专题08 圆心角、垂径定理同步培优讲义2026-2027学年浙教版九年级数学上册

本讲义聚焦圆心角与垂径定理两大核心知识点，系统梳理圆心角定义、中心对称性、弧弦角转化关系，以及垂径定理、弦心距、直角三角形模型等内容，构建从概念理解到定理应用再到综合计算证明的学习支架。 该资料题型分类细致（11种），突出易错点提示（如“同圆或等圆”前提），结合筒车、管道截面等实际应用案例，通过几何直观培养空间观念，推理意识强化逻辑思维，助力学生课中高效学习，课后精准查漏补缺。

专题08 圆心角、垂径定理 同步培优讲义 ✺知识框架 1.圆心角板块：圆心角定义、圆的中心对称性、圆心角定理、同圆或等圆中圆心角、弧、弦的等价转化关系 2.垂径定理板块：弦心距定义、垂径定理、垂径定理五大条件推论、经典直角三角形几何模型 3.综合应用：弦长、半径、弦心距计算，角度推导，线段相等、弧相等、垂直关系的几何证明 ✅本节依托圆的中心对称与轴对称性质，包含两大核心定理。圆心角定理用于角、弧、弦的等量互推，侧重几何证明；垂径定理依托垂直平分性质，结合直角三角形模型，侧重圆的定量计算。本节定理前置条件严谨、易错点集中，严守定理使用前提、熟练掌握模型，是学好本节的关键。 ✺学习目标 1.理解圆心角的定义，掌握圆的中心对称性质，熟练掌握同圆或等圆中圆心角、弧、弦三者的等量转化定理，能实现三者之间的灵活互推。 2.精准掌握垂径定理及其完整推论，深刻理解定理的几何本质，严格区分定理的适用条件与限制条件，杜绝定理滥用。 3.利用圆的轴对称性，熟练运用垂径定理构造直角三角形，精准完成半径、弦长、弦心距、弓形高的定量计算与推导。 4 能够灵活运用两大核心定理，解决线段相等、弧相等、垂直关系的几何证明问题，建立数形结合、模型化解题思维，适配同步培优拔高训练需求。 ✺题型归纳 题型1.圆心角概念辨析及简单运算 题型2.求圆弧的度数 题型3.利用弧、弦、圆心角的关系求解 题型4.利用弧、弦、圆心角的关系求证 题型5.利用垂径定理求值 题型6.利用垂径定理求平行弦问题 题型7.利用垂径定理求同心圆问题 题型8.利用垂径定理求解其他问题 题型9.垂径定理的推论 题型10.垂径定理的实际应用 题型11.课堂小练 ✺知识清单 知识点一、圆心角相关概念与定理 1.圆心角定义：顶点在圆心的角叫做圆心角。如下图. 补充：n°的圆心角所对的弧是n°的弧，即圆心角的度数与它所对弧的度数相等。 ⚠️注意：仅度数相等，角与弧是不同几何图形，不能写角等于弧；度数相等不等于弧长相等。 2.圆的中心对称性：圆是中心对称图形，圆心为对称中心。 圆绕圆心旋转任意角度都能与自身重合，该性质是圆心角定理成立的几何基础。 3.圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 4.圆心角定理推论： 推论①：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等； 推论②：在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等。 易错重点：脱离“同圆或等圆”的前提，仅圆心角相等，无法推出所对弧、弦相等 知识点二、垂径定理及其推论 1.弦心距定义：圆心到弦的垂线段的长度叫做弦心距。 弦心距、半径、半弦长共同构成垂径定理计算的核心要素。 2. 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。如下图： 3.垂径定理推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 4.推论关键前提:推论中必须注明“弦不是直径”，因为圆中任意两条直径互相平分，但不一定互相垂直，因此被平分的弦为直径时，推论不成立。 ▲高频易错陷阱：若仅平分弦，该弦不能为直径。任意两条直径互相平分，但不一定垂直，因此平分直径无法推出垂直、平分弧的结论。 知识点三、垂径定理--半径、弦心距、半弦长直角三角形模型 知识点四、圆心角、弧、弦之间的关系 ▶本节所有圆心角、弧、弦的等量关系定理，只在同圆或等圆中成立，半径不等的不同圆不适用该定理。 1.【回顾】核心定理内容:在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 2.定理推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等，那么所对应的其余各组量也相等。 注意：弦心距为拓展内容，课本定理只包含圆心角、弧、弦三组量（知一推二） 3.定理核心作用 该定理实现了圆中圆心角、弧、弦三类几何量的互相转化，是证明圆中弧相等、弦相等、圆心角相等的重要依据。 ★重难点与易错点汇总 1.前提约束：圆心角、弧、弦的等量互推，必须在同圆或等圆中成立，无前提则结论无效。 2.推论限制：垂径定理及推论不适用于直径，平分直径无法推出垂直、平分弧等结论。 3.分类讨论：除直径外，任意一条弦对应一条劣弧、一条优弧。 4.辅助线规范：涉及弦的计算与证明，通用辅助线作法为：过圆心作弦的垂线、连接半径，构造直角三角形转化求解。 ✺题型精讲 题型1.圆心角概念辨析及简单运算 1．如图，下列各角是圆心角的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、不是圆心角，不符合题意； B、不是圆心角，不符合题意； C、是圆心角，符合题意； D、不是圆心角，不符合题意． 2．“顶点在圆内的角叫做圆心角”是________的．（选填“正确”或“错误”） 【答案】错误 【分析】顶点在圆心的角是圆心角，根据圆心角的定义即可求解. 【详解】∵顶点在圆心的角是圆心角， ∴顶点在圆内的角叫做圆心角说法错误， 故答案为：错误. 【点睛】本题主要考查圆心角的定义，解决本题的关键是要熟练掌握圆心角的定义. 3．如图，、是⊙O的直径，弦，弧的度数为，求的度数． 【答案】 【分析】连接，由弧的度数为，得到，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求出，再由，即可得到． 【详解】解：连接，如图， ∵弧的度数为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵弦， ∴． 【点睛】本题考查了圆的基本性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及平行线的性质，熟练掌握圆的基本性质是解题的关键． 题型2.求圆弧的度数 1．如图中，，以C为圆心，为半径的圆交于点D，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，连接先求解 再利用圆心角与弧之间的关系可得答案． 【详解】解：如图，连接 ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴的度数为： 故选B． 【点睛】本题考查的是直角三角形两锐角互余，圆的基本性质，圆心角与弧之间的关系，掌握“弧的度数等于它所对的圆心角的度数”是解本题的关键． 2．如图，在正方形网格中，一条圆弧经过三点，那么弧的度数是_____． 【答案】/90度 【分析】本题考查了勾股定理的应用，判断出圆心的位置是解决本题的关键． 作的垂直平分线，作的垂直平分线，两垂直平分线交于点Q，连接，分别表示出的长，可得为等腰直角三角形，进而即可得解． 【详解】解：作的垂直平分线，作的垂直平分线，两垂直平分线交于点Q，连接，如图， 由图可得圆心为点Q， ∵，，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴弧的度数是， 故答案为：． 3．如图所示，若扇形DOE与扇形AOE的圆心角的度数之比为1：2．求这五个圆心角的度数． 【答案】54°，90°，108°，36°，72° 【分析】求出每个扇形所占的百分比，再根据所有扇形所对应的圆心角的和为360°，按比例进行计算即可． 【详解】解：由题意得，扇形DOE所占的百分比为：（1﹣30%﹣25%﹣15%）×＝10%， 扇形AOE所占的百分比为：（1﹣30%﹣25%﹣15%）×＝20%， ∴∠AOB＝360°×15%＝54°， ∠BOC＝360°×25%＝90°， ∠COD＝360°×30%＝108°， ∠DOE＝360°×10%＝36°， ∠AOE＝360°×20%＝72°， 答：这五个圆心角的度数依次为54°，90°，108°，36°，72°． 【点睛】本题考查求圆心角度数，求出各个扇形所占的百分比是正确解答的关键． 题型3.利用弧、弦、圆心角的关系求解 1．在中，圆心角，则弦与弦的关系是（     ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】作的平分线构造等圆心角，得到等弦，结合三角形三边关系比较弦长大小． 【详解】解：如图，作的平分线，交于点，连接、、、， 则， ∵， ∴， ∵在同圆中，相等的圆心角所对的弦相等， ∴， 在中，， ∴，即． 2．如图，在中，，，则______． 【答案】/度 【分析】根据弧、弦、圆心角的关系解答即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴． 3．如图，已知的半径为3，弦AB，CD所对的圆心角分别是，．若与互补，弦，求弦AB的长． 【答案】 【分析】延长交于点，连接，利用等角的补角相等得到，则根据圆心角、弧、弦的关系得到，接着利用圆周角定理得到，然后利用勾股定理计算的长． 【详解】解：如图，延长交于点T，连接． ，， ， ． ， ，， ， ． ， ． 【点睛】本题考查了圆的基本性质，解题的关键是应用圆的性质和勾股定理解决问题． 题型4.利用弧、弦、圆心角的关系求证 1．如图，A，B，C，D是上的四点，且，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系．根据圆心角、弧、弦之间的关系得出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即， ∴． 故选：B． 2．如图所示，在⊙O中，C、D分别是OA、OB的中点，MC⊥AB、ND⊥AB，M、N在⊙O上．下列结论： ①， ②， ③四边形MCDN是正方形， ④MN＝AB， 所有正确结论的序号是______． 【答案】①②④ 【分析】连接OM、ON，如图，利用OC＝OD＝OM＝ON，则∠OMC＝∠OND＝30°，则利用∠COM＝∠DON＝∠MON＝60°可判断；通过证明MN＝OM和四边形CDNM为矩形可对①③④矩形判断． 【详解】解：连接OM、ON，如图， ∵MC⊥AB、ND⊥AB， ∴∠OCM＝∠ODN＝90°， ∵C、D分别是OA、OB的中点，OA＝OB， ∴OC＝OD＝OM＝ON， ∴∠OMC＝∠OND＝30°， ∴∠COM＝∠DON＝60°， ∴∠MON＝60°， ∴，所以②正确； ∴△OMN为等边三角形， ∴MN＝CD，∠OMN＝60° ∴MN∥CD， ∴四边形CDNM为矩形， ∴MC＝ND，所以①正确；③错误； ∵MN＝CD＝OA+OB＝AB， ∴④正确． 故答案为：①②④ 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了等边三角形的判定与性质． 3．（1）与是等圆，观察图①中与的共同点，你有什么发现？ （2）如图①，若，那么与有什么关系呢？ （3）如图①，若那么与又有什么关系呢？ （4）如图②所示，你上面的发现仍然成立吗？ 【答案】（1）都是圆心角；（2）；（3）；（4）不成立 【分析】本题主要考查了圆心角的定义和弧、弦、圆心角关系， （1）根据圆心角的定义即可得出结论； （2）根据弧、弦、圆心角的关系即可得出结论； （3）根据弧、弦、圆心角的关系即可得出结论； （4）根据，即可得出结论． 【详解】 解：（1）由图可知，与都是圆心角； （2）∵， ∴； （3）∵， ∴； （4）不成立，理由如下： 由图可知，，但． 题型5.利用垂径定理求值 1．某小区的排水管道的截面示意图如图所示，点、、在上，点是的中点，且经过圆心，若，，则的半径是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由垂径定理可得，连接，设，则，再由勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：由题意可得：， ∵经过圆心， ∴， 如图，连接， ， 设，则， 由勾股定理可得， ∴， 解得， ∴的半径是． 2．如图，是的一条弦，的延长线交于点D．若，，则的长是______． 【答案】/ 【分析】根据，得出，设，则，然后根据勾股定理列出关于r的方程，解方程即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴，， 设，则， ∵， ∴， 解得：， 即． 3．如图，是的直径，弦于点E，连接，若，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理． 连接，先利用垂径定理得，再利用勾股定理计算出，所以，然后利用勾股定理计算出的长． 【详解】解：连接， ∵，且是直径， ∴， ∵， ∴， 在中， ， ∴， 在中，． 题型6.利用垂径定理求平行弦问题 1．已知的直径为，，是的两条弦，，，，则和之间的距离是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】解题需分情况讨论弦、与圆心的位置关系，避免漏解，先求出圆心到两条弦的距离，再分情况计算两弦间的距离。 【详解】解：①当弦和在圆心同侧时， 连接，，过点作于点并延长交于点．则，如图， ，， ，， ， ，， ； ②当弦和在圆心异侧时，如图， ，， ，， ， ，， ． 与之间的距离为或． 2．在半径为10的中，弦，弦，且，则与之间的距离是___． 【答案】2或14 【分析】由于弦与的具体位置不能确定，故应分两种情况进行讨论：①弦与在圆心同侧；②弦与在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可． 【详解】解：①当弦与在圆心同侧时，如图①，    过点O作，垂足为F，交于点E，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴由勾股定理得：，， ∴； ②当弦与在圆心异侧时，如图，    过点O作于点E，反向延长交于点F，连接， 同理，， ， 所以与之间的距离是2或14． 故答案为：2或14． 【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理，解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解． 3．请用无刻度直尺完成下列作图，不写画法，保留画图痕迹（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）．    (1)如图1，点是矩形边的中点，过点画矩形的一条对称轴交于； (2)如图2，△ABC和△DEF的顶点分别与小正方形的顶点重合，若△DEF是△ABC绕点O旋转得到的，请在图中画出旋转中心； (3)如图3，圆经过两个格点，以及格线上的点，作劣弧的中点；并在优弧上找一点，使得； 【答案】(1) 如图 (2) 如图 (3) 如图 【分析】（1）先连接交于点，再根据矩形的性质即可； （2）分别作，的垂直平分线交于点即可； （3）先连接交格线于点， 连接，再作直线交于点，交于点，然后作直线交于点，连接即可． 【详解】（1）解：作法：1．连接交于点， （2）2．作直线交于点， 故直线即为所求． 证明：在矩形中， 点是矩形边的中点， ，即垂直平分； 解：作法：1．连接，， 2．分别作，的垂直平分线交于点， 故点即为所求， 证明：点和点是对称点，点和点是对称点，四边形均为正方形， 垂直平分，垂直平分， 点为旋转中心； （3）解：作法：  1．连接交格线于点， 连接， 2．作直线交于点，交于点， 3．作直线交于点，连接, 故点即为所求， 证明：过点作直线的垂线，垂足为点， ， ， ， ，即垂直平分， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了轴对称图形的性质，中心对称图形的性质，圆的基本性质，熟练运用以上知识作图是本题的关键． 题型7.利用垂径定理求同心圆问题 1．如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过，，O三点，那么这条圆弧所在圆的圆心为图中的（　　） A．点D B．点E C．点F D．点G 【答案】B 【分析】根据图形作线段和的垂直平分线，两线的交点即为圆心，根据图形得出即可． 【详解】解：如图 作线段和的垂直平分线，交于点E，即为弧的圆心， 故选：B． 【点睛】本题考查了垂径定理，线段垂直平分线性质，坐标与图形性质的应用． 2．如图，两个同心圆的半径分别为2和4，矩形的边和分别是两圆的弦，则矩形面积的最大值是______． 【答案】16 【分析】过点O作OP⊥AB于P并反向延长交CD于N，作OM⊥AD于点M，连接OA、OD，根据面积之间的关系得出S△AOD=S矩形APND=S矩形ABCD，从而得出S矩形ABCD最大时，S△AOD也最大，过点D作AO边上的高h，根据垂线段最短可得h≤OD，利用三角形的面积公式即可求出S△AOD的最大值，从而求出结论． 【详解】解：过点O作OP⊥AB于P并反向延长交CD于N，作OM⊥AD于点M，连接OA、OD ∴AO=2，OD=4，四边形APND和四边形PBCN为矩形，PN⊥CD， ∴OM=AP 根据垂径定理可得：点P和点N分别为AB和CD的中点， ∴S矩形APND=S矩形ABCD ∵△AOD的高OM等于矩形APND的宽，△AOD的底为矩形APND的长 ∴S△AOD=S矩形APND=S矩形ABCD ∴S矩形ABCD最大时，S△AOD也最大 过点D作AO边上的高h，根据垂线段最短可得h≤OD（当且仅当OD⊥OA时，取等号） ∴S△AOD=AO·h≤AO·OD=×2×4=4 故S△AOD的最大值为4 ∴S矩形ABCD的最大值为4÷=16 故答案为：16． 【点睛】此题考查的是垂径定理、各图形面积的关系和三角形面积的最值问题，掌握垂径定理、利用边的关系推导面积关系和垂线段最短是解决此题的关键． 3．如图，在以点O为圆心的两个同心圆（两圆的圆心均为点O）中，大圆的弦交小圆于点C，D． (1) 求证：． (2) 若大圆的半径，小圆的半径，且圆心 O 到直线的距离为 3，求的长． 【答案】(1) 证明：如图，过点 O 作于点E． ∵， ∴． ∴． ∴． (2) 【分析】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． （1）过点O作于点E，根据垂径定理，垂直平分和，即，，进而即可得出结论； （2）连接，利用勾股定理计算和的长度，进而求的长度． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接． ∵， ∵， 题型8.利用垂径定理求解其他问题 1．下列语句中，正确的是（    ） A．长度相等的两条弧相等 B．平分弦的直径垂直于弦 C．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等 D．圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴 【答案】C 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系以及垂径定理；圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角相等，所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距也相等．根据圆心角、弧、弦的关系，垂径定理等相关知识进行解答即可． 【详解】解：A、在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧，选项说法错误，故本选项不符合题意； B、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，选项说法错误，故本选项不符合题意； C、由圆心角、弧、弦的关系定理知，选项说法正确，故本选项符合题意； D、任何图形的对称轴都是直线，而圆的直径是线段，选项说法错误，故本选项不符合题意； 故选：C． 2．垂径定理 垂直于弦的直径_____这条弦，并且平分弦所对的_____． 【答案】 平分 两条弧 【分析】根据垂径定理的概念即可求解． 【详解】解：垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 故答案为：平分；两条弧． 【点睛】本题主要考查垂径定理的概念，掌握垂径定理的概念是解题的关键． 3．在数学活动课上，顾老师提出了一个问题：如图，已知，在上作一点P，使． 小亮同学很快就给出了下列思路： ①连接，作线段的垂直平分线，交于点E； ②连接，作线段的垂直平分线，交于P，则点P即所求． (1)请你按小亮的步骤画出图形； (2)请你利用图形，求证：． 【答案】(1) 如图所示，点P即所求． (2) 证明：如图， ，， ， ，， ， 【分析】本题考查了尺规作图，作垂直平分线及垂径定理，解决本题的关键是熟练掌握作垂直平分线及垂径定理． （1）按小亮的步骤画出图形即可； （2）利用垂径定理证明即可． 【详解】（1）略 （2） 略 题型9.垂径定理的推论 1．如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点为圆心的圆的一部分．如果是中弦的中点，经过圆心交于点，并且米，米．则的半径为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理及推论的应用、勾股定理，由是中弦的中点，则，所以，故有，（米），设的半径为米，则（米），然后通过勾股定理即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵是中弦的中点， ∴， ∴， ∴，（米）， 设的半径为米，则（米）， ∵， ∴， ∴， 故选：． 2．如图，在中，C，D分别是和弦的中点，若，，则的半径是________． 【答案】5 【分析】本题考查垂径定理的推论、勾股定理，熟知垂径定理及其推论是解答的关键． 连接，，，根据垂径定理的推论得到，，，则O、D、C共线，设半径，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：连接，，， ∵C，D分别是和弦的中点，， ∴，，， ∴O、D、C共线， 设半径，则， 由勾股定理得，即 解得，故的半径是5， 故答案为：5． 3．如图，四边形内接于，是直径，点是劣弧的中点，求证：． 【答案】 证明：∵是直径，点是劣弧的中点， ∴垂直平分， ∴． 【分析】本题考查垂径定理的推论及垂直平分线的性质，根据“是直径，点是劣弧的中点”可得垂直平分，再根据垂直平分线的性质即可得证．解题的关键是掌握：一条直线如果具有“．经过圆心，．垂直于弦，．平分弦（被平分的弦不是直径），．平分弦所对的优弧，．平分弦所对的劣弧”这五条中的任意两条，则必然具备其余的三条，简称“知二推三”． 【详解】略． 题型10.垂径定理的实际应用 1．如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，点表示筒车的一个盛水桶，如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心为圆心的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦长为，筒车工作时盛水桶在水面以下的最大深度为，则筒车的直径是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，交于点，交于点，则有，然后根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：如图，过点作，交于点，交于点， 设筒车的半径为，则， ∴． ∵， ∴． 在中，， ∴，解得， ∴筒车的直径是． 2．《九章算术》中有这样一个问题：“今有圆材，埋壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言表达是：如图，为的直径，弦，垂足为E，寸，尺，则直径长为______寸．（1尺寸） 【答案】26 【分析】连接构成直角三角形，先根据垂径定理，可得寸，再设出圆的半径为x寸，表示出，最后根据勾股定理建立关于x的方程进行求解即可． 【详解】解：连接，如图， ，且寸， 寸， 设圆O的半径的长为x寸， 寸， 在中， 解得， ， 寸． 3．如图是一个管道的横截面，圆心O到水面的距离是3，水面宽．求这个管道横截面的半径． 【答案】 【分析】根据垂径定理，可知是等腰直角三角形，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接， ， ． ， 是等腰直角三角形， 在中，． 这个管道横截面的半径为． ✺课堂小练 一、单选题 1．如图，已知为的直径，点C为圆上的一点，且所对的圆心角度数是所对的圆心角度数的，则所对的圆心角度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系是解题的关键． 由为的直径，得到，再根据，即可得到结论． 【详解】解：∵为的直径， ∴， ∵所对的圆心角度数是所对的圆心角度数的， ∴， ∴． ∴所对的圆心角度数为． 故选：C． 2．如图，线段是的直径，于点．若，，则的半径长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】利用垂径定理求出弦长的一半，再连接半径构造直角三角形，通过勾股定理计算圆的半径． 【详解】解：连接． 是的直径，， ． ， ． ，， ． 3．如图，烧瓶底部呈球形，瓶内液体的深度，则经过球心的截面圆的半径，则弦的长为（   ）． A． B． C．6 D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，垂径定理的应用，熟练掌握勾股定理，垂径定理是解题的关键． 根据勾股定理求得的长，再由垂径定理可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵瓶内液体的深度， ∴， 在中，． ∵， ∴， 故选：A． 二、填空题 4．如图，点A是半圆上的一个三等分点，点是的中点，点P是直径上一个动点，的半径为1，则的最小值为________． 【答案】 【分析】作点关于的对称点，连接，交于点，连接，，，则，，求出，再结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：作点关于的对称点，连接，交于点，连接，，， 点与关于对称，点是半圆上的一个三等分点， ，． 点是的中点， ， ． 又， ． 当点，，在一条直线上时，此时最小，为的值，即最小值是． 5．如图，在以点O为圆心的两个圆中，大圆的半径是小圆半径的2倍，大圆的弦和小圆交于C，D两点，若，则小圆半径是________． 【答案】 【分析】过O点作于H点，连接、，如图，根据垂径定理得到，，设，则，再利用双勾股得到，然后解方程求出r即可． 本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理． 【详解】解：过O点作于H点，连接，如图，则 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或r（舍去）， 即小圆半径是， 故答案为：． 6．如图，是的直径，的弦在直线的上方，且，以为直径向下作半圆（圆心为M）交于E、F两点，若则_________． 【答案】10 【分析】本题考查了垂径定理及其推论，勾股定理等知识，应用好垂径定理及其推论是解题的关键； 设，则得，，；连接，过点M作于N；由垂径定理得，从而；由M是的中点，则得，在中，由勾股定理求得，在中由勾股定理得，在中，由勾股定理得：，由此建立方程求得k的值，即可求得结论． 【详解】解：∵， ∴设，则， ∴，； 如图，连接，过点M作于N； ∴，； ∵为的一条弦，且， ∴， ∴； 由题意知，M是的中点，且为的直径， ∴， 由垂径定理推论知：； 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴． 故答案为：10． 三、解答题 7．如图所示，的两条弦，互相垂直且相交于点P，，，垂足分别为E，F，．求证：四边形是正方形． 【答案】证明：连接，如图 ，，， 四边形是矩形， ， ，即， ， ，，垂足分别为，， ，， ， ，，， ， 四边形是正方形． 【分析】先由垂直条件证明四边形为矩形，再利用等弧对等弦及已知得出，再结合垂径定理以及勾股定理得到弦心距，最后根据“一组邻边相等的矩形是正方形”得证． 【详解】略 8．弦把分成，连接、，过的中点A作，交于B，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，垂直平分线的性质，借助辅助线构造等边三角形是解题关键． 连接、、，延长交于点C，利用弦把分成1:3，可计算出，由于，所以，由于点A为的中点，可得垂直平分，根据垂直平分线的性质可判断为等边三角形，则，根据，可求的度数． 【详解】解：如图，连接、、， ∵弦把分成， ∴， ∵， ∴， ∵点A为的中点， ∴点C为的中点， 即垂直平分， ∴， 而， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴的度数为． 答：的度数为． 9．如图1，月洞门是中国古典建筑中的一种圆形门洞，形如满月，故称“月洞门”，如图2是古人根据《营造法式》中的“五举法”作出的月洞门的设计图，月洞门呈圆弧形，用表示，点是所在圆的圆心，是月洞门的横跨，是月洞门的拱高，现在我们也可以用尺规作图的方法作出月洞门的设计图． 解答下列问题： (1)如图3，已知月洞门的横跨为，拱高为，用尺规作图的方法在图3中作出月洞门的设计图（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，，求的半径长． 【答案】(1)如图， (2)的半径长为 【分析】（1）作的垂直平分线交于点D，以点D为圆心，a为半径画弧交于点C，连接，作的垂直平分线交于点O，以点O为圆心，为半径画弧； （2）如图，连接，设的半径为，则，，由垂径定理得到，然后在直角中利用勾股定理求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接，设的半径为，则，， 由题意可知，垂直平分， ，， 在直角中，， ， 解得． 答：的半径长为． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 圆心角、垂径定理 同步培优讲义 ✺知识框架 1.圆心角板块：圆心角定义、圆的中心对称性、圆心角定理、同圆或等圆中圆心角、弧、弦的等价转化关系 2.垂径定理板块：弦心距定义、垂径定理、垂径定理五大条件推论、经典直角三角形几何模型 3.综合应用：弦长、半径、弦心距计算，角度推导，线段相等、弧相等、垂直关系的几何证明 ✅本节依托圆的中心对称与轴对称性质，包含两大核心定理。圆心角定理用于角、弧、弦的等量互推，侧重几何证明；垂径定理依托垂直平分性质，结合直角三角形模型，侧重圆的定量计算。本节定理前置条件严谨、易错点集中，严守定理使用前提、熟练掌握模型，是学好本节的关键。 ✺学习目标 1.理解圆心角的定义，掌握圆的中心对称性质，熟练掌握同圆或等圆中圆心角、弧、弦三者的等量转化定理，能实现三者之间的灵活互推。 2.精准掌握垂径定理及其完整推论，深刻理解定理的几何本质，严格区分定理的适用条件与限制条件，杜绝定理滥用。 3.利用圆的轴对称性，熟练运用垂径定理构造直角三角形，精准完成半径、弦长、弦心距、弓形高的定量计算与推导。 4 能够灵活运用两大核心定理，解决线段相等、弧相等、垂直关系的几何证明问题，建立数形结合、模型化解题思维，适配同步培优拔高训练需求。 ✺题型归纳 题型1.圆心角概念辨析及简单运算 题型2.求圆弧的度数 题型3.利用弧、弦、圆心角的关系求解 题型4.利用弧、弦、圆心角的关系求证 题型5.利用垂径定理求值 题型6.利用垂径定理求平行弦问题 题型7.利用垂径定理求同心圆问题 题型8.利用垂径定理求解其他问题 题型9.垂径定理的推论 题型10.垂径定理的实际应用 题型11.课堂小练 ✺知识清单 知识点一、圆心角相关概念与定理 1.圆心角定义：顶点在圆心的角叫做圆心角。如下图. 补充：n°的圆心角所对的弧是n°的弧，即圆心角的度数与它所对弧的度数相等。 ⚠️注意：仅度数相等，角与弧是不同几何图形，不能写角等于弧；度数相等不等于弧长相等。 2.圆的中心对称性：圆是中心对称图形，圆心为对称中心。 圆绕圆心旋转任意角度都能与自身重合，该性质是圆心角定理成立的几何基础。 3.圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 4.圆心角定理推论： 推论①：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等； 推论②：在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等。 易错重点：脱离“同圆或等圆”的前提，仅圆心角相等，无法推出所对弧、弦相等 知识点二、垂径定理及其推论 1.弦心距定义：圆心到弦的垂线段的长度叫做弦心距。 弦心距、半径、半弦长共同构成垂径定理计算的核心要素。 2.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。如下图： 3.垂径定理推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 4.推论关键前提:推论中必须注明“弦不是直径”，因为圆中任意两条直径互相平分，但不一定互相垂直，因此被平分的弦为直径时，推论不成立。 ▲高频易错陷阱：若仅平分弦，该弦不能为直径。任意两条直径互相平分，但不一定垂直，因此平分直径无法推出垂直、平分弧的结论。 知识点三、垂径定理--半径、弦心距、半弦长直角三角形模型 知识点四、圆心角、弧、弦之间的关系 ▶本节所有圆心角、弧、弦的等量关系定理，只在同圆或等圆中成立，半径不等的不同圆不适用该定理。 1.【回顾】核心定理内容:在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 2.定理推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等，那么所对应的其余各组量也相等。 注意：弦心距为拓展内容，课本定理只包含圆心角、弧、弦三组量（知一推二） 3.定理核心作用 该定理实现了圆中圆心角、弧、弦三类几何量的互相转化，是证明圆中弧相等、弦相等、圆心角相等的重要依据。 ★重难点与易错点汇总 1.前提约束：圆心角、弧、弦的等量互推，必须在同圆或等圆中成立，无前提则结论无效。 2.推论限制：垂径定理及推论不适用于直径，平分直径无法推出垂直、平分弧等结论。 3.分类讨论：除直径外，任意一条弦对应一条劣弧、一条优弧。 4.辅助线规范：涉及弦的计算与证明，通用辅助线作法为：过圆心作弦的垂线、连接半径，构造直角三角形转化求解。 ✺题型精讲 题型1.圆心角概念辨析及简单运算 1．如图，下列各角是圆心角的是（     ） A． B． C． D． 2．“顶点在圆内的角叫做圆心角”是________的．（选填“正确”或“错误”） 3．如图，、是⊙O的直径，弦，弧的度数为，求的度数． 题型2.求圆弧的度数 1．如图中，，以C为圆心，为半径的圆交于点D，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在正方形网格中，一条圆弧经过三点，那么弧的度数是_____． 3．如图所示，若扇形DOE与扇形AOE的圆心角的度数之比为1：2．求这五个圆心角的度数． 题型3.利用弧、弦、圆心角的关系求解 1．在中，圆心角，则弦与弦的关系是（     ） A． B． C． D．不能确定 2．如图，在中，，，则______． 3．如图，已知的半径为3，弦AB，CD所对的圆心角分别是，．若与互补，弦，求弦AB的长． 题型4.利用弧、弦、圆心角的关系求证 1．如图，A，B，C，D是上的四点，且，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．不能确定 2．如图所示，在⊙O中，C、D分别是OA、OB的中点，MC⊥AB、ND⊥AB，M、N在⊙O上．下列结论： ①， ②， ③四边形MCDN是正方形， ④MN＝AB， 所有正确结论的序号是______． 3．（1）与是等圆，观察图①中与的共同点，你有什么发现？ （2）如图①，若，那么与有什么关系呢？ （3）如图①，若那么与又有什么关系呢？ （4）如图②所示，你上面的发现仍然成立吗？ 题型5.利用垂径定理求值 1．某小区的排水管道的截面示意图如图所示，点、、在上，点是的中点，且经过圆心，若，，则的半径是（   ） A． B． C． D． 2．如图，是的一条弦，的延长线交于点D．若，，则的长是______． 3．如图，是的直径，弦于点E，连接，若，，求的长． 题型6.利用垂径定理求平行弦问题 1．已知的直径为，，是的两条弦，，，，则和之间的距离是（    ） A．或 B．或 C． D． 2．在半径为10的中，弦，弦，且，则与之间的距离是___． 3．请用无刻度直尺完成下列作图，不写画法，保留画图痕迹（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）．    (1)如图1，点是矩形边的中点，过点画矩形的一条对称轴交于； (2)如图2，△ABC和△DEF的顶点分别与小正方形的顶点重合，若△DEF是△ABC绕点O旋转得到的，请在图中画出旋转中心； (3)如图3，圆经过两个格点，以及格线上的点，作劣弧的中点；并在优弧上找一点，使得； 题型7.利用垂径定理求同心圆问题 1．如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过，，O三点，那么这条圆弧所在圆的圆心为图中的（　　） A．点D B．点E C．点F D．点G 2．如图，两个同心圆的半径分别为2和4，矩形的边和分别是两圆的弦，则矩形面积的最大值是______． 3．如图，在以点O为圆心的两个同心圆（两圆的圆心均为点O）中，大圆的弦交小圆于点C，D． (1) 求证：． (2) 若大圆的半径，小圆的半径，且圆心 O 到直线的距离为 3，求的长． 题型8.利用垂径定理求解其他问题 1．下列语句中，正确的是（    ） A．长度相等的两条弧相等 B．平分弦的直径垂直于弦 C．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等 D．圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴 2．垂径定理 垂直于弦的直径_____这条弦，并且平分弦所对的_____． 3．在数学活动课上，顾老师提出了一个问题：如图，已知，在上作一点P，使． 小亮同学很快就给出了下列思路： ①连接，作线段的垂直平分线，交于点E； ②连接，作线段的垂直平分线，交于P，则点P即所求． (1)请你按小亮的步骤画出图形； (2)请你利用图形，求证：． 题型9.垂径定理的推论 1．如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点为圆心的圆的一部分．如果是中弦的中点，经过圆心交于点，并且米，米．则的半径为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 2．如图，在中，C，D分别是和弦的中点，若，，则的半径是________． 3．如图，四边形内接于，是直径，点是劣弧的中点，求证：． 题型10.垂径定理的实际应用 1．如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，点表示筒车的一个盛水桶，如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心为圆心的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦长为，筒车工作时盛水桶在水面以下的最大深度为，则筒车的直径是（    ） A． B． C． D． 2．《九章算术》中有这样一个问题：“今有圆材，埋壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言表达是：如图，为的直径，弦，垂足为E，寸，尺，则直径长为______寸．（1尺寸） 3．如图是一个管道的横截面，圆心O到水面的距离是3，水面宽．求这个管道横截面的半径． ✺课堂小练 一、单选题 1．如图，已知为的直径，点C为圆上的一点，且所对的圆心角度数是所对的圆心角度数的，则所对的圆心角度数为（　　） A． B． C． D． 2．如图，线段是的直径，于点．若，，则的半径长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．如图，烧瓶底部呈球形，瓶内液体的深度，则经过球心的截面圆的半径，则弦的长为（   ）． A． B． C．6 D． 二、填空题 4．如图，点A是半圆上的一个三等分点，点是的中点，点P是直径上一个动点，的半径为1，则的最小值为________． 5．如图，在以点O为圆心的两个圆中，大圆的半径是小圆半径的2倍，大圆的弦和小圆交于C，D两点，若，则小圆半径是________． 6．如图，是的直径，的弦在直线的上方，且，以为直径向下作半圆（圆心为M）交于E、F两点，若则_________． 三、解答题 7．如图所示，的两条弦，互相垂直且相交于点P，，，垂足分别为E，F，．求证：四边形是正方形． 8．弦把分成，连接、，过的中点A作，交于B，求的度数． 9．如图1，月洞门是中国古典建筑中的一种圆形门洞，形如满月，故称“月洞门”，如图2是古人根据《营造法式》中的“五举法”作出的月洞门的设计图，月洞门呈圆弧形，用表示，点是所在圆的圆心，是月洞门的横跨，是月洞门的拱高，现在我们也可以用尺规作图的方法作出月洞门的设计图． 解答下列问题： (1)如图3，已知月洞门的横跨为，拱高为，用尺规作图的方法在图3中作出月洞门的设计图（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，，求的半径长． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $