体盒子的底面是一个长方形，其长和宽分别为原长方形的长和宽减去两个剪去的正方形边长，利用长方形面积公式即可列出关系式． 【解答】解：将一张长为20cm，宽为15cm的长方形纸片剪去四个边长为xcm的正方形，制作出一个底面积为ycm2的无盖长方体盒子，则： 根据题意可得，盒子底面的长为（20﹣2x）cm，宽为（15﹣2x）cm， ∵盒子底面积为ycm2， ∴y＝（20﹣2x）（15﹣2x）． 故选：A． 【点评】本题考查二次函数的应用，正确进行计算是解题关键． 30．（2026•洪山区一模）如图1，点Q从A处出发，沿线段AB向B处运动．设AQ为x（0≤x≤n），PQ2为y．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点D（m，81），且经过E（1，225）和F（n，225）两点．则n的值是（　　） A．22 B．23 C．24 D．25 【考点】二次函数的应用_几何问题；垂线段最短；勾股定理． 【分析】如图，过点P作PG⊥AB于点G，在AB上取点H，使AH＝1，连接PA、PH、PB，根据题意和图象可知PH2＝225，PG2＝81，再根据勾股定理可求得m的值，最后根据抛物线的对称性即可求得n的值． 【解答】解：如图，过点P作PG⊥AB于点G，在AB上取点H，使AH＝1，连接PH、PA、PB， ∵E（1，225）， ∴当x＝1时，动点Q运动到了点H的位置， 则由图象可知，PH2＝225， 当点Q运动到点G的时候，PQ2最小，即PG2＝81，HG＝m﹣1， ∵GH2+PG2＝PH2， ∴（m﹣1）2+81＝225， 解得m＝﹣11（舍去）或m＝13， ∵y关于x的函数图象经过E（1，225）和F（n，225）两点，最低点D（m，81）， ∴点E、F关于抛物线的对称轴对称，抛物线的对称轴为直线x＝m＝13， ∴n＝13+（13﹣1）＝25． 故选：D． 【点评】本题考查了二次函数的应用，勾股定理，垂线段最短，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 31．（2026•鹿城区校级开学）如图1，在矩形ABCD中，AB＝6cm，点E，F同时从点D出发，点E以2cm/s的速度沿D→A→B匀速运动，点F沿D→B匀速运动，当点E运动到终点B时，两点同时停止运动．当点F出发t秒时，△DEF的面积为ycm2．已知y与t的函数关系的图象如图2（曲线OH和GH均为抛物线的一部分），则下列选项中说法错误的是（　　） A．BD＝10cm B．曲线GH的函数表达式为 C．点F的运动速度为1cm/s D．若秒，则△BEF∽△BCD 【考点】二次函数的应用_几何问题． 【分析】依据题意，先抓住t＝4关键时间与关键位置，此时E与A重合，从而求出AD＝8cm，故BD＝10cm，然后再结合图2分析计算可以得解． 【解答】解：由题意，根据图2可得， 当t＝4时，E到达A， ∴AD＝2tcm＝8cm， ∴BD10（cm），故A正确，不合题意； 又当t＝4时，设F的速度为vcm/s， ∴S△DEF＝S△ABD﹣S△BEF ＝24（10﹣4v）×4.8． ∴v＝1cm/s，故C正确，不合题意； 由题意，E运动的总路程为14cm，速度是2cm/秒， ∴0≤t≤7． ∴当E在AB上时，4≤t≤7， ∴S△DEF＝S△ABD﹣S△ADE﹣S△BEF ＝24AE•ADBE•h， ＝24（2t﹣8）×8（14﹣2t）•（10﹣t） ． ∴，故B正确，不合题意； 由题意，当若4， ∴DE＝2tcmcm，DF＝tcmcm． ∴BF＝BD﹣DF＝10（cm）． ∴AE＝AD﹣DE＝8（cm）． ∴BE（cm）． ∴， ∴△BEF∽△BCD不成立，故D错误，符合题意． 故选：D． 【点评】本题主要考查了动点问题的函数图象、二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键． 32．（2026春•秀屿区校级期末）用长度为x的绳子围成一个正方形（接头处忽略不计且绳子无剩余），设正方形的面积为y，写出y与x的函数解析式为　　 ． 【考点】二次函数的应用_几何问题． 【分析】根据题意可知绳子长度为正方形的周长，先由周长求出正方形的边长，再根据正方形面积公式得到y与x的函数解析式，结合实际意义确定自变量的取值范围． 【解答】解：由题意可得，长度为x的绳子围成一个正方形（接头处忽略不计且绳子无剩余），正方形的周长为x， 根据正方形周长公式，正方形的边长为， 根据正方形面积公式，得 ， 因为x表示绳子长度， 所以x＞0， y与x的函数解析式为：． 故答案为：． 【点评】本题考查二次函数的应用，正确进行计算是解题关键． 33．（2026春•莱芜区期末）如图所示，是一个长16m、宽9m的矩形花园，根据需要将它的长缩短xm、宽增加xm，要想使修改后的花园面积达到最大，则x＝　3.5　 m． 【考点】二次函数的应用_几何问题． 【分析】设修改后的花园面积为ym2，根据题意可得：y＝（16﹣x）（9+x），然后进行计算即可解答． 【解答】解：设修改后的花园面积为ym2， 由题意得：y＝（16﹣x）（9+x） ＝﹣x2+7x+144， ∴当x3.5时，y最大， 故答案为：3.5． 【点评】本题考查了二次函数的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键． 34．（2025秋•永康市期中）将一根长8米的铁丝首尾相接围成矩形，设矩形一边长为x米，面积为y，请写出y关于x的表达式为y＝﹣x2+4x ． 【考点】二次函数的应用_几何问题． 【分析】先理解题意再表达另一边的长度为（4﹣x）米，运用矩形的面积公式进行列式，得y＝﹣x2+4x，即可作答． 【解答】解：依题意，另一边的长度为8÷2﹣x＝4﹣x（米）， ∴y＝（4﹣x）x＝﹣x2+4x， 故答案为：y＝﹣x2+4x． 【点评】本题考查了矩形的性质，求二次函数的关系式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【考点6：行程问题】 · 刹车距离与车速（时间）成二次函数关系。 · 用待定系数法由数据求解析式 · 代入具体值解决实际问题 · 检验解是否符合实际 35．（2026•天宁区校级一模）如图是王阿姨晚饭后步行的路程s（单位：m）与时间t（单位：min）的函数图象．其中曲线段AB是以B为顶点的抛物线一部分，下列说法不正确的是（　　） A．25min～50min，王阿姨步行的路程为800m B．5min～20min，王阿姨步行速度由慢到快 C．线段CD的函数解析式为s＝32t+400（25≤t≤50） D．曲线段AB的函数解析式为s＝﹣3（t﹣20）2+1200（5≤t≤20） 【考点】二次函数的应用_行程问题． 【分析】根据函数图象中的信息，利用数形结合及求相关线段的解析式解答即可． 【解答】解：A、25min～50min，王阿姨步行的路程为2000﹣1200＝800m，故A正确，不符合题意； B、在A点的速度为105m/min，在A到B点的平均速度为45m/min，故B错误，符合题意； C、设线段CD的函数解析式为s＝kt+b， 把（25，1200），（50，2000）代入得，， 解得：， ∴线段CD的函数解析式为S＝32t+400（25≤t≤50），故C正确，不符合题意； D、当t＝20时，由图象可得s＝1200m，即抛物线顶点为（20，1200）， 将（5，525）代入s＝a（t﹣20）2+1200（5≤t≤20）得：525＝a（5﹣20）2+1200， 解得a＝﹣3， ∴曲线段AB的函数解析式为s＝﹣3（t﹣20）2+1200（5≤t≤20），故D正确，不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数的应用，一次函数的应用，正确的识别图象、数形结合是解题的关键． 36．（2025•河西区模拟）飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行的时间t（单位：s）的函数解析式为s＝60t﹣1.5t2（0≤t≤20）．有下列结论： ①滑行的时间为2s时，滑行的距离是114m； ②飞机停下前最后10s内滑行的距离是450m； ③飞机着陆后滑行了600m才停下来． 其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【考点】二次函数的应用_行程问题． 【分析】根据二次函数的解析式求得其对称轴即可得出飞机滑行所需时间为20秒及滑行距离为600m，再求出前10秒飞机滑行的距离即可． 【解答】解：当t＝2时，s＝60×2﹣1.5×4＝114，即滑行的时间为2s时，滑行的距离是114m，故①正确； ∵s＝60t﹣1.5t2（t﹣20）2+600，0，抛物线开口向下， ∴当t＝20时，s有最大值，此时s＝600， ∴飞机从落地到停下来共需20秒，滑行距离为600m，故③正确； 飞机前10秒滑行的距离为：s1＝60×10﹣1.5×102＝450（米）， ∴飞机停下前最后10秒滑行的距离为：600﹣450＝150（米），故②错误； 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，明确题意并正确地将二次函数的一般式写成顶点式是解题的关键． 37．（2025秋•连云港期末）飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是y＝60tt2．在飞机着陆滑行中，滑行的最大距离是 　600　 m． 【考点】二次函数的应用_行程问题． 【分析】将函数解析式配方成顶点式求出y的最大值即可得． 【解答】解：∵y＝60tt2（t﹣20）2+600， ∴t＝20时，y取最大值600， 即在飞机着陆滑行中，滑行的最大距离是600m， 故答案为：600． 【点评】本题主要考查二次函数的应用，理解题意得出飞机滑行的最大距离即为y的最大值是解题的关键． 38．（2026•天山区校级模拟）新疆阿勒泰有“中国雪都”之称，很多滑雪爱好者都到将军山滑雪场滑雪．已知滑行距离S（单位：m）与滑行时间t（单位：s）之间的关系是S＝2.5t2+2t．若某滑雪者在山坡上的出发点和终点的距离是176m，他需要　8　 s能到达终点． 【考点】二次函数的应用_行程问题． 【分析】将S＝176代入S＝2.5t2+2t可得，176＝2.5t2+2t，然后求解即可． 【解答】解：将S＝176代入S＝2.5t2+2t可得，176＝2.5t2+2t， 解得t1＝8，t2＝﹣8.8（不符合题意，舍去）， 即某滑雪者在山坡上的出发点和终点的距离是176m，他需要8s能到达终点， 故答案为：8． 【点评】本题考查一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． 39．（2025秋•连云港期末）飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数表达式是，则飞机滑行的最大距离是　600　 m． 【考点】二次函数的应用_行程问题． 【分析】把飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数表达式化为顶点式即可解答． 【解答】解：y＝60t， ∴当t＝20秒时，飞机滑行的最大距离为600米． 故答案为：600． 【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，熟练计算二次函数的最值是解题的关键． 【考点7：其他问题】 · 抽象实际问题为二次函数模型。 · 明确自变量取值范围 · 利用顶点求最优解 · 验证合理性并作答 40．（2026•南京三模）用12米长的围栏围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，小红提出了围成矩形、等腰三角形（底边靠墙）、半圆形这三种方案，最佳方案是（　　） A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．都一样 【考点】二次函数的应用_其他问题；等腰三角形的性质． 【分析】先分别算出各种方案中图形的面积，再比较大小求解． 【解答】解：设围成的图形的面积为ym2， 方案一：设与墙相邻的边长为x米，则另一边为（12﹣2x）米， 由题意得：y＝x（12﹣2x）＝﹣2（x﹣3）2+18， 当x＝3时，y有最大值为18； 方案二：∴等腰三角形的腰为6米， 当顶角为直角时，面积最大，为：6×6＝18； 方案三：设圆的半径为r米，则：πr＝12， 解得：r， ∴yπ（）223， ∵23＞18， 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数的应用，计算图形的面积是解题的关键． 41．（2026春•锦江区校级月考）端午小长假成都某热门景点根据去年人流量预测今年入口处游客数量y（人）与开放时间x（min）近似满足二次函数关系y＝﹣0.2ax2+20ax（a＞0），下列说法正确的是（　　） A．景点开放后，入口处游客数量始终在增加 B．开放100min时，入口处游客数量达到峰值 C．开放40min和60min时，入口处游客数量一样多 D．该函数图象的对称轴是y轴 【考点】二次函数的应用_其他问题． 【分析】依据题意得，y＝﹣0.2ax2+20ax＝﹣0.2a（x2﹣100x+2500﹣2500）＝﹣0.2a（x﹣50）2+500a，从而可以结合二次函数的性质逐项判断得解． 【解答】解：由题意得，y＝﹣0.2ax2+20ax＝﹣0.2a（x2﹣100x+2500﹣2500）＝﹣0.2a（x﹣50）2+500a． A、∵抛物线开口向下，对称轴是直线x＝50， ∴x＜50时y递增，x＞50时y递减，并非始终增加，故A错误； B、由抛物线开口向下，最大值在对称轴直线x＝50处，不是100min，故B错误； C、由题意，开放40min和60min时， ∵40和60关于对称轴直线x＝50对称， ∴50﹣40＝10，60﹣50＝10， ∴抛物线上的对称点函数值相等，两处游客数量相同，故C正确； D、∵对称轴是直线x＝50， ∴不是y轴 （x＝0），故D错误． 故选：C． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 42．（2026•平武县二模）随着电动汽车充电基础设施日趋完善，便捷的出行方式让越来越多的人青睐电动汽车．已知某品牌电动汽车从电量0%开始快充时，累计充电时间y（min）与汽车仪表盘显示的电量x（%）的关系可用二次函数yx近似刻画，而电动汽车行驶过程中汽车仪表盘显示的可行驶里程s（km）与电量x（%）的关系如表所示． 汽车仪表盘显示的电量x（%） 0 10 20 30 40 … 汽车仪表盘显示的可行驶里程s（km） 0 70 140 210 280 … 若王老师驾驶电动汽车前往某地，途经某一充电站，到达该充电站时汽车仪表盘显示的电量为30%，此时到目的地的路程还有490km．若王老师计划在该充电站一次性充电一段时间，在其他地方不再充电，且他到达目的地时汽车仪表盘显示的电量恰好为10%，则充电时间为　　 min． 【考点】二次函数的应用_其他问题． 【分析】由表可知，每行驶70千米，需要10%的电量，根据题意可得，电量需充到80%，根据累计充电时间y（min）与汽车仪表盘显示的电量x（%）的关系，即可求解． 【解答】解：由表可知，每行驶70千米，需要10%的电量， 根据题意可得，电量需充到490÷70×10+10＝80（%）， 在中， 当x＝30时，， 当x＝80时，， ∴充电时间为， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，掌握其相关知识点是解题的关键． 43．（2026•苍溪县模拟）如图是小明借助工具设计的抛物线型帐篷．在抛物线上取A，B，C，D四点，且线段AB，CD都与地面平行，抛物线最高点P到AB的距离为0.6m，AB＝2m，CD＝4m，则点B到CD的距离为　1.8　 m． 【考点】二次函数的应用_其他问题． 【分析】建立平面直角坐标系，求出解析式，然后代入D的横坐标即可． 【解答】解：如图建立坐标系： ∵AB＝2m，CD＝4m，抛物线最高点P到AB的距离为0.6m， ∴B（1，0），P（0，0.6）， 设y＝ax2+0.6，将B（1，0）代入得0＝a+0.6， 解得a＝﹣0.6，即y＝﹣0.6x2+0.6， 当时，y＝﹣0.6×22+0.6＝﹣1.8， 即点B到CD的距离为1.8m， 故答案为：1.8． 【点评】本题考查了二次函数的实际问题，建立恰当坐标系得出抛物线解析式是解决问题的关键． 44．（2026•榆树市二模）如图，某公司“祥云”布艺图案是由一个半圆和左右两支抛物线的一部分组成的，且关于y轴对称．其中半圆与y轴相交于点D，两支抛物线的顶点分别为E，C，与x轴分别相交于点A，B．已知CE＝2，OD＝1.9，AB＝5，则图案中AE这段抛物线的函数表达式为 y（x≤﹣1）　 ． 【考点】二次函数的应用_其他问题． 【分析】记CE与y轴的交点为F，根据图象关于y轴对称且直径CE＝2，OD＝1.9，得出点E（﹣1，﹣0.9），由AB＝5确定出A点坐标，将点A坐标代入左侧抛物线解析式y＝a（x+1）2﹣0.9，求出a的值即可得出答案． 【解答】解：记CE与y轴的交点为F， ∵CE＝2，且半圆关于y轴对称， ∴FE＝FC＝FD＝1， ∵OD＝1.9， ∴OF＝0.9， 则左侧抛物线的顶点E坐标为（﹣1，0.9）， 将点E（﹣1，0.9）代入抛物线解析式得： y＝a（x+1）2， ∵AB＝5， ∴A（，0）， 将A点代入抛物线解析式得：a， ∴y， 故答案为：y（x≤﹣1）． 【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是根据轴对称图形的性质得出点E坐标及待定系数法求函数解析式的能力． 45．（2026•南充模拟）为了充分发挥科技导向作用，某公司计划建立总量为x（单位：万条，x≥100）的行业数据库，经过调研发现：运行总成本y（单位：万元）由基础成本、技术成本、维护成本三部分组成，其中基础成本保持不变为500万元，技术成本与x成正比例，维护成本与x的平方成正比例，运行中得到如表数据： x（单位：万条） 200 300 y（单位：万元） 700 860 （1）求y与x之间的函数关系式； （2）该公司为了实现数据共享，计划吸收会员，每名会员需交纳会员费30万元，已知会员数Q与x之间的关系式为Q＝mx+n，且x＝600时，Q＝1000，且此时公司的利润W（单位：万元）最大，求m、n的值（利润＝会员费﹣运行总成本）． 【考点】二次函数的应用_其他问题． 【分析】（1）利用待定系数法求函数关系式； （2）根据销售利润＝总收益﹣总成本列出函数关系式，然后根据二次函数的性质分析其即可． 【解答】解：（1）设y＝ax2+bx+500，把（200，700），（300，860）代入得， ， 解得， ∴y＝0.002x2+0.6x+500（x≥100）； （2）由题意可知，W＝30（mx+n）﹣（0.002x2+0.6x+500）＝﹣0.002x2+（30m﹣0.6）x+30n﹣500， ∵﹣0.002＜0， ∴当x600时，W有最大值， ∴m＝0.1时，600m+n＝1000， ∴n＝940， ∴m，n的值分别为0.1，940． 【点评】本题考查二次函数的应用，掌握待定系数法求函数解析式，理解题目中收益和成本之间的数量关系及二次函数的性质是解题关键． 💯 课后巩固 复习建议 · 营销利润：利润=单件利润×销量，注意区间限制 · 最大面积：用总长表示边长，配方求最值 · 轨迹与拱桥：合理建系、选对解析式形式 · 几何与行程：设变量、结合性质列式、验证实际 · 所有应用题最后要检验解的合理性 【作业1】（2025秋•丹徒区期末）根据背景素材，探索解决问题． 背景 某公司的一种商品，每件成本为50元，经市场调研，售价为60元时，可销售800件，售价每提高1元，销售量将减少20件，设商品的售价为x（x≥60，且x为整数）元． 问题解决 任务1 当x＝65元时，该种商品的销售量为　700　 件． 任务2 公司销售这批商品获利12000元时，这种商品每件售价是多少？ 任务3 当售价为多少时，销售这种商品的利润最大？最大利润是多少？ 任务4 若该种商品的销售得到当地政府的支持，公司每销售一件商品政府补贴给公司n元（n为正整数）．公司发现当售价为70时，利润最大，则n为　10　 ．（利润＝销售利润+补贴） 【考点】二次函数的应用_营销问题；一元二次方程的应用． 【分析】任务1．该种商品的销售量＝原销售量﹣20×提升的价格； 任务2．根据每件商品的利润×该种商品的销售量＝总利润列方程求解即可； 任务3．设这种商品的利润为w元，这种商品每件售价是m元，求得w关于m的函数解析式，根据二次函数的性质可得最大利润； 任务4．得到新的函数解析式，根据对称轴为70可得n的值． 【解答】解：任务1．当x＝65时，该种商品的销售量为：800﹣20×（65﹣60）＝800﹣100＝700（件）， 故答案为：700； 任务2．设这种商品每件售价是x元， （x﹣50）[800﹣20×（x﹣60）]＝12000， （x﹣50）（800﹣20x+1200）＝12000， （x﹣50）（2000﹣20x）＝12000， 2000x﹣20x2﹣100000+1000x＝12000， 20x2﹣3000x+112000＝0， x2﹣150x+5600＝0， （x﹣70）（x﹣80）＝0， 解得：x1＝70，x2＝80， 答：这种商品每件售价是70元或80元； 任务3．设这种商品的利润为w元，这种商品每件售价是m元， w＝（m﹣50）[800﹣20×（m﹣60）]＝﹣20m2+3000m﹣100000， ∴抛物线的开口向下，对称轴为：直线m＝75， ∴当m＝75时，利润最大，为（75﹣50）[2000﹣20×75]＝25×500＝12500（元）． 答：售价为75元时，销售这种商品的利润最大，最大利润是12500元； 任务4．w＝（m﹣50+n）[800﹣20×（m﹣60）]＝（m﹣50+n）（2000﹣20m）， ∴抛物线的开口向下，对称轴为：直线m75， ∵当售价为70时，利润最大， ∴5， ∴n＝10， 故答案为：10． 【点评】本题考查二次函数的应用．判断出提价后的销售量是解决本题的易错点． 【作业2】（2025秋•宣威市校级期末）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件． （1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ （2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？最多盈利是多少？ 【考点】二次函数的应用_营销问题． 【分析】（1）若设每件衬衫应降价x元，则每件所得利润为（40﹣x）元，但每天多售出2x件即售出件数为（20+2x）件，因此每天盈利为（40﹣x）（20+2x）元，进而可根据题意列出方程求解． （2）列出商场平均每天盈利y与衬衫降价x之间的函数关系式，利用二次函数的性质即可解答． 【解答】解：（1）设每件衬衫应降价x元， 根据题意得（40﹣x）（20+2x）＝1200， 整理得x2﹣30x+200＝0， 解得x1＝20，x2＝10． 因为要尽量减少库存，在获利相同的条件下，降价越多，销售越快， 故每件衬衫应降20元． （2）设商场平均每天盈利y元， 则y＝（20+2x）（40﹣x） ＝﹣2x2+60x+800 ＝﹣2（x﹣15）2+1250， ∵a＝﹣2＜0， ∴当x＝15时，y取最大值，最大值为1250． 答：每件衬衫降价15元时，商场平均每天盈利最多，最大利润为1250元． 【点评】此题考查的是一元二次方程的应用和二次函数的应用，掌握实际问题中的等量关系和利用二次函数求最值是解决此题的关键． 【作业3】（2026•辽阳一模）2026年马年春晚上，四骏吉祥物惊艳亮相——骐骐、骥骥、驰驰、骋骋，每匹都承载着深厚的文物基因，从西周盏驹尊到汉代铜奔马，千年文化密码藏于细节，让这些吉祥物既具有历史美感，又充满时代气象．某商场销售该系列吉祥物玩具，其成本价为每件30元，经市场调研发现，该系列吉祥物玩具的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系，当销售单价为50元时，平均每天可售出40件；当销售单价为40元时，平均每天可售出50件． （1）请你求出该系列吉祥物玩具的销售量y与销售单价x之间的函数关系式； （2）若想让商场平均每天销售该系列吉祥物玩具的利润达到最大，此时的销售单价应定为多少元？最大利润为多少元？ 【考点】二次函数的应用_营销问题． 【分析】（1）依据题意，设一次函数关系式为y＝kx+b（k≠0），结合当x＝50时，y＝40；当x＝40时，y＝50，从而，进而计算可以得解； （2）依据题意，设每天的销售利润为W元，结合单件利润为（x﹣30）元，销售量为 y＝﹣x+90，从而W＝（x﹣30）y＝（x﹣30）（﹣x+90）＝﹣（x﹣60）2+900，进而可以计算得解． 【解答】解：（1）由题意，设一次函数关系式为y＝kx+b（k≠0）， ∵当x＝50时，y＝40；当x＝40时，y＝50， ∴． ∴． ∴所求函数关系式为y＝﹣x+90； （2）由题意，设每天的销售利润为W元， ∵单件利润为（x﹣30）元，销售量为 y＝﹣x+90， ∴W＝（x﹣30）y＝（x﹣30）（﹣x+90） ＝﹣x2+120x﹣2700 ＝﹣（x﹣60）2+900． ∵﹣1＜0， ∴当x＝60时，利润W取最大值，最大值为900． 答：此时的销售单价应定为60元，利润最大，最大利润为900元． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 【作业4】（2025秋•沛县期末）如图，某校劳动实践基地用总长为80m的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为42m．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为x（单位：m），与墙平行的一边长为y（单位：m），面积为S（单位：m2）． （1）直接写出y与x，S与x之间的函数解析式（写x的取值范围）； （2）矩形实验田的面积S能达到750m2吗？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由； （3）当x的值是多少时，矩形实验田的面积S最大？最大面积是多少？ 【考点】二次函数的应用_最大面积． 【分析】（1）根据2x+y＝80，求出y与x的函数解析式，根据矩形面积公式求出S与x的函数解析式； （2）先求出x的取值范围，再将S＝750代入函数中，求出x的值； （3）将S与x的函数配成顶点式，求出S的最大值． 【解答】解：（1）由劳动实践基地用总长为80m的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田可得： 2x+y＝80， ∴y＝﹣2x+80， ∵S＝xy， ∴S＝x（﹣2x+80）＝﹣2x2+80x； ∵y≤42， ∴﹣2x+80≤42， ∴x≥19， ∴19≤x＜40； （2）当S＝750时，﹣2x2+80x＝750， x2﹣40x+375＝0， （x﹣25）（x﹣15）＝0， ∴x＝25或x＝15（舍去）， ∴当x＝25m时，矩形实验田的面积S能达到750m2； （3）将函数解析式化为顶点式可得： S＝﹣2x2+80x＝﹣2（x2﹣40x）＝﹣2（x2﹣40x+400﹣400）＝﹣2（x﹣20）2+800， ∴当x＝20m时，S有最大值800m2． 【点评】本题考查二次函数的应用，计算x的取值范围是解题的关键． 【作业5】（2026•义乌市校级开学）某学校计划建一个长方形种植园，如图，种植园的一边靠墙，其余边用周长为24m的篱笆围成，已知墙a长为10m，设这个种植园垂直于墙的一边长为x（m），种植园面积为y（m2）． （1）求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）根据实际需要，要求这个种植园的面积为45m2，求篱笆AB的长． 【考点】二次函数的应用_最大面积；一元二次方程的应用． 【分析】（1）根据题意可知AB＝CD＝xm，则BC＝（24﹣3x）m，再利用长方形的面积公式求出y与x的函数关系式，再结合题意可得，即可求出自变量x的取值范围； （2）根据题意，代入y＝45到（1）中的函数关系式，求出x的值，再结合x的取值范围即可解答． 【解答】解：（1）由题意得，AB＝CD＝xm， 则BC＝（24﹣3x）m， ∴y＝AB×BC＝x（24﹣3x）＝﹣3x2+24x， 由题意得，， 解得：， ∴； （2）令y＝45，则﹣3x2+24x＝45， 解得x1＝3，x2＝5， 由（1）得，， ∴x＝5， 答：篱笆AB的长为5m． 【点评】本题考查了二次函数的应用，理解题意正确列出函数关系式是解题的关键． 【作业6】（2025秋•天山区校级期末）如图，若被击打的小球飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有的关系为h＝20t﹣5t2，请根据要求解答下列问题： （1）在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？ （2）在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？ 【考点】二次函数的应用_轨迹问题． 【分析】（1）落地即h＝0，由题意得：0＝20t﹣5t2，即可解得t的取值； （2）将函数解析式配方成顶点式可得最值． 【解答】解：（1）由题意得：0＝20t﹣5t2， 解得：t1＝0（不合题意舍去），t2＝4， 答：在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是4s． （2）∵h＝﹣5t2+20t＝﹣5（t﹣2）2+20， ∴当t＝2时，h取得最大值20m； 答：在飞行过程中，小球飞行2秒时高度最大，最大高度是20m． 【点评】本题考查了二次函数的应用，掌握二次函数的最值问题以及利用二次函数图象求不等式是解题的关键． 【作业7】（2026•深圳校级模拟）体育课期间，黄老师和黎老师交流中考实心球项目，他们发现实心球从出手到落地的过程中，球的竖直高度与水平距离一直在相应的发生变化，黄老师利用鹰眼系统记录了邓同学训练时实心球在空中运动时的水平距离x/m与竖直高度y/m的数据如下表．随后，黎老师根据表中的数据建立如图所示的平面直角坐标系．根据图中点的分布情况，他发现其图象是二次函数的一部分，请根据所给信息回答下列问题： 水平距离x/m 0 2 4 5 6 8 9 竖直高度y/m 2 3.2 3.6 3.5 3.2 2 1.1 （1）在投掷过程中，邓同学出手时实心球的竖直高度是　2　 m，实心球在空中的最大高度是　3.6　 m； （2）求图中抛物线的解析式y＝a（x﹣h）2+k； （3）根据深圳中考体育考试评分标准（男生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于或等于9.4米时，即可得满分，邓同学在此次训练中是否得到满分，请说明理由； （4）已知图中抛物线经过M（m，y1），N（m+2，y2）两点，且M，N分别位于对称轴两侧，若在该两点之间的部分函数图象中，函数的最大值与最小值的差为，则m的值为　或　 ． 【考点】二次函数的应用_轨迹问题． 【分析】（1）根据题意得到出手时实心球的竖直高度即为x＝0时y的值，再通过观察表格数据，利用二次函数的对称性确定对称轴和顶点坐标； （2）由（1）知顶点坐标，再利用待定系数法求解即可； （3）令y＝0得到一元二次方程，解方程与9.4米比较即可； （4）根据M，N分别位于对称轴两侧求出m的取值范围，再分情况讨论：求出当M为最低点，或N为最低点时m的值即可． 【解答】解：（1）由题意可知，出手时实心球的竖直高度即为x＝0时y的值， 通过图表可得：当x＝0时，y＝2， 则在邓同学投掷过程中，出手时实心球的竖直高度是2米， 由当x＝2时，y＝3.2；当x＝6时，y＝3.2可得： 对称轴为直线， 则当x＝4时，实心球在空中取得最大高度， 通过图表可得：当x＝4时，y＝3.6， 则实心球在空中的最大高度是3.6米； 故答案为：2，3.6； （2）由（1）得抛物线的顶点坐标为（4，3.6）， 则h＝4，k＝3.6 ∴抛物线的解析式为y＝a（x﹣4）2+3.6， 将（0，2）代入y＝a（x﹣4）2+3.6得： a（0﹣4）2+3.6＝2， 解得：a＝﹣0.1， ∴抛物线的解析式为y＝﹣0.1（x﹣4）2+3.6； （3）邓同学在此次训练中能得到满分，理由如下： 把y＝0代入y＝﹣0.1（x﹣4）2+3.6， 得﹣0.1（x﹣4）2+3.6＝0， 解得x1＝10或x2＝﹣2（不符合题意，舍去）， ∵10＞9.4， ∴邓同学在此次训练中能得到满分； （4）由（1）知，抛物线对称轴为直线x＝4， ∵M，N分别位于对称轴两侧， ∴， 解得：2＜m＜4， 如图，当3≤m＜4时，， 即， 解得：或， ∵与3≤m＜4相矛盾，故舍去， ∴， 如图，当2＜m＜3时，， 即， 解得：或； ∵与2＜m＜3相矛盾，故舍去， ∴； 综上所述，m的值为或． 故答案为：或． 【点评】本题考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象性质是解题的关键． 【作业8】（2026•雁塔区校级一模）如图，熏笼是放在炭盆上的竹罩笼，是古代一种烘烤和取暖的用具．将熏笼开口朝下放在水平桌面上，其截面为抛物线形，如图2，测得熏笼的跨度为80厘米，高度为32厘米，小明以熏笼的左边缘为原点，水平线为x轴建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的表达式； （2）现有一批长8厘米，高6厘米的熏炉套盒要放进熏笼内一起运输，当把熏炉套盒完全放在正中间进行叠放时，这一列最多能叠放几个套盒？ 【考点】二次函数的应用_拱桥问题． 【分析】（1）根据题意得到抛物线的顶点为（40，32），设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣40）2+32，经过原点（0，0），即可求出，得到抛物线的解析式； （2）由题意得熏炉套盒最左侧在x轴的横坐标为x＝36，将x＝36代入，可解得y＝31.68厘米，即可求出答案． 【解答】解：（1）∵熏笼的跨度为80厘米，高度为32厘米， ∴可知抛物线的顶点为（40，32）， 设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣40）2+32， 根据图象可知抛物线经过原点（0，0）， ∴a（0﹣40）2+32＝0， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）由题意得：熏炉套盒最左侧在x轴的横坐标为x＝40﹣8÷2＝36，将x＝36代入， 可解得：y＝31.68， ∵31.68÷6＝5.28（厘米）， ∴这一列最多能叠放5个套盒． 【点评】本题考查了二次函数的图象和性质．正确进行计算是解题关键． 【作业9】（2026•洪洞县二模）综合与实践 问题情境：旧城区改造是提升居民生活品质的重要工程．如图1是某改造小区的大门轮廓、形状可视为抛物线，因通行安全性和美观性不足，计划将其改造为“矩形+近似抛物线”的组合型门，其截面图如图2所示． 数据收集：改造后组合型门宽BC为8米，矩形部分的高AB为2米，抛物线部分的顶点到地面的距离为6米． 数学建模：如图2，以BC所在直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴（抛物线的对称轴），建立平面直角坐标系． 问题解决： （1）求改造后抛物线部分的函数表达式； （2）为保障通行安全，需在距离地面高3.6米的门上安装两个摄像头，用于监控拱门通行情况、求两个摄像头之间的水平距离； （3）已知门正中间设有隔离带（如图中阴影部分所示关于y轴对称），为了安全起见，改造后的大门必须保证消防车等应急车辆能正常通行，若消防车的宽为2.6米，高为3.75米，要保证消防车从大门两通道处均可通过，请直接写出隔离带的宽的最大值（消防车与隔离带的间距忽略不计）． 【考点】二次函数的应用_拱桥问题． 【分析】（1）设抛物线所对应的函数表达式为y＝ax2+6，将点D（4，2）代入所设解析式求出a的值即可得出函数解析式； （2）将y＝3.6代入解析式求出x的值，将所求x的值，再相减可得答案； （3）求出y＝3.75时，求出x的值，再减去2.6，进而可得答案． 【解答】解：（1）连接AD， ∵门宽BC为8米，矩形部分的高AB为2米，抛物线部分的顶点到地面的距离为6米， ∴OC＝4，CD＝AB＝2，E（0，6）， ∴D（4，2）， 设抛物线所对应的函数表达式为y＝ax2+6（a≠0）， 由条件得16a+6＝2，解得， ∴该抛物线所对应的函数表达式为； （2）将y＝3.6代入抛物线，得， 解得：， ∴两个摄像头之间的水平距离为：（米）； （3）将y＝3.75代入抛物线，得， 解得：x1＝3，x2＝﹣3， ∵消防车的宽为2.6米， ∴3﹣2.6＝0.4（米）， ∴隔离带的宽的最大值为0.4×2＝0.8（米）． 【点评】本题考查了二次函数的应用，理解题意，熟练掌握知识点的应用是关键． 【作业10】（2025秋•威海期末）如图，已知边长为4的正方形截取一个角后成为五边形ABCDE，其中AF＝2，BF＝1．P是AB边上的任一点，过P作PN⊥DC于N，PM⊥DE于M，设PN＝x，矩形PNDM的面积为y，当x为何值时，矩形PNDM的面积最大，并求出最大面积． 【考点】二次函数的应用_几何问题． 【分析】延长MP与CF相交于点Q，利用△BPQ与△BFA相似得到对应线段成比例，从而确定函数关系求最值即可． 【解答】解：延长MP与CF相交于点Q， ∵PQ∥AF， ∴△BPQ∽△BAF， ∵PN＝x， ∴PQ＝2x﹣6， ∴CN＝2x﹣6， ∴y＝﹣2x2+10x， 对称轴为直线x＝2.5， 但∵3≤x≤4， ∴当x＝3时，有最大面积，最大面积是﹣2×9+30＝12． 【点评】本题综合考查了二次函数的应用及相似三角形的知识，解题的关键是从实际问题中抽象出二次函数模型，难度不大． 【作业11】（2026•石楼县二模）综合与实践 如图1，这是一款实木茶几，茶几桌面边缘轮廓可认为是由两条抛物线组成的，经测量桌面最大长度MN＝120cm，最大宽度OP＝80cm，桌面竖直轮廓如图2所示，上方抛物线顶点M到OP的距离为100cm，下方抛物线顶点N到OP的距离为20cm，直线MN为竖直轮廓的对称轴，且MN⊥OP．以OP所在直线为x轴，过点O垂直于OP所在直线为y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系． （1）请你直接写出点M的坐标，并求出上方抛物线的函数表达式． （2）如图3，为了美化桌面图案，丰富视觉效果，计划将上方抛物线向下平移19cm，将下方抛物线向上平移若干厘米，两条新抛物线相交于OP上的点E，点F． ①求EF的长； ②直接写出下方抛物线向上平移的距离． （3）如图4，若想在桌面上装一块矩形钢化玻璃ABCD，使得顶点A，B，C，D落在新轮廓上，若AB＝54cm，直接写出AD的长． 【考点】二次函数的应用_几何问题． 【分析】（1）设上方抛物线的函数表达式为y＝a（x﹣40）2+100，代入O（0，0），待定系数法求解析式，即可求解； （2）①先求得平移后的抛物线函数表达式为，令y＝0，求得E，F的坐标，进而求得EF的长； ②设下方抛物线向上平移后新抛物线的函数表达式为，代入E（4，0），求得解析式，进而求得平移的距离； （3）根据AB＝54cm，列出一元二次方程，解方程，即可求解． 【解答】解：（1）上方抛物线顶点M到OP的距离为100cm，最大宽度OP＝80cm， ∴顶点M的坐标为（40，100）． 设上方抛物线的函数表达式为y＝a（x﹣40）2+100．将点O（0，0）代入得： ∴0＝a（0﹣40）2+100， 解得：， ∴上方抛物线的函数表达式为； （2）①将上方抛物线向下平移19cm后，所得抛物线的函数表达式为， 当y＝0时，得：， 解得：x1＝4，x2＝76， ∴E（4，0），F（76，0）， ∴EF＝76﹣4＝72（cm）； ②下方抛物线的函数表达式为， 设下方抛物线向上平移后新抛物线的函数表达式为，将点E（4，0）代入得：， 解得：h＝﹣16.2， ∴新抛物线的函数表达式为， ∴下方抛物线向上平移的距离为﹣16.2﹣（﹣20）＝3.8（cm）； （3）由（2）知上方新抛物线的函数表达式为， 下方新抛物线的函数表达式为， ∴， 解得：x1＝16，x2＝64， ∴AD＝64﹣16＝48（cm）． 【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，抛物线的平移，二次函数的图象与性质，解一元二次方程，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质． 【作业12】（2025秋•平陆县期末）汽车在行驶中，由于惯性，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”，刹车距离是分析事故的一个重要因素．为了测定某种型号汽车的刹车性能（车速不超过140km/h），对这种汽车的刹车距离进行测试，测得的数据如表所示． 刹车时车速v（km/h） 0 5 10 15 20 25 30 刹车距离s（m） 0 0.1 0.3 0.6 1 1.5 2.1 分析数据并完成下列任务： 任务一：以刹车时车速v为横坐标，刹车距离s为纵坐标，在如图所示的平面直角坐标系中描出对应的点，并选用一条适当的曲线近似表示这7组数据中刹车距离与刹车时车速之间的变化趋势； 任务二：根据所画曲线可判断刹车距离与刹车时车速之间的关系为　二次　 函数，求出函数表达式并由这个表达式估计刹车时车速为60km/h时的刹车距离； 任务三：一辆该型号的汽车在高速公路上发生交通事故，现场测得刹车距离约为40m，已知这条高速公路限速100km/h，请根据你确定的函数表达式，通过计算判断在事故发生时，该汽车是否超速行驶； 任务四：在司机踩下刹车前通常有一段反应时间，若某车以72km/h的速度匀速行驶在公路上，在距离该辆汽车30m处的斑马线上有行人通过，那么司机要想在斑马线前将车停下，他的反应时间最多是多少（1m/s＝3.6km/h，结果精确到0.1s）？ 【考点】二次函数的应用_行程问题． 【分析】任务1：描点、连线、画出图象即可； 任务2：利用待定系数法计算即可得出s与v之间的函数表达式； 任务3：求出当v＝100时，s的值，比较即可得出结果； 任务4：先求出刹车距离s，再求出反应距离，除以速度即可得出结果． 【解答】解：任务一：描点、连线、画出图象如解图； 任务二：根据所画曲线可判断刹车距离与刹车时车速之间的关系为二次函数； 设s＝av2+bv+c（a≠0）， 由条件可得， 解得， ∴s＝0.002v2+0.01v（v≤140）， 经检验，其他各组数据均满足该函数表达式（或其他各组数据对应的点均在该函数图象上）， ∴当刹车时车速为60km/h时，刹车距离为0.002×602+0.01×60＝7.8（m）； 任务三：当v＝100时，s＝0.002×1002+0.01×100＝21＜40， ∴在事故发生时，该汽车超速行驶； 任务四：∵该车的行驶速度为72km/h， ∴刹车距离s＝0.002×722+0.01×72＝11.088（m）， ∴30﹣11.088＝18.912（m）， ∵72km/h＝20m/s， ∴司机的反应时间最多为18.912÷20≈0.9（s）． 【点评】本题考查了二次函数的应用，正确求出二次函数的解析式是解此题的关键． 【作业13】（2025秋•沁水县期末）【综合与实践】某数学兴趣小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们走进汽车研发中心考察刹车距离．【知识背景】“道路千万条，安全第一条．”刹车系统是车辆行驶安全的重要保障，由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离． 【探究发现】汽车研发中心设计了一款新型汽车，现在模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶时，对它的刹车性能进行测试．兴趣小组成员记录其中一组数据如下： 刹车后行驶的时间 0 1 2 3 刹车后行驶的距离y 0 27 48 63 发现：①开始刹车后行驶的距离y（单位：m）与刹车后行驶的时间t（单位：s）之间成二次函数关系；②汽车刹车后行驶的距离随刹车后行驶的时间t的增大而增大，当刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止． 【问题解决】请根据以上信息，完成下列问题： （1）求y关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）若汽车刹车4s后，行驶了多长距离； （3）若汽车司机发现正前方70m处有一辆抛锚的车停在路面，立刻刹车，请问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？试说明理由． 【考点】二次函数的应用_行程问题． 【分析】（1）利用待定系数法即可求出y关于t的函数解析式； （2）将 t＝4代入（1）中求出的解析式，即可求出行驶了多长距离； （3）求出（1）中函数的最大值，与70m比较，即可解决问题． 【解答】解：（1）设y关于t的函数解析式为y＝at2+bt+c，将（0，0），（1，27），（2，48）代入得， ， 解得：， ∴y关于t的函数解析式为y＝﹣3t2+30t； （2）由（1）得y关于t的函数解析式为y＝﹣3t2+30t， 当t＝4时，y＝﹣3×42+30×4＝72， ∴汽车刹车4s后，行驶了72米； （3）由（1）得y关于t的函数解析式为y＝﹣3t2+30t， ∴y＝﹣3t2+30t＝﹣3（t﹣5）2+75， ∴当t＝5时，汽车停下，行驶了75米， ∵75＞70， ∴该车在不变道的情况下会撞到抛锚的车． 【点评】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 【作业14】（2026•祁县二模）综合与实践 问题情境： 某游乐园上午10点开园，一个热门过山车项目从开园起开始运行，游客陆续到达并排队．经研究发现，现场总人数y（人）与过山车项目运行时间x（分）之间满足关系式：y＝﹣x2+65x．观众进场立即排队，在任意时刻都满足：排队人数＝现场总人数﹣已入场人数．过山车每趟可载30人，每2分钟发一趟，即平均每分钟服务15人． 建立模型： （1）过山车项目的排队人数m（单位：人）与运行时间x（单位：分）的关系式为m＝﹣x2+50x ； 问题解决： （2）在过山车开始运行的同时，一名工作人员从门口出发，以2.5米/分的速度沿队伍向末端匀速行走．门口位于第一名游客前方0.5米处，假设排队游客每人间距为0.5米，定义队伍长度L（单位：米）为从门口到队伍末端（最后一名游客所在位置）的距离，则L与排队人数m的关系为L＝0.5m． ①工作人员与门口的距离s（单位：米）与运行时间x（单位：分）的关系式为s＝2.5x ； ②当工作人员恰好走到队伍最末端时，求x的值； （3）过山车项目附近有另一个热门项目“海盗船”（两个项目之间的距离忽略不计）．海盗船在x＝20分钟时开始运行，其排队人数w（单位：人）与运行时间t（从海盗船项目开始运行起算，单位：分钟）满足关系式w＝﹣2t2+80t．已知海盗船每趟可载40人，每2分钟发一趟，即平均每分钟服务20人．当两个项目同时存在排队，且两个项目的排队人数恰好相等时，直接写出x的值，并说明此时游客应选择哪个项目排队能更早入场． 【考点】二次函数的应用_其他问题． 【分析】（1）先根据运行时长和每分钟服务人数计算已入场人数，因为排队人数等于现场总人数减去已入场人数，所以代入对应的表达式即可得到m和x的关系式； （2）①因为工作人员匀速行走，速度已知，行走时间为x分钟，所以根据路程＝速度×时间可直接得到s与x的关系式；②当工作人员走到队伍末端时，工作人员与门口的距离等于队伍长度，所以先将L用含m的表达式替换，再将m用含x的表达式替换，得到关于x的方程，解方程即可； （3）首先明确海盗船的运行时间t与过山车运行时间x的关系为t＝x﹣20，再计算海盗船的已入场人数，得到海盗船排队人数关于x的表达式；然后根据两个项目排队人数相等列方程求解x；最后分别计算两个项目当前排队人员全部入场需要的时间，比较大小即可判断选择哪个项目． 【解答】解：（1）根据排队人数＝现场总人数﹣已入场人数可得： 已知总人数y＝﹣x2+65x， 且每分钟服务15人，x分钟已入场人数为15x， m＝y﹣15x＝（﹣x2+65x）﹣15x， 整理得m＝﹣x2+50x． 故答案为：m＝﹣x2+50x； （2）①工作人员从门口出发，速度为2.5米/分，匀速行走x分钟，由条件可得：s＝2.5x； 故答案为：s＝2.5x； ②工作人员走到队伍末端时，s＝L， ∵L＝0.5m，且m＝﹣x2+50x， ∴L＝0.5（﹣x2+50x）＝﹣0.5x2+25x， 令s＝L，s＝2.5x， 即：2.5x＝﹣0.5x2+25x， 解得x1＝45，x2＝0（舍去）， 因此x＝45． （3）海盗船x＝20分钟开始运行， 因此t＝x﹣20（x＞20）， ∴海盗船的排队人数为：总人数﹣已服务人数＝（﹣2t2+80t）﹣20t＝﹣2t2+60t 令m＝w排， 代入t＝x﹣20得：﹣x2+50x＝﹣2t2+60t＝﹣2（x﹣20）2+60（x﹣20）， 整理得x2﹣90x+2000＝0， 解得x1＝40，x2＝50， 当x＝50时，过山车排队人数m＝﹣502+50×50＝0， 不符合“两个项目同时存在排队”，故舍去， ∴x＝40， 此时两个项目排队人数均为m＝﹣402+50×40＝400， 过山车每分钟服务15人，需要等待分钟， 海盗船每分钟服务20人，需要等待分钟， 因此选择海盗船能更早入场． 【点评】本题考查了二次函数的应用，理解题意，熟练掌握知识点的应用是关键． 【作业15】（2026•舒城县校级模拟）综合与实践 【问题背景】排队是生活中常见的场景．如图，某数学小组针对进场看某次演出，研究了进场过程中排队人数与安检时间、安排通道数之间的关系． 【研究条件】 条件1：观众进场立即排队安检，在任意时刻都满足：排队人数＝现场总人数﹣已入场人数； 条件2：该演出场地最多可开放9条安检通道，平均每条通道每分钟可安检6人． 【模型构建】若该演出前30分钟开始进行安检，经研究发现，现场总人数y与安检时间x之间满足关系式：y＝﹣x2+60x+100（0≤x≤30）． 结合上述信息，请解决下列问题： （1）当开通3条安检通道时，安检时间x分钟时，已入场人数为　18　 ，排队人数w与安检时间x之间的函数关系式为w＝﹣x2+42x+100（0≤x≤30）　 ． 【模型应用】 （2）在（1）的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？ 【考点】二次函数的应用_其他问题． 【分析】（1）根据题意列出已入场人数和现场总人数，再根据排队人数＝现场总人数﹣已入场人数列出函数关系式即可； （2）根据二次函数的性质求出最值即可． 【解答】解：（1）根据题意列出已入场人数和现场总人数，再根据排队人数＝现场总人数﹣已入场人数列出函数关系式如下： 当开通3条安检通道时，安检时间x分钟，已入场人数为：3x×6＝18x（人）， ∵排队人数＝现场总人数﹣已入场人数，现场总人数y与安检时间x之间满足关系式：y＝﹣x2+60x+100（0≤x≤30） ∴w＝y﹣18x＝﹣x2+60x+100﹣18x＝﹣x2+42x+100（0≤x≤30）； 故答案为：18x；w＝﹣x2+42x+100（0≤x≤30）； （2）由条件可知抛物线开口向下，在顶点处取得最大值， ∵对称轴是直线， ∴当x＝21时，， ∴排队人数在第21分钟达到最大值，最大人数为541人． 【点评】本题考查了二次函数的应用，理解题意，熟练掌握知识点的应用是关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4讲 二次函数的应用 优等生讲义 2026-2027 浙教版九年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 会用二次函数解决营销利润问题 · 会用二次函数求最大面积（周长）问题 · 能建立二次函数模型解决轨迹类问题 · 会用二次函数解决拱桥（抛物线形）问题 · 会用二次函数解决几何、行程等综合应用问题 📚 知识梳理 ☆ 1.1.1 二次函数的应用_营销问题 利润=单件利润×销量，销量随售价变动 设售价为x，用二次函数表示总利润y 利用顶点坐标求最大利润，注意自变量取值范围（x的限定区间） 对称轴在限定区间外时，用区间端点比较最值 概念辨析例题：某商品进价40元，售价60元，每星期卖出300件；零售价每降价1元多卖出20件，求每星期利润最大时的售价与最大利润． 解析：设降价x元，销量300+20x件，单件利润(20-x)元，y=(20-x)(300+20x)=-20x²+100x+6000，对称轴x=2.5，最大利润y=6125元，售价57.5元． ☆ 2.1.2 二次函数的应用_最大面积 用篱笆/栅栏围矩形：一边靠墙时设另一边为x表示面积 面积S是x的二次函数，配方求最大值 注意墙长、总长度等限制条件确定自变量范围 当对称轴在取值范围内时取顶点最值，否则取端点最值 概念辨析例题：用总长80m的栅栏围矩形实验田，一边靠墙（墙长42m），求最大面积． 解析：设垂直于墙的边为x，平行于墙的边为(80-2x)，S=x(80-2x)=-2x²+80x，对称轴x=20，S最大=800m²（此时平行边40m<42m可行）． ☆ 3.1.3 二次函数的应用_轨迹问题 抛球、投篮、喷泉等运动轨迹可近似看作抛物线 建立平面直角坐标系，用已知点求解析式 由解析式求特定高度对应的水平距离或落地时间 注意定义域：时间t≥0、距离x≥0等实际限制 概念辨析例题：小球飞行高度h=20t-5t²，求飞行时间范围及最高点． 解析：h=-5(t-2)²+20，顶点(2,20)，最高20m在t=2s；令h=0得t=0或4，飞行时间0≤t≤4． ☆ 4.1.4 二次函数的应用_拱桥问题 拱桥、隧道截面常为抛物线形，以拱顶为原点建系 已知拱高、跨度等条件设y=ax²求解析式 求水面宽度：由高度确定水位对应点的横坐标差 注意坐标系选取不同会改变解析式形式 概念辨析例题：抛物线形拱桥，拱顶离水面2m，跨度4m，求水面下降1m后水面宽度． 解析：建系使拱顶在原点，设y=-ax²，过(2,-2)得a=1/2，y=-x²/2；水位下降1m时y=-3，x=±，水面宽2． ☆ 5.1.5 二次函数的应用_几何问题 几何图形中动点产生线段长度、面积的变化关系 设运动时间为t或某线段长为x，建立二次函数关系 结合几何性质（勾股、相似、面积公式）列式 求最值时注意变量的实际取值范围 概念辨析例题：正方形边长4截去一角成五边形，P在AB边上运动，求某面积S与AP长x的函数关系及最值． 解析：根据截角图形分割面积，S可表示为x的二次函数，配方后结合x范围(0≤x≤4)求最值． ☆ 6.1.6 二次函数的应用_行程问题 刹车距离与速度（时间）常呈二次函数关系 根据实验数据用待定系数法求解析式 由实际情境（限速、安全距离）求变量范围 综合实际意义判断解是否合理 概念辨析例题：汽车刹车距离s与车速v满足s=av²+bv，已知两组数据求解析式并判断超速． 解析：代入两组数据建立方程组求a、b，得到s关于v的二次函数，再代入限速值检验刹车距离是否超限． ☆ 7.1.7 二次函数的应用_其他问题 将实际问题抽象为二次函数模型 确定自变量与实际意义对应的取值范围 利用图象与性质求最优解 验证解的合理性并作答 概念辨析例题：某情境中变量y与x满足二次函数关系，求y取最大值时x的值． 解析：把解析式配方成顶点式，结合x的实际范围确定最大值对应的x． 📋 知识总结表 类型 建模要点 注意点 营销利润 利润=单件利润×销量 自变量区间限制 最大面积 面积S=边长×边长 靠墙与墙长限制 轨迹问题 抛物线顶点式建系 定义域限制 拱桥问题 以拱顶为原点建系 坐标系选取 几何问题 动点关系列式 变量取值范围 行程问题 刹车距离二次关系 实际意义验证 ⚠️ 核心考点 【考点1：营销问题】 · 利润=单件利润×销量，销量随售价变化。 · 设售价（或降价）为自变量，建立总利润的二次函数 · 配方求最大利润，注意售价的限定范围 · 对称轴不在范围内时比较端点值 1．（2026•甘肃校级模拟）便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周的利润y（单位：元）与每件销售价x（单位：元）之间的关系满足y＝﹣2（x﹣20）2+1558，由于某种原因，价格需满足15≤x≤18，那么一周可获得的最大利润是（　　） A．1508元 B．1550元 C．1554元 D．1558元 2．（2025秋•埇桥区校级期末）某公司销售一种藜麦，成本价为30元/千克，若以35元/千克的价格销售，每天可售出450千克．当售价每涨0.5元/千克时，日销售量就会减少15千克．若使日销售利润最大，则销售价格应定为（　　）元/千克． A．42 B．40 C．38 D．35 3．（2026•和平区校级开学）已知某商品每件的进价为40元，售价为每件60元，每星期可卖出该商品300件．根据市场调查反映：商品的零售价每降价1元，则每星期可多卖出该商品20件．有下列结论： ①当售价为57元时，每星期可卖360件； ②每星期的利润为5850元时，可以将该商品的零售价定为55元或59元； ③每星期的最大利润为6125元． 其中，正确结论的个数是（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 4．（2026•南海区模拟）某商店销售一种玩具，每件的进货价为40元，经市场调研，当该玩具每件的销售价为50元时，每天可销售200件；当每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件，现该商店决定涨价销售，若该玩具每件销售价不低于57元，则销售该玩具每天获得的利润w最大为_________ 元． 5．（2026•德州）某水果店单件水果售价y1（元）与销售月份x满足一次函数关系y1＝﹣2x+21，单件水果进价y2（元）与销售月份x满足二次函数关系，二次函数的图象如图所示，抛物线顶点为（6，3）并且经过（3，12），则这个水果店在一年中的最高单件水果利润为_____ 元． 6．（2026•鼓楼区校级模拟）已知某商品的月利润是其涨价额的二次函数，且存在最大值．商家先将该物品涨价8元，月利润增多；又涨价4元，发现月利润更多了，于是商家想知道涨价多少元时利润最大．记涨价t元时，利润最大，则t的取值范围是_________ ． 7．（2026•南京一模）某超市销售一种书包，平均每天可销售100件，每件盈利30元．试营销阶段发现：该商品每件降价1元，超市平均每天可多售出10件．设每件商品降价x元时，日盈利为w元．据此规律，在上述条件不变的情况下，求每件商品降价x＝_______ 元时，超市的日盈利最大． 【考点2：最大面积问题】 · 用总长度表示两邻边，面积化为二次函数。 · 配方求最大值 · 墙长限制平行边长度，决定自变量范围 · 范围端点需代入比较 8．（2025秋•章贡区期末）如图，要围一个矩形菜园ABCD，其中一边AD是墙，且AD的长不能超过26m，其余的三边AB，BC，CD用篱笆，且这三边的和为40m．有下列结论： ①AB的长可以为6m； ②AB的长有两个不同的值满足菜园ABCD面积为192m2； ③菜园ABCD面积可以达到220m2． 其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 9．（2025秋•鞍山期末）如图，利用一面墙，用40米长的篱笆围成一块矩形场地，如果墙长为25米，那么围成矩形场地的最大面积是（　　） A．150m2 B．200m2 C．250m2 D．400m2 10．（2025秋•上城区校级期中）某农场拟建两间矩形饲养室，其中一面靠现有墙（墙的长度为16米），另外三面及中间用围栏隔开，并在如图所示的三处各留1米宽的门，已知计划中的围栏材料（不包括门）总长为33米，则能建成的饲养室面积最大为（　　）平方米． A．54 B． C．108 D． 11．（2026秋•南开区校级月考）如图，某矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成面积为1：2的两个矩形，已知栅栏的总长度为24m，当较小矩形的宽为xm时，矩形养殖场的总面积最大为ym2，则x，y的值为 ____________________ ． 12．（2026•衡东县自主招生）用长为L米的铁丝围成一个矩形或正方形，则其所围成的最大面积为____________________ 平方米． 13．（2026•泰州模拟）数学兴趣小组的同学在“综合与实践”活动中，用总长为60m的栅栏围一个一边靠墙的矩形花圃．设与墙垂直的边的长为xm，花圃的面积为Sm2．则S关于x的函数表达式为_______________ ，当x＝_______ 时，S可以取得最大值． 14．（2024秋•北川县期末）用一根长60cm的铁丝围成一个矩形，则矩形的最大面积为 ________ cm2． 【考点3：轨迹问题】 · 抛体运动轨迹视为抛物线。 · 建立坐标系后用已知点求解析式 · 由解析式求高度、距离、时间等量 · 注意实际意义确定取值范围 15．（2026•甘州区模拟）如图，体育课上，小强某次掷出的实心球的飞行高度h（m）与水平距离x（m）之间的关系大致为抛物线，则小强本次投掷实心球的成绩为（　　） A．8m B．9m C．10m D．3m 16．（2026•阜阳二模）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示．则下列结论不正确的是（　　） A．小球在空中经过的路程是40m B．小球运动的时间为6s C．小球抛出3s时，速度为0 D．当t＝1.5s时，小球的高度h＝30m 17．（2026•钦州校级一模）市民广场有一个直径16m的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头（喷水头高度忽略不计），各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物OA的顶端A处汇合，水柱离中心3m处达最高5m，如图所示建立直角坐标系．王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8m的他站立时必须在离水池中心O_____ m以内． 18．（2025秋•番禺区期末）在2025年第十五届全运会10米跳台比赛中，某运动员从起跳到入水的运动轨迹可以近似看作是抛物线的一部分．如图所示，跳台宽度为3m，水池边与跳台支柱之间的宽度为1m（见图中标注）．该运动员的起跳点A距离水面10m，运动过程中的最高点B距离水面11.25m，此时与点A的水平距离为0.5m．根据上述信息，可估计入水点C与池边的水平距离为_____ m． 19．（2026•秦州区校级模拟）某广场上有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管OA喷出，OA的长为1.5m，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点B到点O的距离为3m．建立平面直角坐标系，水流喷出的高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间近似满足函数关系式y＝ax2+x+c（a≠0），则水流喷出的最大高度为_______ ． 20．（2026春•海曙区校级期末）一个小球从水平面开始竖直向上发射，小球的高度h（m）关于运动时间t（s）的函数表达式为h＝at2+bt，其图象如图所示．若小球在发射后第2s与第6s时的高度相等，则小球从发射到回到水平面共需时间_____ （s）． 21．（2026•高新区校级三模）2025—2026赛季中国排球超级联赛是由中国排球协会主办的中国最高级别排球职业联赛，于2025年12月至2026年4月举行．根据国际排球联合会的规定，排球比赛场地为长方形，其长度为18m，宽度为9m，女子排球比赛球网的高度为2.24m．如图，某女子排球运动员在场地边缘的O处训练发球，MN为球网（球网位于球场的中间），AB为球场护栏，且MN，AB均与地面垂直，球场的边界为点K，以点O为原点，垂直于球网的直线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，排球（看作点）从点O的正上方点P（0，2）处发出，排球经过的路径是抛物线L的一部分，其最高点为G（7，3），落地点为点H．（点O，M，H，K，A在同一直线上，图中所有的点均在同一平面内） （1）求抛物线L对应的函数解析式； （2）通过计算判断排球能否越过球网； （3）由于运动员改变了发球点P的位置，使得排球在点K落地后立刻弹起，又形成了一条与L形状相同的抛物线L′，且最大高度为1m．若排球沿L′下落时（包含最高点）能碰到球场护栏，求m的取值范围． 【考点4：拱桥问题】 · 拱桥截面为抛物线，合理建系。 · 用拱高、跨度确定解析式 · 水位变化转化为纵坐标变化求水面宽 · 坐标系列式要准确 22．（2026•龙岗区校级模拟）某湖面上有一座抛物线型拱桥，按如图所示的方式建立平面直角坐标系，得到抛物线的函数解析式为，正常水位时，水面宽AB为16m，此时拱顶O到水面AB的距离为（　　） A．4m B．3m C．2m D．1m 23．（2025秋•社旗县期末）图1是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为了一体，最大程度地传承了中国的历史文化．“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图2已知其底部宽度AB为80m，高度为200m，则离地面150m处的水平宽度（即CD的长）为（　　） A．40m B．45m C．50m D．55m 24．（2025秋•蒙城县期末）如图所示，某建筑物有一抛物线形的大门，小强想知道这道门的高度，他先测出门的宽度AB＝8m，然后用一根长为4m的小竹竿CD竖直地接触地面和门的内壁，并测得AC＝1m，则门高OE为（　　） A．9m B．m C．8.7m D．9.3m 25．（2026•漳州模拟）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，则水面下降1m时，水面宽度增加____________________ m． 26．（2025秋•冷水江市期末）某拱桥的主桥拱近似地看作抛物线，桥拱在水面的跨度OA约为20米，若按如图所示方式建立平面直角坐标系，则主桥拱所在抛物线可以表示为y＝a（x﹣10）2+10，则主桥拱最高点P与其在水中倒影点P′之间的距离为_______ 米． 27．（2025秋•龙岗区期末）校动会期间，某学校在运动场入口安装了一座充气拱门，拱门呈抛物线状．数学小组想了解拱门的高度，先测量拱门底端距离AB＝8m，再用两根长度为2m的标杆CE、DF垂直于地面且让标杆端点C、D在拱门上，再测量出两标杆间的距离EF＝6m，则此拱门（不考虑拱门自身的粗细大小）的高度为___________________ ． 28．（2026•封开县一模）如图1，是某景区的一个标志性建筑物——拱门观光台，拱门的形状近似于抛物线，已知拱门的地面宽度为200米，两侧距地面高150米处各有一个观光窗，两窗的水平距离为100米，图2是从实际拱门中得出的抛物线，请你结合数据，求出拱门的高度． 【考点5：几何问题】 · 动点问题中设变量表示相关线段。 · 结合勾股、相似、面积公式建立二次函数 · 配方求最值 · 注意自变量实际范围 29．（2026春•永寿县期末）如图，将一张长为20cm，宽为15cm的长方形纸片剪去四个边长为xcm的正方形，制作出一个底面积为ycm2的无盖长方体盒子，则y与x之间的关系式为（　　） A．y＝（20﹣2x）（15﹣2x） B．y＝（20﹣x）（15﹣x） C．y＝x（20﹣2x） D．y＝x（15﹣2x） 30．（2026•洪山区一模）如图1，点Q从A处出发，沿线段AB向B处运动．设AQ为x（0≤x≤n），PQ2为y．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点D（m，81），且经过E（1，225）和F（n，225）两点．则n的值是（　　） A．22 B．23 C．24 D．25 31．（2026•鹿城区校级开学）如图1，在矩形ABCD中，AB＝6cm，点E，F同时从点D出发，点E以2cm/s的速度沿D→A→B匀速运动，点F沿D→B匀速运动，当点E运动到终点B时，两点同时停止运动．当点F出发t秒时，△DEF的面积为ycm2．已知y与t的函数关系的图象如图2（曲线OH和GH均为抛物线的一部分），则下列选项中说法错误的是（　　） A．BD＝10cm B．曲线GH的函数表达式为 C．点F的运动速度为1cm/s D．若秒，则△BEF∽△BCD 32．（2026春•秀屿区校级期末）用长度为x的绳子围成一个正方形（接头处忽略不计且绳子无剩余），设正方形的面积为y，写出y与x的函数解析式为____________________ ． 33．（2026春•莱芜区期末）如图所示，是一个长16m、宽9m的矩形花园，根据需要将它的长缩短xm、宽增加xm，要想使修改后的花园面积达到最大，则x＝________ m． 34．（2025秋•永康市期中）将一根长8米的铁丝首尾相接围成矩形，设矩形一边长为x米，面积为y，请写出y关于x的表达式为_____________ ． 【考点6：行程问题】 · 刹车距离与车速（时间）成二次函数关系。 · 用待定系数法由数据求解析式 · 代入具体值解决实际问题 · 检验解是否符合实际 35．（2026•天宁区校级一模）如图是王阿姨晚饭后步行的路程s（单位：m）与时间t（单位：min）的函数图象．其中曲线段AB是以B为顶点的抛物线一部分，下列说法不正确的是（　　） A．25min～50min，王阿姨步行的路程为800m B．5min～20min，王阿姨步行速度由慢到快 C．线段CD的函数解析式为s＝32t+400（25≤t≤50） D．曲线段AB的函数解析式为s＝﹣3（t﹣20）2+1200（5≤t≤20） 36．（2025•河西区模拟）飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行的时间t（单位：s）的函数解析式为s＝60t﹣1.5t2（0≤t≤20）．有下列结论： ①滑行的时间为2s时，滑行的距离是114m； ②飞机停下前最后10s内滑行的距离是450m； ③飞机着陆后滑行了600m才停下来． 其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 37．（2025秋•连云港期末）飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是y＝60tt2．在飞机着陆滑行中，滑行的最大距离是 ________ m． 38．（2026•天山区校级模拟）新疆阿勒泰有“中国雪都”之称，很多滑雪爱好者都到将军山滑雪场滑雪．已知滑行距离S（单位：m）与滑行时间t（单位：s）之间的关系是S＝2.5t2+2t．若某滑雪者在山坡上的出发点和终点的距离是176m，他需要_____ s能到达终点． 39．（2025秋•连云港期末）飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数表达式是，则飞机滑行的最大距离是________ m． 【考点7：其他问题】 · 抽象实际问题为二次函数模型。 · 明确自变量取值范围 · 利用顶点求最优解 · 验证合理性并作答 40．（2026•南京三模）用12米长的围栏围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，小红提出了围成矩形、等腰三角形（底边靠墙）、半圆形这三种方案，最佳方案是（　　） A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．都一样 41．（2026春•锦江区校级月考）端午小长假成都某热门景点根据去年人流量预测今年入口处游客数量y（人）与开放时间x（min）近似满足二次函数关系y＝﹣0.2ax2+20ax（a＞0），下列说法正确的是（　　） A．景点开放后，入口处游客数量始终在增加 B．开放100min时，入口处游客数量达到峰值 C．开放40min和60min时，入口处游客数量一样多 D．该函数图象的对称轴是y轴 42．（2026•平武县二模）随着电动汽车充电基础设施日趋完善，便捷的出行方式让越来越多的人青睐电动汽车．已知某品牌电动汽车从电量0%开始快充时，累计充电时间y（min）与汽车仪表盘显示的电量x（%）的关系可用二次函数yx近似刻画，而电动汽车行驶过程中汽车仪表盘显示的可行驶里程s（km）与电量x（%）的关系如表所示． 汽车仪表盘显示的电量x（%） 0 10 20 30 40 … 汽车仪表盘显示的可行驶里程s（km） 0 70 140 210 280 … 若王老师驾驶电动汽车前往某地，途经某一充电站，到达该充电站时汽车仪表盘显示的电量为30%，此时到目的地的路程还有490km．若王老师计划在该充电站一次性充电一段时间，在其他地方不再充电，且他到达目的地时汽车仪表盘显示的电量恰好为10%，则充电时间为___________________ min． 43．（2026•苍溪县模拟）如图是小明借助工具设计的抛物线型帐篷．在抛物线上取A，B，C，D四点，且线段AB，CD都与地面平行，抛物线最高点P到AB的距离为0.6m，AB＝2m，CD＝4m，则点B到CD的距离为________ m． 44．（2026•榆树市二模）如图，某公司“祥云”布艺图案是由一个半圆和左右两支抛物线的一部分组成的，且关于y轴对称．其中半圆与y轴相交于点D，两支抛物线的顶点分别为E，C，与x轴分别相交于点A，B．已知CE＝2，OD＝1.9，AB＝5，则图案中AE这段抛物线的函数表达式为 ____________________ ． 45．（2026•南充模拟）为了充分发挥科技导向作用，某公司计划建立总量为x（单位：万条，x≥100）的行业数据库，经过调研发现：运行总成本y（单位：万元）由基础成本、技术成本、维护成本三部分组成，其中基础成本保持不变为500万元，技术成本与x成正比例，维护成本与x的平方成正比例，运行中得到如表数据： x（单位：万条） 200 300 y（单位：万元） 700 860 （1）求y与x之间的函数关系式； （2）该公司为了实现数据共享，计划吸收会员，每名会员需交纳会员费30万元，已知会员数Q与x之间的关系式为Q＝mx+n，且x＝600时，Q＝1000，且此时公司的利润W（单位：万元）最大，求m、n的值（利润＝会员费﹣运行总成本）． 💯 课后巩固 复习建议 · 营销利润：利润=单件利润×销量，注意区间限制 · 最大面积：用总长表示边长，配方求最值 · 轨迹与拱桥：合理建系、选对解析式形式 · 几何与行程：设变量、结合性质列式、验证实际 · 所有应用题最后要检验解的合理性 【作业1】（2025秋•丹徒区期末）根据背景素材，探索解决问题． 背景 某公司的一种商品，每件成本为50元，经市场调研，售价为60元时，可销售800件，售价每提高1元，销售量将减少20件，设商品的售价为x（x≥60，且x为整数）元． 问题解决 任务1 当x＝65元时，该种商品的销售量为________ 件． 任务2 公司销售这批商品获利12000元时，这种商品每件售价是多少？ 任务3 当售价为多少时，销售这种商品的利润最大？最大利润是多少？ 任务4 若该种商品的销售得到当地政府的支持，公司每销售一件商品政府补贴给公司n元（n为正整数）．公司发现当售价为70时，利润最大，则n为_______ ．（利润＝销售利润+补贴） 【作业2】（2025秋•宣威市校级期末）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件． （1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ （2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？最多盈利是多少？ 【作业3】（2026•辽阳一模）2026年马年春晚上，四骏吉祥物惊艳亮相——骐骐、骥骥、驰驰、骋骋，每匹都承载着深厚的文物基因，从西周盏驹尊到汉代铜奔马，千年文化密码藏于细节，让这些吉祥物既具有历史美感，又充满时代气象．某商场销售该系列吉祥物玩具，其成本价为每件30元，经市场调研发现，该系列吉祥物玩具的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系，当销售单价为50元时，平均每天可售出40件；当销售单价为40元时，平均每天可售出50件． （1）请你求出该系列吉祥物玩具的销售量y与销售单价x之间的函数关系式； （2）若想让商场平均每天销售该系列吉祥物玩具的利润达到最大，此时的销售单价应定为多少元？最大利润为多少元？ 【作业4】（2025秋•沛县期末）如图，某校劳动实践基地用总长为80m的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为42m．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为x（单位：m），与墙平行的一边长为y（单位：m），面积为S（单位：m2）． （1）直接写出y与x，S与x之间的函数解析式（写x的取值范围）； （2）矩形实验田的面积S能达到750m2吗？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由； （3）当x的值是多少时，矩形实验田的面积S最大？最大面积是多少？ 【作业5】（2026•义乌市校级开学）某学校计划建一个长方形种植园，如图，种植园的一边靠墙，其余边用周长为24m的篱笆围成，已知墙a长为10m，设这个种植园垂直于墙的一边长为x（m），种植园面积为y（m2）． （1）求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）根据实际需要，要求这个种植园的面积为45m2，求篱笆AB的长． 【作业6】（2025秋•天山区校级期末）如图，若被击打的小球飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有的关系为h＝20t﹣5t2，请根据要求解答下列问题： （1）在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？ （2）在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？ 【作业7】（2026•深圳校级模拟）体育课期间，黄老师和黎老师交流中考实心球项目，他们发现实心球从出手到落地的过程中，球的竖直高度与水平距离一直在相应的发生变化，黄老师利用鹰眼系统记录了邓同学训练时实心球在空中运动时的水平距离x/m与竖直高度y/m的数据如下表．随后，黎老师根据表中的数据建立如图所示的平面直角坐标系．根据图中点的分布情况，他发现其图象是二次函数的一部分，请根据所给信息回答下列问题： 水平距离x/m 0 2 4 5 6 8 9 竖直高度y/m 2 3.2 3.6 3.5 3.2 2 1.1 （1）在投掷过程中，邓同学出手时实心球的竖直高度是_____ m，实心球在空中的最大高度是________ m； （2）求图中抛物线的解析式y＝a（x﹣h）2+k； （3）根据深圳中考体育考试评分标准（男生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于或等于9.4米时，即可得满分，邓同学在此次训练中是否得到满分，请说明理由； （4）已知图中抛物线经过M（m，y1），N（m+2，y2）两点，且M，N分别位于对称轴两侧，若在该两点之间的部分函数图象中，函数的最大值与最小值的差为，则m的值为____________________ ． 【作业8】（2026•雁塔区校级一模）如图，熏笼是放在炭盆上的竹罩笼，是古代一种烘烤和取暖的用具．将熏笼开口朝下放在水平桌面上，其截面为抛物线形，如图2，测得熏笼的跨度为80厘米，高度为32厘米，小明以熏笼的左边缘为原点，水平线为x轴建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的表达式； （2）现有一批长8厘米，高6厘米的熏炉套盒要放进熏笼内一起运输，当把熏炉套盒完全放在正中间进行叠放时，这一列最多能叠放几个套盒？ 【作业9】（2026•洪洞县二模）综合与实践 问题情境：旧城区改造是提升居民生活品质的重要工程．如图1是某改造小区的大门轮廓、形状可视为抛物线，因通行安全性和美观性不足，计划将其改造为“矩形+近似抛物线”的组合型门，其截面图如图2所示． 数据收集：改造后组合型门宽BC为8米，矩形部分的高AB为2米，抛物线部分的顶点到地面的距离为6米． 数学建模：如图2，以BC所在直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴（抛物线的对称轴），建立平面直角坐标系． 问题解决： （1）求改造后抛物线部分的函数表达式； （2）为保障通行安全，需在距离地面高3.6米的门上安装两个摄像头，用于监控拱门通行情况、求两个摄像头之间的水平距离； （3）已知门正中间设有隔离带（如图中阴影部分所示关于y轴对称），为了安全起见，改造后的大门必须保证消防车等应急车辆能正常通行，若消防车的宽为2.6米，高为3.75米，要保证消防车从大门两通道处均可通过，请直接写出隔离带的宽的最大值（消防车与隔离带的间距忽略不计）． 【作业10】（2025秋•威海期末）如图，已知边长为4的正方形截取一个角后成为五边形ABCDE，其中AF＝2，BF＝1．P是AB边上的任一点，过P作PN⊥DC于N，PM⊥DE于M，设PN＝x，矩形PNDM的面积为y，当x为何值时，矩形PNDM的面积最大，并求出最大面积． 【作业11】（2026•石楼县二模）综合与实践 如图1，这是一款实木茶几，茶几桌面边缘轮廓可认为是由两条抛物线组成的，经测量桌面最大长度MN＝120cm，最大宽度OP＝80cm，桌面竖直轮廓如图2所示，上方抛物线顶点M到OP的距离为100cm，下方抛物线顶点N到OP的距离为20cm，直线MN为竖直轮廓的对称轴，且MN⊥OP．以OP所在直线为x轴，过点O垂直于OP所在直线为y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系． （1）请你直接写出点M的坐标，并求出上方抛物线的函数表达式． （2）如图3，为了美化桌面图案，丰富视觉效果，计划将上方抛物线向下平移19cm，将下方抛物线向上平移若干厘米，两条新抛物线相交于OP上的点E，点F． ①求EF的长； ②直接写出下方抛物线向上平移的距离． （3）如图4，若想在桌面上装一块矩形钢化玻璃ABCD，使得顶点A，B，C，D落在新轮廓上，若AB＝54cm，直接写出AD的长． 【作业12】（2025秋•平陆县期末）汽车在行驶中，由于惯性，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”，刹车距离是分析事故的一个重要因素．为了测定某种型号汽车的刹车性能（车速不超过140km/h），对这种汽车的刹车距离进行测试，测得的数据如表所示． 刹车时车速v（km/h） 0 5 10 15 20 25 30 刹车距离s（m） 0 0.1 0.3 0.6 1 1.5 2.1 分析数据并完成下列任务： 任务一：以刹车时车速v为横坐标，刹车距离s为纵坐标，在如图所示的平面直角坐标系中描出对应的点，并选用一条适当的曲线近似表示这7组数据中刹车距离与刹车时车速之间的变化趋势； 任务二：根据所画曲线可判断刹车距离与刹车时车速之间的关系为_______ 函数，求出函数表达式并由这个表达式估计刹车时车速为60km/h时的刹车距离； 任务三：一辆该型号的汽车在高速公路上发生交通事故，现场测得刹车距离约为40m，已知这条高速公路限速100km/h，请根据你确定的函数表达式，通过计算判断在事故发生时，该汽车是否超速行驶； 任务四：在司机踩下刹车前通常有一段反应时间，若某车以72km/h的速度匀速行驶在公路上，在距离该辆汽车30m处的斑马线上有行人通过，那么司机要想在斑马线前将车停下，他的反应时间最多是多少（1m/s＝3.6km/h，结果精确到0.1s）？ 【作业13】（2025秋•沁水县期末）【综合与实践】某数学兴趣小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们走进汽车研发中心考察刹车距离．【知识背景】“道路千万条，安全第一条．”刹车系统是车辆行驶安全的重要保障，由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离． 【探究发现】汽车研发中心设计了一款新型汽车，现在模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶时，对它的刹车性能进行测试．兴趣小组成员记录其中一组数据如下： 刹车后行驶的时间 0 1 2 3 刹车后行驶的距离y 0 27 48 63 发现：①开始刹车后行驶的距离y（单位：m）与刹车后行驶的时间t（单位：s）之间成二次函数关系；②汽车刹车后行驶的距离随刹车后行驶的时间t的增大而增大，当刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止． 【问题解决】请根据以上信息，完成下列问题： （1）求y关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）若汽车刹车4s后，行驶了多长距离； （3）若汽车司机发现正前方70m处有一辆抛锚的车停在路面，立刻刹车，请问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？试说明理由． 【作业14】（2026•祁县二模）综合与实践 问题情境： 某游乐园上午10点开园，一个热门过山车项目从开园起开始运行，游客陆续到达并排队．经研究发现，现场总人数y（人）与过山车项目运行时间x（分）之间满足关系式：y＝﹣x2+65x．观众进场立即排队，在任意时刻都满足：排队人数＝现场总人数﹣已入场人数．过山车每趟可载30人，每2分钟发一趟，即平均每分钟服务15人． 建立模型： （1）过山车项目的排队人数m（单位：人）与运行时间x（单位：分）的关系式为______________ ； 问题解决： （2）在过山车开始运行的同时，一名工作人员从门口出发，以2.5米/分的速度沿队伍向末端匀速行走．门口位于第一名游客前方0.5米处，假设排队游客每人间距为0.5米，定义队伍长度L（单位：米）为从门口到队伍末端（最后一名游客所在位置）的距离，则L与排队人数m的关系为L＝0.5m． ①工作人员与门口的距离s（单位：米）与运行时间x（单位：分）的关系式为___________ ； ②当工作人员恰好走到队伍最末端时，求x的值； （3）过山车项目附近有另一个热门项目“海盗船”（两个项目之间的距离忽略不计）．海盗船在x＝20分钟时开始运行，其排队人数w（单位：人）与运行时间t（从海盗船项目开始运行起算，单位：分钟）满足关系式w＝﹣2t2+80t．已知海盗船每趟可载40人，每2分钟发一趟，即平均每分钟服务20人．当两个项目同时存在排队，且两个项目的排队人数恰好相等时，直接写出x的值，并说明此时游客应选择哪个项目排队能更早入场． 【作业15】（2026•舒城县校级模拟）综合与实践 【问题背景】排队是生活中常见的场景．如图，某数学小组针对进场看某次演出，研究了进场过程中排队人数与安检时间、安排通道数之间的关系． 【研究条件】 条件1：观众进场立即排队安检，在任意时刻都满足：排队人数＝现场总人数﹣已入场人数； 条件2：该演出场地最多可开放9条安检通道，平均每条通道每分钟可安检6人． 【模型构建】若该演出前30分钟开始进行安检，经研究发现，现场总人数y与安检时间x之间满足关系式：y＝﹣x2+60x+100（0≤x≤30）． 结合上述信息，请解决下列问题： （1）当开通3条安检通道时，安检时间x分钟时，已入场人数为_______ ，排队人数w与安检时间x之间的函数关系式为____________________ ． 【模型应用】 （2）在（1）的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？ 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $