专题03 二次函数与一元二次方程的关系 同步培优讲义 2026-2027学年浙教版九年级数学上册

本讲义聚焦二次函数与一元二次方程的关系，系统梳理抛物线与x轴交点横坐标和方程实数根的等价关系、判别式Δ判定根及交点个数的规律、图象法求近似根、根据交点情况求参数范围等核心知识点，搭建从代数方程到函数图象的转化支架，是二次函数基础综合题型的核心考点及后续深度学习的重要铺垫。 该资料以数形结合思想为核心，通过10类题型归纳与精讲，助力学生建立“代数-几何”双向转化逻辑。借助判别式实现方程根与抛物线交点的双向判断，培养几何直观与推理意识，如利用函数图象求解方程近似根、确定不等式解集等实例，课中辅助教师高效教学，课后帮助学生强化练习、查漏补缺。

专题03 二次函数与一元二次方程的关系 同步培优讲义 ✺知识框架 1.核心对应关系：抛物线与x轴交点横坐标和一元二次方程实数根的等价关系 2.判别式核心规律：Δ对应判定方程根的个数、抛物线与x轴交点个数 3.图象实操应用：借助二次函数图象求解一元二次方程近似根 4.基础综合应用：根据抛物线与x轴交点情况，求解参数取值范围 ✅本节以数形结合思想为核心，将一元二次方程求根的代数问题，转化为抛物线与x轴交点的几何问题。以判别式为核心工具，实现代数与图象的双向判定，是二次函数基础综合题型的核心考点，也是后续函数深度学习的重要铺垫。 ✺学习目标 1.理解二次函数与一元二次方程的内在关联，熟练掌握判别式Δ=－4ac判定一元二次方程根的情况、抛物线与x轴交点个数的双重规律，掌握利用函数图象求解一元二次方程近似根的基本方法。 2.能够依托判别式、函数图象，实现方程根与抛物线交点的双向判断；熟练运用数形结合方法，估算一元二次方程的近似解，初步掌握由交点情况求解参数取值范围的思路。 3.建立并深化数形结合的核心数学思想，打通“代数方程—函数图象”的双向转化逻辑，提升二次函数基础题型与简单综合题型的分析、解题能力。 ✺题型归纳 题型1.求抛物线与x轴的交点坐标 题型2.求抛物线与y轴的交点坐标 题型3.已知二次函数的函数值求自变量的值 题型4.抛物线与x轴的交点问题 题型5.根据二次函数图象确定相应方程根的情况 题型6.求x轴与抛物线的截线长 题型7.图象法确定一元二次方程的近似根 题型8.图象法解一元二次不等式 题型9.利用不等式求自变量或函数值的范围 题型10.根据交点确定不等式的解集 题型11.课堂小练 ✺知识清单 知识点一、 二次函数与一元二次方程的核心对应关系 ▲对于任意二次函数y=ax2+bx+c (a≠0），令函数值y=0，即可得到对应的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0），由此建立二次函数与一元二次方程的紧密联系。 ▲数形结论：一元二次方程ax2+bx+c=0的实数根，就是抛物线y=ax2+bx+c 与x轴交点的横坐标。 若方程两根为(、)，则抛物线与x轴交点坐标为(,0)、(,0) 知识点二 、利用二次函数图象求一元二次方程的近似根 ▲当一元二次方程难以直接求解精确根时，可借助二次函数图象确定根的取值区间，是教材要求掌握的实操方法。 ▲求解步骤： （1）构造二次函数y=ax2+bx+c ； （2）画出函数大致图象，观察抛物线与x轴的交点位置； （3）根据交点所在的横坐标区间，确定一元二次方程的近似根范围。 核心判定依据：若两个相邻整数对应的函数值异号（一正一负），则一元二次方程的实数根必落在这两个整数之间。 知识点三、已知交点情况求参数范围 ▲解题核心：通过抛物线与x轴的交点个数，转化为判别式的不等关系，求解参数取值范围： 与x轴有两个交点：Δ＞0；与x轴仅有一个交点：Δ=0；与x轴无交点：Δ＜0。 知识点四、抛物线与x轴两交点间的距离 设抛物线与x轴交于((,0))、((,0)，(、()是方程ax2+bx+c=0的两根， 两交点线段距离公式：|-|= 知识点五、根据图象判断函数值正负 1.当a>0，抛物线开口向上：自变量取两交点外侧数值时，y>0；自变量取两交点之间数值时，y<0； 2.当a<0，抛物线开口向下：自变量取两交点外侧数值时，y<0；自变量取两交点之间数值时，y>0； 3.应用：可直接写出不等式ax2+bx+c>0、ax2+bx+c<0中x的取值范围。 知识点六、利用图像法解不等式 ▲直接画出二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象： 不等式ax2+bx+c＞0的解集为图象在x轴上方的点所对应的x的所有值； 不等式ax2+bx+c＜0的解集为图象在x轴下方的点所对应的x所有值. ✺题型精讲 题型1.求抛物线与x轴的交点坐标 1．已知抛物线经过点，则抛物线与轴的另一个交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图像与x轴的交点坐标的求解等，解题的关键在于根据a≠0求出b的值．根据点和得到的值，再根据抛物线与轴有交点，进而求解． 【详解】将代入抛物线中， 得到： 化简得： 即抛物线为： 抛物线与轴有交点 解得：或 抛物线与轴交于一点 抛物线与轴另一个交点为： 故选：C． 2．已知二次函数的图象与轴的一个交点坐标是，则它与轴的另一个交点坐标是________． 【答案】 【分析】将已知交点坐标代入二次函数解析式求出参数，再令解一元二次方程，即可得到另一个交点的坐标． 【详解】解：把代入， 得， 整理得，解得， 即二次函数解析式为， 令，得， 因式分解得， 解得，， ∵已知图象与轴的一个交点坐标是， ∴它与轴的另一个交点坐标是． 3．设函数，，其中． (1)若函数的图象过点，函数的图象过点，求的值； (2)若，判断函数与轴的交点个数，说明理由； (3)若函数和函数与轴的交点均相同，求，的值． 【答案】(1)21 (2)函数与轴没有交点， 理由：， ， 函数与轴没有交点； (3)， 【分析】此题考查了二次函数和x轴的交点问题，二次函数的性质，二次函数和一元二次方程，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）将和分别代入和，得到，，然后利用完全平方公式的变形求解即可； （2）根据判别式结合求解即可； （3）首先求出函数与x轴的交点坐标为和，然后根据题意得到，进而求解即可． 【详解】（1）解：把代入，把代入，得， ， ； （2）略 （3） 函数与轴的交点坐标为和 函数与轴的交点坐标为和 ，即，解得（舍）或 ，． 题型2.求抛物线与y轴的交点坐标 1．抛物线与轴的交点为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】抛物线与y轴交点的横坐标为0，令代入抛物线解析式求出y的值，即可得到交点坐标． 【详解】解：∵y轴上所有点的横坐标都为0， ∴令，代入抛物线解析式， 得， ∴抛物线与y轴的交点坐标为． 2．抛物线与轴的交点坐标是___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了求二次函数与y轴的交点坐标，求出时的函数值即可得到答案． 【详解】解：在中，当时，， ∴抛物线与轴的交点坐标是， 故答案为：． 3．已知二次函数． (1)求该函数图象与x轴、y轴的交点坐标； (2)画出该函数的大致图象． 【答案】(1)与轴的交点坐标为和，与轴的交点坐标为 (2) 二次函数图象如下： 【分析】本题考查二次函数的图象，熟练掌握二次函数的图象是解题的关键． （1）将、分别代入函数解析式，计算求解即可； （2）求出函数的对称轴，通过描点法画出函数图象即可． 【详解】（1）解；令得，， 则与轴的交点坐标为， 令得， 解得或， 则与轴的交点坐标为和； （2）解：根据题意得，二次函数， 由（1）知，该函数图象经过点、和， 其对称轴为， 令，则， 则顶点坐标为． 题型3.已知二次函数的函数值求自变量的值 1．一元二次方程的近似根可以看做是下列哪两个函数图象交点的横坐标（    ） A． 和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【分析】变形原方程得到即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴一元二次方程的近似根可以看做是函数和图象交点的横坐标， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程与二次函数的关系，正确变形是关键． 2．如图，过点A(0，4)作平行于x轴的直线AC分别交抛物线与于B、C两点，那么线段BC的长是________． 【答案】2 【分析】根据题意，将分别代入 ，，求得的正数解，即求得的坐标，进而即可求得的长． 【详解】解：，则解得，即 解得，即 故答案为： 【点睛】本题考查了根据二次函数的函数值求自变量，联立解方程是解题的关键． 3．已知二次函数的图象经过点． (1)求此二次函数的表达式； (2)请你判断点是否在这个二次函数的图象上？ 【答案】(1) (2)点不在这个二次函数图象上 【分析】本题考查二次函数表达式的求解及点与函数图象的关系，涉及知识点：待定系数法求二次函数解析式、点在函数图象上的判定（点的坐标满足函数表达式）．解题方法是将已知点代入函数式求参数，再将待判断点代入解析式验证；解题关键是准确代入计算，易错点是代入时符号或运算错误． （1）把点坐标代入函数式求的值，得到表达式；（2）将点代入表达式，判断等式是否成立． 【详解】（1）∵二次函数的图象经过点， ， 解得， ∴二次函数的解析式． （2）将代入表达式， 得：．因， 故点不在这个二次函数的图象上． 题型4.抛物线与x轴的交点问题 1．在平面直角坐标系中，函数的图象为，关于y轴对称的图象为，则直线（a为常数）与，的交点共有（     ） A．2个 B．1个或2个 C．0个或2个或3个或4个 D．无数个 【答案】C 【分析】设点是上的一点，则点是上的一点，据此可推出对应的函数解析式为，画出，的图象，结合函数图象可得答案． 【详解】解：设点是上的一点，则点是上的一点， ∴， ∴对应的函数解析式为； ∵， ∴当时，函数取得最小值， 当时，函数取得最小值； 如图所示， 由函数图象可知，当时，直线（a为常数）与，的交点为0个， 当时，直线（a为常数）与，的交点为2个， 当时，直线（a为常数）与，的交点为4个， 当时，直线（a为常数）与，的交点为3个， 当时，直线（a为常数）与，的交点为2个， 综上所述，直线（a为常数）与，的交点共有0个或2个或3个或4个． 2．若二次函数的图像与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围是_____． 【答案】且 【分析】根据二次函数的定义可得二次项系数不为零，再结合二次函数图象与轴交点个数和判别式的关系，列出不等式组求解即可． 【详解】解：是二次函数 ， ， 二次函数的图象与轴有两个不同的交点， 一元二次方程有两个不相等的实数根， 即判别式， ， 解不等式得， ∴的取值范围是且． 3．在平面直角坐标系中，抛物线经过点，当时，函数有最小值． (1)求抛物线的解析式； (2)记抛物线与x轴的一个交点的横坐标为r，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用二次函数最小值点在顶点处，结合顶点横坐标公式求出，再代入已知点求出，得到抛物线解析式； （2）利用交点横坐标满足抛物线方程，通过代数变形和整式乘法公式计算所求代数式的值即可. 【详解】（1）解：在抛物线中，， 故函数最小值在顶点处取得， 由题意得顶点横坐标为， ∴，即， 解得； 把点代入解析式得； 故抛物线解析式为； （2）解：∵是抛物线与轴交点的横坐标， ∴，显然， 等式两边同时除以得：， ∴， ∴，即， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴. 题型5.根据二次函数图象确定相应方程根的情况 1．已知函数的图象如图，那么关于x的方程的根的情况是（    ） A．无实数根 B．有两个相等实数根 C．有两个同号不等实数根 D．有两个异号实数根 【答案】C 【分析】根据的图象与有两个交点，且交点的横坐标都在y轴右侧可得出答案． 【详解】解：由函数图象可得：的图象与有两个交点，且交点的横坐标都在y轴右侧， ∴关于x的方程即有两个同号不等实数根， 2．已知函数的图象和函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的解是___________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质．函数的图象和函数的图象交点的横坐标就是关于的一元二次方程的解，据此求解即可． 【详解】解：由图象知，抛物线的对称轴为直线， 函数的图象和函数的图象一个交点的横坐标为， ∴一个交点的横坐标为， ∴关于的一元二次方程的解是． 故答案为：． 3．已知二次函数（为常数）． (1)当二次函数的顶点的纵坐标为3，对称轴在轴的右侧时，求的值； (2)在（1）的条件下，已知，在该二次函数的图象上，若对于，都有，求的取值范围； (3)已知对于任意实数，都有，此时二次函数的图象与直线交于，（点在点的左侧）两点，且，求的值． 【答案】(1)4 (2) (3) 【分析】（1）将二次函数化为顶点式，根据顶点的纵坐标为3求出k的值，再结合二次函数图象的对称轴在y轴的右侧对k的值进行取舍即可； （2）先求出，抛物线的对称轴为直线，根据若对于，都有，得到，求解即可； （3）根据对于任意实数，都有，得到不等式对任意实数恒成立，即抛物线与轴最多只有一个交点，即判别式，从而可求出，此时二次函数为，且与轴的交点分别为，，由题意知轴，且，设点，点，即可列出方程，求解即可解答． 【详解】（1）解：，且二次函数的顶点的纵坐标为3， ，解得或． 二次函数图象的对称轴在轴的右侧， ∴对称轴，即， 的值为4． （2）解：由（1）知：， 抛物线的解析式为． 当时，，即． 又， 抛物线的对称轴为直线． 若对于，都有， 则，解得． （3）解：对于任意实数，都有， 整理，得． 该不等式对任意实数恒成立，即抛物线与轴最多只有一个交点， 判别式，即． ． 此时二次函数为，且与轴的交点分别为，． 由题意知轴，且， 设点，点， 解得 当时，，即． 题型6.求x轴与抛物线的截线长 1．二次函数的图象与轴交于，两点，则线段的长是（    ） A．3 B．6 C．9 D．18 【答案】B 【分析】本题先利用轴上点的纵坐标为的性质，求出二次函数与轴的两个交点坐标，再计算两点间的距离即可得到结果． 【详解】解：二次函数图象与轴交点的纵坐标为 令，得方程 解得， ，两点的坐标为和 线段的长为 2．定义为函数的特征数，下面给出特征数为的函数的一些结论： ①当时，函数图象的顶点坐标是； ②无论为何值，函数图象一定经过同一个点． ③当时，函数在时，随的增大而减小； ④当时，函数图象截轴所得的线段长度大于； 其中正确的结论是_____________．（填序号） 【答案】①②④ 【分析】此题考查二次函数的性质，顶点坐标，两点间的距离公式，以及二次函数图象上点的坐标特征. ①把代入，求得，求得解析式，利用顶点坐标公式解答即可；②根据特征数的特点，直接得出的值，进一步验证即可解答；③首先求得对称轴，利用二次函数的性质解答即可；④令函数值为，求得与轴交点坐标，利用两点间的距离公式解决问题. 【详解】解：①当时，特征数为， ∴ 函数图象的顶点坐标是：故①正确； ②当时，即 对任意，函数图象都经过点，故②结论正确； ③当时，是一个开口向下的抛物线，其对称轴是：，在对称轴的右边随的增大而减小.因为当时，，即对称轴在右边，因此函数在右边先递增到对称轴位置，再递减，故③错误； ④当时，令，有， 解得， ∴， 所以当时，函数图象截轴所得的线段长度大于故④正确； 故答案为：①②④． 3．已知二次函数的图象经过点、、，且与x轴交于A、B两点． (1)试确定此二次函数的解析式； (2)判断点是否在这个二次函数的图象上，如果在，请求出的面积；如果不在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点在函数图象上，的面积为6． 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象与轴的交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）待定系数法求解析式即可求解； （2）将代入解析式，得，即可得点在函数图象上，令，求得的坐标，进而根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）设二次函数为，把、、代入二次函数解析式， 得：， 解得． ∴二次函数的解析式为：； （2）把代入解析式，可得：， ∴点在函数图象上． 当，， 解得：， ∴ ∴． 题型7.图象法确定一元二次方程的近似根 1．根据下列表格的对应值，判断方程（，a，b，c为常数）一个解的范围是（    ） 2.23 2.24 2.25 2.26 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据上面的表格，可得二次函数的图象与轴的交点坐标即为方程的解，当时，；当时，；则二次函数的图象与轴的交点的横坐标应在2.24和2.25之间． 本题主要考查了求一元二次方程的近似根，解题的关键是：熟练掌握求一元二次方程的近似根的方法． 【详解】∵当时，； 当时，； ∴方程的一个解的范围是：， 故选：C． 2．下表是函数的部分自变量与对应的函数值： x y 根据此表，可以判断方程的一 个解x 可能的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查观察图表得知函数值情况，一元二次方程的根，二次函数与一元二次方程的关系．通过观察函数值的变化，当时，时，因此方程根在和之间． 【详解】解：由表可知，当时，；当时，， 由于二次函数图象是连续的，函数值由负变正，说明方程的一个解在和之间，即， 故答案为：． 3．已知二次函数 (1)填写下表，并在给出的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； x … 0 1 … y … … (2)结合函数图象，直接写出方程的近似解（精确到0.1）． 【答案】(1)；2；3；2； (2)， 【详解】（1）解：当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 填表如下： ⋯ 0 1 ⋯ ⋯ 2 3 2 ⋯ 描点并连线略 （2） 略 题型8.图象法解一元二次不等式 1．如图，抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的对称性，二次函数与不等式，掌握数形结合思想的应用是解题的关键． 由函数图象得对称轴为，然后可得点关于的对称点的坐标，进而可得答案． 【详解】解：由函数图象得：二次函数的对称轴为直线， ∴点关于直线的对称点的坐标为， ∴关于x的不等式的解集是 故选：C． 2．如图， 抛物线 与直线交于两点， 则不等式 的解集是________． 【答案】/ 【详解】解：解：观察图象可知当和时， 在交点之间时，一次函数的图象在抛物线下方，即， ∴不等式的解集是， 故答案为：． 【分析】本题主要考查了抛物线与一次函数图象的交点求不等式的解集，确定图象之间的位置关系可得出函数值的大小． 3．小明同学学习二次函数后，对函数研究．在经历列表、描点、连线步骤后得到如下的函数图象，请根据函数图象回答下列问题： (1)观察研究 ①方程的解为________． ②关于x的方程有四个实数根时a的取值范围是____ (2)综合应用：当函数的图象与直线也有三个交点时，求出b的值． 【答案】(1)或或； (2)或 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，利用图象求方程的根和不等式的解集，是解题的关键． （1）①找到曲线与的交点的横坐标即可； ②图象法解不等式即可； （2）观察图象可知当直线过时，函数的图象与直线有三个交点或当与只有一个交点时，两个图象有3个交点，进行求解即可； 【详解】（1）解：补充并观察图象可知：上顶点为，中间顶点为， ①方程的解为：或或； ②关于x的方程有四个实数根时，则a的取值范围是． 故答案为：或或；； （2）把点代入得，， 令，整理得， 则，解得， ∴当函数的图象与直线有三个交点时，b的值为或； 题型9.利用不等式求自变量或函数值的范围 1．已知二次函数，经过点．当时，x的取值范围为或．则如下四个值中有可能为m的是(   ) A． B．0 C．2 D．4 【答案】D 【分析】由时，x的取值范围为或，可得抛物线的对称轴为，从而可得b与a的关系，将代入二次函数解析式，用含a的代数式表示m，求出m的范围，进而求解． 【详解】当时，x的取值范围为或， ∴为抛物线上的点， ∴抛物线的对称轴为 ， ∴抛物线的顶点坐标为 ∵抛物线经过点， ∴四个值中有可能为m的是4． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握二次函数图像上的点的坐标特征． 2．如图，二次函数的部分图象与轴交于点，对称轴为直线，则当函数值时，自变量的取值范围是___________； 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，观察图像可知二次函数有两个根，抛物线的两个根关于对称轴对称，正确利用数形结合分析是解题关键．直接利用二次函数的对称性得出抛物线与轴的另一个交点，进而得出答案． 【详解】解：二次函数的抛物线与轴交于，对称轴是直线， 抛物线与轴的另一个交点为：， 故当函数值时，自变量的取值范围是：． 故答案为：． 3．已知二次函数几组与的对应值如下表： x … 0 1 2 3 4 … y … 0 0 5 … (1)求此二次函数的表达式； (2)直接写出当x取何值时，． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象与不等式，熟练运用数形结合思想是解题的关键． （1）利用待定系数法运算求解即可； （2）分析函数的开口方向及与轴的交点情况求解即可． 【详解】（1）解：由表格可得，函数过点，，，设二次函数解析式为：， 分别代入各点可得：， 解得：， ∴二次函数解析式为：； （2）解：由表格可得：二次函数与轴的交点坐标为，， 又∵由（1）可得：，抛物线的开口向上， ∴，的取值范围为：． 题型10.根据交点确定不等式的解集 1．如图，反比例函数的图象和二次函数图象交于点，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】由，当时整理得，结合函数图象即可求解． 【详解】解：当时，若，整理得， 由图象知，时，反比例函数的图象在二次函数的图象的下方， 当时，反比例函数的图象与二次函数的图象没有公共点， 则不等式的解集为． 2．如图，二次函数与一次函数的图象交于，两点，则不等式的解集是_____． 【答案】 【分析】本题考查不等式与函数的关系及函数图象交点问题，理解图象的点坐标特征和数形结合思想是解答此题的关键． 结合图象，当时，一次函数的图象在二次函数的图象上方，此时二次函数值小于一次函数值，即可确定不等式的解集． 【详解】解：∵， 即二次函数值小于一次函数值， 抛物线与直线交点为，， 当时，一次函数的图象在二次函数的图象上方，此时二次函数值小于一次函数值， 即的解集为， 故答案为：． 3．已知抛物线与直线如图所示． (1)求交点A，B的坐标； (2)求的面积； (3)直接写出不等式的解集． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查二次函数与一次函数的综合， （1）联立两个函数解析式得方程组，解方程组即可得出交点坐标，． （2）把代入直线解析式求出点C的坐标，根据求解． （3）由图像可知不等式的解集就是抛物线在直线下方时对应的x的取值范围． 【详解】（1）解：联立两个函数解析式得 ，解得：， ∴， （2）设直线与y轴交点为C，如图， 当时， ∴点C坐标为 ∴ = ； （3）∵点A横坐标为，点B横坐标为1， 由图象知时抛物线在直线下方． ∴不等式的解集为． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握坐标系内三角形面积的求法． ✺课堂小练 一、单选题 1．将抛物线向下平移2个单位长度得到的抛物线必定经过（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确掌握平移规律是解题关键．直接将原函数写成顶点式，再利用二次函数平移规律：左加右减，上加下减，进而得出平移后解析式，再把各选项的点代入判断即可． 【详解】解：将抛物线向下平移2个单位长度得到的抛物线解析式为：， 当时，，故不在此抛物线上，故A选项不合题意； 当时，，故在此抛物线上，故B选项符合题意； 当时，，故不在此抛物线上，故C选项不合题意； 当时，，故不在此抛物线上，故D选项不符合题意； 故选：B． 2．若抛物线的顶点在第一象限，则方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法判断 【答案】C 【分析】本题需要结合抛物线的图像与性质和一元二次方程根的判别式来分析，由题意得出抛物线顶点与轴的位置关系，即可判断方程根的情况． 【详解】解：抛物线开口向上，顶点为其最低点． 顶点在第一象限， 顶点的纵坐标大于，即抛物线的最低点在轴上方． 抛物线与轴无交点． 方程无实数根． 故选：C． 3．如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，，则的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，先解方程得，，再计算自变量为0对应的函数值得到，接着证明为等腰直角三角形，所以，即，然后把等式两边平方可得． 【详解】解：由图可得，抛物线的开口向上，与y轴的负半轴相交， ∴，， 当时，， 解得，， ∴，， 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 即， 整理，得 , ∵ ∴． 故选：A． 二、填空题 4．根据下列表格的对应值： x 0.59 0.60 0.61 0.62 0.63 0.0044 0.0269 判断方程一个解x的取值范围为 _____． 【答案】 【分析】根据函数的图象与x轴的交点横坐标就是方程的根，结合表格中数据即可判断方程的一个解的范围． 【详解】解：由表中数据可知：当时，；当时，， ∴当时，在与之间， ∴方程一个解x的取值范围为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了求一元二次方程的近似根，掌握函数的图象与x轴的交点与方程的根的关系是解决此题的关键所在． 5．在平面直角坐标系中，已知抛物线：，若为抛物线上三点，且．则m的取值范围是___________． 【答案】 【分析】直接根据给定的函数值大小关系列不等式求解即可． 【详解】解：为抛物线上三点， ∴， ， ， 又∵， ∴， 解得： ． 6．已知抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，则的面积为___________． 【答案】28 【分析】先求出抛物线与轴、轴的交点坐标，得到的长度和点到轴的距离，再代入三角形面积公式计算． 【详解】解：当时，， 整理得， 解得，， ∵点在点左侧， ∴，， ∴， 当时，， ∴，即点到轴的距离， ∴． 三、解答题 7．函数图象是研究函数的重要工具．探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，然后观察分析图象特征，概括函数性质的过程．请结合已有的学习经验，画出函数的图象，并探究其性质． 列表如下： x … 0 1 2 3 4 … y … m 0 n … (1)直接写出表中m、n的值，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象； (2)观察函数的图象，判断下列关于该函数性质的命题： ①当时，函数图象关于原点对称； ②时，函数有最小值，最小值为； ③时，函数y的值随x的增大而减小． 其中正确的是 ．（请写出所有正确命题的序号） (3)结合图象，请直接写出不等式的解集 ． 【答案】(1)，， (2)①②③ (3)或 【分析】（1）将x的值代入函数解析式求出m、n，描点，连线画出函数图像即可； （2）利用奇函数性质判断原点对称，观察图象最低点判断最小值，观察图象升降判断增减性； （3）把不等式问题转化为两个函数图象上下位置关系，求出交点横坐标，写出对应x的范围． 【详解】（1）解：把代入得， 把代入得， ，， 函数的图象略； （2）解：观察函数的图象， ①当时，函数图象关于原点对称，正确； ②时，函数有最小值，最小值为，正确； ③时，函数y的值随x的增大而减小，正确； （3）解：如图， 由图象可知，函数与直线的交点为、、， 不等式的解集为或， 不等式的解集为或． 8．综合与实践：根据素材回答问题． 茶叶的销售问题 背景 黄山毛峰是中国十大名茶之一，属于绿茶．该茶外形微卷，状似雀舌，银毫显露，且带有金黄色鱼叶（俗称黄金片）． 素材1 某茶叶公司经销黄山毛峰茶叶，每千克成本为60元，规定每千克售价需超过成本 素材2 经调查发现，其日销售量（千克）与售价（元/千克） (1)设该茶叶的日销售利润为元，分别求出与，与之间的函数表达式； (2)若该茶叶的日销量不低于80千克，当销售单价定为多少元时，每天获取的利润最大； (3)若公司想获得不低于1000元的日利润，求售价的取值范围． 【答案】(1)， (2)80，1600 (3) 【分析】（1)理解题意，设，将分别代入计算求出与的关系式，设每天获取的利润为元，利用每千克成本为60元求出与之间的函数表达式； （2)根据该茶叶的日销量不低于80千克，每千克成本为60元，规定每千克售价需超过成本，得出，结合由与之间的函数表达求解； (3) 根据公司想获得不低于1000元的日利润，令，解得方程的解，再运用二次函数的图象性质进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：根据题意设， 将代入得 解得 ∴. 设每天获取的利润为元，每千克成本为60元， ∴. （2）解：由（1）， 该茶叶的日销量不低于80千克 ∴， ∴， 每千克成本为60元，规定每千克售价需超过成本， ∴， ∴， ∴， ∵， 抛物线开口方向向下，对称轴为直线， 当时，随的增大而增大， ∵， ∴当时，每天获取的利润最大， 答：当售价为80元时，每天获利最大，最大利润为1600元； （3）解：由题意，令， ∴， ∵，且， ∴开口向下， 当时，． 9．在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴有两个公共点． (1)求的取值范围； (2)若取满足条件的最小的整数， ①求这个二次函数的解析式，并写出此时二次函数的顶点坐标； ②当时，函数值的取值范围是，求的值； ③将此抛物线平移，使其图象经过原点．设平移后的图象对应的函数表达式为，当时，随的增大而减小，求的取值范围． 【答案】(1)且 (2)①，顶点坐标为；②；③ 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式和定义解答即可； （2）①先得出的值，再将二次函数化成顶点式即可； ②根据二次函数的增减性求解即可； ③先得出的值，再根据二次函数的增减性求出的取值范围，然后求出与之间的等式关系，由此即可得． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与轴有两个公共点， ∴关于的方程有两个不相等的实数根， ∴方程根的判别式，且， 解得且． （2）解：①∵且，取满足条件的最小的整数， ∴， ∴二次函数的解析式为，化成顶点式为， ∴此时二次函数图象的顶点坐标为． ②当时，， 当时，， 二次函数的对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小， ∴当时，， 又∵当时，函数值的取值范围是， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴的值为． ③∵函数平移后的图象对应的函数表达式为， ∴， ∴平移后的图象对应的函数表达式为， 由二次函数的性质可知，当时，随的增大而减小， 又∵当时，随的增大而减小， ∴， ∵函数的图象经过原点， ∴， ∴． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 二次函数与一元二次方程的关系 同步培优讲义 ✺知识框架 1.核心对应关系：抛物线与x轴交点横坐标和一元二次方程实数根的等价关系 2.判别式核心规律：Δ对应判定方程根的个数、抛物线与x轴交点个数 3.图象实操应用：借助二次函数图象求解一元二次方程近似根 4.基础综合应用：根据抛物线与x轴交点情况，求解参数取值范围 ✅本节以数形结合思想为核心，将一元二次方程求根的代数问题，转化为抛物线与x轴交点的几何问题。以判别式为核心工具，实现代数与图象的双向判定，是二次函数基础综合题型的核心考点，也是后续函数深度学习的重要铺垫。 ✺学习目标 1.理解二次函数与一元二次方程的内在关联，熟练掌握判别式Δ=－4ac判定一元二次方程根的情况、抛物线与x轴交点个数的双重规律，掌握利用函数图象求解一元二次方程近似根的基本方法。 2.能够依托判别式、函数图象，实现方程根与抛物线交点的双向判断；熟练运用数形结合方法，估算一元二次方程的近似解，初步掌握由交点情况求解参数取值范围的思路。 3.建立并深化数形结合的核心数学思想，打通“代数方程—函数图象”的双向转化逻辑，提升二次函数基础题型与简单综合题型的分析、解题能力。 ✺题型归纳 题型1.求抛物线与x轴的交点坐标 题型2.求抛物线与y轴的交点坐标 题型3.已知二次函数的函数值求自变量的值 题型4.抛物线与x轴的交点问题 题型5.根据二次函数图象确定相应方程根的情况 题型6.求x轴与抛物线的截线长 题型7.图象法确定一元二次方程的近似根 题型8.图象法解一元二次不等式 题型9.利用不等式求自变量或函数值的范围 题型10.根据交点确定不等式的解集 题型11.课堂小练 ✺知识清单 知识点一、 二次函数与一元二次方程的核心对应关系 ▲对于任意二次函数y=ax2+bx+c (a≠0），令函数值y=0，即可得到对应的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0），由此建立二次函数与一元二次方程的紧密联系。 ▲数形结论：一元二次方程ax2+bx+c=0的实数根，就是抛物线y=ax2+bx+c 与x轴交点的横坐标。 若方程两根为(、)，则抛物线与x轴交点坐标为(,0)、(,0) 知识点二 、利用二次函数图象求一元二次方程的近似根 ▲当一元二次方程难以直接求解精确根时，可借助二次函数图象确定根的取值区间，是教材要求掌握的实操方法。 ▲求解步骤： （1）构造二次函数y=ax2+bx+c ； （2）画出函数大致图象，观察抛物线与x轴的交点位置； （3）根据交点所在的横坐标区间，确定一元二次方程的近似根范围。 核心判定依据：若两个相邻整数对应的函数值异号（一正一负），则一元二次方程的实数根必落在这两个整数之间。 知识点三、已知交点情况求参数范围 ▲解题核心：通过抛物线与x轴的交点个数，转化为判别式的不等关系，求解参数取值范围： 与x轴有两个交点：Δ＞0；与x轴仅有一个交点：Δ=0；与x轴无交点：Δ＜0。 知识点四、抛物线与x轴两交点间的距离 设抛物线与x轴交于((,0))、((,0)，(、()是方程ax2+bx+c=0的两根， 两交点线段距离公式：|-|= 知识点五、根据图象判断函数值正负 1.当a>0，抛物线开口向上：自变量取两交点外侧数值时，y>0；自变量取两交点之间数值时，y<0； 2.当a<0，抛物线开口向下：自变量取两交点外侧数值时，y<0；自变量取两交点之间数值时，y>0； 3.应用：可直接写出不等式ax2+bx+c>0、ax2+bx+c<0中x的取值范围。 知识点六、利用图像法解不等式 ▲直接画出二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象： 不等式ax2+bx+c＞0的解集为图象在x轴上方的点所对应的x的所有值； 不等式ax2+bx+c＜0的解集为图象在x轴下方的点所对应的x所有值. ✺题型精讲 题型1.求抛物线与x轴的交点坐标 1．已知抛物线经过点，则抛物线与轴的另一个交点坐标为（    ） A． B． C． D． 2．已知二次函数的图象与轴的一个交点坐标是，则它与轴的另一个交点坐标是________． 3．设函数，，其中． (1)若函数的图象过点，函数的图象过点，求的值； (2)若，判断函数与轴的交点个数，说明理由； (3)若函数和函数与轴的交点均相同，求，的值． 题型2.求抛物线与y轴的交点坐标 1．抛物线与轴的交点为（     ） A． B． C． D． 2．抛物线与轴的交点坐标是___________． 3．已知二次函数． (1)求该函数图象与x轴、y轴的交点坐标； (2)画出该函数的大致图象． 题型3.已知二次函数的函数值求自变量的值 1．一元二次方程的近似根可以看做是下列哪两个函数图象交点的横坐标（    ） A． 和 B．和 C．和 D．和 2．如图，过点A(0，4)作平行于x轴的直线AC分别交抛物线与于B、C两点，那么线段BC的长是________． 3．已知二次函数的图象经过点． (1)求此二次函数的表达式； (2)请你判断点是否在这个二次函数的图象上？ 题型4.抛物线与x轴的交点问题 1．在平面直角坐标系中，函数的图象为，关于y轴对称的图象为，则直线（a为常数）与，的交点共有（     ） A．2个 B．1个或2个 C．0个或2个或3个或4个 D．无数个 2．若二次函数的图像与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围是_____． 3．在平面直角坐标系中，抛物线经过点，当时，函数有最小值． (1)求抛物线的解析式； (2)记抛物线与x轴的一个交点的横坐标为r，求的值． 题型5.根据二次函数图象确定相应方程根的情况 1．已知函数的图象如图，那么关于x的方程的根的情况是（    ） A．无实数根 B．有两个相等实数根 C．有两个同号不等实数根 D．有两个异号实数根 2．已知函数的图象和函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的解是___________． 3．已知二次函数（为常数）． (1)当二次函数的顶点的纵坐标为3，对称轴在轴的右侧时，求的值； (2)在（1）的条件下，已知，在该二次函数的图象上，若对于，都有，求的取值范围； (3)已知对于任意实数，都有，此时二次函数的图象与直线交于，（点在点的左侧）两点，且，求的值． 题型6.求x轴与抛物线的截线长 1．二次函数的图象与轴交于，两点，则线段的长是（    ） A．3 B．6 C．9 D．18 2．定义为函数的特征数，下面给出特征数为的函数的一些结论： ①当时，函数图象的顶点坐标是； ②无论为何值，函数图象一定经过同一个点． ③当时，函数在时，随的增大而减小； ④当时，函数图象截轴所得的线段长度大于； 其中正确的结论是_____________．（填序号） 3．已知二次函数的图象经过点、、，且与x轴交于A、B两点． (1)试确定此二次函数的解析式； (2)判断点是否在这个二次函数的图象上，如果在，请求出的面积；如果不在，请说明理由． 题型7.图象法确定一元二次方程的近似根 1．根据下列表格的对应值，判断方程（，a，b，c为常数）一个解的范围是（    ） 2.23 2.24 2.25 2.26 A． B． C． D． 2．下表是函数的部分自变量与对应的函数值： x y 根据此表，可以判断方程的一 个解x 可能的取值范围是________． 3．已知二次函数 (1)填写下表，并在给出的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； x … 0 1 … y … … (2)结合函数图象，直接写出方程的近似解（精确到0.1）． 题型8.图象法解一元二次不等式 1．如图，抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 2．如图， 抛物线 与直线交于两点， 则不等式 的解集是________． 3．小明同学学习二次函数后，对函数研究．在经历列表、描点、连线步骤后得到如下的函数图象，请根据函数图象回答下列问题： (1)观察研究 ①方程的解为________． ②关于x的方程有四个实数根时a的取值范围是____ (2)综合应用：当函数的图象与直线也有三个交点时，求出b的值． 题型9.利用不等式求自变量或函数值的范围 1．已知二次函数，经过点．当时，x的取值范围为或．则如下四个值中有可能为m的是(   ) A． B．0 C．2 D．4 2．如图，二次函数的部分图象与轴交于点，对称轴为直线，则当函数值时，自变量的取值范围是___________； 3．已知二次函数几组与的对应值如下表： x … 0 1 2 3 4 … y … 0 0 5 … (1)求此二次函数的表达式； (2)直接写出当x取何值时，． 题型10.根据交点确定不等式的解集 1．如图，反比例函数的图象和二次函数图象交于点，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D．或 2．如图，二次函数与一次函数的图象交于，两点，则不等式的解集是_____． 3．已知抛物线与直线如图所示． (1)求交点A，B的坐标； (2)求的面积； (3)直接写出不等式的解集． ✺课堂小练 一、单选题 1．将抛物线向下平移2个单位长度得到的抛物线必定经过（    ） A． B． C． D． 2．若抛物线的顶点在第一象限，则方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法判断 3．如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，，则的值为（   ） A． B． C．1 D．2 二、填空题 4．根据下列表格的对应值： x 0.59 0.60 0.61 0.62 0.63 0.0044 0.0269 判断方程一个解x的取值范围为 _____． 5．在平面直角坐标系中，已知抛物线：，若为抛物线上三点，且．则m的取值范围是___________． 6．已知抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，则的面积为___________． 三、解答题 7．函数图象是研究函数的重要工具．探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，然后观察分析图象特征，概括函数性质的过程．请结合已有的学习经验，画出函数的图象，并探究其性质． 列表如下： x … 0 1 2 3 4 … y … m 0 n … (1)直接写出表中m、n的值，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象； (2)观察函数的图象，判断下列关于该函数性质的命题： ①当时，函数图象关于原点对称； ②时，函数有最小值，最小值为； ③时，函数y的值随x的增大而减小． 其中正确的是 ．（请写出所有正确命题的序号） (3)结合图象，请直接写出不等式的解集 ． 8．综合与实践：根据素材回答问题． 茶叶的销售问题 背景 黄山毛峰是中国十大名茶之一，属于绿茶．该茶外形微卷，状似雀舌，银毫显露，且带有金黄色鱼叶（俗称黄金片）． 素材1 某茶叶公司经销黄山毛峰茶叶，每千克成本为60元，规定每千克售价需超过成本 素材2 经调查发现，其日销售量（千克）与售价（元/千克） (1)设该茶叶的日销售利润为元，分别求出与，与之间的函数表达式； (2)若该茶叶的日销量不低于80千克，当销售单价定为多少元时，每天获取的利润最大； (3)若公司想获得不低于1000元的日利润，求售价的取值范围． 9．在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴有两个公共点． (1)求的取值范围； (2)若取满足条件的最小的整数， ①求这个二次函数的解析式，并写出此时二次函数的顶点坐标； ②当时，函数值的取值范围是，求的值； ③将此抛物线平移，使其图象经过原点．设平移后的图象对应的函数表达式为，当时，随的增大而减小，求的取值范围． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $