第1讲 二次函数的图像及性质 讲义 2026−2027学年浙教版九年级数学上册

第1讲 二次函数的图像及性质 优等生讲义 2026-2027 浙教版九年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解二次函数的概念，能判断一个函数是否为二次函数 · 掌握二次函数图象（抛物线）的画法与特征 · 理解二次函数图象的平移规律 · 掌握二次函数的增减性与最值性质 · 能运用二次函数的图象与性质解决简单问题 📚 知识梳理 ☆ 1.1.1 二次函数的意义 形如y=ax²+bx+c（a≠0）的函数叫做二次函数，a为二次项系数、b为一次项系数、c为常数项 判断二次函数三要点：表达式为整式、含自变量x的二次项、二次项系数a≠0 二次函数的值域与定义域：自变量x取全体实数 特殊形式：y=ax²、y=ax²+c、y=a(x-h)²、y=a(x-h)²+k 都是二次函数 概念辨析例题：下列函数中，哪些是二次函数？①y=3x²-2x+1；②y=x²+1/x；③y=2x-3；④y=(x+1)²-x²． 解析：①是二次函数（a=3，b=-2，c=1）；②含1/x不是整式，不是二次函数；③是一次函数；④化简后y=2x+1是一次函数，不是二次函数． ☆ 2.1.2 二次函数的图象 二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象是一条抛物线 y=ax²（a≠0）：顶点在原点(0,0)，对称轴为y轴；a>0开口向上，a<0开口向下 y=a(x-h)²+k：顶点为(h,k)，对称轴为直线x=h 抛物线平移规律：上加下减（常数项）、左加右减（括号内），|a|越大开口越小 概念辨析例题：画出二次函数y=2x²+1的图象，并说明它与y=2x²的图象有什么关系． 解析：列表描点连线可得抛物线y=2x²+1；它与y=2x²形状相同（a相同），把y=2x²的图象向上平移1个单位即得y=2x²+1的图象． ☆ 3.1.3 二次函数的性质 对称轴为x=-b/2a，顶点坐标为(-b/2a, (4ac-b²)/4a) a>0时开口向上，在对称轴左侧y随x增大而减小、右侧y随x增大而增大，有最小值；a<0时开口向下，增减性相反，有最大值 比较函数值大小：先确定开口方向与对称轴，再看点与对称轴的远近或所在区间增减性 顶点式y=a(x-h)²+k直接读出顶点(h,k)与最值k 概念辨析例题：已知二次函数y=-(x-2)²+2，求它的顶点坐标、开口方向与最值． 解析：由顶点式可知顶点为(2,2)，a=-1<0开口向下，所以函数有最大值2，对称轴为直线x=2；当x=2时y取最大值2． 📋 知识总结表 要素 内容 注意点 一般式 y=ax²+bx+c（a≠0） a≠0是前提 顶点式 y=a(x-h)²+k 顶点(h,k) 对称轴 x=-b/2a 平行于y轴 开口方向 a>0向上，a<0向下 由a的正负决定 增减性 开口向上左降右升 以对称轴为界 最值 开口向上有最小值 在顶点处取得 ⚠️ 核心考点 【考点1：二次函数的定义】 · 判断一个函数是否为二次函数：先化简，再看是否满足y=ax²+bx+c（a≠0）的整式形式，特别警惕x²项系数为0或含1/x、等非整式。 · 二次项系数a≠0是必要条件，x²项必须存在 · 含参数的二次函数：令x²系数满足条件，注意系数为0的情况要排除 · 化简后二次项抵消（如(x+1)²-x²）不是二次函数 1．（2026秋•金山区校级月考）下列函数中是二次函数的（　　） A．y＝x+1 B．y＝3（x﹣1）2﹣3x C．y＝（x+3）2﹣x2 D． 【考点】二次函数的定义． 【分析】形如y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的函数叫做二次函数，由此解答即可． 【解答】解：A、是一次函数，故此选项不符合题意； B、y＝3（x﹣1）2﹣3x＝3x2﹣9x+3，是二次函数，故此选项符合题意； C、y＝（x+3）2﹣x2＝6x+9，是一次函数，故此选项不符合题意； D、含有分式，不是二次函数，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握这个知识点是解题的关键． 2．（2025秋•寿县期末）下列函数中，是二次函数的是（　　） A．y＝3x﹣1 B．y＝3x2﹣1 C． D． 【考点】二次函数的定义． 【分析】根据二次函数的定义，形如y＝ax2+bx+c（其中a≠0）的函数是二次函数．检查各选项，只有选项B符合此定义． 【解答】解：根据二次函数的定义自变量x的最高次数为2，且系数不为0． A：y＝3x﹣1，x的最高次数为1，是一次函数，不符合题意； B：y＝3x2﹣1，x的最高次数为2，且系数3≠0，符合定义，符合题意； C：，分母有未知数，不是二次函数，不符合题意； D：，分母有未知数，不是二次函数，不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数的定义；熟练掌握二次函数解析式的一般形式y＝ax2+bx+c（其中a≠0）是解题的关键． 3．（2026秋•上城区校级月考）下列函数中，一定为二次函数的是（　　） A．y＝2x+1 B．y＝2（x+1）（x﹣4） C．y＝ax2+bx+c D． 【考点】二次函数的定义． 【分析】根据二次函数的定义逐项判断即可． 【解答】解：A、y＝2x+1是一次函数，故此选项不符合题意； B、整理可得：y＝2（x+1）（x﹣4）＝2（x2﹣3x﹣4）＝2x2﹣6x﹣8，是二次函数，故此选项符合题意； C、y＝ax2+bx+c中未限定a≠0，当a＝0时不是二次函数，故此选项不符合题意； D、∵含分式，∴不是二次函数，故此选项不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握这个定义是解题的关键． 4．（2026秋•渝北区校级月考）如果函数y＝（m﹣2）x2﹣1是关于x的二次函数，那么m的取值范围是（　　） A．m≠0 B．m＜2 C．m≠2 D．m＞2 【考点】二次函数的定义． 【分析】形如y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的函数叫做二次函数，由此解答即可． 【解答】解：根据题意得m﹣2≠0， 解得m≠2， 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握这个定义是解题的关键． 5．（2026秋•西湖区校级单元）把图①中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形拼成如图②所示的正方形，记其中一个直角三角形的一条直角边长为xcm，另一条直角边的长为ycm，图②中的较小正方形面积为Scm2，当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（　　） A．一次函数关系，二次函数关系 B．一次函数关系，一次函数关系 C．二次函数关系，二次函数关系 D．二次函数关系，一次函数关系 【考点】二次函数的定义；全等图形；菱形的性质；一次函数的定义． 【分析】根据题意易得：x+y＝6，S＝x2+y2，然后进行计算即可解答． 【解答】解：由题意得：x+y＝6，S＝x2+y2， ∴y＝6﹣x， ∴S＝x2+（6﹣x）2＝2x2﹣12x+36， ∴y与x，S与x满足的函数关系分别是一次函数关系，二次函数关系， 故选：A． 【点评】本题考查了二次函数的定义，一次函数的定义，全等图形，菱形的性质，准确熟练地进行计算是解题的关键． 6．（2026秋•金山区校级月考）若y＝（m+4）x2+3x是二次函数，那么m的取值范围是m≠﹣4　 ． 【考点】二次函数的定义． 【分析】形如y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的函数叫做二次函数，由此解答即可． 【解答】解：根据题意得m+4≠0， 解得m≠﹣4， 故答案为：m≠﹣4． 【点评】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握这个知识点是解题的关键． 7．（2026秋•同步）已知函数y＝（m2﹣1）x2+（m+1）x+m，m是常数． （1）当m满足条件m≠±1　 时，y是x的二次函数； （2）当m满足条件m＝1　 时，y是x的一次函数． 【考点】二次函数的定义；一次函数的定义． 【分析】（1）根据二次函数的定义列式计算即可； （2）根据一次函数的定义列式计算即可． 【解答】解：（1）∵y是x的二次函数， ∴m2﹣1≠0， ∴m≠±1． 故答案为：m≠±1． （2）∵y是x的一次函数， ∴m2﹣1＝0且m+1≠0， ∴m＝1． 故答案为：m＝1． 【点评】本题主要考查二次函数、一次函数的定义，理解题意是解题的关键． 8．（2025秋•宿松县期末）若函数是关于x的二次函数，则a的值为　0或﹣3　 ． 【考点】二次函数的定义． 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义可知a2+3a+2＝2且a+2≠0，解得a的值即可． 【解答】解：∵函数2是关于x的二次函数， ∴a2+3a+2＝2且a+2≠0， 解方程a2+3a＝0， 得：a＝0或a＝﹣3． 故答案为：0或﹣3． 【点评】熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． 9．（2025秋•长宁区期末）在下列给定的y关于x的函数中：①y＝πx2﹣1，②y＝ax2+bx+c，③x+1，④y，一定是二次函数的是　①　 ．（填写序号） 【考点】二次函数的定义． 【分析】根据二次函数的定义，形如y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数是二次函数，需满足整式且x的最高次数为2，据此解答即可． 【解答】解：①y＝πx2﹣1，其中a＝π≠0，是二次函数，符合题意； ②y＝ax2+bx+c，a可能为0，不一定是二次函数，不符合题意； ③，为一次函数，不是二次函数，不符合题意； ④，是分式函数，不是二次函数，不符合题意． 故答案为：①． 【点评】本题考查二次函数的判断，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 10．（2026秋•西湖区校级单元）函数y＝2x2﹣3x+4的一次项系数是　﹣3　 ． 【考点】二次函数的定义． 【分析】根据二次函数的定义即可得出答案． 【解答】解：函数y＝2x2﹣3x+4的一次项系数是﹣3， 故答案为：﹣3． 【点评】本题考查二次函数的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 11．（2025秋•淮南校级期末）若是y关于x的二次函数，则m的值为 　﹣3　 ． 【考点】二次函数的定义． 【分析】根据二次函数的意义列式求解． 【解答】解：由题意得：m2﹣7＝2且m﹣3≠0， 解得：m＝﹣3， 故答案为：﹣3． 【点评】本题考查了二次函数的定义，理解函数定义是解题的关键． 12．（2026秋•同步）下列函数中，哪些是二次函数？ （1）yx； （2）y＝x（2x﹣1）； （3）y＝（x+2）2﹣3； （4）y＝（x+4）2﹣x2． 【考点】二次函数的定义． 【分析】（1）根据二次函数的定义判断即可； （2）先整理，再根据二次函数的定义判断即可； （3）先整理，再根据二次函数的定义判断即可； （4）先整理，再根据二次函数的定义判断即可． 【解答】解：（1）yx，x的次数是1，不是二次函数； （2）y＝x（2x﹣1）＝2x2﹣x，是二次函数； （3）y＝（x+2）2﹣3＝x2+4x+1，是二次函数； （4）y＝（x+4）2﹣x2＝x2+8x+16﹣x2＝8x+16，x的次数是1，不是二次函数； 【点评】本题考查了二次函数的定义，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的函数叫做二次函数． 13．（2026秋•同步）判断下列函数是不是二次函数： （1）y＝（x﹣5）2﹣x2； （2）y＝2（x）2； （3）yx（x﹣5）； （4）y＝mx2+nx+p（m、n、p为常数）． 【考点】二次函数的定义． 【分析】（1）先整理，再根据二次函数的定义判断即可； （2）先整理，再根据二次函数的定义判断即可； （3）先整理，再根据二次函数的定义判断即可； （4）根据二次函数的定义判断即可． 【解答】解：（1）y＝（x﹣5）2﹣x2＝x2﹣10x+25﹣x2＝﹣10x+25，x的次数是1，不是二次函数； （2）y＝2（x）22x2﹣2x，是二次函数； （3）yx（x﹣5），是二次函数； （4）y＝mx2+nx+p（m、n、p为常数），当m＝0时不是二次函数，当m≠0时，是二次函数，因此该函数不一定是二次函数． 【点评】本题考查了二次函数的定义，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的函数叫做二次函数． 14．（2026秋•同步）写出下列函数的表达式，并指出哪些是二次函数，哪些是一次函数． （1）正方形的面积S关于它的边长x的函数； （2）圆的周长C关于它的半径r的函数； （3）圆的面积S关于它的半径r的函数． 【考点】二次函数的定义；一次函数的定义． 【分析】（1）根据题意写出表达式，再判断函数； （2）根据题意写出表达式，再判断函数； （3）根据题意写出表达式，再判断函数． 【解答】解：（1）S＝x2，是二次函数； （2）C＝2πr，是一次函数； （3）S＝πr2，是二次函数． 【点评】本题主要考查二次函数、一次函数的定义，理解题意是解题的关键． 15．（2026秋•同步）在下列表达式中，x为自变量，其中哪些是二次函数？ （1）y＝3x2﹣1； （2）y＝5x2﹣2x； （3）y＝﹣2x2+x﹣1； （4）y＝4﹣x3； （5）y； （6）y＝2x2； （7）y＝（x﹣2）（2x+1）． 【考点】二次函数的定义． 【分析】（1）根据二次函数的定义判断即可； （2）根据二次函数的定义判断即可； （3）根据二次函数的定义判断即可； （4）根据二次函数的定义判断即可； （5）根据二次函数的定义判断即可； （6）根据二次函数的定义判断即可； （7）根据二次函数的定义判断即可． 【解答】解：（1）y＝3x2﹣1，是二次函数； （2）y＝5x2﹣2x，是二次函数； （3）y＝﹣2x2+x﹣1，是二次函数； （4）y＝4﹣x3，x的次数是3，不是二次函数； （5）y，含有分式，不是二次函数； （6）y＝2x2，含有分式，不是二次函数； （7）y＝（x﹣2）（2x+1）＝2x2﹣3x﹣2，是二次函数． 【点评】本题考查了二次函数的定义，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的函数叫做二次函数． 【考点2：二次函数的图象】 · 画抛物线先找顶点与对称轴：顶点式y=a(x-h)²+k直接取(h,k)与x=h，一般式用配方法或公式转化。 · y=ax²的顶点为原点，对称轴为y轴 · 抛物线平移：左加右减、上加下减 · 同一坐标系比较a的大小看开口大小，|a|越大开口越小 16．（2026秋•同步）在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2+bx与y＝ax+b的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【考点】二次函数的图象；一次函数的图象． 【分析】根据各个选项中的图象，可以判断函数y＝ax2+bx与y＝ax+b中a、b的正负情况，然后即可判断哪个选项符合题意． 【解答】解：选项A，y＝ax2+bx中的a＞0，b＝0，y＝ax+b中的a＞0，b＞0，故该选项不符合题意； 选项B，y＝ax2+bx中的a＞0，b＞0，c＞0与解析式中的c＝0矛盾，y＝ax+b中的a＞0，b＞0，故该选项不符合题意； 选项C，y＝ax2+bx中的a＞0，b＜0，y＝ax+b中的a＞0，b＜0，故该选项符合题意； 选项D，y＝ax2+bx中的a＞0，b＞0，y＝ax+b中的a＜0，b＜0，故该选项不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 17．（2025秋•汝南县期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝kx﹣1与二次函数y＝kx2+3的大致图象可以是（　　） A． B． C． D． 【考点】二次函数的图象；一次函数的图象． 【分析】本题可先由一次函数y＝kx﹣1图象得到字母系数的正负，再与二次函数y＝kx2+3的图象相比是否一致． 【解答】解：由一次函数y＝kx﹣1可知，直线与y轴的交点为（0，﹣1），由二次函数y＝kx2+3可知，抛物线与y轴的交点为（0，3）， 故选项B、D不可能； A、由抛物线可知，k＜0，由直线可知，k＞0，故选项A不可能； C、由抛物线可知，k＜0，由直线可知，k＜0，故选项C有可能； 故选：C． 【点评】本题考查二次函数的图象，一次函数的图象，熟练掌握一次函数和二次函数的性质是解题的关键． 18．（2026•怀宁县一模）若二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则y＝cx2+ax+b的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【考点】二次函数的图象． 【分析】首先根据二次函数图象与y轴的交点可得c＞0，根据抛物线开口向下可得a＜0，由对称轴在y轴左边可得a、b同号，故b＜0，再根据a、b、c的符号，即可得出y＝cx2+ax+b的大致图象． 【解答】解：根据二次函数图象与y轴的交点可得c＞0，根据抛物线开口向下可得a＜0，由对称轴在y轴左边可得a、b同号，故b＜0， 所以y＝cx2+ax+b的图象大致是：抛物线开口向上，图象与y轴的负半轴相交，对称轴在y轴右边，故选项B符合题意． 故选：B． 【点评】此题主要考查了二次函数图象，关键是根据二次函数图象确定出a、b、c的正负． 19．（2025秋•东阳市期末）如图是二次函数y＝x2﹣bx+c的图象，则b，c的值可能为（　　） A．b＝﹣3，c＝4 B．b＝﹣3，c＝﹣4 C．b＝3，c＝﹣4 D．b＝3，c＝4 【考点】二次函数的图象． 【分析】由抛物线与y轴交点位置、对称轴位置得到b＞0，c＞0，逐项分析即可得到答案． 【解答】解：如图所示： 由图象可知c＞0， 满足条件的是AD； ∵抛物线的对称轴， ∴b＞0， 满足条件的是D； 故选：D． 【点评】本题考查二次函数图象与性质，熟记抛物线图象与性质是解决问题的关键． 20．（2025秋•王益区校级期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b与二次函数y＝ax2+b的图象可能为（　　） A． B． C． D． 【考点】二次函数的图象；一次函数的图象． 【分析】根据二次函数和一次函数表达式的特征，可发现它们的一个交点坐标，据此可解决问题． 【解答】解：因为一次函数和二次函数的解析式分别为y＝ax+b和y＝ax2+b， 不难发现，当x＝1时，两个函数的函数值都是a+b； 当x＝0时，两个函数的函数值都是b． 所以两个函数图象的交点坐标为（1，a+b）和（0，b）． 因此只有B选项符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查二次函数和一次函数的图象，能根据两者的函数表达式得出它们的交点坐标是解题的关键． 21．（2026秋•裕安区校级同步）如图，正方形的边长为4，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数y＝2x2与y＝﹣2x的图象，则阴影部分的面积是　8　 ． 【考点】二次函数的图象；正方形的性质；正比例函数的图象． 【分析】根据题意可知函数y＝2x2图象关于x轴对称，则阴影部分的面积为正方形面积的一半，由此求解即可． 【解答】解：∵函数y＝2x2图象关于x轴对称， ∴x轴下方的阴影部分可以补充到x轴上方， ∴阴影部分的面积为正方形面积的一半， ∴阴影部分的面积为8， 故答案为：8． 【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 22．（2025秋•船营区校级期末）二次函数y＝2（x+1）2的图象如图所示，则△ABO的面积为　1　 ． 【考点】二次函数的图象． 【分析】分别令y＝0，x＝0，求出点A，B的坐标，从而得到AO，BO的长，根据三角形的面积即可求解． 【解答】解：令y＝0，则2（x+1）2＝0， 解得x＝﹣1， ∴A（﹣1，0）， ∴AO＝1． 令x＝0，则y＝2， ∴B（0，2）， ∴BO＝2， ∴二次函数y＝2（x+1）2的图象如图所示，则． 故答案为：1． 【点评】本题考查求二次函数图象与坐标轴的交点．解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 23．（2026秋•同步）如图，正方形的边长为4，以正方形对角线交点为原点建立平面直角坐标系，作出函数yx2与的图象，则阴影部分的面积是　8　 ． 【考点】二次函数的图象；正方形的性质． 【分析】根据题意，观察图形可得图中的阴影部分的面积是图中正方形面积的一半，而正方形面积为16，由此可以求出阴影部分的面积． 【解答】解：∵函数yx2与yx2的图象关于x轴对称， ∴图中的阴影部分的面积是图中正方形面积的一半， 而边长为4的正方形面积为16， 所以图中的阴影部分的面积是8． 故答案为：8． 【点评】本题考查的是关于x轴对称的二次函数解析式的特点，解答此题的关键是根据函数解析式判断出两函数图象的特点，再根据正方形的面积即可解答． 24．（2026•龙凤区模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AC上一点，，动点P以每秒1个单位的速度从点C出发，在三角形边上沿C→B→A匀速运动，到达点A时停止，以DP为边作正方形DPEF，设点P的运动时间为ts．正方形DPEF的面积为S，在点P由点B到点A的运动过程中，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象．请根据图象信息，线段AB的长是 　6　 ． 【考点】二次函数的图象；二次函数的定义；勾股定理． 【分析】在Rt△PCD中，，PC＝t，则，求得BC的长，用顶点法，设函数解析式，用待定系数法，求出函数表达式，即可求解． 【解答】解：在Rt△PCD中，，PC＝t，则， 当S＝6时，6＝t2+2，解得：t＝2（负值已舍去）， ∴BC＝2， ∴抛物线经过点（2，6）， ∵抛物线顶点为：（4，2）， 设抛物线解析式为：S＝a（t﹣4）2+2， 将（2，6）代入，得：6＝a（2﹣4）2+2，解得：a＝1， ∴S＝（t﹣4）2+2， 当y＝18时，18＝（t﹣4）2+2，t＝0（舍）或t＝8， ∴AB＝8﹣2＝6， 故答案为：6． 【点评】本题考查了求二次函数解析式，解题的关键是：从图中获取信息． 25．（2026•榆树市一模）如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B两点，对称轴是直线x＝1，顶点为C，对称轴与x轴交于点D，则CD的长为 　4　 ． 【考点】二次函数的图象． 【分析】根据图象与x轴相交于A（﹣1，0），B两点，对称轴是直线x＝1，求出b＝2，c＝3，所以y＝﹣x2+2x+3，再求出顶点C的坐标为（1，4），即可得出答案． 【解答】解：∵图象与x轴相交于A（﹣1，0），B两点，对称轴是直线x＝1， ∴﹣1﹣b+c＝0，b＝2， ∴b＝2，c＝3， ∴y＝﹣x2+2x+3， ∴当x＝1时，y＝4， ∴顶点C的坐标为（1，4）， ∴CD的长为4． 故答案为：4． 【点评】本题考查二次函数图象，解题的关键是掌握二次函数图象的性质，数形结合解决问题． 26．（2026•海门区模拟）关于x的函数y＝x2﹣|x﹣3|﹣6x+kx+7的图象与x轴有三个不同的公共点，则k的值为 　　 ． 【考点】二次函数的图象；二次函数的性质． 【分析】根据二次函数的图象与性质即可求解． 【解答】解：当x﹣3≥0时， ，＝x2+（k﹣7）x+10， 当x﹣3≤0时， x2+（k﹣5）x+4， ∴x的函数y＝x2﹣|x﹣3|﹣6x+kx+7的图象与x轴有三个不同的公共点时，y1与y2都经过（3，0）， 如图， ∴0＝32+3（k﹣5）+4，解得：， 故答案为：． 【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 27．（2026秋•同步）画出函数y＝（x﹣2）2的图象． 【考点】二次函数的图象． 【分析】根据画二次函数图象的方法画出相应的函数图象即可． 【解答】解：函数y＝（x﹣2）2， 列表， ， 描点，连线， ． 【点评】本题考查二次函数的图象，解答本题的关键是明确画二次函数图象的方法． 28．（2026秋•同步）画出函数的图象． 【考点】二次函数的图象． 【分析】根据画二次函数图象的方法画出相应的函数图象即可． 【解答】解：函数， 列表， ， 描点，连线， ． 【点评】本题考查二次函数的图象，解答本题的关键是明确画二次函数图象的方法． 29．（2026秋•同步）画出二次函数的图象． 【考点】二次函数的图象． 【分析】根据画二次函数图象的方法，先列表，再描点、连线画出函数图象即可． 【解答】解：二次函数， 列表， ， 描点，连线， ． 【点评】本题考查二次函数的图象，解答本题的关键是明确画二次函数图象的方法． 30．（2026秋•同步）在同一直角坐标系中画出下列二次函数的图象． （1）； （2）． 【考点】二次函数的图象． 【分析】（1）依据题意，根据列表、描点、连线的步骤即可作图得解； （2）依据题意，根据列表、描点、连线的步骤即可作图得解． 【解答】解：（1）yx2，列表如下： x … ﹣2 0 2 … yx2 … 2 0 2 … 描点，连线，如图所示： ； （2）yx2，列表如下： x … ﹣2 0 2 … yx2 … ﹣2 0 ﹣2 … 描点，连线，如图所示： ． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题时要熟练掌握并能准确画出图象是关键． 【考点3：二次函数的性质】 · 由a的符号定开口方向，由顶点定最值，由对称轴分区间判断增减性，比较函数值大小时结合增减性分析。 · 对称轴x=-b/2a，顶点(-b/2a,(4ac-b²)/4a) · a>0有最小值，a<0有最大值 · 比较y1、y2大小：开口向上时离对称轴越远值越大 31．（2025秋•宜阳县期末）已知抛物线y＝﹣3（x+2）2+1，下列说法正确的是（　　） A．开口向上 B．顶点坐标（2，1） C．与y轴的交点（0，1） D．当x＞2时，y随x的增大而减小 【考点】二次函数的性质． 【分析】二次函数的性质，包括开口方向、顶点坐标、与y轴交点以及单调性．通过顶点式可快速判断． 【解答】解：∵抛物线为y＝﹣3（x+2）2+1， ∴顶点坐标为（﹣2，1），开口向下，对称轴为x＝﹣2， ∵a＝﹣3＜0， ∴开口向下， 故A错误，不符合题意； 顶点为（﹣2，1），不是（2，1）， 故B错误，不符合题意； 当x＝0 时，y＝﹣3（0+2）2+1＝﹣12+1＝﹣11， ∴与y轴交点为（0，﹣11）， 故C错误，不符合题意； ∵开口向下，对称轴为直线x＝﹣2， ∴当x＞﹣2时，y随x增大而减小， ∵x＞2在范围x＞﹣2内， ∴当x＞2时，y随x增大而减小， 故D正确，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了y＝a（x﹣h）2+k的图象和性质，求抛物线与y轴的交点坐标，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 32．（2026秋•金山区校级月考）关于抛物线，下列说法中正确的是（　　） A．抛物线开口向上 B．图象位于第二、四象限 C．抛物线有最低点 D．抛物线在直线x＝0的左侧部分是上升的 【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值． 【分析】由二次函数的图象和性质分别判断即可． 【解答】解：∵yx2，a0， ∴抛物线开口向下，图象位于第三、四象限，抛物线有最高点，抛物线在直线x＝0的左侧部分是上升的， 故选项D符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 33．（2026•赛罕区校级模拟）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+a2+3（其中x是自变量且a≠0），当x≤﹣2时，y随x的增大而减小，且﹣1≤x≤2时，y的最大值为7，则a的值为（　　） A．1或﹣4 B．1 C．2或﹣2 D．2 【考点】二次函数的性质；二次函数的最值． 【分析】由二次函数解析式可得抛物线的对称轴，由x≤﹣2时，y随x的增大而减小，可得抛物线开口方向，进而求解． 【解答】解：∵y＝ax2﹣2ax+a2+3， ∴抛物线对称轴为直线x1， ∵当x≤﹣2时，y随x的增大而减小， ∴抛物线开口向上，a＞0， ∵1﹣（﹣1）＞2﹣1， ∴x＝﹣1时，y＝a+2a+a2+3＝7， 解得a＝﹣4（舍）或a＝1， 故选：B． 【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系． 34．（2026•苏州校级模拟）已知二次函数y＝ax2﹣4ax+3（a为常数，且a≠0），当1≤x≤4时，函数的最大值与最小值之差为8，则a的值为（　　） A．4或﹣4 B．3或﹣3 C．2或﹣2 D．1或﹣1 【考点】二次函数的性质；二次函数的最值． 【分析】先求出抛物线的对称轴，得出x＝4比x＝1距离对称轴远，然后分a＞0和a＜0两种情况，分别求出当1≤x≤4时，函数的最大值与最小值，然后再根据函数的最大值与最小值之差为8，求出a的值． 【解答】解：由抛物线的表达式知，函数的对称轴为直线x2， 则x＝4比x＝1距离对称轴远， 当a＞0时，抛物线开口向上，则抛物线在顶点处取得最小值，在x＝4时取得最大值， 当x＝4时，y＝ax2﹣4ax+3＝16a﹣16a+3＝3， 当x＝2时，y＝ax2﹣4ax+3＝4a﹣8a+3＝﹣4a+3， 则3﹣（﹣4a+3）＝8， 解得a＝2， 当a＜0时，抛物线开口向下，则抛物线在顶点处取得最大值，在x＝4时取得最小值， 当x＝4时，y＝ax2﹣4ax+3＝16a﹣16a+3＝3， 当x＝2时，y＝ax2﹣4ax+3＝4a﹣8a+3＝﹣4a+3， 则﹣4a+3﹣3＝8， 解得a＝﹣2， 综上所述，a＝2或a＝﹣2， 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数的性质和最值问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 35．（2025秋•任城区期末）对于抛物线y＝﹣（x﹣2）2+1，下列判断不正确的是（　　） A．抛物线的开口向下 B．当x＝2时，y有最大值1 C．对称轴为直线x＝﹣2 D．当x＜2时，y随x的增大而增大 【考点】二次函数的性质；二次函数的最值． 【分析】根据解析式y＝﹣（x﹣2）2+1，可判定抛物线开口向下，对称轴为直线x＝2，当x＝2时，y有最大值1，当x＜2时，y随x的增大而增大，解答即可． 【解答】解：∵y＝﹣（x﹣2）2+1中a＝﹣1＜0， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝2， ∴当x＝2时，y有最大值1，当x＜2时，y随x的增大而增大， 故A，B，D正确，C错误， 故选：C． 【点评】本题考查了抛物线的性质，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键． 36．（2026•让胡路区校级模拟）按照以下规则：若点A为（m，n），点B为（m，m+n），则称点B是点A的“加强点”；若点A在抛物线C1上，点B始终在抛物线C2上，称抛物线C2是抛物线C1的“加强抛物线”，以下结论正确的序号是　①②③④　 ． ①点A（3，4）的“加强点”是（3，7）； ②抛物线I：y＝x2+3x﹣2的“加强抛物线“是y＝x2+4x﹣2； ③已知抛物线y＝x2+bx+5经过点（2，﹣1），若点P（m，n1）与点Q（m+1，n2）在其“加强抛物线”上，且n1≥n2，则m的取值范围是； ④已知点A（x，y）在抛物线的图象上，并且点A的“加强点”为点B（﹣2，2）．若抛物线C1的“加强抛物线”C2的顶点为（m，n），当0≤c≤4时，则n的取值范围是． 【考点】二次函数的性质． 【分析】①根据“加强点”和“加强抛物线”的定义即可求解； ②根据“加强点”和“加强抛物线”的定义即可求解； ③将点N（2，﹣1）代入y＝x2+bx+5先求出原抛物线，再根据“加强抛物线”的定义求出其“加强抛物线”，将点P（m，n1）与点Q（m+1，n2）分别代入其“加强抛物线”根据n1≥n2建立不等式即可求m的取值范围； ④根据点A（x，y）的“加强点”为点B（﹣2，2），求得y＝4，进而可得c＝2b，，根据“加强抛物线”的定义得C2的方程为y＝x2+（b+1）x+c，求得，进而可得，最后根据二次函数的性质，即可得出n的取值范围． 【解答】解：①由题意得，点A（3，4）的“加强点”坐标满足：横坐标不变为3，纵坐标为 3+4＝7， ∴“加强点”为：（3，7），故①正确； ②由题意，设其上任意点A的坐标为（a，a2+3a﹣2）， ∴其“加强点”B的坐标为（a，a+a2+3a﹣2），即（a，a2+4a﹣2）， ∴“加强抛物线”为y＝x2+4x﹣2，故②正确； ③由题意得，﹣1＝4+2b+5， ∴b＝﹣5， ∴y＝x2﹣5x+5． 设抛物线上点A的坐标为（a，a2﹣5a+5），其“加强点”B的坐标为（a，a2﹣4a+5）， ∴“加强抛物线”为y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1， 将P（m，n1）与点Q（m+1，n2）分别代入y＝x2﹣4x+5可得： n1＝m2﹣4m+5，n2＝（m+1）2﹣4（m+1）+5＝m2﹣2m+2， ∵n1≥n2， ∴m2﹣4m+5≥m2﹣2m+2， ∴m，故③正确； ④由条件可知x＝﹣2，x+y＝2， ∴y＝4， ∴点A（﹣2，4）， 将A（﹣2，4）代入， ∴4＝4﹣2b+c， ∴c＝2b， 设C1的顶点为（r，s）， ∴，s＝c2b， 由题意得：C2的表达式为y＝x2+（b+1）x+c， ∵C2的顶点坐标为（m，n）， ∴m，n＝c﹣＝2b， ∴n （b﹣3）2+2， ∴当b＝3时，n的最大值为2， ∴当b＜3时，n的值随b的增大而增大， ∵0≤c≤4， ∴0≤b≤2， ∴当b＝0时，n的最小值为；当b＝2时，n的最大值为． ∴n的取值范围为：，故④正确． 故答案为：①②③④． 【点评】本题主要考查了二次函数的综合运用，涉及新定义“加强点”和“加强抛物线”、二次函数的性质，待定系数法求二次函数的解析式及特殊三角形的存在性问题，综合性强，难度较大，正确理解题意，准确计算是解题的关键． 37．（2026秋•金山区校级月考）若二次函数y＝2（x+m）2的对称轴是直线x＝﹣3，那么顶点坐标为　（﹣3，0）　 ． 【考点】二次函数的性质． 【分析】由抛物线解析式可得抛物线对称轴为直线x＝﹣m，进而求解． 【解答】解：∵y＝2（x+m）2， ∴抛物线对称轴为直线x＝﹣m， ∵已知抛物线对称轴是直线x＝﹣3， ∴﹣m＝﹣3， 解得m＝3， ∴y＝2（x+3）2， ∴顶点坐标为（﹣3，0）， 故答案为：（﹣3，0）． 【点评】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数图象与系数的关系是解题的关键． 38．（2026秋•同步）二次函数y＝﹣6x2图象的开口向　下　 ，顶点是　（0，0）　 ，对称轴是　直线x＝0　 ；该二次函数在x＝　0　 时，取到最　大　 值　0　 ． 【考点】二次函数的性质；二次函数的最值；二次函数的图象． 【分析】利用二次函数的性质得出答案即可． 【解答】解：二次函数y＝﹣6x2图象的开口向下，顶点是（0，0），对称轴是直线x＝0；该二次函数在x＝0时，取到最大值0． 故答案为：下，（0，0），直线x＝0，0，大，0． 【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 39．（2026秋•同步）已知m是常数，如果抛物线y＝（x+m）2+m+1的对称轴是直线x＝1，那么它的顶点坐标是　（1，0）　 ． 【考点】二次函数的性质． 【分析】根据所给函数解析式，结合抛物线的对称轴是直线x＝1进行计算即可． 【解答】解：由题知， 因为抛物线y＝（x+m）2+m+1的对称轴是直线x＝1， 所以﹣m＝1， 解得m＝﹣1， 所以抛物线的解析式为y＝（x﹣1）2， 所以抛物线的顶点坐标为（1，0）． 故答案为：（1，0）． 【点评】本题主要考查了二次函数的性质，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键． 40．（2026秋•同步）抛物线y＝3（x﹣2）2的开口向　上　 ，对称轴是　直线x＝2　 ，顶点坐标是　（2，0）　 ；当自变量x＝　2　 时，相应的二次函数取到最　小　 值　0　 ；当自变量x的取值范围是x＞2　 时，y随着x的增大而增大． 【考点】二次函数的性质；二次函数的最值． 【分析】根据二次函数的图象和性质即可得出答案． 【解答】解：抛物线y＝3（x﹣2）2的开口向上，对称轴是直线x＝2，顶点坐标是（2，0）；当自变量x＝2时，相应的二次函数取到最小值0；当自变量x的取值范围是x＞2时，y随着x的增大而增大． 故答案为：上，直线x＝2，（2，0），2，小，0，x＞2． 【点评】本题考查二次函数的性质和最值，解题的关键是灵活掌握这些知识解决问题，学会利用图象解决问题，属于中考常考题型． 41．（2026秋•同步）函数y＝（2x+1）2+1，当x＞　　 时，y随x的增大而增大． 【考点】二次函数的性质． 【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到y随x的增大而增大时x的取值范围． 【解答】解：∵函数y＝（2x+1）2+1＝4（x）2+1， ∴该函数图象对称轴为直线x，开口向上， ∴当x时，y随x的增大而增大， 故答案为：． 【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 42．（2026秋•同步）分别写出抛物线y＝2x2，y＝2x2+3和y＝2x2﹣3的开口方向、对称轴和顶点，并指出抛物线y＝2x2+3，y＝2x2﹣3与抛物线y＝2x2分别有什么关系． 【考点】二次函数的性质． 【分析】根据题目中的解析式，可以写出开口方向、对称轴和顶点，然后写出抛物线y＝2x2+3，y＝2x2﹣3与抛物线y＝2x2分别有什么关系即可． 【解答】解：抛物线y＝2x2的开口向上，对称轴为直线x＝0，顶点坐标为（0，0）； 抛物线y＝2x2+3的开口向上，对称轴为直线x＝0，顶点坐标为（0，3）； 抛物线y＝2x2﹣3的开口向上，对称轴为直线x＝0，顶点坐标为（0，﹣3）； 抛物线y＝2x2+3是由抛物线y＝2x2向上平移3个单位长度得到的； 抛物线y＝2x2﹣3是由抛物线y＝2x2向下平移3个单位长度得到的． 【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 43．（2026秋•同步）先确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点，说出随着x的增大，y的变化情况，再描点画图： （1）y＝x2+2x﹣5； （2）y＝﹣2x2+6x+3； （3）y＝2x2+4x﹣5； （4）． 【考点】二次函数的性质；二次函数的图象． 【分析】（1）根据二次函数y＝ax2+bx+c的图象及性质求解，并运用描点法画出函数图象； （2）根据二次函数y＝ax2+bx+c的图象及性质求解，并运用描点法画出函数图象； （3）根据二次函数y＝ax2+bx+c的图象及性质求解，并运用描点法画出函数图象； （4）根据二次函数y＝ax2+bx+c的图象及性质求解，并运用描点法画出函数图象． 【解答】解：（1）抛物线y＝x2+2x﹣5， ∴a＞0，，， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，﹣6）；当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，当x＞﹣1时，y随x的增大而增大． 列表为 x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … 3 ﹣2 ﹣5 ﹣6 ﹣5 ﹣2 3 … 描点并连线， （2）抛物线y＝﹣2x2+6x+3， ∴a＜0，，， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为；当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小． 列表为 x … 0 1 2 3 … y … 3 7 7 3 … 描点并连线， （3）抛物线y＝2x2+4x﹣5， ∴a＞0，，， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，﹣7）；当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，当x＞﹣1时，y随x的增大而增大． 列表为 x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … 11 1 ﹣5 ﹣7 ﹣5 1 11 … 描点并连线， （4）抛物线， ∴a＜0，，， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝4，顶点坐标为（4，1）；当x＜4时，y随x的增大而增大，当x＞4时，y随x的增大而减小． 列表为 x … 1 2 3 4 5 6 7 … y … 0 1 0 … 描点并连线． 【点评】本题考查二次函数的性质，二次函数的图象，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 44．（2026秋•同步）分别在同一平面直角坐标系中，画出下列各组二次函数的图象，并写出其对称轴和顶点： （1）y3，y2； （2）y（x﹣3）2，y； （3）5，1． 【考点】二次函数的性质；二次函数的图象． 【分析】（1）首先将函数解析式变形为顶点式标准形式，然后找出h，k的值，即可得到对称轴和顶点． （2）第一个函数本身为顶点式，第二个函数将x+1变形为x﹣（﹣1）即可得到顶点式，然后找出h，k的值，从而求解对称轴和顶点． （3）第一个函数将变形为，﹣5变形为+（﹣5）即可得到顶点式，第二个函数本身为顶点式，然后找出h，k的值，从而求解对称轴和顶点． 【解答】解：（1）求的对称轴和顶点， 将函数变形为顶点式标准形式：， 对应h＝0，k＝3， 因此对称轴为直线x＝0（即y轴），顶点坐标为（0，3），：； 求的对称轴和顶点，将函数变形为顶点式标准形式：，对应h＝0，k＝﹣2，因此对称轴为直线x＝0（即y轴），顶点坐标为（0，﹣2）； （2）求的对称轴和顶点，函数为顶点式，对应h＝3，k＝0，因此对称轴为直线x＝3，顶点坐标为（3，0）， 求的对称轴和顶点，即，对应h＝﹣1，k＝0，因此对称轴为直线x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，0）图； （3）求的对称轴和顶点，将函数变形为顶点式标准形式：，对应，k＝﹣5，因此对称轴为直线，顶点坐标为，图， 求的对称轴和顶点，函数为顶点式，对应，k＝1，因此对称轴为直线，顶点坐标为，图： 【点评】本题考查二次函数的性质，二次函数的图象，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 45．（2026秋•同步）已知函数y＝x2﹣x﹣2． （1）画出这个函数的图象； （2）观察图象，当x取哪些值时，函数值为0？ 【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的图象． 【分析】（1）根据函数表达式画出函数图象即可； （2）根据函数图象与x轴的交点的横坐标，即可得到答案． 【解答】解：（1）根据函数表达式画出函数图象，函数图象如下： （2）∵该图象与x轴的交点的横坐标为﹣1，2， ∴当x＝﹣1或x＝2时，函数值为0． 【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握该知识点是关键． 💯 课后巩固 复习建议 · 判断二次函数要紧扣定义：a≠0、含x²项、为整式 · 画抛物线抓住顶点、对称轴与开口方向三个要素 · 抛物线平移遵循左加右减、上加下减的规律 · 比较函数值大小先看开口方向与对称轴，再结合增减性 · 求顶点坐标可用配方法或公式x=-b/2a 【作业1】（2025秋•安庆校级期末）下列函数中，是二次函数的是（　　） A．y＝x2﹣1 B． C． D． 【考点】二次函数的定义． 【分析】一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数，据此进行判断即可． 【解答】解：y＝x2﹣1符合二次函数的定义， yx，y，y不符合二次函数的定义，它们不是二次函数， 故选：A． 【点评】本题考查二次函数的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 【作业2】（2025秋•歙县月考）已知函数：①y＝2x﹣1；②y＝﹣2x2﹣1；③y＝3x3﹣2x2；④y＝ax2+bx+c，其中是二次函数的是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【考点】二次函数的定义． 【分析】根据二次函数的定义求解即可． 【解答】解：①y＝2x﹣1，未知数的最高次数是1，是一次函数； ②y＝﹣2x2﹣1，符合二次函数的定义，是二次函数； ③y＝3x3﹣2x2，未知数的最高次数是3，不属于二次函数； ④y＝ax2+bx+c，当a＝0时，该函数不是二次函数； 综上，是二次函数的是②． 故选：B． 【点评】本题主要考查了二次函数的定义．一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式． 【作业3】（2026•呼图壁县一模）已知y＝（m﹣1）x|m+1|+3x﹣4是二次函数，则实数m＝　﹣3　 ． 【考点】二次函数的定义． 【分析】根据二次函数定义可得|m+1|＝2且m﹣1≠0，再解即可． 【解答】解：∵y＝（m﹣1）x|m+1|+3x﹣4是二次函数， ∴|m+1|＝2， 解得m＝1或﹣3， ∵m﹣1≠0， ∴m≠1， ∴m＝﹣3． 故答案为：﹣3． 【点评】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数． 【作业4】（2026春•让胡路区校级期末）如果函数是关于x的二次函数，则k＝　﹣3　 ． 【考点】二次函数的定义． 【分析】根据二次函数的定义求解即可． 【解答】解：如果函数是关于x的二次函数， 由题意，可得 ， 解方程k2﹣7＝2，得k2＝9， 解得k＝3或k＝﹣3； 由k﹣3≠0，得k≠3， 故k＝﹣3． 故答案为：﹣3． 【点评】本题考查二次函数的定义，正确进行计算是解题关键． 【作业5】（2026秋•同步）下列函数中，哪些是二次函数，哪些是一次函数？ （1）y＝3x+1； （2）y＝3x2+2x+1； （3）y＝3x2+1； （4）y＝﹣3x2+x； （5）y． 【考点】二次函数的定义；一次函数的定义． 【分析】（1）根据一次函数和二次函数的定义判断即可； （2）根据一次函数和二次函数的定义判断即可； （3）根据一次函数和二次函数的定义判断即可； （4）根据一次函数和二次函数的定义判断即可； （5）根据一次函数和二次函数的定义判断即可． 【解答】解：（1）一次函数； （2）二次函数； （3）二次函数； （4）二次函数； （5）二次函数． 【点评】本题主要考查二次函数、一次函数的定义，理解题意是解题的关键． 【作业6】（2026秋•西城区校级月考）已知三个二次函数的图象如图所示，那么a1、a2、a3的大小关系是（　　） A．a1＜a2＜a3 B．a3＜a1＜a2 C．a3＜a2＜a1 D．a2＜a3＜a1 【考点】二次函数的图象． 【分析】依据题意，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；结合|a|越大，图象的开口越小，进而可以判断得解． 【解答】解：由题意，∵函数y1的图象开口向上，函数y2和y3的图象开口向下，且函数y2的开口更大， ∴a1＞0，a2＜0，a3＜0， 又∵|a|越大，图象的开口越小， ∴|a2|＜|a3|， ∴a3＜a2＜a1． 故选：C． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 【作业7】（2026•甘州区校级一模）在同一坐标系中，二次函数y＝ax2﹣bx与的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【考点】二次函数的图象；反比例函数的图象． 【分析】直接利用二次函数图象经过的象限得出a，b，c的取值范围，进而利用反比例函数的性质得出答案． 【解答】解：A选项，抛物线开口向上，a＞0，对称轴在x＞0区域，故b＞0，此时ab＞0，故反比例函数在一三象限，符合题意； B选项，抛物线开口向下，a＜0，对称轴在x＜0区域，故b＞0，此时ab＜0，故反比例函数应在二四象限，不符合题意； C选项，抛物线开口向上，a＞0，对称轴在x＜0区域，故b＜0，此时ab＜0，故反比例函数应在二四象限，不符合题意； D选项，抛物线开口向上，a＞0，对称轴在x＜0区域，故b＜0，此时ab＜0，故反比例函数应在二四象限，不符合题意； 故选：A． 【点评】此题主要考查了反比例函数、二次函数的图象，正确把握相关性质是解题关键． 【作业8】（2025秋•澧县期末）已知点A（1，y1），B（﹣2，y2）在抛物线y＝﹣（x+1）2+k（k为常数）上，则y1　＜　 y2．（用“＞”、“＜”或“＝”填空） 【考点】二次函数的图象． 【分析】通过计算两点到抛物线顶点的水平距离，结合抛物线开口方向，判断函数值大小即可． 【解答】解：抛物线的顶点坐标为 （﹣1，k），开口向下，二次项系数为负， 点 B（﹣2，y2） 到顶点的水平距离为|﹣2﹣（﹣1）|＝1，点 A（1，y1） 到顶点的水平距离为|1﹣（﹣1）|＝2， 由于抛物线开口向下，距离顶点越近，函数值越大， 因此 y2＞y1，即 y1＜y2， 故答案为：＜． 【点评】本题考查二次函数的图象，熟练掌握二次函数的图象是解题的关键． 【作业9】（2025秋•虹口区期末）小丽为了画二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，列出了如表（信息不全），那么m的值是　1　 ． x … ﹣5 ﹣4 ﹣2 0 m … y … 10 5 1 5 10 … 【考点】二次函数的图象． 【分析】根据二次函数的对称性，由点（﹣4，5）和（0，5）确定对称轴，再利用点（﹣5，10）和（m，10）关于对称轴对称求解m即可． 【解答】解：由点（﹣4，5）和（0，5）纵坐标相同，对称轴为． 所以，点（﹣5，10）和（m，10）也关于对称轴对称， 因此， ﹣5+m＝﹣4， 解得m＝1． 故答案为：1． 【点评】本题主要考查二次函数的图象与性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【作业10】（2026秋•同步）画出二次函数y＝2x2+1的图象，它与二次函数y＝2x2的图象有什么关系？ 【考点】二次函数的图象． 【分析】两个二次函数的二次项系数相同，因此开口方向和图象形状一致，通过对比两个函数的顶点坐标，结合二次函数图象平移规律即可得到二者的位置关系． 【解答】解：画出函数图象如下： ∵两个函数的二次项系数均为2， ∴开口方向相同，图象的形状大小相同； y＝2x2的顶点坐标为（0，0），y＝2x2+1的顶点坐标为（0，1），将点（0，0）向上平移1个单位长度可得点（0，1）， 因此将y＝2x2的图象向上平移1个单位长度，就得到y＝2x2+1的图象，二者仅位置不同． 【点评】本题考查了二次函数的图象，熟练掌握该知识点是关键． 【作业11】（2025秋•长沙期末）由二次函数y＝3（x﹣4）2﹣2可知（　　） A．其图象的开口向下 B．其图象的对称轴为直线x＝4 C．其最小值为2 D．当x＞4时，y随x的增大而减小 【考点】二次函数的性质；二次函数的最值． 【分析】根据a＝3＞0判断开口，根据解析式得出顶点坐标，进而得出对称轴为直线x＝4，最小值为﹣2，根据开口方向和对称轴判断D选项，即可求解． 【解答】解：由抛物线解析式可知a＝3＞0，顶点坐标为（4，﹣2），对称轴为直线x＝4， A．其图象的开口向上，故该选项不正确，不符合题意； B．其图象的对称轴为直线x＝4，故该选项正确，符合题意； C．其最小值为﹣2，故该选项不正确，不符合题意； D．当x＞4时，y随x的增大而增大，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握性质是关键． 【作业12】（2025秋•龙湖区期末）抛物线y＝﹣（x﹣2）2+2的顶点坐标是 　（2，2）　 ． 【考点】二次函数的性质． 【分析】依据题意，根据其顶点式可以判断得解． 【解答】解：抛物线解析式可知其的顶点为（2，2）． 故答案为：（2，2）． 【点评】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握该知识点是关键． 【作业13】（2026秋•海淀区校级月考）二次函数y＝﹣（x﹣2）2﹣3的顶点坐标是　（2，﹣3）　 ． 【考点】二次函数的性质． 【分析】根据所给函数解析式，得出抛物线的顶点坐标即可． 【解答】解：由题知， 因为二次函数的解析式为y＝﹣（x﹣2）2﹣3， 所以抛物线的顶点坐标为（2，﹣3）． 故答案为：（2，﹣3）． 【点评】本题主要考查了二次函数的性质，熟知二次函数的性质是解题的关键． 【作业14】（2026秋•同步）已知二次函数y＝a（x﹣h）2，当x＝2时，y取得最大值，且函数图象经过（1，﹣3）． （1）求a和h的值； （2）指出y随x的增大而变化情况． 【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值． 【分析】（1）依据题意，由于当x＝2时有最大值，则h＝2，故抛物线的顶点式为y＝a（x﹣2）2，再把（1，﹣3）代入即可求出a； （2）结合（1）得到二次函数解析式，然后根据二次函数的性质即可判断得解． 【解答】解：（1）由题意，∵当x＝2时，y取得最大值， ∴h＝2． ∴y＝a（x﹣2）2，把（1，﹣3）代入得a＝﹣3， （2）由题意得，二次函数解析式为y＝﹣3（x﹣2）2， ∴抛物线的对称轴为直线x＝2，抛物线开口向下， ∴当x＜2时，y随x的增大而增大；当x＞2时，y随x的增大而减小． 【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了二次函数的性质． 【作业15】（2026秋•同步）已知抛物线y＝x2﹣4x+a的顶点在直线y＝﹣4x﹣1上，求该抛物线的顶点坐标和a的值． 【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征． 【分析】将二次函数解析式化为顶点式，将顶点坐标代入直线解析式求解． 【解答】解：∵y＝x2﹣4x+a＝（x﹣2）2+a﹣4， ∴抛物线顶点坐标为（2，a﹣4）， 将（2，a﹣4）代入y＝﹣4x﹣1得：a﹣4＝﹣4×2﹣1， ∴a＝﹣5， ∴抛物线顶点坐标为（2，﹣9）． 【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数的性质． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1讲 二次函数的图像及性质 优等生讲义 2026-2027 浙教版九年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解二次函数的概念，能判断一个函数是否为二次函数 · 掌握二次函数图象（抛物线）的画法与特征 · 理解二次函数图象的平移规律 · 掌握二次函数的增减性与最值性质 · 能运用二次函数的图象与性质解决简单问题 📚 知识梳理 ☆ 1.1.1 二次函数的意义 形如y=ax²+bx+c（a≠0）的函数叫做二次函数，a为二次项系数、b为一次项系数、c为常数项 判断二次函数三要点：表达式为整式、含自变量x的二次项、二次项系数a≠0 二次函数的值域与定义域：自变量x取全体实数 特殊形式：y=ax²、y=ax²+c、y=a(x-h)²、y=a(x-h)²+k 都是二次函数 概念辨析例题：下列函数中，哪些是二次函数？①y=3x²-2x+1；②y=x²+1/x；③y=2x-3；④y=(x+1)²-x²． 解析：①是二次函数（a=3，b=-2，c=1）；②含1/x不是整式，不是二次函数；③是一次函数；④化简后y=2x+1是一次函数，不是二次函数． ☆ 2.1.2 二次函数的图象 二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象是一条抛物线 y=ax²（a≠0）：顶点在原点(0,0)，对称轴为y轴；a>0开口向上，a<0开口向下 y=a(x-h)²+k：顶点为(h,k)，对称轴为直线x=h 抛物线平移规律：上加下减（常数项）、左加右减（括号内），|a|越大开口越小 概念辨析例题：画出二次函数y=2x²+1的图象，并说明它与y=2x²的图象有什么关系． 解析：列表描点连线可得抛物线y=2x²+1；它与y=2x²形状相同（a相同），把y=2x²的图象向上平移1个单位即得y=2x²+1的图象． ☆ 3.1.3 二次函数的性质 对称轴为x=-b/2a，顶点坐标为(-b/2a, (4ac-b²)/4a) a>0时开口向上，在对称轴左侧y随x增大而减小、右侧y随x增大而增大，有最小值；a<0时开口向下，增减性相反，有最大值 比较函数值大小：先确定开口方向与对称轴，再看点与对称轴的远近或所在区间增减性 顶点式y=a(x-h)²+k直接读出顶点(h,k)与最值k 概念辨析例题：已知二次函数y=-(x-2)²+2，求它的顶点坐标、开口方向与最值． 解析：由顶点式可知顶点为(2,2)，a=-1<0开口向下，所以函数有最大值2，对称轴为直线x=2；当x=2时y取最大值2． 📋 知识总结表 要素 内容 注意点 一般式 y=ax²+bx+c（a≠0） a≠0是前提 顶点式 y=a(x-h)²+k 顶点(h,k) 对称轴 x=-b/2a 平行于y轴 开口方向 a>0向上，a<0向下 由a的正负决定 增减性 开口向上左降右升 以对称轴为界 最值 开口向上有最小值 在顶点处取得 ⚠️ 核心考点 【考点1：二次函数的定义】 · 判断一个函数是否为二次函数：先化简，再看是否满足y=ax²+bx+c（a≠0）的整式形式，特别警惕x²项系数为0或含1/x、等非整式。 · 二次项系数a≠0是必要条件，x²项必须存在 · 含参数的二次函数：令x²系数满足条件，注意系数为0的情况要排除 · 化简后二次项抵消（如(x+1)²-x²）不是二次函数 1．（2026秋•金山区校级月考）下列函数中是二次函数的（　　） A．y＝x+1 B．y＝3（x﹣1）2﹣3x C．y＝（x+3）2﹣x2 D． 2．（2025秋•寿县期末）下列函数中，是二次函数的是（　　） A．y＝3x﹣1 B．y＝3x2﹣1 C． D． 3．（2026秋•上城区校级月考）下列函数中，一定为二次函数的是（　　） A．y＝2x+1 B．y＝2（x+1）（x﹣4） C．y＝ax2+bx+c D． 4．（2026秋•渝北区校级月考）如果函数y＝（m﹣2）x2﹣1是关于x的二次函数，那么m的取值范围是（　　） A．m≠0 B．m＜2 C．m≠2 D．m＞2 5．（2026秋•西湖区校级单元）把图①中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形拼成如图②所示的正方形，记其中一个直角三角形的一条直角边长为xcm，另一条直角边的长为ycm，图②中的较小正方形面积为Scm2，当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（　　） A．一次函数关系，二次函数关系 B．一次函数关系，一次函数关系 C．二次函数关系，二次函数关系 D．二次函数关系，一次函数关系 6．（2026秋•金山区校级月考）若y＝（m+4）x2+3x是二次函数，那么m的取值范围是_________ ． 7．（2026秋•同步）已知函数y＝（m2﹣1）x2+（m+1）x+m，m是常数． （1）当m满足条件_________ 时，y是x的二次函数； （2）当m满足条件________ 时，y是x的一次函数． 8．（2025秋•宿松县期末）若函数是关于x的二次函数，则a的值为_________ ． 9．（2025秋•长宁区期末）在下列给定的y关于x的函数中：①y＝πx2﹣1，②y＝ax2+bx+c，③x+1，④y，一定是二次函数的是_____ ．（填写序号） 10．（2026秋•西湖区校级单元）函数y＝2x2﹣3x+4的一次项系数是_______ ． 11．（2025秋•淮南校级期末）若是y关于x的二次函数，则m的值为 _______ ． 12．（2026秋•同步）下列函数中，哪些是二次函数？ （1）yx； （2）y＝x（2x﹣1）； （3）y＝（x+2）2﹣3； （4）y＝（x+4）2﹣x2． 13．（2026秋•同步）判断下列函数是不是二次函数： （1）y＝（x﹣5）2﹣x2； （2）y＝2（x）2； （3）yx（x﹣5）； （4）y＝mx2+nx+p（m、n、p为常数）． 14．（2026秋•同步）写出下列函数的表达式，并指出哪些是二次函数，哪些是一次函数． （1）正方形的面积S关于它的边长x的函数； （2）圆的周长C关于它的半径r的函数； （3）圆的面积S关于它的半径r的函数． 15．（2026秋•同步）在下列表达式中，x为自变量，其中哪些是二次函数？ （1）y＝3x2﹣1； （2）y＝5x2﹣2x； （3）y＝﹣2x2+x﹣1； （4）y＝4﹣x3； （5）y； （6）y＝2x2； （7）y＝（x﹣2）（2x+1）． 【考点2：二次函数的图象】 · 画抛物线先找顶点与对称轴：顶点式y=a(x-h)²+k直接取(h,k)与x=h，一般式用配方法或公式转化。 · y=ax²的顶点为原点，对称轴为y轴 · 抛物线平移：左加右减、上加下减 · 同一坐标系比较a的大小看开口大小，|a|越大开口越小 16．（2026秋•同步）在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2+bx与y＝ax+b的图象可能是（　　） A． B． C． D． 17．（2025秋•汝南县期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝kx﹣1与二次函数y＝kx2+3的大致图象可以是（　　） A． B． C． D． 18．（2026•怀宁县一模）若二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则y＝cx2+ax+b的图象大致是（　　） A． B． C． D． 19．（2025秋•东阳市期末）如图是二次函数y＝x2﹣bx+c的图象，则b，c的值可能为（　　） A．b＝﹣3，c＝4 B．b＝﹣3，c＝﹣4 C．b＝3，c＝﹣4 D．b＝3，c＝4 20．（2025秋•王益区校级期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b与二次函数y＝ax2+b的图象可能为（　　） A． B． C． D． 21．（2026秋•裕安区校级同步）如图，正方形的边长为4，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数y＝2x2与y＝﹣2x的图象，则阴影部分的面积是_____ ． 22．（2025秋•船营区校级期末）二次函数y＝2（x+1）2的图象如图所示，则△ABO的面积为_____ ． 23．（2026秋•同步）如图，正方形的边长为4，以正方形对角线交点为原点建立平面直角坐标系，作出函数yx2与的图象，则阴影部分的面积是_____ ． 24．（2026•龙凤区模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AC上一点，，动点P以每秒1个单位的速度从点C出发，在三角形边上沿C→B→A匀速运动，到达点A时停止，以DP为边作正方形DPEF，设点P的运动时间为ts．正方形DPEF的面积为S，在点P由点B到点A的运动过程中，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象．请根据图象信息，线段AB的长是 _____ ． 25．（2026•榆树市一模）如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B两点，对称轴是直线x＝1，顶点为C，对称轴与x轴交于点D，则CD的长为 _____ ． 26．（2026•海门区模拟）关于x的函数y＝x2﹣|x﹣3|﹣6x+kx+7的图象与x轴有三个不同的公共点，则k的值为 __________________ ． 27．（2026秋•同步）画出函数y＝（x﹣2）2的图象． 28．（2026秋•同步）画出函数的图象． 29．（2026秋•同步）画出二次函数的图象． 30．（2026秋•同步）在同一直角坐标系中画出下列二次函数的图象． （1）； （2）． 【考点3：二次函数的性质】 · 由a的符号定开口方向，由顶点定最值，由对称轴分区间判断增减性，比较函数值大小时结合增减性分析。 · 对称轴x=-b/2a，顶点(-b/2a,(4ac-b²)/4a) · a>0有最小值，a<0有最大值 · 比较y1、y2大小：开口向上时离对称轴越远值越大 31．（2025秋•宜阳县期末）已知抛物线y＝﹣3（x+2）2+1，下列说法正确的是（　　） A．开口向上 B．顶点坐标（2，1） C．与y轴的交点（0，1） D．当x＞2时，y随x的增大而减小 32．（2026秋•金山区校级月考）关于抛物线，下列说法中正确的是（　　） A．抛物线开口向上 B．图象位于第二、四象限 C．抛物线有最低点 D．抛物线在直线x＝0的左侧部分是上升的 33．（2026•赛罕区校级模拟）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+a2+3（其中x是自变量且a≠0），当x≤﹣2时，y随x的增大而减小，且﹣1≤x≤2时，y的最大值为7，则a的值为（　　） A．1或﹣4 B．1 C．2或﹣2 D．2 34．（2026•苏州校级模拟）已知二次函数y＝ax2﹣4ax+3（a为常数，且a≠0），当1≤x≤4时，函数的最大值与最小值之差为8，则a的值为（　　） A．4或﹣4 B．3或﹣3 C．2或﹣2 D．1或﹣1 35．（2025秋•任城区期末）对于抛物线y＝﹣（x﹣2）2+1，下列判断不正确的是（　　） A．抛物线的开口向下 B．当x＝2时，y有最大值1 C．对称轴为直线x＝﹣2 D．当x＜2时，y随x的增大而增大 36．（2026•让胡路区校级模拟）按照以下规则：若点A为（m，n），点B为（m，m+n），则称点B是点A的“加强点”；若点A在抛物线C1上，点B始终在抛物线C2上，称抛物线C2是抛物线C1的“加强抛物线”，以下结论正确的序号是_________ ． ①点A（3，4）的“加强点”是（3，7）； ②抛物线I：y＝x2+3x﹣2的“加强抛物线“是y＝x2+4x﹣2； ③已知抛物线y＝x2+bx+5经过点（2，﹣1），若点P（m，n1）与点Q（m+1，n2）在其“加强抛物线”上，且n1≥n2，则m的取值范围是； ④已知点A（x，y）在抛物线的图象上，并且点A的“加强点”为点B（﹣2，2）．若抛物线C1的“加强抛物线”C2的顶点为（m，n），当0≤c≤4时，则n的取值范围是． 37．（2026秋•金山区校级月考）若二次函数y＝2（x+m）2的对称轴是直线x＝﹣3，那么顶点坐标为___________ ． 38．（2026秋•同步）二次函数y＝﹣6x2图象的开口向_____ ，顶点是__________ ，对称轴是__________ ；该二次函数在x＝_____ 时，取到最_____ 值_____ ． 39．（2026秋•同步）已知m是常数，如果抛物线y＝（x+m）2+m+1的对称轴是直线x＝1，那么它的顶点坐标是__________ ． 40．（2026秋•同步）抛物线y＝3（x﹣2）2的开口向_____ ，对称轴是__________ ，顶点坐标是__________ ；当自变量x＝_____ 时，相应的二次函数取到最_____ 值_____ ；当自变量x的取值范围是________ 时，y随着x的增大而增大． 41．（2026秋•同步）函数y＝（2x+1）2+1，当x＞___________________ 时，y随x的增大而增大． 42．（2026秋•同步）分别写出抛物线y＝2x2，y＝2x2+3和y＝2x2﹣3的开口方向、对称轴和顶点，并指出抛物线y＝2x2+3，y＝2x2﹣3与抛物线y＝2x2分别有什么关系． 43．（2026秋•同步）先确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点，说出随着x的增大，y的变化情况，再描点画图： （1）y＝x2+2x﹣5； （2）y＝﹣2x2+6x+3； （3）y＝2x2+4x﹣5； （4）． 44．（2026秋•同步）分别在同一平面直角坐标系中，画出下列各组二次函数的图象，并写出其对称轴和顶点： （1）y3，y2； （2）y（x﹣3）2，y； （3）5，1． 45．（2026秋•同步）已知函数y＝x2﹣x﹣2． （1）画出这个函数的图象； （2）观察图象，当x取哪些值时，函数值为0？ 💯 课后巩固 复习建议 · 判断二次函数要紧扣定义：a≠0、含x²项、为整式 · 画抛物线抓住顶点、对称轴与开口方向三个要素 · 抛物线平移遵循左加右减、上加下减的规律 · 比较函数值大小先看开口方向与对称轴，再结合增减性 · 求顶点坐标可用配方法或公式x=-b/2a 【作业1】（2025秋•安庆校级期末）下列函数中，是二次函数的是（　　） A．y＝x2﹣1 B． C． D． 【作业2】（2025秋•歙县月考）已知函数：①y＝2x﹣1；②y＝﹣2x2﹣1；③y＝3x3﹣2x2；④y＝ax2+bx+c，其中是二次函数的是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【作业3】（2026•呼图壁县一模）已知y＝（m﹣1）x|m+1|+3x﹣4是二次函数，则实数m＝_______ ． 【作业4】（2026春•让胡路区校级期末）如果函数是关于x的二次函数，则k＝_______ ． 【作业5】（2026秋•同步）下列函数中，哪些是二次函数，哪些是一次函数？ （1）y＝3x+1； （2）y＝3x2+2x+1； （3）y＝3x2+1； （4）y＝﹣3x2+x； （5）y． 【作业6】（2026秋•西城区校级月考）已知三个二次函数的图象如图所示，那么a1、a2、a3的大小关系是（　　） A．a1＜a2＜a3 B．a3＜a1＜a2 C．a3＜a2＜a1 D．a2＜a3＜a1 【作业7】（2026•甘州区校级一模）在同一坐标系中，二次函数y＝ax2﹣bx与的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【作业8】（2025秋•澧县期末）已知点A（1，y1），B（﹣2，y2）在抛物线y＝﹣（x+1）2+k（k为常数）上，则y1_____ y2．（用“＞”、“＜”或“＝”填空） 【作业9】（2025秋•虹口区期末）小丽为了画二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，列出了如表（信息不全），那么m的值是_____ ． x … ﹣5 ﹣4 ﹣2 0 m … y … 10 5 1 5 10 … 【作业10】（2026秋•同步）画出二次函数y＝2x2+1的图象，它与二次函数y＝2x2的图象有什么关系？ 【作业11】（2025秋•长沙期末）由二次函数y＝3（x﹣4）2﹣2可知（　　） A．其图象的开口向下 B．其图象的对称轴为直线x＝4 C．其最小值为2 D．当x＞4时，y随x的增大而减小 【作业12】（2025秋•龙湖区期末）抛物线y＝﹣（x﹣2）2+2的顶点坐标是 __________ ． 【作业13】（2026秋•海淀区校级月考）二次函数y＝﹣（x﹣2）2﹣3的顶点坐标是___________ ． 【作业14】（2026秋•同步）已知二次函数y＝a（x﹣h）2，当x＝2时，y取得最大值，且函数图象经过（1，﹣3）． （1）求a和h的值； （2）指出y随x的增大而变化情况． 【作业15】（2026秋•同步）已知抛物线y＝x2﹣4x+a的顶点在直线y＝﹣4x﹣1上，求该抛物线的顶点坐标和a的值． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $