专题 1.13 二次函数复习专题—二次函数与几何综合（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）讲义 2026-2027学年浙教版九年级数学上册

该初中数学讲义通过知识框架图系统梳理二次函数与几何综合的知识体系，涵盖二次函数核心性质、函数与几何公式、几何模型关联知识点，以“以函数定坐标、以坐标算几何、以几何建方程”为核心思路，呈现代数与几何转化的内在联系，突出抽象能力与几何直观的培养。 讲义亮点在于7大题型精析与分层同步检测，如“二次函数与四边形面积最值”通过养牛场问题引导建立模型，“特殊三角形问题”强化推理能力，例题与变式题结合帮助不同学生掌握方法，支持教师实施精准化复习教学，提升数学思维与应用意识。

专题 1.13 二次函数复习专题——二次函数与几何综合（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理与解读 1 【知识点1】二次函数核心基础性质 1 【知识点2】函数与几何公式 2 【知识点3】几何模型关联知识点 2 二.题型精析 2 【题型1】二次函数与四边形面积最值问题 2 【题型2】二次函数与线段、周长最值问题 5 【题型3】二次函数与三角形面积最值问题 12 【题型4】二次函数与角度问题 19 【题型5】二次函数与特殊三角形问题 27 【题型6】二次函数与四边形问题 32 【题型7】二次函数动点最值与路径问题 38 三.同步检测 45 （一）选择题（本大题共5个小题,每小题4分,共20分） 45 （二）填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 50 （三）解答题（本大题共8个小题,每小题8分,共64分） 55 一.知识梳理与解读 二次函数与几何综合是初中数学中考核心重难点，融合二次函数图像性质、平面几何图形性质、坐标运算、最值、存在性等核心考点，解题核心思路为以函数定坐标、以坐标算几何、以几何建方程，实现代数与几何的相互转化。本专题核心关联知识点如下： 【知识点1】二次函数核心基础性质 1. 三种解析式形式 （1）一般式：，适用于已知任意三点坐标求解析式，决定开口方向与大小，为抛物线与y轴交点纵坐标。 （2）顶点式：，顶点坐标，对称轴直线，适用于已知顶点、最值、对称轴解题。 （3）交点式：，为抛物线与x轴交点横坐标，适用于已知抛物线与x轴两个交点解题。 2. 核心图像性质 （1）开口方向：开口向上，有最小值；开口向下，有最大值。 （2）对称轴公式：，顶点纵坐标（最值）：。 （3）增减性：对称轴左侧、右侧单调性相反，结合开口方向可判断函数增减变化。 【知识点2】函数与几何公式 二次函数几何综合题的核心是坐标与线段、图形的转化，必备基础公式： （1）两点间距离公式：若，则 （2）中点坐标公式：AB中点坐标为 （3）水平（竖直）线段长度：水平线段，竖直线段 （4）直线斜率公式：，两直线垂直则斜率乘积为-1（k存在时） 【知识点3】几何模型关联知识点 二次函数综合题常结合三角形、四边形、特殊图形、面积、最值、存在性问题，核心几何性质如下： （1）特殊三角形：等腰三角形（两边相等、三线合一）、直角三角形（勾股定理、垂直斜率关系）、等边三角形（三边相等、三角60°） （2）特殊四边形：平行四边形（对边平行且相等、对角线互相平分）、矩形（四角直角、对角线相等）、菱形（四边相等、对角线垂直）、正方形（兼具矩形菱形性质） （3）面积模型：割补法、铅垂高法（二次函数三角形面积核心方法：） 二.题型精析 【题型1】二次函数与四边形面积最值问题 【例题1】（24-25九年级上·云南昭通·阶段检测）如图，用长的护栏全部用于建造一个靠墙（墙的长度不限）的长方形养牛场，已知此长方形养牛场的面积为，且与墙平行的边长为． （1）求与之间的函数解析式； （2）当边长为何值时，该长方形面积最大？并求出其最大值． 【答案】（1）；（2）当时，面积取最大值为 【分析】（1）先用含的式子将与墙面垂直的边长表示出来，由矩形面积公式直接列出函数解析式即可； （2）利用二次函数性质即可得到答案． （1）解：根据已知条件，与墙平行的边长为， 则垂直于墙的边长为：， ∴． （2）解：∵， ∴当时，面积取最大值为． 【变式1】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，有一张长，宽的矩形纸板，在它的四个角处分别裁去一个同样的小正方形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒，则该纸盒侧面积的最大值是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设裁去的小正方形边长为，该纸盒侧面积为，根据题意得，然后通过二次函数的性质即可求解． 解：设裁去的小正方形边长为，该纸盒侧面积为， ∴ ， ∵， ∴抛物线开口向下， ∵对称轴为直线， ∴当时，有最大值，为． 【变式2】（2026·江苏泰州·二模）数学兴趣小组的同学在“综合与实践”活动中，用总长为的栅栏围一个一边靠墙的矩形花圃．设与墙垂直的边的长为，花圃的面积为．则S关于x的函数表达式为______，当______时，S可以取得最大值． 【答案】 解：墙的一面不需要栅栏，栅栏只需要围三边， 与墙平行的一边长为， ， ， 时，可取最大值，为． 【变式3】（24-25九年级上·山西大同·阶段检测）如图，抛物线过点，矩形的边在线段上（点A在点B的左边），点C，D在抛物线上．设，当时，． （1）求抛物线的函数表达式． （2）当t为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？ 【答案】（1）抛物线的函数表达式为；（2）当时，矩形的周长有最大值，最大值为 【分析】（1）由点的坐标设抛物线的交点式，再把点D的坐标代入计算可得； （2）由抛物线的对称性得，据此知，再由时，根据矩形的周长公式列出函数解析式，配方成顶点式即可求得． （1）解：设抛物线解析式为， ∵当时，， ∴点D的坐标为， ∴将点D坐标代入解析式得， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：由抛物线的对称性得， ∴， 当时，， ∴矩形的周长 ， ∵， ∴当时，矩形的周长有最大值，最大值为． 【题型2】二次函数与线段、周长最值问题 【例题2】（2025·青海玉树·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，交轴于点． （1）求抛物线的解析式； （2）若将该抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，求平移后的解析式； （3）若点是线段上一动点，过点作轴于点，交抛物线于点，求线段长度的最大值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）利用待定系数法求出答案即可； （2）把抛物线化为顶点式，根据平移规律进行解答即可； （3）求出直线的解析式为，设，则，则线段的长度，根据二次函数的性质进行解答即可． （1）解：抛物线经过点，， ∴， 解得 ∴抛物线的解析式为 （2）解： ∴将该抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，则平移后的解析式为； （3）当时，， ∴， 设直线的解析式为，把，代入得到， ， 解得 ∴直线的解析式为， 设，则， 则线段的长度， ∵ ∴当时，线段的长度的最大值为． 【变式1】（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，E，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当的值最小时，点C的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出点，求出，将点沿轴向下平移个单位，得到点，连接，，，易证得四边形是平行四边形，于是可得，由轴对称的性质可得，于是得到，即点是直线与抛物线对称轴的交点时，的值最小，利用待定系数法可求得直线的解析式，然后求得抛物线的对称轴，通过求解两条直线的交点即可得出答案． 解：令， 解得：， ， ， ， ， 如图，将点沿轴向下平移个单位，得到点，连接，，， 点沿轴向下平移个单位得到点， ， ， ， 抛物线的对称轴轴，且线段在抛物线的对称轴上，线段在轴上， ， 四边形是平行四边形， ， 抛物线是轴对称图形， ， ， 当、、三点共线，即点是直线与抛物线对称轴的交点时，的值最小， 在抛物线中， 令，则， ， 由平移的性质可得：点的纵坐标， ， 设直线的解析式为， 将，代入，得： ， 解得：， 直线的解析式为， 在抛物线中，其对称轴为直线， 要使的值最小，则点的坐标应满足， 解得：， ， 故选：C． 【点拨】本题主要考查了平移的性质，二次函数的图象与性质，平行四边形的判定与性质，轴对称的性质，三角形三边之间的关系，求抛物线与轴的交点坐标，求抛物线与轴的交点坐标，因式分解法解一元二次方程，待定系数法求一次函数解析式，解二元一次方程组，两直线的交点与二元一次方程组的解等知识点，巧妙添加辅助线并运用数形结合思想是解题的关键． 【变式2】（25-26九年级上·湖北咸宁·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D，抛物线的对称轴上有一点P，使的和最小，则点P坐标为_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、轴对称的性质、待定系数法求一次函数解析式，熟练运用轴对称的性质是解题的关键． 根据抛物线的对称性可知，所以当点P在线段上时，的值最小，以此为依据求解即可． 解：如图，连接，交对称轴于点P，连接， ∵点和点关于抛物线的对称轴对称， ∴， 要使的值最小，则应使的值最小， ∴与对称轴的交点P，使得的值最小， 令，则， 解得，， ∴，， 抛物线的对称轴为， ∴点P的横坐标为1， 当时，， ∴， 设直线解析式为， 把，代入得， ，解得， ∴直线解析式为， 当时，， ∴点P坐标为． 故答案为：． 【变式3】（2024·山东聊城·模拟预测）如图所示，已知抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，其中，． （1）求这条抛物线的函数表达式； （2）已知在对称轴上存在一点，使得的周长最小．请求出点的坐标． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）连接，，由于的长度一定，所以周长最小，也就是使最小，点关于对称轴的对称点是点，根据两点之间线段最短可得，与对称轴的交点，即为所求的点，然后再求出直线的表达式为即可． （1）解：依题意，得 解得 即抛物线的函数表达式为； （2）解：连接，， 的长度一定，所以周长最小，也就是使最小，点关于对称轴的对称点是点， ∴ ∴根据两点之间线段最短可得，与对称轴的交点，即为所求的点． 设直线的表达式为， 则 解得 此直线的表达式为， 把代入，得， 点的坐标为． 【题型3】二次函数与三角形面积最值问题 【例题3】（24-25九年级上·福建莆田·期中）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．已知点A的坐标是，抛物线的对称轴是直线． （1）求函数解析式和点B的坐标； （2）在对称轴上找一点P，使的值最小．求点P的坐标和的最小值； （3）第一象限内的抛物线上有一动点M，连接、，求面积的最大值，以及取得最大值时点M的坐标． 【答案】（1）；；（2）；的最小值为；（3）面积的最大值为；此时点M的坐标为 【分析】（1）根据抛物线的对称性，进行求解即可； （2）连接，根据抛物线的对称性，得到，得到当三点共线时，的值最小，为的长，求出直线的解析式，解析式与对称轴的交点即为点的坐标，两点间的距离公式求出的长，即为的最小值； （3）过点作轴，垂足为，交于点，设，则，根据得出，求出最大值，然后再求出点M的坐标即可． （1）解：∵点关于对称轴的对称点为点，对称轴为直线， ∴点为， 把，代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：把代入得， ∴， 连接，交直线于点P，连接，如图所示：    ∵， ∴， ∵点关于对称轴的对称点为点， ∴， ∴， ∴当三点共线时，的值最小，且最小值为的长， 设直线的解析式为：， 则：， 解得：， ∴， 把代入得：， ∵点在抛物线的对称轴上， ∴； ∴点P的坐标为，的最小值为； （3）解：过点作轴，垂足为，交于点，如图所示， 设，则， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，的面积有最大值为， 此时点M的坐标为：． 【点拨】本题主要考查二次函数的综合应用，求二次函数解析式，求一次函数解析式，二次函数的对称性，二次函数的最值．正确的求出函数解析式，利用抛物线的对称性以及数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 【变式1】（24-25九年级上·安徽安庆·阶段检测）抛物线交轴于点，，交轴于点，点为抛物线对称轴与轴的交点．若点为第一象限内对称轴右侧抛物线上一点，则面积的最大值为（    ） A．3 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数与几何综合，灵活运用数形结合以及二次函数的最值问题是本题解题的关键．根据待定系数法求解二次函数表达式即可，过P作轴，采用割补法，将的面积转化为梯形和三角形的面积差，再根据二次函数最值问题求解 解：∵抛物线交轴于点，， ∴，抛物线对称轴是直线， ∴． 当时，， ∴． 过P作轴于M，设， ∴， ∵，， ∴， ∴ ， ∴当时，面积的最大值为． 故选D． 【变式2】（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线对称轴为直线，且经过点，交轴于点． （1）该抛物线的解析式为________； （2）为直线下方抛物线上的任意一点，连接，，求面积的最大值为________． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线的图象与性质、用待定系数法求函数解析式、三角形面积公式，解题的关键是准确求出二次函数的解析式和直线的解析式． 利用待定系数法求出抛物线的解析式即可； 根据抛物线的解析式求出点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，设点的坐标是，则点的坐标为，根据三角形的面积公式可得：，根据抛物线的性质可知有最大值，最大值为． 解：（1）抛物线对称轴为直线， ， 解得：， 抛物线的解析为， 把点代入， 可得：， 解得：， 抛物线的解析为； （2）如下图所示，过点作轴交直线于点， 当时， 可得：， 点的坐标是， 设直线的解析式是， 把点、的坐标代入， 可得：，解得：， 直线的解析式是， 设点的坐标是，则点的坐标为， ， 点到的距离是，点到的距离是， ， ， 抛物线开口向下， 当时，有最大值，最大值为， 故答案为：，． 【变式3】（24-25九年级上·湖北襄阳·期中）如图，已知抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）当时，求二次函数的最大值和最小值； （3）点P是第一象限抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线l，交于点H，连接，，求面积的最大值及此时点P坐标． 【答案】（1）；（2）当时，二次函数的最大值为4，最小值为；（3）面积的最大值为，此时点P坐标为 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据二次函数的增减性求出当时，二次函数的最大值和最小值即可； （3）求出直线的解析式为，设点，则，求出，得出，求出二次函数的最大值即可得出答案． （1）解：把点，点代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：的对称轴为直线， ∵， ∴当时，函数取最大值， ∵， ∴当时，函数取最小值， ∴当时，二次函数的最大值为4，最小值为． （3）解：把代入得：， ∴， 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 设点， 则， ∴， ∴ ， ∴当时，的面积最大，且最大值为，此时点P的坐标为． 【点拨】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析，求二次函数的最值，求一次函数解析式，二次函数的性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握二次函数的图象和性质． 【题型4】二次函数与角度问题 【例题4】（2026·四川雅安·一模）如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． （1）求抛物线及直线的解析式； （2）直接写出抛物线的顶点坐标和对称轴； （3）若P为抛物线上一点，当时，求点P的横坐标． 【答案】（1）抛物线的解析式为，直线的解析式为；（2）顶点坐标为，对称轴为直线；（3）点的横坐标为． 【分析】（1）已知抛物线与轴交于、，可设交点式，再利用与轴交点求出；利用待定系数法求直线解析式即可． （2）把抛物线解析式化为顶点式，或直接利用顶点横坐标公式，代入求纵坐标． （3）延长交x轴于点，由可得，设点的坐标为，利用两点距离公式求出m，再用待定系数法求出直线的解析式，最后与抛物线联立求解． （1）解：抛物线与轴交于、， 设其解析式为， 抛物线与轴交于点，令得， 又此时， ， 解得：， ， 点的坐标为， 设直线解析式为， 把、，代入，得 解得， 直线的解析式为． （2）解：， 抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线． （3）解：、、， ，，， 在中，， 延长交x轴于点， ， ∴， 设点的坐标为， ， 解得， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 直线过点， ， 又直线过点， ， 解得：， 直线的解析式为， 点在抛物线上， ， 解得：（为点，舍去）或， 点的横坐标为． 【变式1】（2026年5月福建省漳州市龙海区浮宫中学九年级练习试卷）在平面直角坐标系中，的图像交轴于点、（在的左侧）若抛物线上有一点，连接，，则的长为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】先求抛物线与轴交点的坐标，分两种情况讨论：在轴上方，在轴下方，得到直线的解析式，联立抛物线方程得到点坐标，最后用勾股定理计算的长度即可． 解：对于，令，则， 因式分解得， 解得，， 在的左侧， ，， ，， 分两种情况讨论： 在轴上方，如图，过点作交于点， ， ， ， 设直线的解析式为， 将点，代入得，， 解得， 直线的解析式为， 联立， 整理得，解得（对应点，舍去），， 代入得，即， 由勾股定理得； 在轴下方，如图，设交轴于点， ， ， ， 设直线的解析式为， 将点，代入得，， 解得， 直线的解析式为， 联立， 整理得，解得（对应点，舍去），， 代入得，即， 由勾股定理得； 综上，的长为或． 【变式2】（2026·贵州铜仁·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，，点C，D均在抛物线上，其中点C的横坐标为，点D在直线的下方，当时，点D的坐标是______． 【答案】 【分析】已知抛物线过A、B两点，将两点坐标代入抛物线解析式，求出a、b的值，确定抛物线表达式． 已知点C横坐标，将其代入抛物线表达式，求出点C的纵坐标，确定点C坐标． 过点A作于点E，过点E作轴，过A、C作于点F，证明，得，设，则，解得，即，求出直线的解析式，联立抛物线解析式得，解得，即得． 解：∵抛物线过、， ∴用交点式得：， 对比常数项，得， 因此抛物线解析式为：． ∵点横坐标为， ∴代入抛物线得， 即． 过点A作于点E，过点E作轴，过A、C作于点F，于点G， 则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， 则， ∴， 解得, ∴ 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线解析式为， 联立抛物线解析式得， 化简得， 解得​（对应点），， 代入解析式得​， ∴． 【变式3】（2025九年级·湖南怀化·竞赛）如图，抛物线，顶点为，该抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，且．直线与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）证明为直角三角形； （3）求与的差． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【分析】（1）先求出，得到，，求出，，用待定系数法求函数解析式即可； （2）先求出，得到，，，根据勾股定理的逆定理判定即可； （3）求出，推出，，得到． （1）解：关于抛物线，当时，， ， ， ， ，， ，， 将，代入得， 解得， 抛物线的解析式为； （2）证明：由（1）知抛物线的解析式为， ， ，， ，，， ， 是直角三角形； （3）解：直线与轴交于点， ， ， ， ， 由（2）得，，， ， ， ，， ， ． 【题型5】二次函数与特殊三角形问题 【例题5】（2025·天津南开·模拟预测）已知抛物线的顶点为，且经过点． （1）求该抛物线对应的函数的解析式； （2）将该抛物线向下平移个单位，设得到的抛物线的顶点为A，与x轴的两个交点为B，C，若是以为斜边的等腰直角三角形，求m的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由待定系数法求解即可； （2）先求出平移后的抛物线表达式，即可求解顶点，再令，求解抛物线与轴坐标，再由等腰直角三角形的性质求解． （1）解：设抛物线的解析式为：，且经过点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：将向下平移个单位得：， ∴ 令， 解得或， ∴，（B、C坐标互换亦可） ∴， 过点A作于H， ∵是以为斜边的等腰直角三角形， ∴ ∴， ∴ 解得或（舍去）． 【变式1】（2026年河北省初中学业水平考试数学模拟试卷（二））在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，若为直角三角形，则m的值为（   ） A． B． C．0 D． 【答案】C 【分析】先化简抛物线解析式，求出A、B、C三点的坐标，判断直角位置，只有可能为直角，再利用勾股定理列方程求解，舍去不符合题意的解即可得到的值． 解：∵， 令，得，解得，， ∵点A在点B左侧，∴，，可得， 令，得， ∴，C不与A、B重合，故， 若为直角三角形，分情况讨论： 若， ∵在轴上， ∴轴，A的横坐标等于C的横坐标为0，即，得， 此时，C与A重合，舍去； 若，同理得，， 此时，C与B重合，舍去； 因此只有，由勾股定理得， 计算得，，， 代入等式得：， 解得或， 舍去不符合题意的，得． 【变式2】（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，抛物线与x轴交于点A，B（点B在A的右侧），与y轴交于点C，其中，点P在第一象限的抛物线上，若是以为底的等腰直角三角形，则m的值为______. 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质、全等三角形的性质与判定及等腰直角三角形的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质、全等三角形的性质与判定及等腰直角三角形的性质是解题的关键；过点P作轴于点E，由题意易得，然后可得，则有，进而代入二次函数解析式进行求解即可． 解：过点P作轴于点E，如图所示： 令，则有，解得：， 令时，则， ∴， ∴， ∵是以为底的等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点P在第一象限的抛物线上， ∴， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）， 故答案为． 【变式3】（25-26九年级下·陕西·期中）如图，抛物线（b、c为常数）分别与轴交于点、，与轴交于点． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）点是抛物线的顶点，连接，点是抛物线的对称轴上的点，如果是以为腰的等腰三角形，请你求出所有满足条件的点的坐标． 【答案】（1）；（2）点的坐标为或或 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数综合—特殊三角形问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）利用待定系数法计算即可得出结果； （2）先求出点的坐标为，点的坐标为，再分两种情况：当时，点位于点位置，过点作于点；当时，点位于点和点位置；分别计算即可得出结果． （1）解：分别将、代入中，得： ， 解得， 该抛物线的函数表达式为． （2）解：令，则， 点的坐标为， ， 点的坐标为， ①当时，点位于点位置，过点作于点，如图， 则点的坐标为， ， ， 点的纵坐标为， 点的坐标为； ②当时，点位于点和点位置，如图， ，，， ， 点的纵坐标为，点的纵坐标为， 点的坐标为，点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或或． 【题型6】二次函数与四边形问题 【例题6】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线的顶点为，与y轴交于点A，过点A作轴，交该抛物线于点C，连接，以为边作，点D在x轴的负半轴上． （1）求该抛物线的解析式； （2）求点C的坐标及的面积． 【答案】（1）；（2）， 【分析】（1）根据顶点坐标即可得到抛物线的解析式； （2）根据（1）所求求出点的坐标，再由对称性得到点的坐标，结合平行四边形的性质求解面积即可． （1）解：∵抛物线的顶点为， ∴， 抛物线的解析式为； （2）解：当时，， ， 顶点为， ∴对称轴为直线， 轴，交该抛物线于点和点， 关于直线对称， ， ， ∴． 【变式1】（25-26九年级上·河南·期末）如图，菱形的顶点在轴的正半轴上，抛物线经过顶点．若，则菱形的面积为（   ） A． B．2 C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和菱形的性质，过点作轴交轴于点，连接，设，根据，求得点的坐标，进而求得菱形的边长，根据菱形的性质，即可求解． 解：过点作轴交轴于点，连接， ∵ ∴ ∴，， ∵抛物线经过顶点 ∴设， ∴ ∴ 解得：或（舍去） ∴， ∴, ∵菱形， ∴， 设，则，， 在中， ∴ 解得： ∴ ∴菱形的面积为 故选：A． 【变式2】（24-25九年级下·吉林长春·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，四边形和四边形都是正方形，点A在x轴正半轴上，点C、F在y轴正半轴上，点D在线段上，点B为抛物线的顶点．点E在此抛物线上，则点E的坐标为________． 【答案】 【分析】先求出抛物线的顶点坐标为，再结合正方形的性质可得，可求出a的值，设，则点，把点代入抛物线解析式，即可求解． 解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴， ∵点B为抛物线的顶点， ∴， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为， 设，则点， 把点代入得： ， 解得：或2（舍去）， ∴点E的坐标为． 【变式3】（2026·陕西·模拟预测）如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴负半轴交于点，且． （1）求这个二次函数的表达式； （2）若点在该二次函数的图象上，点在其图象的对称轴上，且以，，，为顶点的四边形是以为边的平行四边形，求点的坐标． 【答案】（1）这个二次函数的表达式为；（2）点的坐标为或． 【分析】（1）由已知可得，，代入，可得，，即可得这个二次函数的表达式； （2）的对称轴为直线，设点，，根据题意进行分类讨论，由平行四边形的对角线互相平分，可得两条对角线中点横坐标相等，可得，即可得点的坐标． （1）解：∵， ∴，， ∴， 解得， ∴这个二次函数的表达式为． （2）解：的对称轴为直线，即， 设点，， 若四边形为平行四边形，连接，，则与互相平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 若四边形为平行四边形，连接，，则与互相平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为或． 【题型7】二次函数动点最值与路径问题 【例题7】（24-25九年级上·广西河池·期末）如图，已知抛物线经过点，与x轴交于点，其对称轴为直线，P为x轴上方抛物线上的一动点． （1）直接写出抛物线的解析式和顶点坐标； （2）对称轴上存在点C，使得的值最小，求点C的坐标； （3）若，垂足为D，小王说“当点P与顶点重合时，的值最大．”你是否同意小王的说法，请说明理由． 【答案】（1），顶点坐标为；（2）C的坐标为；（3）不同意，理由见解析 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求得对称轴为直线，推出直线与对称轴的交点即为所求的点C，据此求解即可； （3）用含的二次函数表示出，利用二次函数的性质即可求解． （1）解：由题意得，解得， ∴所求解析式为：， ， ∴顶点坐标为； （2）解：∵， ∴对称轴为直线， ∵点O点B关于对称轴对称， ∴直线与对称轴的交点即为所求的点C， 设直线为，则 ， 解得：，， ∴， 当时，， ∴C的坐标为； （3）解：小王的说法是错误的． 理由：当点P与顶点重合时，， 当点P与顶点不重合时，设D为则P为， 此时， 即时，的最大值， 而， ∴小王的说法是错误的． 【变式1】（25-26九年级上·山西吕梁·期中）如图，抛物线经过点，交轴于点，其对称轴为直线，若对称轴上有一点，使的值最小，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的对称轴，待定系数法求一次函数解析式等知识，根据二次函数的对称轴求出抛物线与x轴的另一交点，如图，设为C，根据对称性得到，进而得到当点M在线段上时，的值最小，然后根据待定系数法求直线解析式，最后把代入求解即可． 解：∵抛物线的对称轴为直线，， ∴点A关于直线的对称点为， 如图，设为点C，连接， ∴， ∴， ∴当点M在线段上时，的值最小， 设直线解析式为， 则， ∴， ∴， 当时，， ∴， 故选：B． 【变式2】（2026·山东德州·二模）如图，直线（k、b为常数）分别与x轴、y轴交于点、，抛物线与y轴交于点C，点E在抛物线的对称轴上移动，点F在直线上移动，的最小值是______． 【答案】 【分析】先利用待定系数法求出的解析式，根据二次函数解析式求出的坐标及对称轴；再利用轴对称性质，找到关于抛物线对称轴的对称点，将转化为；最后根据“垂线段最短”，当三点共线且时，取得最小值，即到直线的距离． 解：∵直线，过点，， ∴ 解得，， ∴直线的解析式为； 又∵抛物线与轴交于点， ∴令，解得， ∴点坐标为， ∵抛物线对称轴， ∴抛物线对称轴为， ∴点关于对称轴的对称点坐标为， ∴， ∴要使最小，即求的最小值； 又∵点到直线之间，垂线段最短， ∴当时，最小． 连接，，过点作轴于点，则，如图所示： ∵在中，，， ∴， 又∵ 又∵（其中）， ∴， ∴， ∴的最小值为． 【变式3】（25-26九年级上·天津·期末）在平面直角坐标系中，抛物线的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，顶点为D，且，． （1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标； （2）E为抛物线上一点，当时，求点E的坐标； （3）已知点满足，M、N分别是x轴，直线AD上的动点，当的最小值为时，求n的值． 【答案】（1）解析式为，顶点D的坐标为；（2）点E的坐标为；（3） 【分析】题目主要考查二次函数的性质，等腰三角形的判定和性质，一次函数的性质，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据待定系数法求解即可； （2）过点A作交抛物线于点E，过点D作轴于点H，过点E作轴于点F，根据等腰三角形的判定得出是等腰直角三角形，设，确定，，列出方程求解即可； （3）作关于x轴的对称点，过点作于点N，交x轴于点M，过点作轴交直线于点T，得出当时，最小，最小值为的长度，确定，再由一次函数的性质求解即可． （1）解：把，代入抛物线得 ， 解得． ∴抛物线的解析式为． ∴顶点D的坐标为． （2）如图，过点A作交抛物线于点E， 过点D作轴于点H，过点E作轴于点F． ∵，， ∴． ∴是等腰直角三角形． ∴． ∴． ∴是等腰直角三角形． 设， ∴，． ∵． ∴． （不符合题意，舍去），． ∴点E的坐标为． （3）如图，作关于x轴的对称点， 过点作于点N，交x轴于点M， 过点作轴交直线于点T， ∵P，关于x轴对称， ∴． ∴． 当时，最小，最小值为的长度， ∴． ∵轴， ∴． ∴． ∴． 由，， 设直线的解析式为， ∴． 解得∴． ∴． ∵， 将代入得，． ∴． ∴． ∴． 三.同步检测 （一）选择题（本大题共5个小题,每小题4分,共20分） 1．（25-26九年级上·江西宜春·阶段检测）如图，抛物线的顶点为，抛物线与轴交于点，是轴上的一个动点．当的值最小时，点的坐标是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，轴对称的性质，一次函数与坐标轴的交点问题，熟练掌握各知识点是解题的关键． 先求出，，过点作轴的对称点，则，连接，交轴于点，由对称可得，，则，那么当点共线时，取得最小值，此时与重合，再求出直线的表达式，即可求解与轴的交点． 解：对于抛物线，当时，， ∴， ∵， ∴， 过点作轴的对称点，则，连接，交轴于点，    由对称可得，， ∴， 当点共线时，取得最小值，此时与重合， 设直线， ∴， ∴， ∴直线， 当时，， ∴， ∴此时， 故选：A． 2．（2026·广东河源·模拟预测）如图，小明的爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙的长度为）的矩形鸭舍，并在垂直于墙的某一边中间留一个宽为的门（由其他材料制成）．已知矩形的宽为x米，当矩形面积S最大时，则矩形的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设矩形场地垂直于墙一边长为，可以得出平行于墙的一边的长为．根据矩形的面积公式构建S关于x的二次函数，然后根据二次函数的性质求解即可． 解：设矩形场地垂直于墙一边长为， 根据题意，得 ， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，S最大， 此时． 3．（2025·河北石家庄·模拟预测）如图，已知抛物线的对称轴为，过其顶点M的一条直线与该抛物线的另一个交点为．要在坐标轴上找一点P，使得的周长最小，则点P的坐标为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】首先，求得抛物线的解析式，根据抛物线解析式求得的坐标；欲使的周长最小，的长度一定，所以只需取最小值即可，然后，过点作关于轴对称的点，连接与轴的交点即为所求的点；过点作关于轴对称的点，连接， 则只需与轴的交点即为所求的点，分别计算两种情况下的周长再取最小值即可． 解：如图，∵抛物线 的对称轴为点是抛物线上的一点， ∴，解得 ∴该抛物线的解析式为 ， 的周长，且是定值，所以只需最小， 如图，过点作关于轴对称的点，连接与轴的交点即为所求的点，则， 设直线的解析式为：则 ，解得， 故该直线的解析式为 ， 当时，，即， 同理，如图，过点作关于轴对称的点，连接 ，则只需与轴的交点即为所求的点， 如果点在轴上，则三角形的周长；如果点在轴上，则的周长； 所以点在时，三角形的周长最小， 综上所述，符合条件的点P的坐标是， 故选：． 【点拨】本题考查了轴对称-最短路线问题，二次函数的性质，待定系数法求一次函数的解析式，平面直角坐标系中两点距离公式；在求点P的坐标时，一定要注意题目要求是“要在坐标轴上找一点P”，所以应该找x轴和y轴上符合条件的点P． 4．（25-26九年级上·吉林·期中）如图，抛物线与直线相交于点A、B，连接、，则的面积是（   ） A．3 B．4 C．6 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线和三角形面积，令得一元二次方程，求解可得点A，B的坐标，进一步由三角形面积公式可得结论． 解：对于 令，得 解得，，， ∴，， ∴    ∴． 故选：C． 5．（2025·四川自贡·模拟预测）如图，二次函数的图象交轴于，两点，图象上的一点使，则点的坐标是　　 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的判定和性质，表示出的坐标是解题的关键．过点作轴于点，构造等腰直角，设，根据等腰直角三角形的性质表示出点的坐标，代入抛物线解析式得到关于的方程，解方程即可求解． 解：二次函数中，令，则， 解得，， ，， 过点作轴于点， ， ， 是等腰直角三角形， ， 设， ， 点在二次函数的图象上， ， 解得，（舍去）， ， 故选：． （2） 填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 6．（25-26九年级上·河北石家庄·期末）如图，已知，是抛物线上的两点，在抛物线对称轴上有一动点P，当的周长最小时，P点坐标为________，此时的面积为________． 【答案】 6 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征及轴对称-最短路线问题，熟知轴对称的性质及二次函数的图象与性质是解题的关键．根据轴对称的性质，求出的周长最小时点P的位置，据此得出点P的坐标，进一步求出此时的面积即可． 解：由题知， 因为，是抛物线上的两点， 则，， 所以点A坐标为，点B坐标为， 如图所示， 因为抛物线的对称轴为y轴， 则点A关于y轴的对称点M的坐标为， 所以当点P在与y轴的交点处时，取得最小值，即的周长取得最小值． 因为点M坐标为，点B坐标为， 所以直线的函数解析式为． 当时，， 所以点P的坐标为． 因为， 所以． 故答案为：，6． 7．（25-26九年级下·辽宁铁岭·阶段检测）如图，一根铝合金型材长为，用它制作一个“日”字型窗户的框架，如果恰好用完整条铝合金型材，则窗户的最大面积是_______． 【答案】 【分析】设为，则，根据矩形的面积求得面积与的函数关系，根据二次函数的性质求解即可求得答案． 解：设为，则， 则窗户的面积 当时，取得最大值为． 8．（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，，与y轴交于点，点Q是对称轴上一动点． （1）_________． （2）当的周长最小时，则_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数综合，待定系数法求二次函数解析式，两点间的距离公式，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）连接，由对称性可得，则可得到当P、Q、N三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值；求出直线的表达式为．抛物线的对称轴为直线，则的周长有最小值时，点Q的坐标为，再求出的长即可得到答案．， 解：（1）∵二次函数的图象与x轴交于点，， ∴ 解得 ， 故答案为：； （2）如图所示，连接， 由对称性可得， ∴的周长， ∵是定值， ∴当P、Q、N三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值， 设直线的表达式为， ∴ 解得， 直线的表达式为． 抛物线的表达式为， 此抛物线的对称轴为直线， 在中，当时，， ∴的周长有最小值时，点Q的坐标为， ∴此时 ∵， 当的周长最小时，， 故答案为：． 9．（25-26九年级上·上海·阶段检测）将抛物线沿y轴向下平移后，所得抛物线与x轴交于点A、B，顶点为C，如果是等腰直角三角形，那么顶点C的坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换、等腰直角三角形的性质及抛物线与x轴的交点问题，根据题意画出图形、作出辅助线是解答此题的关键．设抛物线沿y轴向下平移b个单位，则抛物线的解析式为，再根据题意画出图形，令得出AB两点的坐标，作轴于点E，求出E点坐标，由等腰三角形的性质可知，进而可得出b的值． 解：设抛物线沿y轴向下平移b个单位，抛物线的解析式为，此时点C的坐标为， 如图所示： 令，则， ，， 过点C作轴于点E，则， 是等腰直角三角形， ， 或， 点坐标为． 故答案为：． （三）解答题（本大题共8个小题,每小题8分,共64分） 10．（25-26九年级下·河南周口·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，点与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是抛物线对称轴上的一点，求的周长的最小值． 【答案】（1）；（2）最小值为 【分析】（1）利用抛物线经过的两个点的坐标，代入抛物线解析式，通过解方程组求出系数，从而得到函数表达式； （2）根据题意得出对称轴为，确定，再由对称性求周长即可． （1）解：已知抛物线过，代入得： ， 解得， 故； （2）解：抛物线的对称轴为， A与B关于对称轴对称， ∴， ∴周长最小值 由（1）得， ∴， ∴的最小值为 11．（24-25九年级上·海南三亚·期末）学校准备在教学楼后面搭建一个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用的墙长为），另外三边利用学校现有总长的铁栏围成． （1）若围成的面积为，请求出自行车车棚的长和宽； （2）能围成面积最大的自行车车棚吗？如果能，求出最大面积；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）自行车车棚的长和宽分别为、；（2）能，最大面积为 【分析】（1）设，则，由围成的矩形面积列方程求解； （2）设围成的矩形面积为，得到，由二次函数图象与性质求解即可． （1）解：设，则， 根据题意得， 解得，， 当时，； 当时，（不合题意，舍去）； 答：若围成的面积为，自行车车棚的长和宽分别为、； （2）解：能， 设围成的矩形面积为，， 根据题意得， 抛物线开口向下， 当时，有最大值，为， 此时，符合题意， 综上所述，自行车车棚有最大面积，最大面积为． 【点拨】这是实际应用题，求解时一定要注意满足题中实际的限制条件． 12．（2025·江苏盐城·模拟预测）如图，二次函数的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点B的坐标为，点C的坐标为，直线l经过B、C两点． （1）求该二次函数的表达式及其图像的顶点坐标； （2）点P在线段上运动（不与B、C重合），过点P作x轴的垂线与该二次函数的图像相交于点M，再过点M作y轴的垂线与该二次函数的图像相交于另一点N，当时，求点P的坐标； 【答案】（1），顶点坐标；（2）点P的坐标为或 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式，然后配方成顶点式即可； （2）首先求出直线的解析式为，设，则，，则，，由题意可得方程，求解方程即可． （1）解：将点，代入 ∴ 解得 ∴ ∵ ∴顶点坐标； （2）解：设直线的解析式为 将，代入得， 解得 ∴直线的解析式为 如图，设，，则 ∵抛物线对称轴为直线，轴 ∴点M和点N关于对称轴对称 ∴ ∴，， ∵ ∴ ∴或 当时，整理得 解得，（舍去） ∴； 当时，整理得 解得（舍去）， ∴； 综上所述，点P点坐标为或． 13．（2026·辽宁·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点． （1）求和的值； （2）是一次函数在第一象限内的图象上的点，垂直于轴，垂足为．是反比例函数的图象上的点．若点到轴的距离是点到轴的距离的倍，求面积的最大值及此时点的坐标． 【答案】（1），；（2）面积的最大值为，此时点的坐标为 【分析】（1）根据函数图象上点的坐标特征，将代入求得，得，再将代入可得的值； （2）如图，过点作轴于点，过点作轴于点，设，得，，，继而得到，进一步得到，再根据二次函数的最值可得答案． （1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）知：反比例函数的解析式为， 如图，过点作轴于点，过点作轴于点，设， ∵是一次函数在第一象限内的图象上的点，垂直于轴， ∴，，， ∴， ∵是反比例函数的图象上的点，且点到轴的距离是点到轴的距离的倍， ∴， ∴点的横坐标为， ∴， ∵ ， 又∵，， ∴当时，取得最大值，最大值为， 此时， ∴面积的最大值为，此时点的坐标为． 14．（2025·黑龙江·三模）如图，抛物线与x轴分别交于，两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）P是抛物线上的一个点，连接，，直接写出点P的坐标． 【答案】（1）；（2）点P的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）当点P在x轴上方时，取点，连接，可证明，推出，则点P在射线上，求出直线的解析式为，联立对应的函数解析式求出点P的坐标即可；当点P在x轴下方时，取点，连接，同理可证明点P在射线上，联立对应的函数解析式求出点P的坐标即可． （1）解：∵抛物线与x轴分别交于，两点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图所示，当点P在x轴上方时，取点，连接， 在中，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点P在射线上； 设直线的解析式为， 则， ∴， ∴直线的解析式为， 联立得，解得或， ∴点P的坐标为； 如图所示，当点P在x轴下方时，取点，连接， 同理可证明， ∴， ∵， ∴， ∴点P在射线上； 设直线的解析式为， 则， ∴， ∴直线的解析式为， 联立得，解得或， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或． 15．（2025·江西南昌·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，过A点的直线与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，已知点D的横坐标为4，点P为直线l上方的抛物线上一动点． （1）求抛物线的解析式； （2）过P点作轴交直线l于点E，作轴交直线l于点F，连接． ①当为直角三角形时，求点P的坐标； ②求的最大值，并求出当最大时点P的坐标． 【答案】（1）；（2）①或；②最大值，此时 【分析】（1）A，D两点既在直线上又在抛物线上，先通过直线方程求出A，D两点坐标，再代入抛物线方程即可． （2）①根据为直角三角形进行分类讨论，依据不同情况时具有的几何特征找出等量关系列方程求解． ②利用隐含的角度关系，得出，将所求的目标进行转化，将双变量化为单变量再通过函数求出最值． （1）解：∵A点在直线l上， ∴令，代入得， ∴， ∵D点在直线l上， ∴令，代入得， ∴， 又∵点A，点D在抛物线上， 则有，解得， 故抛物线的解析式为． （2）由题设， ①∵点A，点C为直线与坐标轴的两交点， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴当为直角三角形时有两种情况，或， 1）当时，， ∵轴，即， ∴为等腰直角三角形， 则有， ∴，解得或（舍）， ∴， 2）当时，点P与点B重合，即此时点P在x轴上 ， ∴令，解得或（舍）， ∴， 综上为直角三角形时，点P坐标为或． ②∵轴，轴， ∴，， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 即，此时符合有． 16．（2025·安徽·模拟预测）如图，抛物线：交轴于点和点B，交y轴于点，顶点记为． （1）求抛物线的函数表达式及顶点的坐标． （2）连接，若线段上有一点，过点作轴的平行线交抛物线于点，求线段长的最大值． （3）在（2）中，当的长最大时，将该抛物线平移，设平移后的抛物线为，抛物线的顶点记为，它的对称轴与x轴交于点．怎样平移才能使得以、、、为顶点的四边形是菱形？ 【答案】（1）；；（2）；（3）向右平移个单位长度，向下平移个单位长度或向左平移个单位长度，向下平移个单位长度 【分析】（1）把、两点坐标代入抛物线一般式，解二元一次方程组求得、，即可得到抛物线函数表达式；将表达式配方为顶点式，直接写出顶点的坐标即可； （2）先用待定系数法求直线的解析式，设点横坐标为，用表示、的坐标，通过两点纵坐标差写出关于的二次函数，利用二次函数性质求出的最大值即可； （3）先确定最大时点、的坐标，设平移后顶点，则，根据的位置，分在轴上方、下方两种情况，依据菱形邻边相等列方程求、，舍去无解情况，根据顶点坐标的变化量即可确定抛物线的平移方式． （1）解：把、代入，得 ， 解得， ∴抛物线的函数表达式为， 化为顶点式，得， ∴点的坐标为； （2）解：设直线的表达式为，代入、得 ， 解得， ∴直线的表达式为， 设点的横坐标为，则，， ， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， ∵，在取值内， ∴当时，； （3）解：由（2）当的长最大时，，点，点， 设平移后抛物线顶点，抛物线对称轴为直线，对称轴交轴于点， 根据的位置，可分两种情况讨论： ①如图，当点在轴上方时，四边形是菱形，则， ∴， 解得或， ，即， 解得或（不合题意，舍去）； ∴的坐标为或， ∵抛物线的顶点为， ∴当的坐标为时，，，抛物线向右平移个单位长度，向下平移个单位长度； 当的坐标为时，，，抛物线向左平移个单位长度，向下平移个单位长度； ②当点在轴下方时，四边形是菱形，则， ∴， 两边平方，得， 移项并整理，得， ∴此方程无实数根， 故此情况不成立； 综上，抛物线向右平移个单位长度，向下平移个单位长度或向左平移个单位长度，向下平移个单位长度，能使得以、、、为顶点的四边形是菱形． 17．（2025·四川自贡·三模）如图，在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，过A，C两点的抛物线与x轴交于另一点，抛物线对称轴为直线l． （1）求抛物线的解析式； （2）点M为直线下方抛物线上一点，当的面积最大时，求点M的坐标； （3）在（2）的条件下，点N为y轴上一点，求的最小值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）由一次函数的解析式求出点A和点C的坐标，再利用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）过点M作轴，交于点D，设，则，可得，则可得到，据此可得答案； （3）作直线，且使得直线与y轴正半轴的夹角为，过点N作于点G，连接，则，可证明当三点共线（点N在上），且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为线段的长；过点M作轴，交x轴于点K，交直线于点T，求出的长，根据，求出的长即可得到答案． （1）解：在中，当时，，当时，，解得， ∴， ∵抛物线经过三点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图所示，过点M作轴，交于点D， 设，则， ∴， ∴ ， ∵， ∴当，即时，有最大值， 此时， ∴当的面积最大时，点M的坐标为； （3）解：如图3-1所示，作直线，且使得直线与y轴正半轴的夹角为，过点N作于点G，连接， 在中，， ∴， ∴， ∵垂线段最短， ∴当三点共线（点N在上），且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为线段的长； 如图3-2所示，当有最小值时，过点M作轴，交x轴于点K，交直线于点T， 由（2）得点M的坐标为， ∴； ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴的最小值为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 1.13 二次函数复习专题——二次函数与几何综合（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理与解读 1 【知识点1】二次函数核心基础性质 1 【知识点2】函数与几何公式 2 【知识点3】几何模型关联知识点 2 二.题型精析 2 【题型1】二次函数与四边形面积最值问题 2 【题型2】二次函数与线段、周长最值问题 3 【题型3】二次函数与三角形面积最值问题 5 【题型4】二次函数与角度问题 6 【题型5】二次函数与特殊三角形问题 7 【题型6】二次函数与四边形问题 8 【题型7】二次函数动点最值与路径问题 10 三.同步检测 11 （一）选择题（本大题共5个小题,每小题4分,共20分） 11 （二）填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 12 （三）解答题（本大题共8个小题,每小题8分,共64分） 13 一.知识梳理与解读 二次函数与几何综合是初中数学中考核心重难点，融合二次函数图像性质、平面几何图形性质、坐标运算、最值、存在性等核心考点，解题核心思路为以函数定坐标、以坐标算几何、以几何建方程，实现代数与几何的相互转化。本专题核心关联知识点如下： 【知识点1】二次函数核心基础性质 1. 三种解析式形式 （1）一般式：，适用于已知任意三点坐标求解析式，决定开口方向与大小，为抛物线与y轴交点纵坐标。 （2）顶点式：，顶点坐标，对称轴直线，适用于已知顶点、最值、对称轴解题。 （3）交点式：，为抛物线与x轴交点横坐标，适用于已知抛物线与x轴两个交点解题。 2. 核心图像性质 （1）开口方向：开口向上，有最小值；开口向下，有最大值。 （2）对称轴公式：，顶点纵坐标（最值）：。 （3）增减性：对称轴左侧、右侧单调性相反，结合开口方向可判断函数增减变化。 【知识点2】函数与几何公式 二次函数几何综合题的核心是坐标与线段、图形的转化，必备基础公式： （1）两点间距离公式：若，则 （2）中点坐标公式：AB中点坐标为 （3）水平（竖直）线段长度：水平线段，竖直线段 （4）直线斜率公式：，两直线垂直则斜率乘积为-1（k存在时） 【知识点3】几何模型关联知识点 二次函数综合题常结合三角形、四边形、特殊图形、面积、最值、存在性问题，核心几何性质如下： （1）特殊三角形：等腰三角形（两边相等、三线合一）、直角三角形（勾股定理、垂直斜率关系）、等边三角形（三边相等、三角60°） （2）特殊四边形：平行四边形（对边平行且相等、对角线互相平分）、矩形（四角直角、对角线相等）、菱形（四边相等、对角线垂直）、正方形（兼具矩形菱形性质） （3）面积模型：割补法、铅垂高法（二次函数三角形面积核心方法：） 二.题型精析 【题型1】二次函数与四边形面积最值问题 【例题1】（24-25九年级上·云南昭通·阶段检测）如图，用长的护栏全部用于建造一个靠墙（墙的长度不限）的长方形养牛场，已知此长方形养牛场的面积为，且与墙平行的边长为． （1）求与之间的函数解析式； （2）当边长为何值时，该长方形面积最大？并求出其最大值． 【变式1】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，有一张长，宽的矩形纸板，在它的四个角处分别裁去一个同样的小正方形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒，则该纸盒侧面积的最大值是（      ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·江苏泰州·二模）数学兴趣小组的同学在“综合与实践”活动中，用总长为的栅栏围一个一边靠墙的矩形花圃．设与墙垂直的边的长为，花圃的面积为．则S关于x的函数表达式为______，当______时，S可以取得最大值． 【变式3】（24-25九年级上·山西大同·阶段检测）如图，抛物线过点，矩形的边在线段上（点A在点B的左边），点C，D在抛物线上．设，当时，． （1）求抛物线的函数表达式． （2）当t为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？ 【题型2】二次函数与线段、周长最值问题 【例题2】（2025·青海玉树·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，交轴于点． （1）求抛物线的解析式； （2）若将该抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，求平移后的解析式； （3）若点是线段上一动点，过点作轴于点，交抛物线于点，求线段长度的最大值． 【变式1】（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，E，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当的值最小时，点C的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·湖北咸宁·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D，抛物线的对称轴上有一点P，使的和最小，则点P坐标为_________． 【变式3】（2024·山东聊城·模拟预测）如图所示，已知抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，其中，． （1）求这条抛物线的函数表达式； （2）已知在对称轴上存在一点，使得的周长最小．请求出点的坐标． 【题型3】二次函数与三角形面积最值问题 【例题3】（24-25九年级上·福建莆田·期中）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．已知点A的坐标是，抛物线的对称轴是直线． （1）求函数解析式和点B的坐标； （2）在对称轴上找一点P，使的值最小．求点P的坐标和的最小值； （3）第一象限内的抛物线上有一动点M，连接、，求面积的最大值，以及取得最大值时点M的坐标． 【变式1】（24-25九年级上·安徽安庆·阶段检测）抛物线交轴于点，，交轴于点，点为抛物线对称轴与轴的交点．若点为第一象限内对称轴右侧抛物线上一点，则面积的最大值为（    ） A．3 B．5 C． D． 【变式2】（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线对称轴为直线，且经过点，交轴于点． （1）该抛物线的解析式为________； （2）为直线下方抛物线上的任意一点，连接，，求面积的最大值为________． 【变式3】（24-25九年级上·湖北襄阳·期中）如图，已知抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）当时，求二次函数的最大值和最小值； （3）点P是第一象限抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线l，交于点H，连接，，求面积的最大值及此时点P坐标． 【题型4】二次函数与角度问题 【例题4】（2026·四川雅安·一模）如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． （1）求抛物线及直线的解析式； （2）直接写出抛物线的顶点坐标和对称轴； （3）若P为抛物线上一点，当时，求点P的横坐标． 【变式1】（2026年5月福建省漳州市龙海区浮宫中学九年级练习试卷）在平面直角坐标系中，的图像交轴于点、（在的左侧）若抛物线上有一点，连接，，则的长为（     ） A． B． C．或 D．或 【变式2】（2026·贵州铜仁·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，，点C，D均在抛物线上，其中点C的横坐标为，点D在直线的下方，当时，点D的坐标是______． 【变式3】（2025九年级·湖南怀化·竞赛）如图，抛物线，顶点为，该抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，且．直线与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）证明为直角三角形； （3）求与的差． 【题型5】二次函数与特殊三角形问题 【例题5】（2025·天津南开·模拟预测）已知抛物线的顶点为，且经过点． （1）求该抛物线对应的函数的解析式； （2）将该抛物线向下平移个单位，设得到的抛物线的顶点为A，与x轴的两个交点为B，C，若是以为斜边的等腰直角三角形，求m的值． 【变式1】（2026年河北省初中学业水平考试数学模拟试卷（二））在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，若为直角三角形，则m的值为（   ） A． B． C．0 D． 【变式2】（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，抛物线与x轴交于点A，B（点B在A的右侧），与y轴交于点C，其中，点P在第一象限的抛物线上，若是以为底的等腰直角三角形，则m的值为______. 【变式3】（25-26九年级下·陕西·期中）如图，抛物线（b、c为常数）分别与轴交于点、，与轴交于点． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）点是抛物线的顶点，连接，点是抛物线的对称轴上的点，如果是以为腰的等腰三角形，请你求出所有满足条件的点的坐标． 【题型6】二次函数与四边形问题 【例题6】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线的顶点为，与y轴交于点A，过点A作轴，交该抛物线于点C，连接，以为边作，点D在x轴的负半轴上． （1）求该抛物线的解析式； （2）求点C的坐标及的面积． 【变式1】（25-26九年级上·河南·期末）如图，菱形的顶点在轴的正半轴上，抛物线经过顶点．若，则菱形的面积为（   ） A． B．2 C．4 D． 【变式2】（24-25九年级下·吉林长春·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，四边形和四边形都是正方形，点A在x轴正半轴上，点C、F在y轴正半轴上，点D在线段上，点B为抛物线的顶点．点E在此抛物线上，则点E的坐标为________． 【变式3】（2026·陕西·模拟预测）如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴负半轴交于点，且． （1）求这个二次函数的表达式； （2）若点在该二次函数的图象上，点在其图象的对称轴上，且以，，，为顶点的四边形是以为边的平行四边形，求点的坐标． 【题型7】二次函数动点最值与路径问题 【例题7】（24-25九年级上·广西河池·期末）如图，已知抛物线经过点，与x轴交于点，其对称轴为直线，P为x轴上方抛物线上的一动点． （1）直接写出抛物线的解析式和顶点坐标； （2）对称轴上存在点C，使得的值最小，求点C的坐标； （3）若，垂足为D，小王说“当点P与顶点重合时，的值最大．”你是否同意小王的说法，请说明理由． 【变式1】（25-26九年级上·山西吕梁·期中）如图，抛物线经过点，交轴于点，其对称轴为直线，若对称轴上有一点，使的值最小，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·山东德州·二模）如图，直线（k、b为常数）分别与x轴、y轴交于点、，抛物线与y轴交于点C，点E在抛物线的对称轴上移动，点F在直线上移动，的最小值是______． 【变式3】（25-26九年级上·天津·期末）在平面直角坐标系中，抛物线的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，顶点为D，且，． （1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标； （2）E为抛物线上一点，当时，求点E的坐标； （3）已知点满足，M、N分别是x轴，直线AD上的动点，当的最小值为时，求n的值． 三.同步检测 （一）选择题（本大题共5个小题,每小题4分,共20分） 1．（25-26九年级上·江西宜春·阶段检测）如图，抛物线的顶点为，抛物线与轴交于点，是轴上的一个动点．当的值最小时，点的坐标是（    ）    A． B． C． D． 2．（2026·广东河源·模拟预测）如图，小明的爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙的长度为）的矩形鸭舍，并在垂直于墙的某一边中间留一个宽为的门（由其他材料制成）．已知矩形的宽为x米，当矩形面积S最大时，则矩形的长为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·河北石家庄·模拟预测）如图，已知抛物线的对称轴为，过其顶点M的一条直线与该抛物线的另一个交点为．要在坐标轴上找一点P，使得的周长最小，则点P的坐标为（   ） A． B． C．或 D． 4．（25-26九年级上·吉林·期中）如图，抛物线与直线相交于点A、B，连接、，则的面积是（   ） A．3 B．4 C．6 D．12 5．（2025·四川自贡·模拟预测）如图，二次函数的图象交轴于，两点，图象上的一点使，则点的坐标是　　 A． B． C． D． （2） 填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 6．（25-26九年级上·河北石家庄·期末）如图，已知，是抛物线上的两点，在抛物线对称轴上有一动点P，当的周长最小时，P点坐标为________，此时的面积为________． 7．（25-26九年级下·辽宁铁岭·阶段检测）如图，一根铝合金型材长为，用它制作一个“日”字型窗户的框架，如果恰好用完整条铝合金型材，则窗户的最大面积是_______． 8．（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，，与y轴交于点，点Q是对称轴上一动点． （1）_________． （2）当的周长最小时，则_________． 9．（25-26九年级上·上海·阶段检测）将抛物线沿y轴向下平移后，所得抛物线与x轴交于点A、B，顶点为C，如果是等腰直角三角形，那么顶点C的坐标是______． （三）解答题（本大题共8个小题,每小题8分,共64分） 10．（25-26九年级下·河南周口·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，点与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是抛物线对称轴上的一点，求的周长的最小值． 11．（24-25九年级上·海南三亚·期末）学校准备在教学楼后面搭建一个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用的墙长为），另外三边利用学校现有总长的铁栏围成． （1）若围成的面积为，请求出自行车车棚的长和宽； （2）能围成面积最大的自行车车棚吗？如果能，求出最大面积；如果不能，请说明理由． 12．（2025·江苏盐城·模拟预测）如图，二次函数的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点B的坐标为，点C的坐标为，直线l经过B、C两点． （1）求该二次函数的表达式及其图像的顶点坐标； （2）点P在线段上运动（不与B、C重合），过点P作x轴的垂线与该二次函数的图像相交于点M，再过点M作y轴的垂线与该二次函数的图像相交于另一点N，当时，求点P的坐标； 13．（2026·辽宁·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点． （1）求和的值； （2）是一次函数在第一象限内的图象上的点，垂直于轴，垂足为．是反比例函数的图象上的点．若点到轴的距离是点到轴的距离的倍，求面积的最大值及此时点的坐标． 14．（2025·黑龙江·三模）如图，抛物线与x轴分别交于，两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）P是抛物线上的一个点，连接，，直接写出点P的坐标． 15．（2025·江西南昌·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，过A点的直线与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，已知点D的横坐标为4，点P为直线l上方的抛物线上一动点． （1）求抛物线的解析式； （2）过P点作轴交直线l于点E，作轴交直线l于点F，连接． ①当为直角三角形时，求点P的坐标； ②求的最大值，并求出当最大时点P的坐标． 16．（2025·安徽·模拟预测）如图，抛物线：交轴于点和点B，交y轴于点，顶点记为． （1）求抛物线的函数表达式及顶点的坐标． （2）连接，若线段上有一点，过点作轴的平行线交抛物线于点，求线段长的最大值． （3）在（2）中，当的长最大时，将该抛物线平移，设平移后的抛物线为，抛物线的顶点记为，它的对称轴与x轴交于点．怎样平移才能使得以、、、为顶点的四边形是菱形？ 17．（2025·四川自贡·三模）如图，在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，过A，C两点的抛物线与x轴交于另一点，抛物线对称轴为直线l． （1）求抛物线的解析式； （2）点M为直线下方抛物线上一点，当的面积最大时，求点M的坐标； （3）在（2）的条件下，点N为y轴上一点，求的最小值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $