专题 1.12 二次函数复习专题——二次函数与面积最值（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）讲义 2026-2027学年浙教版九年级数学上册

该初中数学讲义通过系统梳理二次函数与面积最值知识，以知识框架图呈现“问题概述-面积求法-解题步骤-常见模型”脉络，明确铅垂高法、分割法等方法的适用条件与关键步骤，突出重难点内在联系。 讲义亮点在于分层题型设计，基础题型如铅垂高法求三角形面积，综合题型如分类讨论动点面积最值，结合解题技巧培养几何直观与运算能力。同步检测覆盖选择填空解答，支持分层教学，助力教师精准提升学生解题能力。

专题 1.12 二次函数复习专题——二次函数与面积最值（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理与解读 1 【知识点一】二次函数与面积问题概述 1 【知识点二】三角形面积的求法——铅垂高法 2 【知识点三】多边形面积的求法 2 【知识点四】面积最值问题的解题步骤 3 【知识点五】常见面积最值模型 3 二.题型精析（夯实基础） 4 【题型1】铅垂高法求三角形面积 4 【题型2】抛物线上动点三角形面积最值 8 【题型3】分割法求四边形面积 14 【题型4】补形法求三角形面积 19 三.题型精析（综合提升） 25 【题型5】动点问题中的面积最值（分类讨论） 25 【题型6】二次函数与四边形面积最值 32 【题型7】面积比例问题 38 【题型8】面积最值与存在性综合 43 四.同步检测 53 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 53 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 65 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 75 一.知识梳理与解读 【知识点一】二次函数与面积问题概述 1. 问题背景 在二次函数的综合题中，经常出现求几何图形面积的最大值或最小值的问题。这类问题通常以抛物线为背景，结合三角形、四边形等几何图形，通过动点的运动形成变化的图形面积。 2. 解题基本思路 ① 设：设出动点的坐标（通常用 表示横坐标，纵坐标用抛物线解析式表示）； ② 表：用含 的代数式表示图形的面积 ； ③ 函：将 表示为关于 的二次函数； ④ 最：用配方法或公式法求二次函数的最大值或最小值； ⑤ 验：验证最值点是否在自变量的取值范围内。 【知识点二】三角形面积的求法——铅垂高法 1. 铅垂高法公式 对于平面直角坐标系中的三角形 ，若已知 、 两点的横坐标分别为 、，点 到直线 的铅垂距离为 ，则： 2. 适用条件 当三角形的一条边平行于 轴（或两个顶点的横坐标已知），且第三个顶点在抛物线上运动时，常用铅垂高法求面积。 3. 关键步骤 ① 确定水平宽：两个固定点横坐标之差的绝对值； ② 求铅垂高：动点到固定边所在直线的竖直距离； ③ 代入公式求面积。 【知识点三】多边形面积的求法 1. 分割法 将多边形分割成若干个三角形，分别求出每个三角形的面积，再求和。 适用条件：多边形的顶点坐标已知，且可以从某一顶点出发连接其他顶点，将多边形分割为三角形。 2. 补形法 将三角形（或多边形）补成一个矩形（或梯形），用矩形面积减去周围直角三角形的面积。 适用条件：三角形的三边都不平行于坐标轴时，补形法往往比较简便。 3. 方法选择 ① 有边平行于坐标轴 → 优先用铅垂高法； ② 顶点坐标已知且便于分割 → 用分割法； ③ 三边都不平行于坐标轴 → 用补形法。 【知识点四】面积最值问题的解题步骤 1. 一般步骤 第一步：设动点坐标。设抛物线上动点 的坐标为 。 第二步：求面积表达式。根据图形特点，选择合适的方法（铅垂高法、分割法、补形法）表示图形面积 。 第三步：建立函数关系。将面积 表示为关于 的二次函数 。 第四步：求最值。用配方法或公式法求二次函数的最大值或最小值。 第五步：验证与作答。验证最值点是否在自变量的取值范围内，写出最终答案。 2. 注意事项 ① 自变量 的取值范围要根据动点的运动范围确定； ② 最值点可能在抛物线顶点处，也可能在区间端点处； ③ 当面积表达式不是二次函数时，要根据具体函数类型求最值。 【知识点五】常见面积最值模型 1. 模型一：抛物线上动点与两定点形成的三角形面积最值 已知 、 为定点（在 轴上或抛物线上）， 为抛物线上的动点，求 面积的最大值。 解法：用铅垂高法表示面积，当 到直线 的距离最大时，面积最大。 2. 模型二：抛物线上动点与坐标轴形成的四边形面积最值 已知 为抛物线上的动点，求由 与坐标轴上的点形成的四边形面积的最大值。 解法：用分割法将四边形分割为两个三角形，分别表示面积后求和。 3. 模型三：动点运动过程中面积的变化范围 已知 为线段上的动点，求某图形面积的取值范围。 解法：建立面积关于动点位置的函数，根据函数的单调性求最值。 二.题型精析（夯实基础） 【题型1】铅垂高法求三角形面积 【例题1】（24-25九年级上·四川自贡·阶段检测）如图，直线与抛物线交于两点（点在点的左侧）． （1）求两点的坐标； （2）记抛物线的顶点为A，求的面积． 【答案】（1），；（2） 【分析】本题主要考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握坐标系内求三角形面积的方法． （1）令，求出点B，C的横坐标，再将横坐标代入直线解析式求解； （2）作轴交于点D，由求解． （1）解：依题意，得， 整理得 解得：，， 将代入得， 将代入得， ∴点B坐标为，点C坐标为． （2）解：作轴交于点D，如图所示： ∵， ∴抛物线顶点A坐标为， 将代入得， ∴点D坐标为，， ∴ ． 【变式1】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，已知抛物线的对称轴为，过其顶点M的一条直线与该抛物线的另一个交点为．点P的坐标为，则△PMN的面积为（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据二次函数对称轴公式和二次函数图象上点的坐标特征求出抛物线的解析式，并将解析式化为顶点式求出点M的坐标，然后利用三角形面积公式计算即可． 解：∵抛物线的对称轴为x＝−3，点N（−1，1）是抛物线上的一点， ∴，， 解得：，， ∴， ∴， ∵，， ∴PN∥y轴，且PN＝1， ∴△PMN的面积为：， 故选：A． 【点拨】本题考查了二次函数对称轴公式，二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数顶点坐标的求法，熟练掌握基础知识是解题的关键． 【变式2】（2025·吉林长春·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，点P在抛物线上，连接．若是以为底边的等腰三角形，则的面积是_____． 【答案】/0.5 【分析】根据抛物线解析式可求出，即得出．再根据等腰三角形的性质和抛物线的对称性可知点P是抛物线顶点．将抛物线一般式改为顶点式，求出，最后由三角形面积公式求解即可． 解：对于，令y=0，则， 解得，， ∴， ∴． ∵是以为底边的等腰三角形， ∴点P是抛物线顶点． ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点拨】本题考查抛物线与x轴的交点，抛物线的顶点，等腰三角形的性质，抛物线的对称性．理解点P是抛物线顶点是解题关键． 【变式3】（24-25九年级上·北京西城·期中）如图所示，，两点在二次函数与一次函数图象上． （1）求的值和二次函数的解析式． （2）请直接写出使时，自变量的取值范围． （3）二次函数交轴于，请求出的面积． 【答案】（1）；；（2）或；（3）3 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式、二次函数与不等式的关系及函数在三角形面积计算中的应用 （1）把代入一次函数，解方程即可求得的值；把，分别代入二次函数，得到关于和的方程组，解得和的值，则可得二次函数的解析式． （2）根据函数图象，位于上方的函数值大，可直接得出答案． （3）先利用二次函数交轴于，求得点的坐标，再根据点的坐标，可得轴，按照直角三角形面积公式计算即可得的面积． （1）解：在一次函数图象上 ； ，两点在二次函数图象上 ， 解得：； 二次函数的解析式为； （2）解：由图象可得时，自变量的取值范围为或； （3）解：二次函数交轴于， ， 又， 轴，如图， 的面积为：． 的面积为3． 【解题技巧】铅垂高法的关键是找到水平宽和铅垂高。当三角形的一边在 轴上时，水平宽就是两点横坐标之差，铅垂高就是第三个点的纵坐标（取绝对值）。 【题型2】抛物线上动点三角形面积最值 【例题2】（24-25九年级上·广东广州·期末）如图，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点． （1）求该抛物线的解析式及顶点坐标； （2）若P是线段上一动点，过P作y轴的平行线交抛物线于点H，交于点N．设．的面积为S，求S关于t的函数解析式，若S有最大值，请求出S的最大值；若没有，请说明理由． 【答案】（1）抛物线的解析式为：；顶点坐标为；（2），当时，有最大值，最大值是． 【分析】（1）根据待定系数法即可求出抛物线的解析式，把一般式转化为顶点式即得顶点坐标； （2）如图1，先求出点B坐标，然后利用待定系数法求出直线BC的解析式，由，则点H、N的横坐标都可以用含t的代数式表示，由即可得到S与t的函数关系式，进一步即可根据二次函数的性质求出S的最大值． （1）解：将，代入， 得，解得：， ∴抛物线的解析式为：； ∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：由，得或， 则点， 如图，连接、、，    设直线解析式为，代入，，得： ，解得：， ∴直线的解析式为； ∵， ∴，， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值是． 【点拨】本题考查了待定系数法求函数的解析式、二次函数的图象与性质等知识，熟练掌握二次函数的相关知识是解题的关键． 【变式1】（2025·吉林长春·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，过点平行于轴的直线交抛物线于、两点，点在抛物线上且在轴的上方，连接，则面积的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定，再解方程得，，所以，设，利用三角形面积公式表示出，然后利用二次函数的性质解决问题． 解：当时，，则， 当时，，解得，则，， ， 设， 当时，面积的最大值为． 故选：D． 【点拨】本题考查了二次函数综合运用，面积问题，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【变式2】（2025·安徽阜阳·模拟预测）如图，已知抛物线过点，点． （1）该抛物线的顶点坐标为___________． （2）点C是上方抛物线上一动点（不与点A，B重合），连接，，则面积的最大值为___________． 【答案】 【分析】（1）先根据抛物线经过点，，求出抛物线的解析式，再化为顶点式求出该抛物线的顶点坐标； （2）先利用待定系数法求得直线，再设过点C且与直线平行的直线解析式为，根据当直线与抛物线有唯一的公共点，求出，从而可得关于的方程求出，从而可得，进而可求得点D的坐标，再求出此时的面积即可． （1）解：∵抛物线经过点，， ∴，解得， ∴， ∴该抛物线的顶点坐标为； （2）设直线的解析式为， ∵，点， ∴，解得： ∴直线的解析式为， 设过点C且与直线平行的直线解析式为， 当直线与抛物线有唯一的公共点， 则点C到的距离最大， ∴面积最大， ∴关于x的方程有两个相等的实数根， ∴有两个相等的实数根， ∴，解得：， ∴过点C且与直线平行的直线解析式为， ∴，解得：， ∴． 作轴交于点D， 则点的横坐标为， 又点在直线上， ∴， ∴点D的坐标为， ∴此时的面积． 【点拨】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一次函数的交点问题，求三角形的面积，解题关键是利用待定系数法求出二次函数解析式． 【变式3】（25-26九年级上·北京·单元复习）如图，抛物线与y轴交于点A，直线与x轴交于点．若点P为抛物线上的动点，且在直线上方，当面积最大时，求点P的坐标及面积的最大值．    【答案】， 【分析】本题主要查了二次函数的图象和性质．先求出直线的解析式，设点，过点P作轴，交于点Q，则，可得，即可求解． 解：当时，， ∴， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴的解析式为， 设点， 过点P作轴，交于点Q，则，   ， ， ∴当时，的面积最大为， 此时． 【解题技巧】求动点三角形面积最值，先用铅垂高法表示面积，得到关于 的二次函数，再用配方法求最值。注意要验证最值点的横坐标是否在动点的取值范围内。 【题型3】分割法求四边形面积 【例题3】（24-25九年级上·陕西安康·期末）如图，开口向下的抛物线与轴交于点，，与轴交于点，点的横坐标为1． （1）求该拋物线所对应的函数解析式； （2）连接，，，求四边形的面积． 【答案】（1）；（2）8 【分析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与面积问题，解题的关键是掌握待定系数法求二次函数解析式． （1）设抛物线的解析式为，然后根据待定系数法求解即可； （2）如图，连接，首先求出点的坐标为，然后求出，，，然后利用代数求解即可． （1）解：设抛物线的解析式为， 将点代入得：， 解得：， ； （2）解：如图，连接， 将代入，得， 点的坐标为， 抛物线与轴交于点，，与轴交于点， ，，， ， 四边形的面积为8． 【变式1】（24-25九年级上·山东威海·期中）如图，在中，，边在x轴上，．点P是边上一点，过点P分别作于点E，于点D，当四边形的面积最大时，点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出直线AB的解析式为，然后设点P的坐标为，可得，从而得到四边形的面积为，再根据二次函数的性质，即可求解． 解：设直线AB的解析式为 ， 把点代入得： ，解得：， ∴直线AB的解析式为， 设点P的坐标为， ∵， ∴点C（-1，0）， ∵于点E，于点D， ∴， ∴四边形的面积为 ， ∴当m=3时，四边形的面积最大，此时点P（3，2）． 故选：D 【点拨】本题主要考查了一次函数的图象和性质，二次函数的应用，熟练掌握一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质是解题的关键． 【变式2】（24-25九年级上·云南昆明·期中）如图，在边长为的正方形中，点，，，分别从点，，，同时出发，均以的速度向点，，，匀速运动，当点到达点时，四个点同时停止运动，在运动过程中，当运动时间为________时，四边形，的面积最小，其最小值是________． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数与实际问题的运用，理解并掌握配方法求二次函数最值的方法是解题的关键． 根据题意，设运动时间为，可得，，，可得，根据数量关系列式，可得关于的二次函数的解析式，运用配方法求最值即可求解． 解：∵四边形是正方形， ∴，， 点，，，分别从点，，，同时出发，均以的速度向点，，，匀速运动，设运动时间为， ∴，， ∴， ∴， ∴ ， ∵，即关于的二次函数图像开口线上，则有最小值， ∴当时，有最小值，且最小值为， 故答案为：，． 【变式3】（24-25九年级上·吉林·期中）如图，已知二次函数的图象与轴分别交于点、，与轴交于点，顶点为点． （1）求点、的坐标； （2）求四边形的面积． 【答案】（1）、；（2）18 【分析】（1）根据二次函数的图象与轴分别交于点、，则令，求出的值，即可作答； （2）根据（1）中的函数解析式，可以求得点和点的坐标，然后根据图形可知：，然后代入数据计算即可． 本题考查抛物线与轴的交点、二次函数的性质、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）解：∵二次函数的图象与轴分别交于点、， ∴令，则 ∴ ∴结合图象得，、． （2）解：连接，如图所示，   ， 点的坐标为，点的坐标为， 点，， ， ， 即四边形的面积是18． 【解题技巧】求四边形面积，分割法是常用方法。选择合适的分割线（通常连接对角线），将四边形分割为两个三角形，分别求面积后求和。分割时要尽量使分出的三角形便于求面积。 【题型4】补形法求三角形面积 【例题4】（2026·福建泉州·模拟预测）如图，抛物线与轴交于点、点，与轴交于点． （1）求抛物线解析式． （2）若点的横坐标为，连，，求的面积． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由待定系数法求解即可； （2）先求出，过点作轴交于点，求出直线，则，再利用求解即可． （1）解：∵抛物线与轴交于点、点，与轴交于点， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：∵点的横坐标为， ∴将代入，则， ∴， 过点作轴交于点， 设直线， 则代入，得，， 解得， ∴直线， 当时，， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，在矩形中，，，点E是线段的三等分点（），动点F从点D出发向终点E运动，以为边作等边，在动点F运动的过程中，阴影部分面积的最小值是（      ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，，过作，垂足为H，利用勾股定理求出和，设，求出和，利用表示出阴影部分的面积，利用二次函数的最值求解即可． 解：如图，连接，，过作，垂足为H，    ∵，，点E是线段的三等分点（）， ∴，， ∴， 设，则， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴ 令，则， ∴， 则， 当时，最小，且为， 故选A． 【点拨】本题考查了等边三角形的性质，二次函数的最值，勾股定理，矩形的性质，解题的关键是正确表示出阴影部分的面积，利用二次函数的性质求解． 【变式2】（24-25九年级上·广西崇左·期中）如图，抛物线过点A、、，点为抛物线在第四象限部分上的一点，则面积的最大值为______ 【答案】 【分析】本题考查二次函数与坐标轴的交点，二次函数最值，坐标与图形，求出面积与点P的横x的函数表达式是解题的关键． 过点P作于D，设，则，，再求出，，从而求得，，根据，然后利用二次函数的最值求解即可． 解：过点P作于D，如图， 设， ∵点为抛物线在第四象限部分上的一点， ∴，， ∴，， 令，则， ∴， ∴ ， 令，则， 解得：，， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴当时，的值最大，最大值为． 故答案为：． 【变式3】（2026·江苏泰州·模拟预测）已知抛物线与轴交于两点． （1）求抛物线的解析式； （2）若点是抛物线在第一象限内的一点，连接．设点的横坐标为的面积为，求关于的函数关系式，并求出的最大值． 【答案】（1）；（2）；． 【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式； （2）先利用待定系数法求直线的解析式，过作轴交于，交轴于点，得，进而得，再根据得关于的一元二次方程，配方即可得最值，根据点是抛物线在第一象限内的一点得取值范围，验证最值即可． （1）解：抛物线过，代入得： ， 解得， 抛物线解析式为； （2）解：由解析式得， 设直线的解析式为， 将，代入得， ，解得， 直线的解析式为， 点在第一象限抛物线上， ， 过作轴交于，交轴于点，如图所示， ， ， ， ， ，当时，． 【解题技巧】补形法适用于三边都不平行于坐标轴的三角形。关键是过三角形的三个顶点作坐标轴的平行线，将三角形补成矩形，然后用矩形面积减去周围三个直角三角形的面积。 三.题型精析（综合提升） 【题型5】动点问题中的面积最值（分类讨论） 【例题5】（25-26九年级上·江西宜春·期中）如图a，抛物线交x轴于点和点B，交y轴于点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）点p是抛物线对称轴上一动点，则周长的最小值为 ； （3）如图b，设点Q是线段上的一动点，作轴，交抛物线于点D，求的最大值，并直接写出此时的面积． 【答案】（1）；（2）；（3）的最大值为；的面积为 【分析】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数解析式，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）求出点B坐标，进而求出线段的长；，连接，由抛物线的对称性可得，则可推出当P、A、C三点共线时有最小值，且最小值为线段，即此时的周长有最小值，最小值为的值，据此利用勾股定理求出的长即可得到答案； （3）求出直线解析式为；设，则，则，据此求出的最大值，再根据求出对应的面积即可． （1）解：∵抛物线交x轴于点和点B，交y轴于点， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：在中，当时，， 解得或， ∴， ∴； 如图所示，连接， 由抛物线的对称性可得， ∴的周长， ∴当P、A、C三点共线时有最小值，且最小值为线段，即此时的周长有最小值，最小值为的值， ∵， ∴的周长的最小值为：， 故答案为：； （3）解：设直线解析式为， 则， ∴， ∴直线解析式为； 设，则， ∴ ， ∵，， ∴当，即时，有最大值，最大值为， ∴此时 ． 【变式1】（24-25九年级上·浙江温州·阶段检测）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，在第三象限的抛物线上有一动点，连接、，点在运动过程中，若面积最大时，则点的坐标（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了抛物线中三角形的面积，二次函数最值，过点作轴于点，设点，则面积，利用最值即可求解，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 解：如图， 过点作轴于点，设点， ∴的面积， ， ， ， ， ∵长度不变， ∴当时，的面积最大， 此时， 故选：． 【变式2】（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，则P点到直线的距离的最大值是______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，二次函数综合—面积问题，一次函数的应用，勾股定理，先求出，得到，直线的解析式为，作轴，交于点，连接、，设，则，求出，从而可得，由二次函数的性质可得当时，的值最大，为，再结合，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 解：在中，当时，，即， 当时，，解得，，即，， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 如图，作轴，交于点，连接、， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的值最大，为， ∵， ∴此时的值也最大，为， 故答案为：． 【变式3】（2025九年级上·山东青岛·专题练习）已知抛物线的对称轴是直线，且抛物线经过，两点，与轴交于点， （1）为抛物线的对称轴上一个动点，写出当为直角三角形时，点的其他坐标_____． （2）设点是直线上方抛物线上的一动点，求面积的最大值是_____，并写出此时点的坐标________． 【答案】 或或或 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）由题意先得出直线和抛物线解析式，则设，根据勾股定理计算得：，，．然后根据为直角三角形进行分类求解即可． （2）过点Q作轴，交直线于点H，由题意可设点，则有，然后可得，进而根据铅垂法可得，最后根据二次函数的性质可进行求解． 解：（1）∵抛物线的对称轴为直线，点， ∴， 设抛物线的解析式为：， 把代入得：，解得：， ∴抛物线的解析式为：， 设直线的解析式为，把和代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为； 设，又，， ∴根据勾股定理得：，，， 由为直角三角形可分： 当为直角， ∴，即， 解得：， ∴； 当为直角， ∴，即， 解得：， ∴或； 当为直角， ∴，即， 解得：， ∴， 综上所述：当为直角三角形时，点的其他坐标为或或或； 故答案为或或或； （2）过点Q作轴，交直线于点H，如图所示： 由（1）可知：直线的解析式为，抛物线， 设点，则有， ∴， ∴， ∵，且， ∴当时，面积的最大值，最大值为，此时点Q的坐标为； 故答案为；． 【解题技巧】动点问题中，要先确定动点的运动范围（即自变量的取值范围），再表示面积。当面积表达式是高次函数时，可用单调性分析或求导的方法求最值。注意分类讨论动点在不同位置时的情况。 【题型6】二次函数与四边形面积最值 【例题6】（2024九年级下·山东德州·专题练习）如图，E，F，M，N分别是边长为4的正方形四条边上的点，且． （1）试判断四边形是什么图形，并证明你的结论． （2）当点E位于何处时，四边形的面积最小，最小值是多少？ 【答案】（1）四边形是正方形．证明如下： ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴四边形是菱形． ∵， ∴． ∴． ∴四边形是正方形． （2）8 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、勾股定理、二次函数的性质等知识点 ，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）通过证明三角形全等，先得出四边形是菱形，再证明四边形中一个内角为，从而得出四边形是正方形； （2）设，则，由勾股定理可得，即正方形的面积为，然后再根据二次函数的性质求最值即可． （1）解：略． （2）解：设，则， ∴， ∴正方形的面积为， ∴当，即，正方形的面积有最小值8． 【变式1】（25-26九年级上·天津河西·期中）如图，四边形的对角线互相垂直，，有下列结论： ①当对角线与互相平分时，四边形是菱形； ②当的长度为或时，四边形的面积均为； ③四边形面积的最大值为． 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，菱形的判定和面积求法，关键是掌握二次函数的性质， 先判断出四边形是菱形，再根据菱形的面积公式，二次函数的性质进行判断求解． 解：因为四边形的对角线互相垂直，所以当对角线与互相平分时，四边形是菱形，故①正确； 因为，所以当的长度为或时，四边形的面积均为 ，故②正确； 设，则，所以，因为，所以当时，四边形的面积有最大值，最大值为，故③错误. 综上所述，正确的个数为2. 故选：C. 【变式2】（24-25九年级上·陕西渭南·期末）如图，四边形的对角线与相交于点，若，则四边形面积的最大值为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的最值问题，解题的关键是作出三角形的高并且用代数式表示出三角形的面积．作于点，于点，设则，则四边形面积为，得，再由二次函数的最值公式求值即可． 解：如图，作于点，于点， ∵， ∴， ∴， 设则，设四边形面积为 ∴ ， 当时，有最大值为， 故答案为：． 【变式3】（2025·内蒙古通辽·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点左侧，B点的坐标为（4，0），与y轴交于C（0，﹣4）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点． （1）求这个二次函数的表达式． （2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． （3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积． 【答案】（1）；（2）；（3）当x=2时，四边形ABPC的面积最大，此时P点的坐标为：（2，﹣6），四边形ABPC的面积的最大值为18． 【分析】（1）将B、C的坐标代入抛物线的解析式中即可求得待定系数的值； （2）由于菱形的对角线互相垂直平分，若四边形POP′C为菱形，那么P点必在OC的垂直平分线上，据此可求出P点的纵坐标，代入抛物线的解析式中即可求出P点的坐标； （3）由于△ABC的面积为定值，当四边形ABPC的面积最大时，△BPC的面积最大；过P作y轴的平行线，交直线BC于Q，交x轴于F，易求得直线BC的解析式，可设出P点的横坐标，然后根据抛物线和直线BC的解析式求出Q、P的纵坐标，即可得到PQ的长，以PQ为底，B点横坐标的绝对值为高即可求得△BPC的面积，由此可得到关于四边形ACPB的面积与P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出四边形ABPC的最大面积及对应的P点坐标． 解：（1）将B、C两点的坐标代入得： ， 解得：； 所以二次函数的表达式为：y=x2﹣3x﹣4； （2）存在点P，使四边形POP′C为菱形， 如图1，连接PP′，设PE⊥CO于E，    ∵C（0，﹣4）， ∴CO=4， 又∵OE=EC， ∴OE=EC=2 ∴y=﹣2； ∴x2﹣3x﹣4=﹣2 解得：x1=，x2=（不合题意，舍去）， ∴P点的坐标为（，﹣2）； （3）如图2，过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，   设P（x，x2﹣3x﹣4），设直线BC的解析式为：y=kx+d， 则， 解得：， ∴直线BC的解析式为：y=x﹣4， 则Q点的坐标为（x，x﹣4）； 令，则0=x2﹣3x﹣4， 解得：x1=﹣1，x2=4， ∴A点坐标为（-1，0）， ∴AO=1，AB=5， S四边形ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ =AB•OC+QP•BF+QP•OF =AB•OC+QP•OB =×5×4+4 [x﹣4﹣（x2﹣3x﹣4）] =﹣2x2+8x+10 =﹣2（x﹣2）2+18， 当x=2时，四边形ABPC的面积最大，最大值为18． 此时P点的坐标为：（2，﹣6），四边形ABPC的面积的最大值为18． 【点拨】本题考查了二次函数解析式的确定、二次函数的性质、菱形的判定和性质以及图形面积的求法等知识，当所求图形不规则时通常要将其转换为其他规则图形面积的和差关系来求解． 【解题技巧】求四边形面积最值，分割法是关键。连接原点与动点，将四边形分割为两个三角形，分别表示面积后求和，得到关于 的二次函数，再求最值。分割线的选择要使两个三角形都便于求面积。 【题型7】面积比例问题 【例题7】（26-27九年级上·北京·课后作业）在平面直角坐标系中，抛物线过两点． （1）若抛物线与y轴交于点，求此抛物线的顶点坐标； （2）如图，小敏发现所有过A、B两点的抛物线，如果与y轴负半轴交于点C，M为抛物线的顶点，那么与的面积比不变，请你求出这个比值． 【答案】（1）抛物线的顶点坐标为；（2） 【分析】（1）根据题意得到，据此求解即可； （2）用含的代数式表示和，据此求解即可． （1）解：∵抛物线经过， ， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：连接，由题意，得， ， ，而， ， 过M作轴于D， ∵， ． 【变式1】（25-26九年级上·山西朔州·阶段检测）已知二次函数的图像如图所示，对称轴为直线，该图像与轴负半轴交于点，与轴正半轴交于点，与轴交于点，则的值为（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的综合应用，根据二次函数图像的对称轴确定点的坐标，易得，然后根据，即可获得答案． 解：根据题意，该二次函数的图像的对称轴为直线，且与轴负半轴交于点， 则与轴正半轴的交点的坐标为， ∴， ∴． 故选：A． 【变式2】（25-26九年级上·福建莆田·期中）已知抛物线的顶点为P，A、B、C、D是抛物线上的四点，且线段都垂直于抛物线的对称轴．如果，那么的值等于______． 【答案】 【分析】本题主要考查抛物线的顶点式、对称轴性质，以及几何图形中三角形面积的计算，解题的关键在于理解线段与对称轴垂直的几何意义，进而确定点的坐标，计算面积比． 先根据抛物线的顶点式确定顶点坐标为和对称轴为直线，再根据对称轴性质设点坐标为，点坐标为，点坐标为，点坐标为，进而求得的纵坐标，以及，的纵坐标，再利用底和高的关系，求出面积比． 解：∵抛物线方程为， ∴顶点为，对称轴为直线， ∵线段、都垂直于抛物线的对称轴， ∴线段、为水平方向，中点在对称轴上， ∴设点坐标为，点坐标为，点坐标为，点坐标为， ∴的纵坐标：， 的纵坐标为：， ∴的面积：底为，高为顶点到的垂直距离，面积为， 的面积：底为，高为顶点到的垂直距离，面积为， ∴面积比为， 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级下·陕西西安·阶段检测）已知，拋物线过和点，与轴的另一交点为，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线关于原点对称的抛物线为，点的对称点为，在上存在点，且点在轴的上方，满足，求点的坐标． 【答案】（1）；（2）， 【分析】（1）将点和代入抛物线，得到方程组，解得，，即可得到抛物线的解析式； （2）先求得、，计算得；由中心对称进行求解得；根据得，代入中，进行求解即可． （1）解：将和代入中， 得：， 解得， ； （2）解：由（1）得， 令，得， ∴， 令得， 解得，， ， ∴， ， 由题意得，关于原点对称的抛物线为，A的对称点为， 设B的对称点为，C的对称点为， ，，， ∴设抛物线的解析式为， 将和代入得，， 解得 ∴， ∵点P在上，设， ， 解得， ∵点P在x轴上方， ∴ 则 解得，， ，． 【点拨】本题以抛物线为载体，结合待定系数法、中心对称变换与面积计算，将函数解析式求解、图形变换与方程思想融合，体现了数形结合与转化化归的核心数学思想． 【解题技巧】面积比例问题，先求出已知图形的面积，再根据比例关系列出方程，解方程求出动点坐标。注意要验证解是否在动点的取值范围内。如果方程有解且在范围内，则存在；否则不存在。 【题型8】面积最值与存在性综合 【例题8】（2026·甘肃武威·模拟预测）如图，抛物线与轴相交于，两点，与轴交于点，点在点的右侧，点的纵坐标为，且． （1）求该抛物线的解析式； （2）在该抛物线的对称轴上是否存在点，使得最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）存在，；（3）存在，点P的坐标为或 【分析】（1）根据点的纵坐标为得出，根据得出，利用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）由（1）中解析式可得对称轴为直线，，，连接，交直线于点，连接，可得点，，三点共线时，最小，最小值为的长，利用待定系数法求出直线的函数解析式为，把代入求出的值，即可求出点坐标． （3）根据、坐标求出，设点，根据，结合得出，解方程求出的值即可得出答案． （1）解：∵抛物线与轴交于点，点的纵坐标为， ∴当时，， ∴， ， ∴， 将点，代入解析式，得， 解得：， ∴该抛物线的解析式为． （2）解：存在，，理由如下： 由（1）知，抛物线的解析式为， ∴对称轴为直线， 当时，， 解得：，． ，， 如图，连接，交直线于点，连接， ∵点关于直线的对称点是点， ． ∴，，三点共线时，最小，最小值为的长， 设直线的函数解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的函数解析式为， 当时，， ∴． （3）解：存在点，使得，理由如下： ∵点，， ， 设点， ． ， ，即， 当时，整理得， ，方程无实数根． 当时，整理得， 解得：或， ∴点的坐标为或． 综上所述，满足条件的点的坐标为或． 【变式1】（2025·陕西汉中·模拟预测）已知抛物线与轴交于点，其顶点为点，与轴交于两点（在的左侧），连接，若在抛物线上存在一点，使得，则的坐标是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，面积问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先分别求出，，结合，列式代入数值计算，即可作答． 解：依题意，抛物线上存在一点， 故连接，如图所示： ∵点， ∴， ∵与轴交于两点（在的左侧）， ∴令，则， 解得 ∴， ∴， ∵抛物线上存在一点，使得， ∴， 则， 即， 把代入，得， 解得 观察四个选项，唯有符合题意， 故选：D． 【变式2】（24-25八年级下·浙江宁波·期末）如图，抛物线的图象与轴交于点，点与点关于该抛物线的对称轴对称，已知一次函数的图象经过该二次函数图象上的点及点．点在线段上（不含端点）的动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，交直线于点．    （1）当时，点横坐标为___． （2）在直线下方的抛物线上存在点，使（点不与点重合）．则点的坐标为___． 【答案】 2 【分析】本题考查了二次函数综合，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质． （1）先求出抛物线的解析式为，的函数解析式为，则可设，，得出，根据，列出方程求解即可； （2）过点B作的平行线，交抛物线于点Q，易得的平行线解析式为，联立该直线与抛物线的解析式，求出其交点坐标即可． 解：（1）把代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 把代入得：， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入得：， 解得：， ∴的函数解析式为， 设，， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：（舍去）， ∴点P的横坐标为2； 故答案为：2； （2）∵， ∴点Q作过点B且平行于的直线上， 过点B作的平行线，交抛物线于点Q， ∵抛物线解析式为， ∴对称轴为直线， ∵， ∴， 设的平行线解析式为， ∵的函数解析式为， ∴，即， 把代入得：， 解得：， ∴的平行线解析式为， 联立得：， 解得：，（舍）， ∴点Q的坐标为， 故答案为：． 【变式3】（24-25九年级上·山东临沂·期中）已知直线与轴交于，与轴交于点，抛物线与轴交于两点，与轴交于点 （1）求这个抛物线的解析式 （2）若是直线上方抛物线上一点，存在点使得，求点的坐标 （3）在对称轴上是否存在点，使得的周长最小，若存在，请直接写出点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）点的坐标为或；；（3） 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，一次函数的解析式，函数与面积，周长综合，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先求出，，再运用待定系数法解二次函数，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （2）先求出以及，运用待定系数法解一次函数的解析式，设，则，再结合，进行列式计算，即可作答． （3）根据点关于对称轴的对称点的坐标是，则连接交对称轴于一点，即为点Q，且连接，得出此时的周长最小，运用待定系数法解一次函数的解析式，即可作答． （1）解：∵直线与轴交于，与轴交于点， ∴令时，则， ∴， 故， ∴令时，则， ∴， 故， ∵抛物线与轴交于两点，与轴交于点， ∴把和分别代入， 得， 解得， ∴． （2）解：如图所示：过点作直线轴，交于一点， ∵抛物线与轴交于两点， ∴， 解得 ∴， ∴， ∵设的解析式为 把把和分别代入， 得 解得 ∴， 设， ∵直线轴，交于一点， ∴， ∵是直线上方抛物线上一点， ∴， ∴ ∵， ∴， 整理得， ， 解得， 把代入，得， 把代入，得， ∴点的坐标为或； （3）解：存在，过程如下， ∵，， ∴抛物线的对称轴为直线， 则点关于对称轴的对称点的坐标是， 连接交对称轴于一点，即为点Q，且连接， ∴， 则的周长， 此时的周长最小， ∵设的解析式为， 把把和分别代入， 得， 解得， ∴， 把代入，得， 即． 【解题技巧】综合题要分步解决：第一步求解析式（用交点式最简便）；第二步求面积最值（铅垂高法+配方法）；第三步存在性问题要分类讨论（等腰三角形分三种情况：两边相等）。每一步都要仔细计算，确保结果正确。 四.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26九年级上·河南周口·期中）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．点，连接，则的面积等于（   ） A．2 B．3 C．6 D． 【答案】B 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点坐标、平行线的性质及三角形面积的计算，解题的关键是求出抛物线与坐标轴的交点，利用平行线确定点D的坐标，进而计算三角形面积． 先求抛物线与x轴、y轴的交点A、B、C的坐标；由 得点D纵坐标与C相同，代入抛物线求D的横坐标，得的长；再求A到的距离，计算的面积． 解：∵抛物线， 令，则，解得或， ∴； 令，则， ∴． ∵（x轴）， ∴点D纵坐标为，代入抛物线得，解得（为点C）， ∴， 则，A到的距离为， ∴的面积 故选：B． 2．（24-25九年级下·山东青岛·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，坐标原点为O，抛物线的顶点为A，过点A作y轴平行线交抛物线于点B，连接、，则的面积为（    ）    A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】根据已知条件得到抛物线的顶点的坐标为，求得点的横坐标为2，把代入得，，得到，根据三角形的面积公式即可得到结论． 解：抛物线的顶点的坐标为， 轴， 点的横坐标为2， 把代入得，， ， ， 的面积为， 故选：B． 【点拨】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积的计算，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 3．（24-25九年级上·河北廊坊·阶段检测）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点A和B．点P是线段上一点，过点P作轴于点D，连接，若的面积为S，则S的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数综合，二次函数的图像与性质，二次函数的最值，根据题意求得S关于点P横坐标的函数关系式是解题的关键．先求得点A和B的坐标，由于点P是线段上一点，不妨设P的坐标为，从而可知，，再由点A和B的坐标可知m的取值范围，然后由面积公式得到S关于m的函数关系式，最后由二次函数的性质即可求出S的范围． 解：∵一次函数与反比例函数的图象交于点A和B， ∴， 解得或， 即，， ∵点P是线段上一点， ∴不妨设点P的坐标为，且， ∴，， ∴ ∵，， ∴当时，S取得最大值，最大值为2， 当或时，S取得最小值，最小值为， ∴S的取值范围为； 故选：C． 4．（2025·福建漳州·模拟预测）已知直线与抛物线交于A、B两点（点A在点B的左侧），与x轴交于点C，若抛物线的对称轴是y轴，则等于（） A．1﹕2 B．1﹕3 C．1﹕4 D．3﹕4 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与一次函数综合． 由抛物线的对称轴为y轴，可求得，联立直线与抛物线方程，解得交点、，直线与x轴交点．利用三角形面积公式分别计算和的面积，再求比值即可． 解：抛物线对称轴为y轴，即顶点横坐标，解得． 代入得抛物线方程得． 联立方程和，得， 解得或． ∴和． 令，代入得， 即． ∵、、． ∴； ∵、、． ∴； ． 故选B． 5．（24-25九年级上·重庆沙坪坝·阶段检测）在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+2的图象与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C.点P是直线AC上方的抛物线上一动点，若点P使△ACP的面积最大，则点P的坐标为（　　） A．（﹣，） B．（，﹣） C．（﹣，1） D．（，3） 【答案】A 【分析】利用待定系数法求出二次函数和直线AC的解析式，过点P作PGy轴交AC于点G，设P（t，），则G（t，t＋2），求出PG＝，可得，进而可得当t＝时，有最大值，问题得解． 解：将点A（−3，0），B（1，0）代入中，得， 解得：， ∴二次函数解析式为， 令x＝0，则， ∴C（0，2）， 设直线AC的解析式为y＝mx＋n， 代入A（−3，0），C（0，2）得， 解得， ∴直线AC的解析式为y＝x＋2， 过点P作PGy轴交AC于点G， 设P（t，），则G（t，t＋2）， ∴PG＝， ∴， ∴当t＝时，有最大值，此时P（，）， 故选：A． 【点拨】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的最值问题，求出函数解析式，表示出PG的长是解答本题的关键． 6．（24-25九年级下·全国·二轮复习）如图，抛物线与x轴交于，，交y轴的正半轴于点C，对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，则下列结论：①；②；③为任意实数；④若点是抛物线上第一象限上的动点，当的面积最大时，，其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据已知点的特点可求对称轴为直线，则；由函数的图象可知，，，再由可知；当时，函数有最大值；再由铅锤法求的面积，从而确定当时，三角形面积有最大值． 解：∵抛物线与x轴交于点，， ∴对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故①正确，符合题意； ∵抛物线开口向下， ∴， ∴， ∵抛物线交y轴的正半轴， ∴， ∴，故②正确，符合题意；    ∵抛物线的对称轴，开口向下， ∴时，y有最大值，最大值． ∴为任意实数， ∴为任意实数，故③正确，符合题意； ④∵， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴， 将点代入， ∴． ∴．， 过点Q作轴交于点P， ∵， ∴， ∴． ∴， ∵， ∴． ∴当时，的面积最大， 故④正确，符合题意； 故选：D． 【点拨】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，二次函数图象上的坐标特征，二次函数的性质，二次函数最值的求法以及三角形面积公式．二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定． 7．（24-25九年级上·湖北黄冈·阶段检测）如图，抛物线为，直线交抛物线于A，B两点，P为抛物线的顶点，若为直角三角形，且面积为，则a的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设二次函数的解析式为，根据二次函数图象上的点的坐标特征可得，两点关于对称轴对称，故．结合为直角三角形且面积为，可得，的长，进而由勾股定理求出的长．设法表示出点的坐标代入抛物线解析式计算后即可得解． 解：由于其图象关于直线对称， ∴， ∴，． 又面积为， 即， ∴，． 由勾股定理可得． 作于点C，由三线合一性质可得C为中点．    ∴． 又∵， ∴． 由此可得到A点的坐标为． 将A点坐标代入二次函数解析式中， 得，解得． 故选：D． 【点拨】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，综合性较强．得到的坐标是解题关键． 8．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，点A是抛物线图象在第一象限内的一个动点，且点A的横坐标大于1，点E的坐标是（0，1），过点A作AB轴交抛物线于点B，过A、B作直线AE、BE分别交轴于点D、C，设阴影部分的面积为，点A的横坐标为，则关于的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可知，，E（0，1），得出，再由阴影部分的面积为即可得解． 解：由题意可知，，，E（0，1），， 又AB轴，且过A、B作直线AE、BE分别交轴于点D、C，所以由 ； 故选：C． 【点拨】此题考查了二次函数的图象和性质，坐标系中三角形面积求法，利用点的坐标表示线段的长度是解题关键． 9．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段检测）已知，抛物线的顶点为，图象与轴负半轴交点为，且，若点在抛物线上，则的面积为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先确定顶点坐标为A（-1，0），得到OA=OB=1，从而得到点B的坐标，代入确定函数的解析式，点C的坐标，运用图形分割法计算面积即可． 解：∵抛物线的顶点为， ∴顶点坐标为A（-1，0）， ∴OA=1， ∵， ， 代入中，得； 解得， ∴， ∵点在抛物线上， ∴， ∴， 故选A． 【点拨】本题考查了抛物线的顶点坐标，点与抛物线的关系，线段与坐标的关系，图形的面积，熟练掌握顶点坐标的确定方法，灵活运用分割法计算图形的面积是解题的关键． ． 10．（25-26九年级上·江苏泰州·期末）已知二次函数的图象与轴正半轴交于点，与轴交于点，点为抛物线上一动点，连接、，若的面积为3，则点的位置有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数与x轴的交点，二次函数的性质． 通过求二次函数与坐标轴的交点确定点B和点A的坐标，分两种情况，即点在直线上方或点在直线下方，利用铅锤法表示出的面积，结合点P在抛物线上的条件求解，得到点P的个数． 解：∵二次函数的图象与轴正半轴交于点，与轴交于点， 令得， 解得或， ∴， 与y轴交于点B，令，得， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入可得， ， 解得， 所以直线的解析式为， 如图，当点在下方时，过点作轴交于点，   ， 设，则， ， ， 当时，取最大值，， 即点在下方时，， 所以在直线下方的抛物线上，存在点，可使的面积为3； 当时，， 解得，， 即在直线下方的抛物线上，存在两个点，可使的面积为3； 当点在上方时，， 所以在直线上方的抛物线上，有点，可使的面积为3， 根据抛物线的对称性，有个点，可使的面积为3， 即总共有4个点满足要求， 故选：D． （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，B，C为抛物线与x轴的交点，以为直角边在x轴上方作等腰直角三角形，且，则的面积是__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数综合，先求出点B和点C的坐标，进而求出的长，再由等腰直角三角形的定义得到的长，据此利用三角形面积计算公式求解即可． 解：在中，当时，或， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形，且， ∴， ∴， 故答案为：． 12．（24-25九年级上·北京海淀·开学考试）已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，则的面积为______． 【答案】 【分析】先令得一元二次方程并求解可得点，的坐标，令得的值从而可得点坐标，进一步由三角形面积公式可得结论． 解：对于 令，得， 解得：， ， ， ， ， 令，则， ， ， ， 故答案为：． 【点拨】本题考查的是抛物线与坐标轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征． 13．（2025·安徽池州·三模）已知抛物线与x轴负半轴交于点A，且经过，． （1）n的值为_____． （2）若P为第一象限内抛物线上的一点，且，则点P的坐标为_____ 【答案】 4 或 【分析】本题考查二次函数与坐标轴的交点问题，掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． （1）把把代入求出抛物线解析式为，然后把代入得； （2）先求出．再根据①当时，，根据直线与抛物线解析式求出交点坐标，或 ②当直线经过的中点M时，，求出直线 抛物线解析式求出交点坐标． 解：（1）把代入得， ∴抛物线解析式为，把代入得； （2）令，得，解得，． ∵点A位于x负半轴上，∴． 由，得直线． ①当时，， 设，，得，即， 由得，， 把代入得，∴． ②当直线经过的中点M时，， 由，得， 由，，得直线 由解得，， 把代入得 ∴ 故答案为：（1）4；（2）或. 14．（24-25九年级上·安徽亳州·期末）如图，已知抛物线与轴交于点，与轴交于点，且过点，连接． （1）点A的坐标为_____； （2）若点是直线下方抛物线对称轴上的一点，且，则点的坐标为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了待定系数法求函数解析式、二次函数与一元二次方程、二次函数与面积的综合等知识点知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）先将点代入求得b的值，进而确定函数解析式，再令，求得m的值即可解答； （2）用待定系数法求出直线的解析式，设交y轴于点D，抛物线对称轴交x轴于点E，则可求得点D的坐标，从而求得的面积；设，利用面积关系即可求解即可． 解：（1）∵抛物线与轴交于点， ∴，解得：， ∴， 令，则， ∴． 故答案为：． （2）∵ ∴，对称轴为， 设直线的解析式为， 把B、A坐标代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为； 设交y轴于点D，抛物线对称轴交x轴于点E； 在中，令，可得，则； ∴， ∴的面积为； ∵， ∴， 如图：设， ∵点P在下方时，， ∴，解得：， ∴． 故答案为：． 15．（24-25九年级上·安徽芜湖·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴正半轴交于点B，与y轴交于点C，且过点，连接． （1）B的坐标______； （2）若点P是抛物线对称轴上一点，且，P的坐标______． 【答案】 或 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数与一元二次方程，二次函数与面积的综合等知识． （1）令，即可求解； （2）待定系数法求出直线的解析式，设交y轴于点D，抛物线对称轴交x轴于点E，则可求得点D的坐标，从而求得的面积；设，利用面积关系即可求解． 解：（1）令，解得：，； ∵点B在x轴正半轴上， ∴； 故答案为：； （2）在中，令，得， 即； 设直线的解析式为， 把B、A坐标代入得：，解得：， ∴直线的解析式为； 设交y轴于点D，抛物线交x轴于点E； 在中，令，得， 则； ∴的面积为； ∵， ∴； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴设； 当点P在上方时，， 即， 解得：， 故； 当点P在下方时，， 即， 解得：， 故； 综上，点P坐标为或； 故答案为：或． 16．（24-25九年级上·辽宁鞍山·期中）如图，二次函数的图象与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），与y轴交于点C．点P是此函数图象上在第一象限内的一动点，当时，点P的坐标为 ________________． 【答案】或/或 【分析】分别求出点A，B，C的坐标，进而求出直线的解析式，作轴于点E，交于点G，设，则，再表示，然后根据， 得出关于t的关系式求出解即可． 解：令，则， 解得，， ∴，． 令，则， ∴． 设直线的解析式为， 将和代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 过点P作轴于点E，交于点G， 设，则， ∴． ∵， ∴， 即， 解得：，， ∴点P的坐标为或． 故答案为：或． 【点拨】本题主要考查了求二次函数与坐标轴的交点，求一次函数解析式，解一元二次方程，求三角形的面积等，将三角形的面积适当的分割是解题的关键． 17．（25-26九年级上·安徽安庆·阶段检测）已知抛物线的图象与x轴相交于点A和点，与y轴交于点C，连接，有一动点D在线段上运动，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E，交x轴于点，设点D的横坐标为m． （1）连接则的最大面积为________； （2）当时，在平面内存在点M，使以为顶点的四边形为平行四边形，请写出点M的坐标________． 【答案】 或或 【分析】（1）先利用待定系数法求出抛物线和直线解析式，设，，则，故，进而求解即可； （2）分别以、、为平行四边形对角线进行求解即可． 解：，， ， 将，代入得， ， 解得， ， 当时，，即； 设直线解析式为， ，解得， ， 设，， ， ， ，开口向下， 当时，的最大值为， 故答案为：； （2）， ， 设， 当为平行四边形的对角线时， ，解得， ； 当为平行四边形的对角线时， ，解得， ， 当为平行四边形的对角线时， ，解得， ， 故答案为：或或． 【点拨】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象与性质，灵活运用平行四边形的性质是解题的关键． 18．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，抛物线与直线交于A，B两点（A在B左侧），连接，P在直线下方抛物线上，当的面积最大时，点P的坐标是__________． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的交点问题，二次函数求最值，解题的关键是利用割补法表示三角形的面积． 先求出，设，由得到，化简得：，由，得当时，的面积取得最大值为，此时． 解：过点分别作轴的垂线，垂足为， 联立， 解得：或， ∴ 设 ∵， ∴ 化简得：， ∵， ∴当时，的面积取得最大值为， 此时， 故答案为：． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26九年级上·山东枣庄·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C． （1）求点A、点B和点C的坐标； （2）若抛物线的顶点为D，求四边形的面积． 【答案】（1），，；（2） 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点问题，抛物线与图形面积问题，解题的关键是正确求出抛物线与坐标轴的交点． （1）分别令，即可求解抛物线与坐标轴的交点坐标； （2）先求出顶点，设抛物线对称轴与轴交于点，则，，，，，再由求解． （1）解：当时，则， 解得或， ∴，； 当， ∴； （2）解：， ∴顶点， 设抛物线对称轴与轴交于点， ∴，，，，， ∴ 20．（本小题满分8分）（25-26九年级上·福建南平·期中）如图，抛物线与轴交于点、两点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）若是该抛物线上一点（点在轴下方），使得，求点坐标． 【答案】（1）；（2）点坐标为或 【分析】本题考查的知识点是待定系数法求二次函数解析式、二次函数综合，已知二次函数的函数值求自变量的值，解题关键是用待定系数法求出二次函数解析式． （1）将、两点坐标代入抛物线即可求解； （2）由、两点坐标得出，结合三角形面积公式、点在轴下方得，代入抛物线解析式即可得对应的自变量的值，从而得到符合题意的点坐标． （1）解：抛物线与轴交于点、两点， ， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：，， ， ， ， ， 点在轴下方， ， 在中，当时，， 解得，， 点坐标为或． 21．（本小题满分10分）（25-26九年级上·广东汕头·阶段检测）如图，点，在的图象上．直线与轴交于点，连接、． （1）________；________； （2）求的面积； （3）观察图象，直接写出当时，的取值范围． 【答案】（1）；；（2）；（3） 【分析】此题主要考查了运用待定系数法求函数解析式，二次函数的图象及性质． （1）将点代入求出a的值，再将点代入求解即可； （2）作轴于点E，轴于点F，根据割补法求解即可； （3）观察图象，利用数形结合法求解即可； （1）解：∵点在的图象上， ， 解得：， ， 当时，； （2）解：作轴于点E，轴于点F， ，， ， ； （3）解：对于抛物线， ∵， ∴当时，y有最小值为0， ∵，， ∴当时，y的取值范围为． 22．（本小题满分10分）（25-26九年级上·宁夏吴忠·期末）如图，对称轴为直线的抛物线与x轴相交于A，B两点，其中点A的坐标为． （1）求点B的坐标； （2）若点P在抛物线上，且，求点P的坐标； （3）设点Q是线段上的动点，作轴交抛物线于点D，求线段长度的最大值． 【答案】（1）；（2）或；（3） 【分析】（1）根据抛物线的对称轴及点A的坐标，利用二次函数的对称性即可求出点B的坐标； （2）由a的值及点A、B的坐标，即可求出二次函数的解析式，再利用二次函数的性质可求出点C的坐标，设点P的坐标为，根据三角形的面积公式结合，即可得出关于x的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）利用待定系数法得到直线的解析式，设，则，表示出，再结合二次函数的性质求最大值即可． （1）解：∵抛物线的对称轴为直线，点A的坐标为， ∴点B的坐标为，即； （2）解：∵，点A的坐标为，点B的坐标为， ∴抛物线的解析式为， 又∵点C为抛物线与y轴的交点， ∴点C的坐标为， 设点P的坐标为， ∵， ∴，即， ∴， ∴点P的坐标为或； （3）解：， 设直线的解析式为， ，解得， 则直线的解析式为， 设，则， ， 时，线段取得最大值，最大值为． 23．（本小题满分10分）（2026·湖北恩施·二模）已知抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点，作直线． （1）求抛物线的解析式． （2）如图1，过点作轴，交抛物线于另一点，求点到直线的距离． （3）如图2，是轴正半轴一动点（不与点重合），过点作轴的平行线交直线于点，连接，设点的横坐标为，的面积为． ①求关于的函数解析式； ②当时，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3）①；②或； 【分析】（1）利用已知点和点坐标，直接代入抛物线的一般式，通过二元一次方程组求解未知系数和，得到完整解析式； （2）先通过抛物线与轴交点条件求出点坐标，再根据轴性质得到点纵坐标，代入抛物线求点坐标；求出直线解析式之后，利用直线得到夹角的几何特征，通过等腰直角三角形的边长关系计算点到直线的距离，避免复杂的点到直线公式运算； （3）①利用轴的性质，直接用横坐标表示点坐标，将面积转化为以为底，为高的直角三角形面积；分两种情况讨论：点在点左侧（）时点在轴上方，点在点右侧（）时点在轴下方，分别计算长度，得到分段面积函数； ②分别代入两段面积函数解不等式：时，二次函数开口向下，最大值为2，因此恒成立，只需的不等式得到对应区间；时，二次函数开口向上，同时解和两个不等式，取符合的公共区间，最后合并两个区间得到最终结果． （1）解：已知抛物线与轴交于点，， 将点坐标代入抛物线解析式中，可得方程组，解得， 抛物线解析式为． （2）解：抛物线对称轴为直线，且轴，点坐标为，点与点关于直线对称， ，， 令，即， ，解得，， ， 设直线解析式为，代入点， ， 解得， 直线解析式为， 过点作于点， ，  ， ，为等腰直角三角形： ， 点到直线距离为． （3）解：①点横坐标为，且在轴正半轴， 因此，且， 轴，交直线于点，可得， 线段长度为， 当时，点在轴上方，长度为， ， 当时，点在轴下方，长度为， ， 因此关于的函数解析式为： ②当时， 当时， 由， 得， ， 解得，，结合，得 ； 由， ， ， 解得，为任意数， 两部分取公共部分：； 当时， 由得， ， 解得，或； 由， ， ； 取两者公共部分：， 综上，的取值范围是或． 24．（本小题满分12分）（2026·江苏常州·一模）如图，二次函数的图像与轴交于点，（点在点的左侧），且，与轴交于点，连接，． （1）填空：_________； （2）若点是第一象限抛物线上一点． ①连接，交于点，记的面积为，的面积为，求的最大值； ②过点作轴，垂足为，作直线交轴负半轴于点．若，求点的横坐标． 【答案】（1）；（2）①；②4 【分析】（1）将B点坐标代入函数表达式，即可求出b； （2）①与y轴的交点为G，求出过的直线表达式，联立求出交点D的坐标；以y轴的线段为底边，表示三角形的面积，面积比就是横坐标之比，与长度无关； 面积比值取最大值，即为所求； ②先求出过的直线方程，，所以两条直线的相等，点是与抛物线交点，与抛物线解析式联立，即可求得点横坐标． （1）解：将，代入函数表达式，得： 解得： （2）解：①已知二次函数为， 令，得，y轴交点C坐标为， 令，解方程，得到x轴两个交点， 设过的直线解析式为：， 解得： ， 设点，过直线解析式为： 解得： ， 两直线表达式联立求交点D坐标， 解得： 点D坐标： 设与y轴交点为点G，如下图： 设点A横坐标为，点P横坐标为，点D横坐标为， 时，即点P横坐标：时，取得最大值，最大值为：． ② 由①可知：, 直线的表达式为：， 设直线的表达式为：，点， 则点，，如图所示： ， ， 点是与抛物线的交点，联立得方程组 解得：，（点P在第一象限，负值不符合题意，舍去）， 点的横坐标为：4． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 1.12 二次函数复习专题——二次函数与面积最值（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理与解读 1 【知识点一】二次函数与面积问题概述 1 【知识点二】三角形面积的求法——铅垂高法 2 【知识点三】多边形面积的求法 2 【知识点四】面积最值问题的解题步骤 3 【知识点五】常见面积最值模型 3 二.题型精析（夯实基础） 4 【题型1】铅垂高法求三角形面积 4 【题型2】抛物线上动点三角形面积最值 5 【题型3】分割法求四边形面积 6 【题型4】补形法求三角形面积 8 三.题型精析（综合提升） 9 【题型5】动点问题中的面积最值（分类讨论） 9 【题型6】二次函数与四边形面积最值 10 【题型7】面积比例问题 12 【题型8】面积最值与存在性综合 13 四.同步检测 15 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 15 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 18 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 20 一.知识梳理与解读 【知识点一】二次函数与面积问题概述 1. 问题背景 在二次函数的综合题中，经常出现求几何图形面积的最大值或最小值的问题。这类问题通常以抛物线为背景，结合三角形、四边形等几何图形，通过动点的运动形成变化的图形面积。 2. 解题基本思路 ① 设：设出动点的坐标（通常用 表示横坐标，纵坐标用抛物线解析式表示）； ② 表：用含 的代数式表示图形的面积 ； ③ 函：将 表示为关于 的二次函数； ④ 最：用配方法或公式法求二次函数的最大值或最小值； ⑤ 验：验证最值点是否在自变量的取值范围内。 【知识点二】三角形面积的求法——铅垂高法 1. 铅垂高法公式 对于平面直角坐标系中的三角形 ，若已知 、 两点的横坐标分别为 、，点 到直线 的铅垂距离为 ，则： 2. 适用条件 当三角形的一条边平行于 轴（或两个顶点的横坐标已知），且第三个顶点在抛物线上运动时，常用铅垂高法求面积。 3. 关键步骤 ① 确定水平宽：两个固定点横坐标之差的绝对值； ② 求铅垂高：动点到固定边所在直线的竖直距离； ③ 代入公式求面积。 【知识点三】多边形面积的求法 1. 分割法 将多边形分割成若干个三角形，分别求出每个三角形的面积，再求和。 适用条件：多边形的顶点坐标已知，且可以从某一顶点出发连接其他顶点，将多边形分割为三角形。 2. 补形法 将三角形（或多边形）补成一个矩形（或梯形），用矩形面积减去周围直角三角形的面积。 适用条件：三角形的三边都不平行于坐标轴时，补形法往往比较简便。 3. 方法选择 ① 有边平行于坐标轴 → 优先用铅垂高法； ② 顶点坐标已知且便于分割 → 用分割法； ③ 三边都不平行于坐标轴 → 用补形法。 【知识点四】面积最值问题的解题步骤 1. 一般步骤 第一步：设动点坐标。设抛物线上动点 的坐标为 。 第二步：求面积表达式。根据图形特点，选择合适的方法（铅垂高法、分割法、补形法）表示图形面积 。 第三步：建立函数关系。将面积 表示为关于 的二次函数 。 第四步：求最值。用配方法或公式法求二次函数的最大值或最小值。 第五步：验证与作答。验证最值点是否在自变量的取值范围内，写出最终答案。 2. 注意事项 ① 自变量 的取值范围要根据动点的运动范围确定； ② 最值点可能在抛物线顶点处，也可能在区间端点处； ③ 当面积表达式不是二次函数时，要根据具体函数类型求最值。 【知识点五】常见面积最值模型 1. 模型一：抛物线上动点与两定点形成的三角形面积最值 已知 、 为定点（在 轴上或抛物线上）， 为抛物线上的动点，求 面积的最大值。 解法：用铅垂高法表示面积，当 到直线 的距离最大时，面积最大。 2. 模型二：抛物线上动点与坐标轴形成的四边形面积最值 已知 为抛物线上的动点，求由 与坐标轴上的点形成的四边形面积的最大值。 解法：用分割法将四边形分割为两个三角形，分别表示面积后求和。 3. 模型三：动点运动过程中面积的变化范围 已知 为线段上的动点，求某图形面积的取值范围。 解法：建立面积关于动点位置的函数，根据函数的单调性求最值。 二.题型精析（夯实基础） 【题型1】铅垂高法求三角形面积 【例题1】（24-25九年级上·四川自贡·阶段检测）如图，直线与抛物线交于两点（点在点的左侧）． （1）求两点的坐标； （2）记抛物线的顶点为A，求的面积． 【变式1】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，已知抛物线的对称轴为，过其顶点M的一条直线与该抛物线的另一个交点为．点P的坐标为，则△PMN的面积为（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 【变式2】（2025·吉林长春·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，点P在抛物线上，连接．若是以为底边的等腰三角形，则的面积是_____． 【变式3】（24-25九年级上·北京西城·期中）如图所示，，两点在二次函数与一次函数图象上． （1）求的值和二次函数的解析式． （2）请直接写出使时，自变量的取值范围． （3）二次函数交轴于，请求出的面积． 【解题技巧】铅垂高法的关键是找到水平宽和铅垂高。当三角形的一边在 轴上时，水平宽就是两点横坐标之差，铅垂高就是第三个点的纵坐标（取绝对值）。 【题型2】抛物线上动点三角形面积最值 【例题2】（24-25九年级上·广东广州·期末）如图，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点． （1）求该抛物线的解析式及顶点坐标； （2）若P是线段上一动点，过P作y轴的平行线交抛物线于点H，交于点N．设．的面积为S，求S关于t的函数解析式，若S有最大值，请求出S的最大值；若没有，请说明理由． 【变式1】（2025·吉林长春·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，过点平行于轴的直线交抛物线于、两点，点在抛物线上且在轴的上方，连接，则面积的最大值是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·安徽阜阳·模拟预测）如图，已知抛物线过点，点． （1）该抛物线的顶点坐标为___________． （2）点C是上方抛物线上一动点（不与点A，B重合），连接，，则面积的最大值为___________． 【变式3】（25-26九年级上·北京·单元复习）如图，抛物线与y轴交于点A，直线与x轴交于点．若点P为抛物线上的动点，且在直线上方，当面积最大时，求点P的坐标及面积的最大值．    【解题技巧】求动点三角形面积最值，先用铅垂高法表示面积，得到关于 的二次函数，再用配方法求最值。注意要验证最值点的横坐标是否在动点的取值范围内。 【题型3】分割法求四边形面积 【例题3】（24-25九年级上·陕西安康·期末）如图，开口向下的抛物线与轴交于点，，与轴交于点，点的横坐标为1． （1）求该拋物线所对应的函数解析式； （2）连接，，，求四边形的面积． 【变式1】（24-25九年级上·山东威海·期中）如图，在中，，边在x轴上，．点P是边上一点，过点P分别作于点E，于点D，当四边形的面积最大时，点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·云南昆明·期中）如图，在边长为的正方形中，点，，，分别从点，，，同时出发，均以的速度向点，，，匀速运动，当点到达点时，四个点同时停止运动，在运动过程中，当运动时间为________时，四边形，的面积最小，其最小值是________． 【变式3】（24-25九年级上·吉林·期中）如图，已知二次函数的图象与轴分别交于点、，与轴交于点，顶点为点． （1）求点、的坐标； （2）求四边形的面积． 【解题技巧】求四边形面积，分割法是常用方法。选择合适的分割线（通常连接对角线），将四边形分割为两个三角形，分别求面积后求和。分割时要尽量使分出的三角形便于求面积。 【题型4】补形法求三角形面积 【例题4】（2026·福建泉州·模拟预测）如图，抛物线与轴交于点、点，与轴交于点． （1）求抛物线解析式． （2）若点的横坐标为，连，，求的面积． 【变式1】（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，在矩形中，，，点E是线段的三等分点（），动点F从点D出发向终点E运动，以为边作等边，在动点F运动的过程中，阴影部分面积的最小值是（      ）    A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·广西崇左·期中）如图，抛物线过点A、、，点为抛物线在第四象限部分上的一点，则面积的最大值为______ 【变式3】（2026·江苏泰州·模拟预测）已知抛物线与轴交于两点． （1）求抛物线的解析式； （2）若点是抛物线在第一象限内的一点，连接．设点的横坐标为的面积为，求关于的函数关系式，并求出的最大值． 【解题技巧】补形法适用于三边都不平行于坐标轴的三角形。关键是过三角形的三个顶点作坐标轴的平行线，将三角形补成矩形，然后用矩形面积减去周围三个直角三角形的面积。 三.题型精析（综合提升） 【题型5】动点问题中的面积最值（分类讨论） 【例题5】（25-26九年级上·江西宜春·期中）如图a，抛物线交x轴于点和点B，交y轴于点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）点p是抛物线对称轴上一动点，则周长的最小值为 ； （3）如图b，设点Q是线段上的一动点，作轴，交抛物线于点D，求的最大值，并直接写出此时的面积． 【变式1】（24-25九年级上·浙江温州·阶段检测）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，在第三象限的抛物线上有一动点，连接、，点在运动过程中，若面积最大时，则点的坐标（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，则P点到直线的距离的最大值是______． 【变式3】（2025九年级上·山东青岛·专题练习）已知抛物线的对称轴是直线，且抛物线经过，两点，与轴交于点， （1）为抛物线的对称轴上一个动点，写出当为直角三角形时，点的其他坐标_____． （2）设点是直线上方抛物线上的一动点，求面积的最大值是_____，并写出此时点的坐标________． 【解题技巧】动点问题中，要先确定动点的运动范围（即自变量的取值范围），再表示面积。当面积表达式是高次函数时，可用单调性分析或求导的方法求最值。注意分类讨论动点在不同位置时的情况。 【题型6】二次函数与四边形面积最值 【例题6】（2024九年级下·山东德州·专题练习）如图，E，F，M，N分别是边长为4的正方形四条边上的点，且． （1）试判断四边形是什么图形，并证明你的结论． （2）当点E位于何处时，四边形的面积最小，最小值是多少？ 【变式1】（25-26九年级上·天津河西·期中）如图，四边形的对角线互相垂直，，有下列结论： ①当对角线与互相平分时，四边形是菱形； ②当的长度为或时，四边形的面积均为； ③四边形面积的最大值为． 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式2】（24-25九年级上·陕西渭南·期末）如图，四边形的对角线与相交于点，若，则四边形面积的最大值为_____． 【变式3】（2025·内蒙古通辽·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点左侧，B点的坐标为（4，0），与y轴交于C（0，﹣4）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点． （1）求这个二次函数的表达式． （2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． （3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积． 【解题技巧】求四边形面积最值，分割法是关键。连接原点与动点，将四边形分割为两个三角形，分别表示面积后求和，得到关于 的二次函数，再求最值。分割线的选择要使两个三角形都便于求面积。 【题型7】面积比例问题 【例题7】（26-27九年级上·北京·课后作业）在平面直角坐标系中，抛物线过两点． （1）若抛物线与y轴交于点，求此抛物线的顶点坐标； （2）如图，小敏发现所有过A、B两点的抛物线，如果与y轴负半轴交于点C，M为抛物线的顶点，那么与的面积比不变，请你求出这个比值． 【变式1】（25-26九年级上·山西朔州·阶段检测）已知二次函数的图像如图所示，对称轴为直线，该图像与轴负半轴交于点，与轴正半轴交于点，与轴交于点，则的值为（    ） A． B． C．3 D．4 【变式2】（25-26九年级上·福建莆田·期中）已知抛物线的顶点为P，A、B、C、D是抛物线上的四点，且线段都垂直于抛物线的对称轴．如果，那么的值等于______． 【变式3】（25-26九年级下·陕西西安·阶段检测）已知，拋物线过和点，与轴的另一交点为，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线关于原点对称的抛物线为，点的对称点为，在上存在点，且点在轴的上方，满足，求点的坐标． 【解题技巧】面积比例问题，先求出已知图形的面积，再根据比例关系列出方程，解方程求出动点坐标。注意要验证解是否在动点的取值范围内。如果方程有解且在范围内，则存在；否则不存在。 【题型8】面积最值与存在性综合 【例题8】（2026·甘肃武威·模拟预测）如图，抛物线与轴相交于，两点，与轴交于点，点在点的右侧，点的纵坐标为，且． （1）求该抛物线的解析式； （2）在该抛物线的对称轴上是否存在点，使得最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1】（2025·陕西汉中·模拟预测）已知抛物线与轴交于点，其顶点为点，与轴交于两点（在的左侧），连接，若在抛物线上存在一点，使得，则的坐标是（   ）． A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·浙江宁波·期末）如图，抛物线的图象与轴交于点，点与点关于该抛物线的对称轴对称，已知一次函数的图象经过该二次函数图象上的点及点．点在线段上（不含端点）的动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，交直线于点．    （1）当时，点横坐标为___． （2）在直线下方的抛物线上存在点，使（点不与点重合）．则点的坐标为___． 【变式3】（24-25九年级上·山东临沂·期中）已知直线与轴交于，与轴交于点，抛物线与轴交于两点，与轴交于点 （1）求这个抛物线的解析式 （2）若是直线上方抛物线上一点，存在点使得，求点的坐标 （3）在对称轴上是否存在点，使得的周长最小，若存在，请直接写出点坐标，若不存在，请说明理由． 【解题技巧】综合题要分步解决：第一步求解析式（用交点式最简便）；第二步求面积最值（铅垂高法+配方法）；第三步存在性问题要分类讨论（等腰三角形分三种情况：两边相等）。每一步都要仔细计算，确保结果正确。 四.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26九年级上·河南周口·期中）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．点，连接，则的面积等于（   ） A．2 B．3 C．6 D． 2．（24-25九年级下·山东青岛·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，坐标原点为O，抛物线的顶点为A，过点A作y轴平行线交抛物线于点B，连接、，则的面积为（    ）    A．2 B．4 C．6 D．8 3．（24-25九年级上·河北廊坊·阶段检测）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点A和B．点P是线段上一点，过点P作轴于点D，连接，若的面积为S，则S的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·福建漳州·模拟预测）已知直线与抛物线交于A、B两点（点A在点B的左侧），与x轴交于点C，若抛物线的对称轴是y轴，则等于（） A．1﹕2 B．1﹕3 C．1﹕4 D．3﹕4 5．（24-25九年级上·重庆沙坪坝·阶段检测）在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+2的图象与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C.点P是直线AC上方的抛物线上一动点，若点P使△ACP的面积最大，则点P的坐标为（　　） A．（﹣，） B．（，﹣） C．（﹣，1） D．（，3） 6．（24-25九年级下·全国·二轮复习）如图，抛物线与x轴交于，，交y轴的正半轴于点C，对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，则下列结论：①；②；③为任意实数；④若点是抛物线上第一象限上的动点，当的面积最大时，，其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（24-25九年级上·湖北黄冈·阶段检测）如图，抛物线为，直线交抛物线于A，B两点，P为抛物线的顶点，若为直角三角形，且面积为，则a的值为（    ）    A． B． C． D． 8．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，点A是抛物线图象在第一象限内的一个动点，且点A的横坐标大于1，点E的坐标是（0，1），过点A作AB轴交抛物线于点B，过A、B作直线AE、BE分别交轴于点D、C，设阴影部分的面积为，点A的横坐标为，则关于的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 9．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段检测）已知，抛物线的顶点为，图象与轴负半轴交点为，且，若点在抛物线上，则的面积为（  ） A． B． C． D．． 10．（25-26九年级上·江苏泰州·期末）已知二次函数的图象与轴正半轴交于点，与轴交于点，点为抛物线上一动点，连接、，若的面积为3，则点的位置有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，B，C为抛物线与x轴的交点，以为直角边在x轴上方作等腰直角三角形，且，则的面积是__________． 12．（24-25九年级上·北京海淀·开学考试）已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，则的面积为______． 13．（2025·安徽池州·三模）已知抛物线与x轴负半轴交于点A，且经过，． （1）n的值为_____． （2）若P为第一象限内抛物线上的一点，且，则点P的坐标为_____ 14．（24-25九年级上·安徽亳州·期末）如图，已知抛物线与轴交于点，与轴交于点，且过点，连接． （1）点A的坐标为_____； （2）若点是直线下方抛物线对称轴上的一点，且，则点的坐标为_____． 15．（24-25九年级上·安徽芜湖·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴正半轴交于点B，与y轴交于点C，且过点，连接． （1）B的坐标______； （2）若点P是抛物线对称轴上一点，且，P的坐标______． 16．（24-25九年级上·辽宁鞍山·期中）如图，二次函数的图象与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），与y轴交于点C．点P是此函数图象上在第一象限内的一动点，当时，点P的坐标为 ________________． 17．（25-26九年级上·安徽安庆·阶段检测）已知抛物线的图象与x轴相交于点A和点，与y轴交于点C，连接，有一动点D在线段上运动，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E，交x轴于点，设点D的横坐标为m． （1）连接则的最大面积为________； （2）当时，在平面内存在点M，使以为顶点的四边形为平行四边形，请写出点M的坐标________． 18．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，抛物线与直线交于A，B两点（A在B左侧），连接，P在直线下方抛物线上，当的面积最大时，点P的坐标是__________． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26九年级上·山东枣庄·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C． （1）求点A、点B和点C的坐标； （2）若抛物线的顶点为D，求四边形的面积． 20．（本小题满分8分）（25-26九年级上·福建南平·期中）如图，抛物线与轴交于点、两点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）若是该抛物线上一点（点在轴下方），使得，求点坐标． 21．（本小题满分10分）（25-26九年级上·广东汕头·阶段检测）如图，点，在的图象上．直线与轴交于点，连接、． （1）________；________； （2）求的面积； （3）观察图象，直接写出当时，的取值范围． 22．（本小题满分10分）（25-26九年级上·宁夏吴忠·期末）如图，对称轴为直线的抛物线与x轴相交于A，B两点，其中点A的坐标为． （1）求点B的坐标； （2）若点P在抛物线上，且，求点P的坐标； （3）设点Q是线段上的动点，作轴交抛物线于点D，求线段长度的最大值． 23．（本小题满分10分）（2026·湖北恩施·二模）已知抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点，作直线． （1）求抛物线的解析式． （2）如图1，过点作轴，交抛物线于另一点，求点到直线的距离． （3）如图2，是轴正半轴一动点（不与点重合），过点作轴的平行线交直线于点，连接，设点的横坐标为，的面积为． ①求关于的函数解析式； ②当时，请直接写出的取值范围． 24．（本小题满分12分）（2026·江苏常州·一模）如图，二次函数的图像与轴交于点，（点在点的左侧），且，与轴交于点，连接，． （1）填空：_________； （2）若点是第一象限抛物线上一点． ①连接，交于点，记的面积为，的面积为，求的最大值； ②过点作轴，垂足为，作直线交轴负半轴于点．若，求点的横坐标． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $